第26章反比例函數(shù)（拔高卷）教師版

20232024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊章節(jié)真題匯編檢測卷（拔高）第26章反比例函數(shù)考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分難度：較難一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（本題2分）（2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，軸，垂足分別是點(diǎn)、，，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由直線求出，的長，設(shè)出，，由得出，的長，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，設(shè)，軸，軸，∴四邊形是矩形，，，解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)綜合及矩形的判定及性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等，難度適中，正確求得C的坐標(biāo)是關(guān)鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．2．（本題2分）（2023春·吉林長春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，函數(shù)和的圖象分別是和．設(shè)點(diǎn)P在上，軸交l1于點(diǎn)A，軸交于點(diǎn)B，則△PAB的面積為（）

A．1 B．4 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，用含有的代數(shù)式表示、，再利用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】如圖，延長、分別交軸，軸于點(diǎn)、，連接、，

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征用含有的代數(shù)式表示出、是解決問題的關(guān)鍵．3．（本題2分）（2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于．將直線向下平移個(gè)單位得直線，直線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接，，，若的面積為，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)直線交軸于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得答案．【詳解】解：如圖所示，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

根據(jù)平移的性質(zhì)可知，，∴．∴．∴．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)橹本€的圖象過點(diǎn)，所以，解得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形平移的性質(zhì)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，牢記圖形平移的性質(zhì)（一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得到的圖形中，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等）是解題的關(guān)鍵．4．（本題2分）（2022秋·浙江舟山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在反比例函數(shù)的圖象上，有點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4，分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為，則（

）

A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】先求出和的坐標(biāo)，得出，，根據(jù)即可求解．【詳解】解：把代入得：，∴，∴，把代入得：，∴，∴，由圖可知：，，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，解題的關(guān)鍵是掌握過反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，作x軸和y軸的垂線，圍成的矩形面積等于．5．（本題2分）（2022秋·陜西西安·九年級(jí)西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長交圖像的另一支于點(diǎn)．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，若存在點(diǎn)，使得，，則，滿足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，通過角的計(jì)算找出，結(jié)合“，”可得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得出，進(jìn)而得到，進(jìn)一步得到．【詳解】解：連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示：由直線與反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，又，，，，，，，又，，，，，點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上，，即，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)的坐標(biāo)．6．（本題2分）（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)在第二象限，其余頂點(diǎn)都在第一象限，軸，，．過點(diǎn)作，垂足為，．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，連接，，．若，則的值為（

