電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的桿+導(dǎo)軌模型專題教案

第頁(yè)電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的“桿+導(dǎo)軌”模型專題解決電磁感應(yīng)電路問(wèn)題的關(guān)鍵就是借鑒或利用相似原型來(lái)啟發(fā)理解和變換物理模型，即把電磁感應(yīng)的問(wèn)題等效轉(zhuǎn)換成穩(wěn)恒直流電路,把產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的那部分導(dǎo)體等效為內(nèi)電路。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小相當(dāng)于電源電動(dòng)勢(shì)。其余部分相當(dāng)于外電路，并畫出等效電路圖.此時(shí),處理問(wèn)題的方法與閉合電路求解基本一致，惟一要注意的是電磁感應(yīng)現(xiàn)象中,有時(shí)導(dǎo)體兩端有電壓，但沒(méi)有電流流過(guò)，這類似電源兩端有電勢(shì)差但沒(méi)有接入電路時(shí)，電流為零.變換物理模型，是將陌生的物理模型與熟悉的物理模型相比較，分析異同并從中挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，從而建立起熟悉模型與未知現(xiàn)象之間相互關(guān)系的一種特殊解題方法.巧妙地運(yùn)用“類同”變換,“類似"變換，“類異”變換，可使復(fù)雜、陌生、抽象的問(wèn)題變成簡(jiǎn)單、熟悉、具體的題型，從而使問(wèn)題大為簡(jiǎn)化.電磁感應(yīng)現(xiàn)象部分的知識(shí)歷來(lái)是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn),出題時(shí)可將力學(xué)、電磁學(xué)等知識(shí)溶于一體,能很好地考查學(xué)生的理解、推理、分析綜合及應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力．通過(guò)近年高考題的研究，此部分每年都有“桿+導(dǎo)軌”模型的高考題出現(xiàn)。一、命題演變“桿+導(dǎo)軌”模型類試題命題的“基本道具”：導(dǎo)軌、金屬棒、磁場(chǎng),其變化點(diǎn)有:1．導(dǎo)軌（1）導(dǎo)軌的形狀:常見導(dǎo)軌的形狀為U形,還可以為圓形、三角形、三角函數(shù)圖形等;（2）導(dǎo)軌的閉合性：導(dǎo)軌本身可以不閉合，也可閉合；（3）導(dǎo)軌電阻:不計(jì)、均勻分布或部分有電阻、串上外電阻；（4）導(dǎo)軌的放置：水平、豎直、傾斜放置等等．[例1]（2003·上海·22)如圖1所示，OACO為置于水平面內(nèi)的光滑閉合金屬導(dǎo)軌，O、C處分別接有短電阻絲（圖中粗線表法），R1=4Ω、R2=8Ω（導(dǎo)軌其它部分電阻不計(jì)）．導(dǎo)軌OAC的形狀滿足方程y=2sin（x）（單位：m)．磁感強(qiáng)度B=0.2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面．一足夠長(zhǎng)的金屬棒在水平外力F作用下,以恒定的速率v=5。0m/s水平向右在導(dǎo)軌上從O點(diǎn)滑動(dòng)到C點(diǎn)，棒與導(dǎo)軌接觸良好且始終保持與OC導(dǎo)軌垂直，不計(jì)棒的電阻．求：（1)外力F的最大值;（2）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)電阻絲R1上消耗的最大功率；（3）在滑動(dòng)過(guò)程中通過(guò)金屬棒的電流I與時(shí)間t的關(guān)系．解析：本題難點(diǎn)在于導(dǎo)軌呈三角函數(shù)圖形形狀,金屬棒的有效長(zhǎng)度隨時(shí)間而變化,但第（1）（2）問(wèn)均求的是某一狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的物理量，降低了一定的難度．解第（3)問(wèn)時(shí)可根據(jù)條件推導(dǎo)出外力F的表達(dá)式及電流I與時(shí)間t的關(guān)系式，由三角函數(shù)和其他條件求出需要的量即可．(1）金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)F外=F安，當(dāng)安培力為最大值時(shí),外力有最大值．