第13章《軸對稱》（原卷版）

20222023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊章節(jié)考點(diǎn)精講精練第13章《軸對稱》知識互聯(lián)網(wǎng)知識互聯(lián)網(wǎng)知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航知識點(diǎn)01：軸對稱1.軸對稱圖形和軸對稱（1）軸對稱圖形

如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么它們的交點(diǎn)在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別:軸對稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對稱涉及兩個(gè)圖形，而軸對稱圖形是對一個(gè)圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.知識點(diǎn)02：作軸對稱圖形1.作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對稱點(diǎn)，連接這些對稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.2.用坐標(biāo)表示軸對稱點(diǎn)（,）關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（,－）；點(diǎn)（,）關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,）；點(diǎn)（,）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,－）.知識點(diǎn)03：等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)01：線段垂直平分線的性質(zhì)1．（2022春?順德區(qū)校級期中）如圖，某市的三個(gè)城鎮(zhèn)中心A、B、C構(gòu)成△ABC，該市政府打算修建一個(gè)大型體育中心P，使得該體育中心到三個(gè)城鎮(zhèn)中心A、B、C的距離相等，則P點(diǎn)應(yīng)設(shè)計(jì)在（）A．三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn) B．三角形三條高的交點(diǎn) C．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)2．（2022春?寶雞期末）某地興建的幸福小區(qū)的三個(gè)出口A、B、C的位置如圖所示，物業(yè)公司計(jì)劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設(shè)下，想在小區(qū)內(nèi)修建一個(gè)電動(dòng)車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個(gè)出口的距離都相等，則充電樁應(yīng)該在△ABC（）A．三條高線的交點(diǎn)處 B．三條中線的交點(diǎn)處 C．三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)處 D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處3．（2021秋?鋼城區(qū)期末）如圖，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，F(xiàn)A⊥AC，垂足為A，AF＝DF＝5，AD＝6，則AC的長為．4．（2021秋?盱眙縣期末）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC于點(diǎn)E，且AC＝8，BC＝5，則△BEC的周長是．5．（2022春?錦江區(qū)校級期中）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交線段AB，BC于點(diǎn)M，P，AC的垂直平分線分別交線段AC，BC于點(diǎn)N，Q．（1）如圖，當(dāng)∠BAC＝78°時(shí)，求∠PAQ的度數(shù)；（2）當(dāng)∠PAQ＝40°時(shí)，求∠BAC的度數(shù)．6．（2021秋?東莞市校級期末）如圖，在△ACD中，BD垂直平分線段AC，過點(diǎn)A作BC∥AF交CD于F，延長AB、DC交于點(diǎn)E．求證：（1）AC平分∠EAF；（2）∠FAD＝∠E．7．（2022春?市南區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點(diǎn)，BD＝BC，過點(diǎn)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，求證：BE垂直平分CD．8．（2021秋?舞陽縣期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD＝DE．（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度數(shù)；（2）若△ABC周長為14cm，AC＝6cm，求DC長．考點(diǎn)02：等腰三角形的判定與性質(zhì)9．（2021秋?覃塘區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別在BA、BC的延長線上，∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分線相交于點(diǎn)D．對于以下結(jié)論：①AD∥BC；②AD＝AC；③∠ADC＝∠ACB；④∠ADB與∠ADC互余．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．110．（2021秋?黃石期末）如圖，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，過D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)F在AB上，且滿足DF＝DE，則∠DFB的度數(shù)為（）A．20° B．140° C．20°或140° D．40°或140°11．（2021秋?澄城縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，則BC的長為．12．（2022春?城固縣期末）如圖，在△ABC中，∠ABC的角平分線和∠ACB相鄰的外角平分線CD交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，則BE長為．13．（2021秋?寧津縣期末）如圖，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分別是△ABC的兩外角的平分線，下列結(jié)論中：①CP⊥CD；②∠P＝∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°﹣∠A；⑤PD∥AC．其中正確的結(jié)論是（直接填寫序號）．