）A． B． C．7 D．【答案】A【分析】延長EA交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，可得AG⊥x軸；利用AO⊥AD，AO＝AD證明△DAE≌△AOG，得到DE＝AG，AE＝OG；利用DE＝4CE，四邊形ABCD是菱形，可得AD＝CD＝DE．設(shè)DE＝4a，則AD＝OA＝5a，由勾股定理可得EA＝3a，求出EG＝AE＋AG＝7a，可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（3a，7a），所以k＝21a2．證明四邊形AGHF為矩形，則FH＝AG＝4a，可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，4a），利用S△OEF＝S△OEG＋S梯形EGHF?S△OFH，列出關(guān)于a的方程，求得a2的值，則k的值可求．【詳解】解：如圖，延長EA交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，∵AB∥x軸，AE⊥CD，AB∥CD，∴AG⊥x軸．∵AO⊥AD，∴∠DAE＋∠OAG＝90°，∵AE⊥CD，∴∠DAE＋∠D＝90°．∴∠D＝∠OAG，在△DAE和△AOG中，，∴△DAE≌△AOG（AAS），∴DE＝AG，AE＝OG，∵四邊形ABCD是菱形，DE＝4CE，∴AD＝CD＝DE，設(shè)DE＝4a，則AD＝OA＝5a，∴OG＝AE＝＝3a，∴EG＝AE＋AG＝7a，∴E（3a，7a），∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，∴k＝21a2，∵AG⊥GH，F(xiàn)H⊥GH，AF⊥AG，∴四邊形AGHF為矩形，∴HF＝AG＝4a，∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)的圖象上，∴x＝，∴F（，4a），∴OH＝，F(xiàn)H＝4a，∴GH＝OH?OG＝，∵S△OEF＝S△OEG＋S梯形EGHF?S△OFH，S△EOF＝，∴OG?EG＋（EG＋FH）?GH－OH?HF＝，∴×21a2＋(7a＋4a)×－×21a2＝，解得：a2＝，∴k＝21a2＝21×＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，全等三角形判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等．熟練掌握利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示相應(yīng)線段的長度和利用線段的長度表示相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．7．（本題2分）（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，點(diǎn)在的圖像上，軸于點(diǎn)，交的圖像于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，交的圖像于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圖像上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：①與始終平行；②與始終相等；③四邊形的面積不會(huì)發(fā)生變化；④的面積等于四邊形的面積．其中一定正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】①正確，只要證明即可；②錯(cuò)誤；只有當(dāng)四邊形OCPD為正方形時(shí)滿足PA=PB；③正確；由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA為定值，則四邊形PAOB的面積不會(huì)發(fā)生變化；④正確．只要證明△OBA的面積=矩形OCPD的面積S?ODBS△BAPS?AOC，四邊形ACEB的面積=矩形OCPD的面積S?ODB一S△BAPS?OBE即可．【詳解】①正確；∵A，B在上，∴S?AOC=S?BOE∴OC?AC=OE?BE，∴OC?AC=OE?BE，∴OC=PD，BE=PC，∴PD?AC=DB?PC，∴∴AB//CD．故此選項(xiàng)正確．②錯(cuò)誤，不一定，只有當(dāng)四邊形OCPD為正方形時(shí)滿足PA=PB；③正確，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA為定值，則四邊形PAOB的面積不會(huì)發(fā)生變化；故此選項(xiàng)正確．正確，∵△ODB的面積=?OCA的面積=，∴△ODB與?OCA的面積相等，同理可得:S?ODB=S?OBE，∵?OBA的面積=矩形OCPD的面積S?ODBS?BAPS?AOC，四邊形ACEB的面積=矩形OCPD的面積S?ODBS?BAPS?OBE．∴?OBA的面積=四邊形ACEB的面積，故此選項(xiàng)正確，故一定正確的是①③④故選：C【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)k是幾何意義、矩形的性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)，本題綜合性比較強(qiáng)，屬于中考填空題中的壓軸題．8．（本題2分）（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上，以為一邊作等腰直角三角形，其中∠=90°，，則線段長的最小值是（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】如圖，過作軸，交y軸于M，過作軸，垂足為D，交MA于H，則證明可得設(shè)則可得再利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合完全平方公式的變形可得答案．【詳解】解：如圖，過作軸，交y軸于M，過作軸，垂足為D，交MA于H，則設(shè)則而當(dāng)時(shí)，則∴的最小值是8，∴的最小值是故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式的變形應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握“的變形公式”是解本題的關(guān)鍵．9．（本題2分）（2023·廣東惠州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A、B均在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在y軸正半軸上，，．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A橫坐標(biāo)的3倍，則的面積為（

）A． B．3 C．5 D．6【答案】A【分析】過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，易證(AAS)，即得出．設(shè)A(x，)，則B(3x，)，則C(0，)．由兩點(diǎn)的距離公式可求出，，再由，即可列出關(guān)于x的等式，解出x，即可求出，從而可求出面積．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，∵，∴．∵，∴．又∵，，∴(AAS)，∴，設(shè)A(x，)，則B(3x，)，∴C(0，)．∵，，又∵，∴，解得：（舍），∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何的綜合，三角形全等的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)的距離公式．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．10．（本題2分）（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）如圖，已知點(diǎn)，，C是y軸上位于點(diǎn)B上方的一點(diǎn)，AD平分，BE平分，直線BE交AD于點(diǎn)D．若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)D，則k的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，進(jìn)而可得，勾股定理求得，進(jìn)而求得，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得【詳解】如圖，過分別作的垂線，垂足分別為，，平分，平分，,,，四邊形是正方形，，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，正方形的判定，角平分線的性質(zhì)，HL判定三角形全等以及全等的性質(zhì)，勾股定理，理解角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（本題2分）（2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在x軸的上方作正方形，其對(duì)角線交點(diǎn)在第一象限，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)C，則的值是．

