數(shù)學(xué)學(xué)案：第三講三平面與圓錐面的截線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精三平面與圓錐面的截線1．了解不平行于底面且不通過圓錐的頂點(diǎn)的平面截圓錐的形狀是橢圓、拋物線、雙曲線．2．感受平面截圓錐的形狀，并從理論上證明．3．通過Dandelin雙球探求雙曲線的性質(zhì)，理解這種證明問題的方法．1．定理2文字語言如果用一個(gè)平面去截一個(gè)正圓錐（兩邊可以無限延伸）,而且這個(gè)平面不通過圓錐的頂點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)三種情況:如果平面與一條母線平行,那么平面就只與正圓錐的一半相交，這時(shí)的交線是________；如果平面不與母線平行,當(dāng)平面只與圓錐的一半相交,這時(shí)的交線為________；當(dāng)平面與圓錐的兩個(gè)部分都相交,這時(shí)的交線叫做________符號(hào)語言在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于O點(diǎn)，夾角為α，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l′為母線的圓錐面．任取平面π，若它與軸l的交角為β(當(dāng)π與l平行時(shí)，記β＝0),則（1)β＞α，平面π與圓錐的交線為____;(2)β＝α，平面π與圓錐的交線為______；(3)β＜α，平面π與圓錐的交線為______圖形語言作用確定交線的形狀①特別情況：，平面π與圓錐的交線為圓，如圖所示．②圓錐曲線的統(tǒng)一性，橢圓為封閉圖形，雙曲線、拋物線為不封閉圖形，其圖形不一樣，但它們都可以用平面截對(duì)頂圓錐面得到，因此,圓、橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線．它們都滿足曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為常數(shù)，即離心率e,定義上的統(tǒng)一，必然也蘊(yùn)含著圖形統(tǒng)一．【做一做1】在圓錐內(nèi)部嵌入Dandelin雙球，一個(gè)位于平面π的上方，一個(gè)位于平面π的下方,并且與平面π及圓錐均相切,若平面π與雙球的切點(diǎn)不重合，則平面π與圓錐面的截線是（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線2．圓錐曲線的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(1）橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之____為常數(shù)(長軸長2a)．(2)雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn))的距離之______為常數(shù)（2a)．（3)拋物線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)(焦點(diǎn)）和一條定直線的距離______．【做一做2】雙曲線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是d1和d2，則下列為常數(shù)的是()A．d1－d2B．d1＋d2C．｜d1－d2｜D．d2－d13．圓錐曲線的幾何性質(zhì)(1)焦點(diǎn):Dandelin球與平面π的____．(2)準(zhǔn)線：截面與Dandelin球和圓錐交線所在平面的____．（3)離心率：e＝eq\f（cosβ,cosα)。（4)圓錐曲線的幾何性質(zhì)項(xiàng)目橢圓雙曲線拋物線焦點(diǎn)2個(gè)2個(gè)1個(gè)準(zhǔn)線2條2條1條離心率e＝eq\f(cosβ,cosα）＜1e＝eq\f(cosβ,cosα）＞11焦距F1F2＝2cc2＝a2－b2F1F2＝2cc2＝a2＋b2-離心率e＝eq\f(c,a）e＝eq\f（c，a）—準(zhǔn)線間距eq\f（2a2，c）eq\f(2a2，c）—曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離PF1＋PF2＝2a｜PF1－PF2｜＝2a-【做一做3－1】設(shè)截面和圓錐的軸的夾角為β,圓錐的母線和軸所成角為α，當(dāng)截面是橢圓時(shí)，其離心率等于（）A．