數(shù)學(xué)成長訓(xùn)練：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精主動成長夯基達標1。有四個式子：①0·a=0；②0·a=0;③0—=;④｜a·b｜=｜a｜·|b｜.其中正確的個數(shù)為()A。4B。3C。2D.1解析：0·a表示零向量與任意向量a的數(shù)量積，數(shù)量積是一個數(shù),而不是向量；0·a表示實數(shù)與向量a的積，其結(jié)果應(yīng)為零向量，而不是零;對a、b數(shù)量積的定義式兩邊取絕對值,得|a·b|=｜a|·|b|｜cosθ|，只有θ=0,π時,|a·b｜=|a|·|b｜才成立.只有0-=-=正確.答案:D2。在△ABC中,=a,=b,且a·b＞0，則△ABC是（)A。銳角三角形B。直角三角形C。鈍角三角形D.不能確定解析：由兩向量夾角的概念，a與b的夾角應(yīng)為180°—∠B。因為a·b=｜a｜·|b｜cos（180°—B）=—｜a｜·｜b|cosB＞0，所以cosB＜0.又因為∠B∈(0°,180°)，所以∠B為鈍角.所以△ABC為鈍角三角形.答案:C3.已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么｜a+3b|等于(）A。B.C.D。4解析：|a+3b|2=（a+3b)2=a2+9b2+6｜a|·|b|cos60°=13。答案：C4.若a為非零向量,a·b=0，則滿足此條件的向量b有（)A.1個B。2個C.有限個D。無限個解析:由數(shù)量積性質(zhì)知a·b=0a⊥b,而垂直于a答案：D5.｜a｜=4，a與b的夾角為30°，則a在b方向上的投影為___________.解析：a1=|a|cos30°=4×.答案：6.邊長為的等邊△ABC中,設(shè)=c,=a，=b,則a·b+b·c+c·a=_____________.解析：由題意知〈a,b〉=,〈b,c〉=,〈c,a〉=，∴a·b+b·c+c·a=3｜a|·｜b｜cos=3×2×(-)=—3。答案：-37。對任意向量a、b,|a|·｜b|與a·b的大小關(guān)系是________________。解析:由數(shù)量積定義a·b=｜a｜·｜b|cos〈a,b>,由于cos<a,b>∈[-1,1］,所以｜a|·|b｜≥a·b.答案：|a|·｜b｜≥a·b8。已知△ABC中,a=5,b=8,∠C=60°,求·。解：因為｜|=a=5，|｜=b=8,〈，〉=180°-∠C=180°-60°=120°,所以·=｜|·｜｜·cos〈，〉=5×8cos120°=—20。9.已知a、b是非零向量，當a+tb（t∈R)的模取最小值時,（1)求t的值；（2)已知a與b共線同向，求證：b⊥（a+tb).（1)解：令m=|a+tb|,θ為a、b夾角，則m2=|a｜2+2a·tb+t｜b｜=t2｜b｜2+2t|a｜·|b|cosθ+|a｜2=|b｜2(t+cosθ）2+|a｜2sin2θ?！喈攖=—cosθ時,|a+tb|有最小值|a|2sinθ。（2）證明:∵a與b共線且方向相同,故cosθ=1?！鄑=-.∴b·（a+tb）=a·b+t｜b|2=|a|·｜b｜—|a|·｜b｜=0.∴b⊥(a+tb）。10.設(shè)平面內(nèi)兩向量a、b互相垂直，且|a｜=2,｜b|=1,又k與t是兩個不同時為零的實數(shù)。(1）若x=a+（t-3)b與y=-ka+tb垂直，求k關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式k=f(t）;（2）求函數(shù)k=f(t）的最小值。解：(1)∵a⊥b,∴a·b=0。又x⊥y，∴x·y=0,即［a+(t-3)b］·［-ka+tb]=0。-ka2-k（t—3）a·b+ta·b+t（t—3）b2=0。∵|a|=2,|b｜=1,∴—4k+t2—3t=0,即k=（t2-3t）.(2)由（1）,知k=（t2-3t）=(t—）2-，當t=時，函數(shù)最小值為—.走近高考11.（2004浙江高考）已知平面上三點A、B、C滿足｜|=3,｜|=4，|｜=5,則·+·+·=______________.解析：因為｜｜2+｜｜2=||2,所以△ABC為直角三角形,其中∠B=90°.所以·+·+·=0+|｜·｜｜cos(π-C)+||·｜|·cos（π-A)=—4×5×-5×3×=—25.答案：-2512。（經(jīng)典回放）已知直線ax+