圖1又∵E=BLv圖1∴F安=BIL=即當(dāng)L取最大值時(shí)，安培力有最大值∵Lmax=2=2(m）(Ω）∴代入數(shù)據(jù)得Fmax=0.3（N)（2）R1、R2相并聯(lián)，由電阻絲R1上的功率，可知當(dāng)時(shí)P1有最大功率，即（W）（3）金屬棒與導(dǎo)軌接觸點(diǎn)間的長(zhǎng)度隨時(shí)間變化L=2sin（x）（m)且x=vt，E=BLv∴I==sin（t)（A）2．金屬棒（1）金屬棒的受力情況：受安培力以外的拉力、阻力或僅受安培力；(2）金屬棒的初始狀態(tài)：靜止或運(yùn)動(dòng)；（3)金屬棒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：勻速、勻變速、非勻變速直線運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)；(4)金屬棒割磁感線狀況：整體切割磁感線或部分切割磁感線；（5）金屬棒與導(dǎo)軌的連接：金屬棒可整體或部分接入電路，即金屬棒的有效長(zhǎng)度問(wèn)題．3．磁場(chǎng)（1)磁場(chǎng)的狀態(tài)：磁場(chǎng)可以是穩(wěn)定不變的，也可以均勻變化或非均勻變化．(2）磁場(chǎng)的分布：有界或無(wú)界．二、模型轉(zhuǎn)換電磁感應(yīng)現(xiàn)象考查的知識(shí)重點(diǎn)是法拉第電磁感應(yīng)定律,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律的表達(dá)式，有下列四個(gè)模型轉(zhuǎn)換：1．B變化，S不變（1）B均勻變化①B隨時(shí)間均勻變化如果B隨時(shí)間均勻變化,則可以寫出B關(guān)于時(shí)間t的表達(dá)式，再用法拉第電磁感應(yīng)定律解題，如例2第（1）問(wèn)．②B隨位置均勻變化B隨位置均勻變化的解題方法類似于B隨時(shí)間均勻變化的情形．(2）B非均勻變化B非均勻變化的情況在高中并不多見，如例2第(3）問(wèn)．如果題目給出了B非均勻變化的表達(dá)式，也可用后面給出的求導(dǎo)法求解．［例2]（2000·上海·23）如圖2所示，固定于水平桌面上的金屬框架cdef,處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，金屬棒ab擱在框架上，可無(wú)摩擦滑動(dòng)．此時(shí)abed構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為l的正方形,棒的電阻為r，其余部分電阻不計(jì)．開始磁感強(qiáng)度為B0．（1）若從t=0時(shí)刻起，磁感強(qiáng)度均勻增加，每秒增量為k，同時(shí)棒保持靜止．求棒中的感應(yīng)電流．在圖上標(biāo)出感應(yīng)電流的方向；(2）在上述（1）情況中，始終保持棒靜止,當(dāng)t=t1末時(shí)需加的垂直于棒的水平拉力為多大？（3）若t=0時(shí)刻起，磁感強(qiáng)度逐漸減小，當(dāng)棒以恒定速度v向右做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，可使棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則磁感強(qiáng)度應(yīng)怎樣隨時(shí)間變化(寫出B與t的關(guān)系式）?××××d××××××××××××d××××××××ab圖2eB0cf(1）磁感強(qiáng)度均勻增加，每秒增量為k，得∵感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)∴感應(yīng)電流由楞次定律可判定感應(yīng)電流方向?yàn)槟鏁r(shí)針，棒ab上的電流方向?yàn)閎→a．(2）t=t1時(shí)，B=B0+kt1又∵F=BIl∴(3）∵棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流∴回路中總磁通量不變∴Bl（l+vt）=B0l得2．B不變,S變化（1)金屬棒運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致S變化mamav0××××××××B圖3××××××××RxOl[例3］（2002·上?！?2）如圖3所示，兩條互相平行的光滑金屬導(dǎo)軌位于水平面內(nèi)，距離為l=0。2m，在導(dǎo)軌的一端接有阻值為R=0。5Ω的電阻，在x≥0處有一與水平面垂直的均勻磁場(chǎng),磁感強(qiáng)度B=0。5T．