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PAGE(全國卷Ⅲ)2024年高考數(shù)學(xué)壓軸卷文(含解析)第I卷(選擇題)一.選擇題:本大題12小題,每小題5分,共60分.在每個小題給出的四個選項中,只有一項是符號題目要求的1.已知集合,,則()A. B. C. D.2.已知,則“”的一個充分而不必要條件是()A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則()A.2 B.4 C.-16 D.-44.若實數(shù),滿意約束條件,則的最小值為()A. B.1 C. D.5.下列函數(shù)中,是偶函數(shù)且值域為的是()A. B. C. D.6.?dāng)?shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,是與的等差中項,則的公比等于()A.2 B. C.3 D.7.下列結(jié)論正確的是()A.若,則B.若,則C.若,,則D.若,,,則8.祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代宏大的科學(xué)家,他在實踐的基礎(chǔ)上提出了體積計算的原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是:假如兩個等高的幾何體在同高處截得的截面面積恒等,那么這兩個幾何體的體積相等,此即祖暅原理.利用這個原理求球的體積時,須要構(gòu)造一個滿意條件的幾何體,已知該幾何體三視圖如圖所示,用一個與該幾何體的下底面平行且相距為的平面截該幾何體,則截面面積為()A. B. C. D.9.學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出狀況,抽取了一個容量為n的樣本,其頻率直方圖如圖所示,其中支出(單位:元)在[50,60]內(nèi)的學(xué)生有30人,則n的值為()A.100 B.1000 C.90 D.90010.已知向量,,滿意,,則()A.3 B.2 C.1 D.011.如圖,已知雙曲線的左、右焦點分別為,,過右焦點作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點,若的內(nèi)切圓半徑為,則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.12.已知函數(shù),若函數(shù)有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.第II卷(非選擇題)二、填空題(本題共4道小題,每小題5分,共20分)13.已知等差數(shù)列的前項和為,,,則______.14.在中,,,是上的點,平分,若,則的面積為__________.15.已知圓的圓心坐標(biāo)是,若直線與圓相切于點,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.16.在四棱錐中,,,,,則三棱錐外接球的表面積為______.三、解答題(共70分.解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟.地17-21為必做題,每個試題都必需作答.第22、23題為選做題,考生按要求作答)(一)必做題17.已知公差不為0的等差數(shù)列滿意,且,,成等比數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)若,求數(shù)列的前項和.18.3月12日為我國的植樹節(jié),某校為增加學(xué)生的環(huán)保意識,普及環(huán)保學(xué)問,于該日在全校范圍內(nèi)組織了一次有關(guān)環(huán)保學(xué)問的競賽,現(xiàn)從參賽的全部學(xué)生中,隨機(jī)抽取200人的成果(滿分為100分)作為樣本,得到成果的頻率分布直方圖,如圖所示,其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為,,,,,.(1)求頻率分布直方圖中的值,并估計該校此次環(huán)保學(xué)問競賽成果的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表);(2)在該樣本中,若采納分層抽樣的方法,從成果低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人,查看他們的答題狀況,再從這6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查分析,求這3人中至少有1人成果在內(nèi)的概率.19.如圖,在矩形ABCD中,AD=2,AB=4,E,F(xiàn)分別為邊AB,AD的中點.現(xiàn)將△ADE沿DE折起,得四棱錐ABCDE.(1)求證:EF平面ABC;(2)若平面ADE⊥平面BCDE,求四面體FDCE的體積.20.已知橢圓的短軸長為2,離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)點P是橢圓C上一點,且在第一象限內(nèi),過P作直線與交y軸正半軸于A點,交x軸負(fù)半軸于B點,與橢圓C的另一個交點為E,且,點Q是P關(guān)于x軸的對稱點,直線與橢圓C的另一個交點為.(?。┳C明:直線,的斜率之比為定值;(ⅱ)求直線的斜率的最小值.21.已知函數(shù).(1)求函數(shù)在的最大值;(2)證明:函數(shù)在有兩個極值點,并推斷與的大小關(guān)系.(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做,則按所做的第一題計分。22.在直角坐標(biāo)系中,曲線的方程為(為參數(shù)),直線的方程為.