eq\f（sinβ，sinα）B．eq\f（cosβ,cosα）C．eq\f(sinα，sinβ)D．eq\f(cosα,cosβ)【做一做3－2】雙曲線的焦距為4，實(shí)軸長為3，則離心率e＝__________。答案:1．拋物線橢圓雙曲線(1）橢圓（2）拋物線（3)雙曲線【做一做1】B由于平面π與雙球的切點(diǎn)不重合,則平面π與圓錐母線不平行，且只與圓錐的一半相交,則截線是橢圓．2．（1）和(2)差的絕對(duì)值(3）相等【做一做2】C3．（1）切點(diǎn)(2)交線【做一做3－1】B【做一做3－2】eq\f（4,3）設(shè)雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長、焦距分別為2a，2b，2c，則2c＝4，2a＝3，于是c＝2，a＝eq\f(3,2)。故e＝eq\f（c，a）＝eq\f(4,3）。在定理2中，當(dāng)β＜α?xí)r，探究截線形狀剖析：如圖，當(dāng)β＜α?xí)r,平面π與圓錐面的兩部分相交,在圓錐的兩部分分別嵌入Dandelin球，與平面π的兩個(gè)切點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2,與圓錐兩部分截的圓分別為S1，S2。在截口上任取一點(diǎn)P，連接PF1,PF2.過P和圓錐的頂點(diǎn)O作母線,分別與兩球切于Q1，Q2，則PF1=PQ1，PF2=PQ2，所以｜PF1－PF2|=|PQ1－PQ2|=Q1Q2，所以Q1Q2是兩圓S1,S2所在平行平面間的母線段的長,且為定值．所以由雙曲線的定義知，點(diǎn)P的軌跡為雙曲線．題型一利用Dandelin雙球研究圓錐曲線【例題1】如圖，討論其中雙曲線的離心率．其中π′是Dandelin球與圓錐交線S2所在平面，與π的交線為m。反思：討論圓錐曲線的幾何性質(zhì)時(shí)，要注意結(jié)合圖形進(jìn)行．題型二圓錐曲線幾何性質(zhì)應(yīng)用【例題2】已知雙曲線兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離為2a，焦距為2c，求兩條準(zhǔn)線間的距離．反思：已知圓錐曲線的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，解決有關(guān)計(jì)算等問題時(shí)，通常利用圓錐曲線結(jié)構(gòu)特點(diǎn)中的數(shù)量等式關(guān)系，如e＝eq\f（c，a)等，列出方程來解決．如本題中,由OH1＝OA1－A1H1得到了a－eq\f(a（c－a),c)＝eq\f(a2，c）。答案：【例題1】解：P是雙曲線上任意一點(diǎn)，連接PF2，過P作PA⊥m于A,連接AF2，過P作PB⊥平面π′于B,連接AB，過P作母線交S2于Q2.∵PB平行于圓錐的軸，∴∠BPA＝β，∠BPQ2＝α.在Rt△BPA中,.在Rt△BPQ2中，。由切線長定理，得PF2=PQ2，∴。∴.∵0＜β＜α＜，∴cosβ＞cosα.∴e＞1.同理，另一分支上的點(diǎn)也具有同樣的性質(zhì),綜上所述，雙曲線的準(zhǔn)線為m，離心率?！纠}2】解:如圖,l1，l2是雙曲線的準(zhǔn)線，F(xiàn)1，F(xiàn)2是焦點(diǎn)，A1,A2是頂點(diǎn)，O為中心．由離心率定義知，∴A1H1=A1F1.又A1F1=OF1－OA1=c－a，∴A1H1=?！郞H1=OA1－A1H1，∴。由對(duì)稱性，得，∴。1以圓錐曲線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓和相應(yīng)準(zhǔn)線相切，則這樣的圓錐曲線是（）A．不存在的B．橢圓C．雙曲線D．拋物線2雙曲線的兩條準(zhǔn)線把兩個(gè)焦點(diǎn)所連線段三等分,則它的離心率為()A．eq\r（2）B．eq\r（3）C．eq\f（\r（6），2）D．2eq\r(3）3已知圓錐母線與軸夾角為60°，平面π與軸夾角為45°，則平面π與圓錐交線的離心率是__________,該曲線的形狀是__________．4一圓錐面的母線和軸線成30°角，當(dāng)用一個(gè)與軸線成30°角的不過頂點(diǎn)的平面去截圓錐面時(shí)，所截得的截線是______．答案：1．D由圓錐曲線的定義知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，所以應(yīng)選D.2．B設(shè)雙曲線的實(shí)軸