一質(zhì)量為m=0.1kg的金屬直桿垂直放置在導(dǎo)軌上，并以v0=2m/s的初速度進(jìn)入磁場(chǎng)，在安培力和一垂直于桿的水平外力F的共同作用下做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a=2m/s2、方向與初速度方向相反．設(shè)導(dǎo)軌和金屬桿的電阻都可以忽略，且接觸良好．求：(1)電流為零時(shí)金屬桿所處的位置；（2)電流為最大值的一半時(shí)施加在金屬桿上外力F的大小和方向；(3)保持其他條件不變，而初速度v0取不同值，求開始時(shí)F的方向與初速度v0取值的關(guān)系．解析:桿在水平外力F和安培力的共同作用下做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a方向向左．桿的運(yùn)動(dòng)過(guò)程：向右勻減速運(yùn)動(dòng)→速度為零→向左勻加速運(yùn)動(dòng)；外力F方向的判斷方法：先假設(shè)，再根據(jù)結(jié)果的正負(fù)號(hào)判斷．(1）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Blv，感應(yīng)電流I=∴I=0時(shí)v=0∴x==1（m）(2）當(dāng)桿的速度取最大速度v0時(shí)，桿上有最大電流Im=安培力F安=BI’l==0。02（N）向右運(yùn)動(dòng)時(shí)F+F安=ma，得F=ma-F安=0。18（N），方向與x軸相反向左運(yùn)動(dòng)時(shí)F-F安=ma，得F=ma+F安=0.22（N）,方向與x軸相反（3)開始時(shí)v=v0，F(xiàn)安=BIml=F+F安=ma，F(xiàn)=ma—F安=ma-∴當(dāng)v0<=10m/s時(shí),F〉0，方向與x軸相反當(dāng)v0>=10m/s時(shí),F<0，方向與x軸相同(2)導(dǎo)軌變形導(dǎo)致S變化常常根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律解題,如例4.［例4］（2001·上?！?2）如圖4所示,半徑為a的圓形區(qū)域內(nèi)有均勻磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度為B＝0.2T，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里,半徑為b的金屬圓環(huán)與磁場(chǎng)同心地放置,磁場(chǎng)與環(huán)面垂直，其中a＝0。4m,b＝0.6m,金屬環(huán)上分別接有燈L1、L2，兩燈的電阻均為R0＝2Ω,一金屬棒MN與金屬環(huán)接觸良好，棒與環(huán)的電阻均忽略不計(jì)圖4（1)若棒以v0＝5m/s的速率在環(huán)上向右勻速滑動(dòng)，求棒滑過(guò)圓環(huán)直徑OO’的瞬時(shí)(如圖所示）,MN中的電動(dòng)勢(shì)和流過(guò)燈L1的電流．圖4（2）撤去中間的金屬棒MN將右面的半圓環(huán)OL2O’以O(shè)O’為軸向上翻轉(zhuǎn)90o，若此時(shí)磁場(chǎng)隨時(shí)間均勻變化，其變化率為(T/s），求L1的功率．解析：(1）當(dāng)棒滑過(guò)圓環(huán)直徑OO’的瞬時(shí),棒的有效長(zhǎng)度為2a，燈L1、L2E1＝B2av＝0。2×0。8×5＝0.8（V）（A)(2)將右面的半圓環(huán)OL2O’以O(shè)O’為軸向上翻轉(zhuǎn)90o后,圓環(huán)的有效面積為半圓．其中B隨時(shí)間是均勻變化的，注意此時(shí)燈L1、L2是串聯(lián)的．（V)＝1。28×102（W）另外還可在S不規(guī)則變化上做文章，如金屬棒旋轉(zhuǎn)、導(dǎo)軌呈三角形等等．3?！半p桿+導(dǎo)軌”模型圖5ⅹⅹⅹⅹⅹⅹⅹⅹ圖5ⅹⅹⅹⅹⅹⅹⅹⅹEFPQdbca→F現(xiàn)用恒力F作用于ab棒上，使它向右運(yùn)動(dòng)。則A．安培力對(duì)cd做正功使它向右加速運(yùn)動(dòng)B．外力F做的功等于克服ab棒上安培力的功C．外力作的功等于回路產(chǎn)生的總熱量和系統(tǒng)的動(dòng)能D．回路電動(dòng)勢(shì)先增后減兩棒共速時(shí)為零解析：開始時(shí)ab棒在外力F作用下向右切割磁感線產(chǎn)生電磁感應(yīng),ab棒相當(dāng)于電源,由右手定則，b端電勢(shì)較低，a端電勢(shì)高,形成由b→a→c→d→b逆時(shí)轉(zhuǎn)電流。電流通過(guò)ab和cd棒，由左手定則，ab棒安培力向左，做負(fù)功,阻礙速度增加;cd棒安培力向右，做正功,使cd棒動(dòng)能增加速度增大。