14．（2021秋?開福區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，BD所在的直線垂直平分線段AC，過點(diǎn)A作AF∥BC交CD于F，延長AB、DC交于點(diǎn)E．（1）求證：AC平分∠EAF；（2）求證：∠FAD＝∠E；（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，AF＝3，求CF的長．15．（2021秋?鐵西區(qū)期末）如圖1，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長線交OM于點(diǎn)G．（1）若∠MON＝60°，則∠ACG＝度；（2）若∠MON＝n°，則∠ACG＝度；（用含n的代數(shù)式表示）（3）如圖2，若∠MON＝72°，過點(diǎn)C作CF∥OA交AB于點(diǎn)F，求∠BGO與∠ACF的數(shù)量關(guān)系．16．（2021秋?雨花區(qū)校級月考）已知△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，DE平分∠ADC，DE∥BC．（1）如圖1，如果點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AC＝10，求DE的長；（2）在（1）的條件下，求證：△ADC是等腰三角形．（3）如圖2，若∠ABC＝30°，在BC邊上取點(diǎn)F使BF＝DF，若BC＝18，求DF的長．17．（2021春?項(xiàng)城市校級期末）如圖①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）圖中有幾個(gè)等腰三角形？猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由．（2）如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們．在第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？（3）如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關(guān)系又如何？說明你的理由．考點(diǎn)03：等邊三角形的判定與性:18．（2021秋?準(zhǔn)格爾旗期末）已知：如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長線上一點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，AC、BE相交于點(diǎn)M，AD、CE相交于點(diǎn)N，則下列五個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等邊三角形．其中，正確的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)19．（2021秋?密山市校級期末）一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛80海里到達(dá)B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛80海里到達(dá)C地，則A，C兩地相距（）A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里20．（2019秋?龍巖期末）如圖，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，則DF＝（）A．3 B．4 C．5 D．621．（2022春?保定期末）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，將△ABC沿BC所在直線向右平移得到△A′B′C′，連接A′C，若BB′＝2，則線段A′C的長為．22．（2021春?威寧縣校級期末）如圖，在等邊△ABC的底邊BC邊上任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，作DF∥AB交AC于點(diǎn)F，DE＝5cm，DF＝3cm，則△ABC的周長為cm．23．（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝4cm，DE＝3cm，則BC＝cm．24．（2021秋?博興縣期末）如圖，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC為60°，BE＝3cm，則AB＝cm．25．（2020?香洲區(qū)校級一模）如圖，六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝3cm，DE＝2cm，則這個(gè)六邊形的周長等于cm．26．（2019秋?潮南區(qū)期中）兩塊完全一樣的含30°角的直角三角板，將它們重疊在一起并繞其較長直角邊的中點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)，使上面一塊三角板的斜邊剛好過下面一塊三角板的直角頂點(diǎn)C，如圖所示．已知AC＝6，則這兩塊直角三角板頂點(diǎn)A、A′之間的距離等于．27．（2022春?通川區(qū)期末）已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED＝EC．（1）【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論，AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請你完成以下解答過程）．（3）【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在線段CB的延長線上，且ED＝EC，若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果）．28．（2021秋?東至縣期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．（1）求證：△OCD是等邊三角形；（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形．考點(diǎn)04：含30度角的直角三角形29．（2022春?順德區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP長不可能是（）A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.830．（2022?碑林區(qū)校級四模）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，延長BC交EF的反向延長線于點(diǎn)D，若EF＝1，則DF的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.531．（2021秋?銅官區(qū)期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為D，且BD＝AC，則等腰△ABC頂角的度數(shù)為．32．（2021秋?