211合情推理學(xué)案人教A版選修22

(完整word版)211合情推理學(xué)案人教A版選修22(完整word版)211合情推理學(xué)案人教A版選修22(完整word版)211合情推理學(xué)案人教A版選修222．1合情推理與演繹推理2．1.1合情推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解合情推理的含義，能利用歸納推理和類比推理等進(jìn)行簡單的推理．(重點(diǎn)、難點(diǎn)）2．了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.學(xué)法指導(dǎo)歸納和類比是合情推理常用的思維方法．合情推理的結(jié)論不一定正確，但它在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中起著重要作用。1．歸納推理和類比推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納）由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）特征歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理類比推理是由特殊到特殊的推理2.合情推理含義歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理．我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理過程eq\x（\a\al(從具體問，題出發(fā)））→eq\x（\a\al(觀察、分析、,比較、聯(lián)想）)→eq\x（\a\al（歸納、,類比)）→eq\x(提出猜想)1．判斷:(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）(1)類比推理得到的結(jié)論可以作為定理應(yīng)用．（）（2)由個(gè)別到一般的推理為歸納推理．(）答案：(1)×(2)√2．?dāng)?shù)列5,9，17,33，x，…中的x等于（)A．47 B．65C．63 D．128答案:B3．下面類比推理中恰當(dāng)?shù)氖?）A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類比推出“若a·0＝b·0,則a＝b"B．“（a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“（a·b）c＝ac·bc"C．“(a＋b）c＝ac＋bc”類比推出“eq\f（a＋b,c）＝eq\f(a，c)＋eq\f(b，c）（c≠0）”D．“（ab）n＝anbn”類比推出“(a＋b）n＝an＋bn”答案:C4．各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛an}中,a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10,…，猜想數(shù)列{an｝的通項(xiàng)為________．答案：an＝eq\f（nn＋1，2)數(shù)、式中的歸納推理(1)由下列各式:13＝12,13＋23＝32，13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…請你歸納出一般結(jié)論．（2）已知數(shù)列｛an｝的第1項(xiàng)a1＝1，且an＋1＝eq\f（an,1＋an）(n＝1，2,3，…)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．(鏈接教材P71例1）［解］(1）由左、右兩邊各項(xiàng)冪的底數(shù)之間的關(guān)系：1＝1,1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，可得一般結(jié)論：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n）2,即13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(nn＋1，2）))2.（2）當(dāng)n＝1時(shí),a1＝1；當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝eq\f(1，1＋1）＝eq\f（1，2);當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝eq\f(\f（1，2),1＋\f(1，2））＝eq\f（1，3）；當(dāng)n＝4時(shí),a4＝eq\f（\f(1，3），1＋\f(1,3）)＝eq\f(1，4）。通過觀察可得，數(shù)列的前四項(xiàng)都等于相應(yīng)序號的倒數(shù)，由此歸納出an＝eq\f（1，n）。方法歸納由已知數(shù)、式進(jìn)行歸納推理的方法（1)要注意所給幾個(gè)等式（或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律．（2)要注意所給幾個(gè)等式（或不等式）中結(jié)構(gòu)形式的特征．(3）提煉出等式（或不等式)的綜合特點(diǎn)．（4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論．1．（2013·高考陜西卷)觀察下列等式：（1＋1)＝2×1,(2＋1）（2＋2）＝22×1×3，（3＋1)(3＋2）(3＋3)＝23×1×3×5，…照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________．解析：第n個(gè)等式可為:（n＋1）（n＋2)(n＋3)…(n＋n）＝2n·1·3·5…·(2n－1)．答案:（n＋1)(n＋2）(n＋3）…(n＋n）＝2n·1·3·5…·（2n－1)幾何圖形中的歸納推理根據(jù)下圖中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)為________．[解析]分別求出前4個(gè)圖形中線段的數(shù)目,并加以歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出猜想．圖形①～④中線段的條數(shù)分別為1,5，13，29。因?yàn)?＝22－3,5＝23－3，13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為28＋1－3＝509.[答案］509方法歸納解決圖形中歸納推理的方法解決與圖形有關(guān)的歸納推理問題常從以下兩個(gè)方面著手：（1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與數(shù)量的關(guān)系．(2)從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后,與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化．2．在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線,…，由此猜想凸n邊形有幾條對角線?解：凸四邊形有2條對角線；凸五邊形有5條對角線,比凸四邊形多3條；凸六邊形有9條對角線，比凸五邊形多4條；…于是猜想凸n邊形比凸n－1邊形多n－2條對角線，因此凸n邊形的對角線條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2）＝eq\f（1，2）n(n－3)(n≥4，n∈N＊）．類比推理及其應(yīng)用（1)若Sn是等差數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和，則有S2n－1＝（2n－1）an，類似地，若Tn是等比數(shù)列｛bn}的前n項(xiàng)積，則有T2n－1＝________.（2）在平面幾何里,有勾股定理:“設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2＋AC2＝BC2"．拓展到空間(如圖)，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的結(jié)論是________________________________________________________________________________________________________________________________________________。