外力除克服ab棒上安培力做功外，還要對(duì)cd棒做正功。故A對(duì)B錯(cuò).由于外力和安培力的作用，開始時(shí)ab棒加速度大于cd棒,兩者速度差增大,回路感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)增大，感應(yīng)電流增大，使ab加速度減小，cd加速度增大，當(dāng)兩棒加速度相等時(shí)速度差最大,回路感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大.以后ab和cd棒在外力F作用下以相同加速度運(yùn)動(dòng)，速度差恒定不可能共速,電動(dòng)勢(shì)恒定不會(huì)等于零，故D錯(cuò).根據(jù)能量守恒整個(gè)過(guò)程外力做的功等于回路產(chǎn)生的總熱量和系統(tǒng)的動(dòng)能，C項(xiàng)正確。所以正確選項(xiàng)為A、C.題后:電磁感應(yīng)中的金屬棒導(dǎo)軌問(wèn)題，可以用力學(xué)中滑塊A在滑板B上運(yùn)動(dòng)作為物理模型?；錌與地面光滑接觸，摩擦力分別對(duì)A、B做負(fù)功和正功，使部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，相當(dāng)于雙金屬棒情景。若B固定于地面，則類似單金屬棒。摩擦力做的總功等于系統(tǒng)內(nèi)能增量,相當(dāng)于安培力做功的情景。［例6]如圖6相距為L(zhǎng)的兩光滑平行導(dǎo)軌，平行放置在傾角為θ的斜面上，導(dǎo)軌的右端接有電阻R(軌道電阻不計(jì)），斜面處在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，磁場(chǎng)方向垂直于斜面向上，質(zhì)量為m,電阻為2R的金屬棒abθRB圖6θRB圖6SA．下滑過(guò)程電阻R消耗的最大功率為；B．下滑過(guò)程電阻R消耗的最大功率為；C．下滑過(guò)程安培力做功；D．下滑過(guò)程安培力做功。解析:ab棒下滑過(guò)程受重力,軌道支持力和安培力作用。加速度a=0時(shí)速度最大，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，電路中電流最大，電阻消耗熱功率最大.當(dāng)a=0，有mgsinθ=BIL=，.∴;回路總功率，電阻消耗功率。所以A答案正確,B為回路總功率.在下滑過(guò)程中，安培力是變力，不能用功定義式計(jì)算。也不等于系統(tǒng)動(dòng)能。故C錯(cuò)?？紤]到安培力做功等于系統(tǒng)(回路）產(chǎn)生總熱量，由能量守恒，重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為棒動(dòng)能和系統(tǒng)內(nèi)能mgh=+Q∴選項(xiàng)D正確。所以本題正確答案為A.D題后：猶如滑動(dòng)摩擦力對(duì)系統(tǒng)做功，使系統(tǒng)內(nèi)能增加一樣，安培力做功也使系統(tǒng)內(nèi)能增加.當(dāng)電源內(nèi)阻不計(jì)時(shí)，系統(tǒng)熱量就是外電路電阻上熱量.否則外電阻熱量只是總熱量的一部分。其次，安培力與摩擦力又有區(qū)別.滑動(dòng)摩擦力Ｆ＝μ與壓力成正比，通常表現(xiàn)為恒力.而安培力正比于速度v，通常為變力。因此，求安培力做的功，除非恒力，一般不能用功的定義式計(jì)算，這時(shí)用能量知識(shí)（如動(dòng)能定理或能量守恒)可方便求出或Ｑ，再依兩者關(guān)系按題意求出答案。圖7［例7］兩根足夠長(zhǎng)的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)，導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路。如圖7所示，兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量皆為m電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計(jì).在整個(gè)導(dǎo)軌面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)強(qiáng)度為B。設(shè)兩導(dǎo)棒均可沿導(dǎo)軌無(wú)摩擦地滑行。開始時(shí)，棒cd靜止，棒ab有指向cd的速度V0如圖。若兩根導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)中始終不接觸。