【答案】【分析】過點(diǎn)C作軸的垂線垂足為點(diǎn)N，過點(diǎn)A作軸的垂線垂足為點(diǎn)M，連接，則，證明，則，，則，證明，，得到，則是等腰直角三角形，作于點(diǎn)H，可得，得到，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是，由雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)C，可得，則，求出的值即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作軸的垂線垂足為點(diǎn)N，過點(diǎn)A作軸的垂線垂足為點(diǎn)M，連接，則，

∵四邊形為正方形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴是等腰直角三角形，作于點(diǎn)H，∵，∴，則∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是，∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)C，∴，則，即，∵，∴兩邊同除以得到，，令，則，解得或，即或（不合題意，舍去），即的值是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．12．（本題2分）（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，A為反比例函數(shù)上一動(dòng)點(diǎn)，C為中點(diǎn)，過點(diǎn)C作軸，交反比例函數(shù)于點(diǎn)B，連接，若三角形面積為，則

【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，則，由軸得，利用面積可建立一個(gè)關(guān)于a、b的方程，解得a、b之積即為k值．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∵C為中點(diǎn)，∴，∵軸，且點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴的邊上的高，，又，∴．即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的k值的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)之積等于常數(shù)k．13．（本題2分）（2023·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)，在軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)，分別與對(duì)角線，邊交于點(diǎn)，，連接，．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，的面積為，則的值為．

【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件表示出點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，易得，，由的面積為，得的面積為，所以，即可求出的值【詳解】解：設(shè)，是矩形，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入反比例函數(shù)解析式得，，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入反比例函數(shù)解析式，得，，，的面積為，的面積為，，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示各點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．14．（本題2分）（2023春·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)C，交于點(diǎn)F，軸于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，連接．若，，則k的值為．

【答案】【分析】證明四邊形是矩形，可得，求解，可得，求解，而，在中，，再建立方程可得答案．【詳解】解：∵軸于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，∴四邊形是矩形，∴，把代入，，∴，∴，∵，∴，∵軸于點(diǎn)C，把代入得，，∴，而，在中，，∴，解得，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡等，表示出線段的長度是解題的關(guān)鍵．15．（本題2分）（2023秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)第二象限內(nèi)的圖象上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，若，則的面積為．

【答案】4【分析】過A作于H，依據(jù)可得的面積為2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，過A作于H，

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)第二象限內(nèi)的圖象上，∵的面積為，∵，∴的面積為．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變．16．（本題2分）（2023·福建·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，則k的值為．【答案】/【分析】作軸，軸，垂足分別為，，與交于點(diǎn)，首先求出的坐標(biāo)，再證明為等腰直角三角形，進(jìn)而得出，再證明為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出，然后設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)，得出，解出即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：如圖，作軸，軸，垂足分別為，，與交于點(diǎn)，∵直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵軸，軸，∴，，

