課時質量評價40　空間向量及其運算-2022屆高三數(shù)學一輪復習檢測（新高考）

課時質量評價(四十)(建議用時：45分鐘)A組全考點鞏固練1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，則x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)B解析：由b＝eq\f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．2．O為空間任意一點，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，則A，B，C，P四點()A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．無法判斷B解析：因為eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，且eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，所以P，A，B，C四點共面．3．如圖，在大小為45°的二面角A-EF-D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．1D．eq\r(3－\r(2))D解析：因為eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BF,\s\up6(→))|2＋|eq\o(FE,\s\up6(→))|2＋|eq\o(ED,\s\up6(→))|2＋2eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＋2eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq\r(2)＝3－eq\r(2)，故|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3－\r(2)).4．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為()A．30°B．60°C．120°D．150°C解析：因為(2a＋b)·b＝0，所以2a·b＋b2＝0，所以2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.又因為|a|＝|b|≠0，所以cosθ＝－eq\f(1,2)，所以θ＝120°.5．已知A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，M為BC中點，則△AMD是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．不確定C解析：因為M為BC中點，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.所以AM⊥AD，△AMD為直角三角形．6．在空間直角坐標系中，已知點A(1,0,2)，B(1，－3，1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則點M的坐標是________．(0，－1，0)解析：設M(0，y,0)，則eq\o(MA,\s\up6(→))＝(1，－y，2)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(1，－3－y,1)，由題意知|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|，所以12＋y2＋22＝12＋(－3－y)2＋12，解得y＝－1，故M(0，－1,0)．7．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點，則sin〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉的值為________．eq\f(4\r(5),9)解析：建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，設正方體棱長為2，則易得eq\o(CM,\s\up6(→))＝(2，－2,1)，eq\o(D1N,\s\up6(→))＝(2,2，－1)，所以cos〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(CM,\s\up6(→))·\o(D1N,\s\up6(→)),|\o(CM,\s\up6(→))||\o(D1N,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,9)，所以sin〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))eq\s\up12(2))＝eq\f(4\r(5),9).8．已知空間中三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，設a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求向量c；(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值．解：(1)因為c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，所以c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，所以|c|＝eq\r(－2m2＋－m2＋2m2)＝3|m|＝3，所以m＝±1.所以c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2)因為a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又因為|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(－12＋02＋22)＝eq\r(5)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，故向量a與向量b的夾角的余弦值為－eq\f(\r(10),10).9．如圖，在棱長為a的正方體OABC-O1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O為原點建立空間直角坐標系Oxyz.(1)寫出點E，F(xiàn)的坐標；(2)求證：A1F⊥C1E；(3)若A1，E，F(xiàn)，C1四點共面，求證：eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→)).(1)解：E(a，x,0)，F(xiàn)(a－x，a,0)．(2)證明：因為A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，所以eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(－x，a，－a)，eq\o(C1E,\s\up6(→))＝(a，x－a，－a)，所以eq\o(A1F,\s\up6(→))·eq\o(C1E,\s\up6(→))＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，所以eq\o(A1F,\s\up6(→))⊥eq\o(C1E,\s\up6(→))，所以A1F⊥C1E.(3)證明：因為A1，E，F(xiàn)，C1四點共面，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))共面．選eq\o(A1E,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))為平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實數(shù)對(λ1，λ2)，使eq\o(A1F,\s\up6(→))＝λ1eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋λ2eq\o(A1E,\s\up6(→))，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＝－aλ1，,a＝aλ1＋xλ2，,－a＝－aλ2，))解得λ1＝eq\f(1,2)，λ2＝1.于是eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→)).B組新高考培優(yōu)練10．(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列判斷正確的是()A．(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2B.eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0C．向量eq\o(AD1,\s\up6(→))與向量eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角是60°D．正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|AB解析：選項A中，(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝eq\o(A1A,\s\up6(→))2＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))2＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2，故選項A正確；選項B中，eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，因為AB1⊥A1C，所以eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0，故選項B正確；選項C中，兩異面直線A1B與AD1所成的角為60°，但eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為120°，故選項C不正確；選項D中，|AB·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|＝0，故選項D不正確．11．(2021·湖北重點高中聯(lián)考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，且斜邊BC＝2，D是BC的中點．若AA1＝eq\r(2)，則異面直線A1C與AD所成角的大小為()A．30°B．45°C．60°D．90°C解析：(方法一)如圖，取B1C1的中點D1，連接A1D1，則AD∥A1D1，所以異面直線A1C與AD所成的角就是A1C與A1D1所成的角，即∠CA1D1(或其補角)就是異面直線A1C與AD所成的角．連接D1C，因為A1B1＝A1C1，所以A1D1⊥B1C1.又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，所以A1D1⊥平面BCC1B1.因為D1C?平面BCC1B1，所以A1D1⊥D1C，所以△A1D1C為直角三角形．在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝eq\r(3)，所以∠CA1D1＝60°.故選C．(方法二)以A為原點建立空間直角坐標系(如圖所示)，則A1(0,0，eq\r(2))，A(0,0,0)．因為△ABC為等腰直角三角形，且斜邊BC＝2，所以AB＝AC＝eq\r(2)，所以B(eq\r(2)，0,0)，C(0，eq\r(2)，0)．又D為BC的中點，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，易知eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(0，eq\r(2)，－eq\r(2))．設異面直線AD與A1C所成角的大小為θ，則cosθ＝|cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·\o(A1C,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))||\o(A1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(\r(2),2)×\r(2),1×2)＝eq\f(1,2).又0°<θ≤90°，所以θ＝60°，即異面直線AD與A1C所成角的大小為60°.故選C．12．△ABC的頂點分別為A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，則AC邊上的高BD＝________.5解析：設eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，D(x，y，z)，則(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)，所以x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，所以D(1,4λ－1,2－3λ)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,4λ＋5，－3λ)．因為eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，所以4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，解得λ＝－eq\f(4,5)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(9,5)，\f(12,5)))，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(－42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))eq\s\up12(2))＝5.13．已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，當eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值時，點Q的坐標是________．(1,1,2)解析：由題意，設eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))，則eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，則eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2.當λ＝1時取最小值，此時點Q的坐標為(1,1,2)．14．如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面？(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行？解：(1)因為eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6