龍江縣期末）如圖，AB＝AC＝6，∠C＝15°，BD⊥AC交CA的延長線于點(diǎn)D，則BD＝．33．（2021秋?諸暨市期中）如圖∠MAN＝60°，若△ABC的頂點(diǎn)B在射線AM上，且AB＝6，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位沿射線AN運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t是秒時(shí)，△ABC是直角三角形．34．（2021秋?靖西市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？35．（2021秋?晉安區(qū)期末）如圖，一條船上午8時(shí)從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北方向航行，上午10時(shí)到達(dá)海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海島B到燈塔C的距離；（2）若這條船繼續(xù)向正北航行，問什么時(shí)間小船與燈塔C的距離最短？36．（2020秋?上海期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，邊AB的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，取線段BE的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF．求證：AC＝DF．（說明：此題的證明過程需要批注理由）考點(diǎn)05：坐標(biāo)與圖形變化對稱37．（2022?景縣校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（0，﹣1），C（1，﹣2），D（﹣1，0），點(diǎn)D經(jīng)過平移后得到點(diǎn)D'，且將A，B，C，D'四點(diǎn)兩兩連接后，組成的圖形是軸對稱圖形．對于小明，小亮，小紅的說法，下列判斷正確的是（）小明：將點(diǎn)D向下平移2個(gè)單位長度；小亮：將點(diǎn)D先向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度；小紅：將點(diǎn)D先向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度．A．小明對，小亮對 B．小亮對，小紅錯(cuò) C．小明對，小紅對 D．三個(gè)人都對38．（2021秋?思明區(qū)校級期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2，1）與點(diǎn)B（0，1）關(guān)于某條直線成軸對稱，這條直線是（）A．x軸 B．y軸 C．直線x＝1（直線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)均為1） D．直線y＝1（直線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)均為1）39．（2021秋?湖里區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（m+2n，﹣3）和N（﹣m﹣n，6），其中m＞﹣2n，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線l（直線l上各點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等）對稱，則m與n的數(shù)量關(guān)系為（）A．m+3n＝6 B．m＝﹣n C．m+2n＝﹣3 D．m+2n＝640．（2021秋?黃陂區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B（0，3）在y軸上，連接AB，∠ABO＝60°，過y軸上一點(diǎn)P（0，m）作直線l⊥AB，OB關(guān)于直線l的對稱線段為O1B1，若線段O1B1和過A點(diǎn)且垂直于x軸的直線a有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是．41．（2021秋?鐵鋒區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對△ABC進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變換，若原來點(diǎn)A的坐標(biāo)是（，），則經(jīng)過第2021次變換后所得的點(diǎn)A的坐標(biāo)是．42．（2021秋?即墨區(qū)期中）小明和小穎下棋，小明執(zhí)圓子，小穎執(zhí)方子．如圖，棋盤中心方子的位置用（0，﹣1）表示，右上角方子的位置用（1，0）表示．小明將第4枚圓子放入棋盤后，所有棋子構(gòu)成一個(gè)軸對稱圖形．他放的位置可以表示為．43．（2021秋?江夏區(qū)期中）如圖，點(diǎn)C關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)分別為E、F，連EF，分別交OA、OB于G、H，若EF＝9，設(shè)△CGH的周長為a（a＞0），則將點(diǎn)P（a，﹣6）向上平移5個(gè)單位后的點(diǎn)P′的坐標(biāo)為．44．（2021秋?南昌期末）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）（1）在圖中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC關(guān)于x軸對稱；（2）寫出點(diǎn)A′，B′，C′的坐標(biāo)．45．（2020秋?永嘉縣校級期末）在4×4的正方形網(wǎng)格中建立如圖1、2所示的直角坐標(biāo)系，其中格點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（0，1），（﹣1，﹣1）．（1）請圖1中添加一個(gè)格點(diǎn)C，使得△ABC是軸對稱圖形，且對稱軸經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1）．（2）請圖2中添加一個(gè)格點(diǎn)D，使得△ABD也是軸對稱圖形，且對稱軸經(jīng)過點(diǎn)（1，1）．46．（2018秋?雁塔區(qū)校級期中）（1）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于a、b的二元一次方程組的解是．（2）如圖，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，2）、（3，6），點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)B'恰好落在y軸上，則點(diǎn)B'的坐標(biāo)為．考點(diǎn)06：軸對稱最短路線問題47．（2021秋?天津期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，垂足為E，M為DE上任意一點(diǎn)，BA＝3，AC＝4，BC＝6，則△AMC周長的最小值為（）A．7 B．6 C．9 D．1048．（2