求圖7(1)在運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的焦耳熱最多是多少？（2)當(dāng)棒ab的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時(shí)，棒cd的加速度時(shí)多少？解析：開始ab向cd靠近，穿過(guò)回路的磁通量在減少，回路發(fā)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象，電流方向由楞次定律可判斷從a→b→d→c→a。于是電路中產(chǎn)生焦耳楞次熱.同時(shí)感應(yīng)電流產(chǎn)生的安培力對(duì)ab棒作負(fù)功使速度減小，對(duì)cd棒做正功使其向右加速運(yùn)動(dòng)。隨著cd棒的運(yùn)動(dòng),ab、cd相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度減小，感應(yīng)電流也減小，當(dāng)兩棒共速時(shí),回路磁通量不變，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)消失，電流消失,至此回路產(chǎn)生熱量最多。按上述分析，取兩棒為系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程等效于力學(xué)中光滑水平面上滑板滑塊模型。因兩棒長(zhǎng)度相等安培力等值反向合力為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒,機(jī)械能的減少量即為系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量。其次只需求出vab=3v0/4時(shí)ab棒所受安培力即可由牛頓定律求出加速度a。取ab棒v0為初態(tài)，共速v為末態(tài)，由動(dòng)量守恒有mv0=2mv，v=v0/2.再由能量守恒,求得整個(gè)過(guò)程產(chǎn)生熱量。取初態(tài)v0及ab速度v′=3v0/4為末態(tài)，由動(dòng)量守恒，可求cd棒速度。Mv0=3mv0/4+mv′v′=v0/4?；芈犯袘?yīng)電動(dòng)勢(shì)：,回路電流:,cd受安培力：,由牛頓定律得加速度：。三、預(yù)測(cè)如火如荼的新課程改革體現(xiàn)了培養(yǎng)高素質(zhì)人才的基本框架—-從“知識(shí)與技能"、“過(guò)程與方法"、“情感態(tài)度與價(jià)值觀”三個(gè)方面設(shè)計(jì)課程目標(biāo)、課程的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)和實(shí)施機(jī)制．高考的命題趨勢(shì)也必將體現(xiàn)新課改的精神．根據(jù)考綱要求掌握的知識(shí),“桿+導(dǎo)軌"模型試題往往以選擇題和計(jì)算題的題型出現(xiàn)，且多以計(jì)算題的面目出現(xiàn)，高考命題也不出乎以上所介紹的四個(gè)模型轉(zhuǎn)換的角度，將多個(gè)命題變化點(diǎn)進(jìn)行不同的組合，從而能命出角度多樣的新題．υ(m/s)υ(m/s)Ｆ(N)04812816ＦＲ圖8［例8]（2004·上海·22)如圖8所示，水平面上兩根足夠長(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌平行固定放置，間距為L(zhǎng)，一端通過(guò)導(dǎo)線與阻值為R的電阻連接；導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為m的金屬桿，金屬桿與導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì)；均勻磁場(chǎng)豎直向下,用與導(dǎo)軌平行的恒定拉力F作用在金屬桿上，桿最終將做勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)改變拉力的大小時(shí)，相對(duì)應(yīng)的勻速運(yùn)動(dòng)速度v也會(huì)變化，v和F的關(guān)系如右下圖.（取重力加速度g=10m/s2）（1）金屬桿在勻速運(yùn)動(dòng)之前做什么運(yùn)動(dòng)？（2）若m=0.5kg，L=0.5m，R=0。5Ω，磁感應(yīng)強(qiáng)度B為多大？（3）由v-F圖線的截距可求得什么物理量？其值為多少？解析：(1）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)感應(yīng)電流感應(yīng)電流產(chǎn)生的安培力即安培力隨金屬桿