∴，，∴為等腰直角三角形，∴，又∵點(diǎn)、在直線上，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)、在反比例函數(shù)上，又∵，∴，解得：，∵，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴k的值為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題、解一元一次方程，解本題的關(guān)鍵在充分利用數(shù)形結(jié)合思想解答，并正確作出輔助線．17．（本題2分）（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線：于點(diǎn)Q，連接．當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在Q的上方時(shí)，則四邊形面積的最大值是．【答案】3【分析】設(shè)，則，得到PQ＝?x＋2，根據(jù)三角形面積公式得到，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．【詳解】解：∵PQ⊥x軸，∴，則，∴PQ＝∵∴,即∴∵∴四邊形面積有最大值，最大值是3．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義等知識(shí)點(diǎn)，掌握從反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為是解答本題的關(guān)鍵．18．（本題2分）（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A是一次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸的垂線，是上一點(diǎn)在A上方，在的右側(cè)以為斜邊作等腰直角三角形，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，若的面積為，則的面積是．【答案】【分析】過作軸于，交于，設(shè)，根據(jù)直角三角形斜邊中線是斜邊一半得：，設(shè)，則，，因?yàn)?、都在反比例函?shù)的圖象上，列方程可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過作軸于，交于．軸，，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，設(shè)，則，，，在反比例函數(shù)的圖象上，，解得，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積，熟練掌握反比例函數(shù)上的點(diǎn)符合反比例函數(shù)的關(guān)系式是關(guān)鍵．19．（本題2分）（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，…均為等邊三角形，其中點(diǎn)，，，…都在x軸上，點(diǎn)，，，…，都在反比例函數(shù)的圖象上，則的坐標(biāo)為．【答案】【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，利用等邊三角形的性質(zhì)，以及反比例函數(shù)上圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，分別求出的坐標(biāo)，抽象概括出點(diǎn)的規(guī)律，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，∵為等邊三角形，∴，，∴，設(shè)的長度為t，則的坐標(biāo)為，把代入得：，解得或（舍去），∴，∴；設(shè)的長度為m，同理得到，則的坐標(biāo)表示為，把代入得，解得或（舍去），∴，，，∴；設(shè)的長度為n，同理，為，B3的坐標(biāo)表示為，把代入得，解得：或（舍去），∴，，，∴，綜上可得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，坐標(biāo)系下點(diǎn)的規(guī)律探究．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，雙曲線上點(diǎn)的特點(diǎn)，抽象概括出點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．20．（本題2分）（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平行四邊形的頂點(diǎn)，在軸上，頂點(diǎn)在上，頂點(diǎn)在上，則平行四邊形的面積是．【答案】11【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，可證得，，即，，再根據(jù)反比例函數(shù)的的幾何意義即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，，，，，同理可得：，，點(diǎn)在反比例函數(shù)上，，點(diǎn)在反比例函數(shù)上，，平行四邊形的面積為：，故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（本題6分）（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與矩形的兩條邊的交點(diǎn)分別是M，N，其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為．連接，，已知的面積是矩形面積的．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)18【分析】（1）將M代入反比例函數(shù)的表達(dá)式中求解即可；（2）利用k的幾何意義求出、的面積，進(jìn)而求出矩形的面積，借助割補(bǔ)法求解面積即可．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，∴．∴．∴反比例函數(shù)的解析式為．（2）解：由反比例函數(shù)k的幾何意義可知的面積的面積．∵的面積是矩形面積的，∴矩形的面積．∴．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，熟練反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，利用割補(bǔ)法求解圖形面積是解答的關(guān)鍵．22．（本題6分）（2023春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，、兩點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．

(1)求的值及直線的解析式．(2)當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是______．(3)如果一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么我們稱這個(gè)點(diǎn)為格點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(4)請(qǐng)?jiān)谟覉D中畫出函數(shù)的圖象并寫出當(dāng)時(shí)、、的大小關(guān)系．【答案】(1)，(2)(3)3個(gè)(4)畫圖見解析，【分析】（1）把點(diǎn)代謝反比例函數(shù)的解析，即可求得m的值，把，分別代入表達(dá)式，即可求得直線AB的解析式；（2）由圖象即可求得；（3）根據(jù)圖象及解析式即可求得．（4）根據(jù)題意，畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象，即可求解．【詳解】（1）解：由圖可知反比例函數(shù)過點(diǎn)，將代入，得，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為將點(diǎn)，分別代入表達(dá)式得：，解得∴直線AB的表達(dá)式為（2）解：由圖象可知：當(dāng)時(shí)，故答案為：（3）解：格點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的取值范圍為且x為整數(shù)當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)格點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)格點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)格點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)沒有格點(diǎn)綜上，所含格點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，共3個(gè)，（4）解：如圖所示，