以為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線和直線的極坐標(biāo)方程;(2)已知射線的極坐標(biāo)方程是,且與曲線和直線在第一條限的交點分別為,求的長.23.已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的圖象與直線圍成區(qū)域的面積;(2)若對于,,且時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.2024新課標(biāo)Ⅲ高考壓軸卷數(shù)學(xué)(文)參考答案1.【答案】B【解析】因為集合,,所以.故選:B2.【答案】D【解析】因為由推不出,由也推不出,故A不滿意題意因為,,所以B、C不滿意題意因為由可以推出,由推不出所以是的充分不必要條件故選:D3.【答案】B【解析】因為為純虛數(shù),所以,,解得.故選:B.4.【答案】C【解析】如圖1,作出平面區(qū)域可知:的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到原點的距離的平方加1,所以最近的距離為到直線的距離,所以的最小值為,故選:C.5.【答案】D【解析】解:對于A:,為偶函數(shù),但值域為,故A不正確;對于B:定義域不對稱,為非奇非偶函數(shù)函數(shù),故B不正確;對于C:定義域不對稱,為非奇非偶函數(shù)函數(shù),故C不正確;對于D:為偶函數(shù),且值域為,故D正確;故選:D.6.【答案】A【解析】因為是與的等差中項,所以,所以,又因為,所以,所以或,又因為,所以,所以,故選:A.7.【答案】B【解析】法一:對A,當(dāng)或時,,A錯誤;對B,由,得,由是增函數(shù),得,B正確;對C,,,又,兩邊同除以得,,C錯誤;對D,由,,,得,所以,D錯誤.法二:特別值解除法,若取,則,A錯誤;若取,,,則,C錯誤;若取,則,D錯誤.故選:B.【點睛】(1)解決比較大小類題目常用方法有:不等式性質(zhì)干脆應(yīng)用、作差(商)比較法、函數(shù)單調(diào)性法、中間量法、等價轉(zhuǎn)化法等.(2)幾個常用不等式結(jié)論:;;若,,則;若,,則(真分?jǐn)?shù)不等式性質(zhì));若,,則.8.【答案】D【解析】由題意可知,該幾何體為底面半徑為2,高為2的圓柱,從上面挖去一個半徑為2,高為2的圓錐,所剩下的部分,如圖所示:所以截面為環(huán)形,外圓的半徑為2,內(nèi)圓的半徑為h,所以面積為:故選:D9.【答案】A【解析】由頻率直方圖可知,前三組的頻率之和為(0.01+0.024+0.036)×10=0.7,∴支出在[50,60]內(nèi)的頻率為1-0.7=0.3,∴n==100.故選:A10.【答案】D【解析】向量,,滿意,,則.故選:D.【點睛】本題考查了向量的模長和數(shù)量積及運(yùn)算的法則,屬于基礎(chǔ)題.11.【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為,,設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為,可得直線的方程為,與雙曲線聯(lián)立,可得,,設(shè),,由三角形的等面積法可得,化簡可得,①由雙曲線的定義可得,②在三角形中,為直線的傾斜角),由,,可得,可得,③由①②③化簡可得,即為,可得,則.故選:C.【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、雙曲線的定義、坐標(biāo)求解、離心率求解,考查方程思想的運(yùn)用及三角形等面積法.雙曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形,稱為雙曲線的焦點三角形,與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||=2a,得到a,c的關(guān)系.12.【答案】A【解析】令=0,所以f(x)=m.當(dāng)x≤0時,f(x)∈(-1,2,當(dāng)x>0時,f(x)∈(-∞,+∞),由于f(x)=m有兩個零點,所以m∈.故答案為A.點睛:(1)本題主要考查零點問題,意在考查學(xué)生對零點問題的駕馭水平和數(shù)形結(jié)合的思想方法.(2)解答本題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)f(x)的圖像,再結(jié)合圖像分析在何種狀況下函數(shù)有兩個零點.13.【答案】7【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為,因為,,所以,解得:,,所以.故答案為:14.【答案】【解析】∴由正弦定理,,,即,,而,∴,∵,即,,∴,即,又由余弦定理知:,∴,即,令,∴,即(舍去),∴.故答案為:.【點睛】關(guān)鍵點點睛:應(yīng)用正余弦定理,列方程求,依據(jù)三角形面積公式求面積.15.【答案】【解析】因為圓心坐標(biāo)為,直線與圓相切于點依據(jù)圓心和切點的連線與直線垂直,所以,解得,依據(jù)兩點間的距離公式,可得圓的半徑故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為:16.【答案】【解析】如圖所示,取的中點,連接,,并連接交于,連接.因為,,所以四邊形和四邊形均為平行四邊形,所以,故,所以為外接圓的圓心且,則,,,因為,所以,所以.因為,,所以,所以,因為,所以平面設(shè)三棱錐外接球的球心為,連接,,,則平面,則.過點作于點,則,故四邊形為矩形,故,.