專題05 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

專題05函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性【方法點(diǎn)撥】1.若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)＝f(|x|)，其作用是將“變量化正”，從而避免分類討論．2.以具體的函數(shù)為依托，而將奇偶性、單調(diào)性內(nèi)隱于函數(shù)解析式去求解參數(shù)的取值范圍，是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合題的一種重要命題方式，考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)能力立意，具有一定難度.【典型題示例】例1(2021·江蘇啟東期初)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)，則使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))【答案】A【分析】發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，直接利用f(x)＝f(|x|)，將“變量化正”，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)性，逆用單調(diào)性脫“f”．【解析】易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)為偶函數(shù)．當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ln(1＋x)－eq\f(1,1＋x2)，易知此時(shí)f(x)單調(diào)遞增．所以f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得eq\f(1,3)<x<1.故選A.例2（2017·江蘇·11）已知函數(shù),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】直接發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，將移項(xiàng)，運(yùn)用奇偶性再將負(fù)號(hào)移入函數(shù)內(nèi)，逆用單調(diào)性脫“f”．【解析】因?yàn)?，所以是奇函?shù)又因?yàn)?，所以?shù)在上單調(diào)遞增由、是奇函數(shù)得，由在上單調(diào)遞增，得，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.例3已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】本題是例2的進(jìn)一步的延拓，其要點(diǎn)是需對(duì)已知函數(shù)適當(dāng)變形，構(gòu)造出一個(gè)具有奇偶性、單調(diào)性的函數(shù),其思維能力要求的更高，難度更大.【解析】令，易知是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增由得即由是奇函數(shù)得，故由在上單調(diào)遞增，得，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.例4已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，故關(guān)于直線對(duì)稱，且在，上單減，函數(shù)的圖象如下：，且恒成立，，即，當(dāng)時(shí)，不等式化為：，即，解得，即；當(dāng)時(shí)，不等式化為：，即，解得或，即或；綜上，時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．故選：．例5（2019·江蘇南師附中期中·14）已知函數(shù)，，則t的取值范圍是．【答案】【分析】將已知按照“左右形式相當(dāng)，一邊一個(gè)變量”的原則，移項(xiàng)變形為，易知是奇函數(shù)，故進(jìn)一步變?yōu)椋?），故下一步需構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究的單調(diào)性，而單增，故（#）可化為，即，解之得.【鞏固訓(xùn)練】1．若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)=2.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）．A． B．C． D．3.已知函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是．4.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________.5.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.6.已知函數(shù)，，若，，，則、、的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．7.(2021·江蘇啟東期初·11)【多選題】關(guān)于函數(shù)下列結(jié)論正確的是（）A．圖像關(guān)于軸對(duì)稱 B．圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增 D．恒大于08.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）.A． B．C． D．

【答案或提示】1．【答案】12.【答案】B3.【答案】（2,3）4.【答案】5.【答案】【解析】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且，在R上單調(diào)遞增，因此由得，故答案為：6.【答案】A【解析】，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，任取，，則，，所以，，，，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，則，即.故選：A.7.【答案