∴【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式，利用圖象求不等式的解集，格點(diǎn)問題，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解決此類題的關(guān)鍵．23．（本題8分）（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，連接，過點(diǎn)B作，交的圖象于點(diǎn)Q，連接．當(dāng)時(shí)，求n的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)過，，求得B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）證得四邊形是平行四邊形，根據(jù)平移的思想得到Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式即可求得n的值．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象過，兩點(diǎn)，∴，∴，，∴反比例函數(shù)為，，把A、B的坐標(biāo)代入得，解得，∴一次函數(shù)為；（2）如圖，連接，

∵，，，，，∴四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)A向左平移個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到P，∴點(diǎn)向左平移個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到，∵點(diǎn)Q在上，∴，解得n．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平移的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，求解Q點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．24．（本題8分）（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)景山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖像交于、兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)根據(jù)圖像直接寫出的的解集；(3)將直線向上平移后與軸交于點(diǎn)，與雙曲線在第二象限內(nèi)的部分交于點(diǎn)，如果的面積為，求平移后的直線表達(dá)式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將代入一次函數(shù)解析式中，求出的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖像即可求得；（3）連接、，設(shè)平移后的解析式為，由平行線的性質(zhì)可得出，結(jié)合正、反比例函數(shù)的對(duì)稱性以及點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵直線與反比例函數(shù)的圖像交于、兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）由圖像可知：的解集為：；（3）∵直線與反比例函數(shù)的圖像交于、兩點(diǎn)，由對(duì)稱性質(zhì)可知：點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接、，設(shè)平移后的解析式為，∵該直線平行直線，∴，∵的面積為，∴，∴，∴平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式為．

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的問題，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用圖像解不等式，平移的性質(zhì)，三角形面積等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．25．（本題8分）（2023春·廣東惠州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，的一個(gè)頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，邊落在x軸上，且，，．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，與交于點(diǎn)D，連接．

(1)試求反比例函數(shù)的解析式；(2)求證：平分；(3)如圖2，連接，在反比例函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【分析】（1）先確定出，即可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況利用面積關(guān)系得出點(diǎn)P到的距離等于的一半即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，過點(diǎn)C作軸于E，

∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，（2）如圖2，過點(diǎn)D作軸于G，交于F，

∵軸，∴，∵，由（1）知，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴直線的解析式為①，∵反比例函數(shù)解析式為②，聯(lián)立①②解得，或（舍），∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴點(diǎn)D是的角平分線上，即：平分；（3）存在，∵點(diǎn)，∴直線的解析式為，，∵，∴Ⅰ、如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，即：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于2，

∵，∴設(shè)的中點(diǎn)為M，∴，過點(diǎn)M作交雙曲線于P，∴直線的解析式為③，∵反比例函數(shù)解析式為④，聯(lián)立③④解得，或（舍），∴；Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，即：點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于0而小于2，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，∴，，∴，，∴，∵，∴直線的解析式為⑤，聯(lián)立④⑤解得，或（舍），∴．即：點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，解方程組，點(diǎn)到直線的距離，角平分線的判定，解本題的關(guān)鍵是用分類討論的思想解決問題．26．（本題8分）（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)．

(1)點(diǎn)是否在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上？請(qǐng)說明理由；(2)連接、，若四邊形為正方形．①求、的值；②若點(diǎn)在軸上，當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，理由見解析(2)①；②【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，平分，如圖，連接交于，得到，再結(jié)合，軸，進(jìn)而求得，于是得到點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上；（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，垂直平分，求得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，得到（負(fù)值舍去），求得，，把，代入得，解方程組即可得到結(jié)論；②延長交軸于，根據(jù)已知條件得到點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，求得，則點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)，求得直線的解析式為，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，理由：∵一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴，平分，如圖．連接交于，∴，

∵，，∴，∴，∵軸于，∴軸，∴，∵，∴點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上；（2）解：①∵四邊形為正方形，∴，垂直平分，∴，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∴，∴，把，代入得，∴；②延長交軸于，

∵，∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴，則點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)，由①知，，，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴．故當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．27．（本題8分）（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與矩形