設(shè),外接球的半徑為,則,又,則,解得,所以,所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為:【點睛】方法點睛:求外接球半徑的常用方法:(1)補(bǔ)形法:側(cè)面為直角三角形或正四面體或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪P?,可以還原到正方體或長方體中去求解;(2)利用球的性質(zhì):幾何體在不同面均對直角的棱必定是球的直徑;(3)定義法:到各個頂點距離均相等的點為球心,借助有特別性底面的外接圓圓心,找其垂線,則球心肯定在垂線上,再依據(jù)帶其他頂點距離也是半徑,列關(guān)系求解即可.17.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,,成等比數(shù)列,可得,即,解得或(舍),所以數(shù)列的通項公式.(Ⅱ)由(Ⅰ)得所以,可得,兩式相減得所以.【點睛】錯位相減法求解數(shù)列的前項和的分法:(1)適用條件:若數(shù)列為等差數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列,求解數(shù)列的前項和;(2)留意事項:①在寫出和的表達(dá)式時,應(yīng)留意將兩式“錯位對齊”,以便下一步精確寫出;②作差后,應(yīng)留意減式中所剩各項的符號要變號;③作差后,作差部分應(yīng)用為的等比數(shù)列求和.18.【答案】(1),74.7分;(2).【解析】解:(1)由頻率分布直方圖可得,,解得,這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,所以估計該校此次環(huán)保學(xué)問競賽成果的平均分為74.7分;(2)由頻率分布直方圖可知,成果在,,內(nèi)的頻率分別為0.06,0.12,0.18,所以采納分層抽樣的方法從樣本中抽取的6人,成果在內(nèi)的有1人,記為A,成果在內(nèi)的有2人,記為b、c,成果在內(nèi)的有3人,記為1、2、3.故從成果在內(nèi)的6人隨機(jī)抽取3人,有:Abc、Ab1、Ab2、Ab3、Ac1、Ac2、Ac3、A12、A13、A23、bc1、bc2、bc3、b12、b13、b23、c12、c13、c23、123,共有20種,這3人成果均不在內(nèi),有:A12、A13、A23、123,共有4種,記事務(wù)B:這3人中至少有1人成果在內(nèi)則.所以這3人中至少有1人成果在內(nèi)的概率為.【點睛】(1)從頻率分布直方圖可以估計出的幾個數(shù)據(jù):①眾數(shù):頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo);②平均數(shù):頻率分布直方圖每組數(shù)值的中間值乘以頻率后相加;③中位數(shù):把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于y軸的直線橫坐標(biāo).(2)古典概型的概率計算中列舉基本領(lǐng)件的方法:①枚舉法;②列表法;③坐標(biāo)法;④樹狀圖法;⑤排列組合求事務(wù)個數(shù)..19.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】(1)證明:如圖,取線段AC的中點M,連結(jié)MF,MB.因為F,M為AD,AC的中點,所以MFCD,且MFCD.在折疊前,四邊形ABCD為矩形,E為AB的中點,所以BE∥CD,且BECD.所以MFBE,且MF=BE.所以四邊形BEFM為平行四邊形,故EFBM.又EF平面ABC,BM平面ABC,所以EF平面ABC.(2)在折疊前,四邊形ABCD為矩形,AD2,AB=4,E為AB的中點,所以ADE,CBE都是等腰直角三角形,且AD=AE=EB=BC=2.所以∠DEA=∠CEB=45°,且DE=EC=2.又∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°,所以∠DEC=90°,即DE⊥CE.又平面ADE⊥平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE,CE平面BCDE,所以CE⊥平面ADE,即CE為三棱錐CEFD的高.因為F為AD的中點,所以所以四面體FDCE的體積20.【答案】(1);(2)(?。┳C明見解析;(ⅱ).【解析】解:(1)由題意得解得所以橢圓的方程為.(2)(i)設(shè)點的坐標(biāo)為,因為點是關(guān)于軸的對稱點,,所以,.所以直線的斜率為,的斜率為.所以.所以直線,的斜率之比為定值.(ii)設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組化簡得.設(shè)點的坐標(biāo)是,所以.所以.所以.所以點的坐標(biāo)是.由(2)可知,直線的方程是.所以點的坐標(biāo)是.所以直線的斜率.因為,所以.當(dāng)且僅當(dāng),即時,有最小值.所以直線的斜率的最小值是.【點睛】思路點睛:直線與橢圓的位置關(guān)系有設(shè)而不求和設(shè)而要求兩種思路,當(dāng)已知直線和橢圓的一個交點求另一個交點時用設(shè)而要求的方法,聯(lián)立直線和橢圓,用韋達(dá)定理解出另一根.21.【答案】(1);(2)證明見解析;.【解析】解:(1)當(dāng)時,,則,故在上單調(diào)遞增,又,所以在有唯一的零點t.當(dāng)時,;當(dāng)時,.故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,,所以在的最大值為.(2),①當(dāng)時,均單調(diào)遞增,所以單調(diào)遞增,又,所以在有唯一的零點,此時當(dāng)時,;時,,所
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