數(shù)學成長訓練第一講四柱坐標系與球坐標系簡介

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精主動成長夯基達標1.如圖,在柱坐標系中,長方體的兩個頂點坐標為A1(4,0,5)，C1（6，分π2式,5）,則此長方體外接球的體積為________。解析：據(jù)頂點的柱坐標求出長方體的三度,其外接球的直徑恰為長方體的對角線長.由長方體的兩個頂點坐標為A1（4,0,5),C1（6,π2,5)，可知OA=4，OC=6,OO1=5,則對角線長為那么球的體積為·π·()3=.答案：2.已知點M的直角坐標為（1，—3,4),則它的柱坐標為_______。解析：設點M的柱坐標為（ρ,θ,z）,則,解之,得ρ=2，θ=，z=4.∴點M的柱坐標為（2，，4）。答案:（2，，4)3。設點M的柱坐標為(2，，7),則它的直角坐標為_______。解析：設點M的直角坐標為(x，y,z)，則∴點M的直角坐標為（,1，7).答案:（,1，7）4。已知點M的球坐標為（2,,),則它的直角坐標為_______.解析:設M的直角坐標為（x,y，z），則∴點M的直角坐標為（—1,1,—).答案：(—1,1，-)5.兩平行面去截球，如圖，在兩個截面圓上有兩個點，它們的球坐標分別為A（25，arctan,θa)、B(25,π—arctan,θB）,求出這兩個截面間的距離.解析：根據(jù)已知可得球半徑為25，這樣,我們就可以在Rt△AOO1和Rt△BOO1中求出OO1及OO2的長度來,可得兩個截面間的距離為O1O2。解:由已知,OA=OB=5,∠AOO1=arctan,∠BOO1=π—arctan，在△AOO1中,tan∠AOO1==∵OA=25，∴OO1=7。在△BOO2中,∠BOO2=arctan,tan∠BOO2==。∵OB=25，∴OO2=20。則O1O2=OO1+OO2=7+20=27?！鄡蓚€截面間的距離O1O2為27。6。在赤道平面上，我們選取地球球心O為極點，以O為端點且與零子午線相交的射線Ox為極軸，建立坐標系。有A、B兩個城市，它們的球坐標分別為A（R，,)、B（R,，)，飛機應該走怎樣的航線最快,所走的路程有多遠？解析:我們根據(jù)A、B兩地的球坐標找到地球的半徑、緯度、經(jīng)度,當飛機走AB兩地的大圓時,飛機最快，所走的路程實際上是要求我們求出過A、B兩地的球面距離。解:如圖所示，因為A(R,,），B（R，,),可知∠O1AO=∠O1BO=，∴∠AO1O=∠BO1O=.又∠EOC=,∠EOD=，∴∠COD=-=.∴∠COD=∠AO1B=。在Rt△OO1B中，∠O1BO=，OB=R，∴O1B=O1A=R.∵∠AO1B=,∴AB=R.在△AOB中,AB=OB=OA=R，∴∠AOB=。則經(jīng)過A、B兩地的球面距離為R。走經(jīng)過A、B兩地的大圓，飛機航線最短，其距離為R。7.結晶體的基本單位稱為晶胞，圖（1）是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個棱長為的小正方體堆積成的正方體），圖形中的點代表鈉原子，其他點代表氯原子，如圖（2)，建立空間直角坐標系O-xyz后，試寫出全部鈉原子所在位置的球坐標、柱坐標.解析：在空間直角坐標系中，我們需要找點的(x,y,z)；在柱坐標系中，需要找到（ρ,θ，z)；在球坐標系中，需要找到（r,φ,θ）。解：把圖中的鈉原子分成下、中、上三層來寫它們所在位置的坐標.下層的原子全部在xOy平面上，它們所在位置的豎坐標全是0，所以這五個鈉原子所在位置的球坐標分別為（0，0,0)，（1，，0),（，，)，（1,,），（,,）,它們的柱坐標分別為(0,0，0）,(1，0,0），(，，0），（1，，0）,(，,0)；中層的原子所在的平面平行于xOy平面，與z軸交點的豎坐標為，所以,這四個鈉原子所在位置的球坐標分別為(,，0)，(，arccos,arctan）,(，arccos,arctan2)，(,，),它們的柱坐標分別為（，0,)，(,arctan,），（,arctan2，),(，,);上層的鈉原子所在的平面平行于xOy平面，與z軸交點的豎坐標為1,所以，這五個鈉原子所在位置的球坐標分別為(1，0,0），（,,0),（,arctan，），（，，），（,arctan，）,它們的柱坐標分別為(0,0,1),（1，0,1)，(,,1)，(1,,1），（,，1).8.距離是幾何中的基本度量，幾何問題和一些實際問題經(jīng)常涉及距離，如建筑設計中常常需要計算空間兩點間的距離試用兩點的坐標表示這兩點間的距離。解：(1）在平面直角坐標系中，已知P1(x1,y1）,P2(x2，y2），則|P1P2｜=.（2）在空間直角坐標系中,如圖，設P1(x1，y1，z1）、P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，且點P1（x1，y1，z1)、P2(x2，y2,z2）在xOy平面上的射影分別為M、N,那么M、N的坐標為M（x1,y1,0）、N(x2，y2,0）,在xOy平面上，|MN｜=.過點P1作P2N的垂線,垂足為H,則｜MP1|=|z1|，|NP2|=|z2|，所以｜HP2|=|z2—z1|.在Rt△P1HP2中，｜P1H|=|MN｜=,根據(jù)勾股定理,得|P1P2｜==。因此,空間中點P1(x1,y1,z1)，P2(x2，y2,z2)之間的距離｜P1P2|=.(3)我們來確定P1、P2兩點在柱坐標系中的距離公式:根據(jù)空間點P的直角坐標（x，y，z）與柱坐標（ρ，θ，z)之間的變換公式：P1（x1，y1，z1）,P2（x2,y2,z2）,有可得｜P1P2｜=（4)我們來確定P1、P2兩點在球坐標系中的距離公式：空間點P的直角坐標（x，y，z）與球坐標(r,φ,θ)之間的變換關系為P1（x1,y1,z1),P2（x2，y2，z2)，有及可得｜P1P2|=走近高考1.已知點P的柱坐標為（2，,5）,點B的球坐標為（6,,)，則這兩個點在空間直角坐標系中的點的坐標為（）A.P點（5,1，1），B點B.P點(1,1，5)，B點C。P點,B點(1，1,5)D。P點(1,1,5)，B點解析:此題考查空間直角坐標系與空間極坐標系的互化.只要我們記住互化公式,問題就能夠解決.球坐標與直角坐標的互化公式為柱坐標與直角坐標的互化公式為解：設P點的直角坐標為（x，y，z）,x=·cos=·=1，y=·sin=1，z=5。設B點的直角坐標為（x，y,z），x=·sin·cos=··=，y=·sin·sin=··=，z=·cos=·=所以,點P的直角坐標為(1，1,5），點B的直角坐標為（).選B.答案：B2。設點M的直角坐標為(1,1，1),求它的柱坐標.解