（鏈接教材P74例3)［解析］(1)T2n－1＝b1·b2·b3·…·b2n－1＝beq\o\al(2n－1，n)。（2)類比條件：兩邊AB、AC互相垂直eq\o（→,\s\up7（平面→空間、邊垂直→面垂直），\s\do5（））側(cè)面ABC、ACD、ADB互相垂直．結(jié)論:AB2＋AC2＝BC2eq\o（→,\s\up7（邊長→面積)，\s\do5（))Seq\o\al(2，△ABC)＋Seq\o\al(2，△ACD）＋Seq\o\al（2，△ADB)＝Seq\o\al(2，△BCD）。［答案]（1)beq\o\al（2n－1，n）（2)設(shè)三棱錐A。BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直,則Seq\o\al（2,△ABC)＋Seq\o\al（2，△ACD)＋Seq\o\al（2，△ADB)＝Seq\o\al(2,△BCD）方法歸納(1）對于數(shù)列中的類比問題，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列是一類重要的類比對象外，還可以將等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)等進(jìn)行推廣,與其他相關(guān)數(shù)列問題進(jìn)行類比．（2)平面與空間的類比是一種常見的類比,一般地：平面圖形中的點(diǎn)與空間圖形中的線(線段)相類比；平面圖形中的線與空間圖形中的線或平面相類比；平面圖形中的周長與空間圖形中的表面積相類比；平面圖形中的面積與空間圖形中的體積相類比;平面中的三角形、正方形與空間中的四面體、正方體相類比；平面中的圓與空間中的球相類比等．3．類比實(shí)數(shù)的加法和向量的加法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì)．解：(1）兩實(shí)數(shù)相加后,結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)；兩向量相加后，結(jié)果仍是一個(gè)向量．(2）從運(yùn)算律的角度考慮,它們都滿足交換律和結(jié)合律．即a＋b＝b＋a,a＋b＝b＋a.（a＋b)＋c＝a＋（b＋c)，(a＋b）＋c＝a＋（b＋c)．（3）從逆運(yùn)算的角度考慮，二者都有逆運(yùn)算，即加法運(yùn)算．a(chǎn)＋x＝0與a＋x＝0都有唯一解，x＝－a與x＝－a.(4）在實(shí)數(shù)加法中，任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大小,即a＋0＝a.在向量加法中，任意向量與零向量相加，既不改變該向量的大小，亦不改變該向量的方向，即a＋0eq\a\vs4\al（＝）a.易錯(cuò)警示對歸納推理的特征掌握不準(zhǔn)確致誤對任意正整數(shù)n，猜想2n與n2的大小關(guān)系是________．［解析］當(dāng)n＝1時(shí)，21＞12；當(dāng)n＝2時(shí),22＝22；當(dāng)n＝3時(shí),23＜32；當(dāng)n＝4時(shí)，24＝42；當(dāng)n＝5時(shí)，25＞52;當(dāng)n＝6時(shí)，26＞62，所以可以猜想當(dāng)n＝3時(shí),2n＜n2；當(dāng)n∈N*,且n≠3時(shí)，2n≥n2.［答案]當(dāng)n＝3時(shí)，2n＜n2；當(dāng)n∈N＊，且n≠3時(shí)，2n≥n2[錯(cuò)因與防范］1。解答的易錯(cuò)點(diǎn)是只列舉了n＝1,2，3時(shí)的情況，直接猜想結(jié)論，從而所得結(jié)論不一定正確．2．在進(jìn)行歸納推理時(shí)，為避免出現(xiàn)以偏概全的情形,對于特殊項(xiàng)要多驗(yàn)證幾項(xiàng)，如本例n＝3驗(yàn)證后，再驗(yàn)證n＝4，n＝5,n＝6，再作猜想,以掌握更多歸納特征，同時(shí)要根據(jù)變化規(guī)律和趨勢作判斷．4．在數(shù)列{an}中,a1＝0，an＋1＝2an＋2，則猜想an＝()A．2n－2－eq\f（1，2) B．2n－2C．2n－1＋1 D．2n＋1－4解析：選B.因?yàn)閍1＝0＝21－2，所以a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2,a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，…猜想an＝2n－2.故應(yīng)選B。單獨(dú)成冊［學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練］1．下列說法正確的是()A．由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B．合情推理必須有前提有結(jié)論C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤解析:選B。根據(jù)合情推理可知，合情推理必須有前提有結(jié)論．2．下列平面圖形中，與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適的是(）A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形答案:C3．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等,三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?）①各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等A．① B．①②C．①②③ D．③解析：選C．正四面體的面（或棱）可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類比，故①②③都對．4．觀察(x2)′＝2x，（x4）′＝4x3，(cosx）′＝－sinx，由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x）滿足f(－x)＝f（x)，記g（x)為f（x）的導(dǎo)函數(shù),則g（－x)等于（）A．f（x） B．－f(x）C．g（x) D．－g(x）解析：選D．由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知,偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．因此當(dāng)f（x)是偶函數(shù)時(shí),其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù),故g（－x)＝－g(x）．5．觀察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，則72015的末兩位數(shù)字為（）A．01 B．43C．07 D．49解析：選B.因?yàn)?1＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，76＝117649，…,所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T＝4.又2015＝4×503＋3，所以72015的末兩位數(shù)字與73的末兩位數(shù)字相同，為43。6．設(shè)f(x)＝eq\f(2x,x＋2),x1＝1，xn＝f（xn－1)（n≥2)，則x2,x3,x4分別為________．猜想xn＝________.解析：x2＝f（x1）＝eq\f（2,1＋2)＝eq\f(2,3)，x3＝f(x2)＝eq\f(2×\f(2,3)，\f(2，3）＋2)＝eq\f（1，2)＝eq\f(2，4)，x4＝f(x3)＝eq\f（2×\f(1,2),\f(1，2）＋2）＝eq\f（2，5），∴xn＝eq\f(2，n＋1）。答案：eq\f(2,3），eq\f(2,4）,eq\f(2，5)eq\f(2,n＋1)7．（2014·晉中高二檢測)在平面上“等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值”，類比猜想在空間中有________．解析：根據(jù)平面幾何與立體幾何中的類比規(guī)律,邊類比成面，三角形類比成四面體，所以正三角形類比成正四面體．故類比猜想在空間中有：正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值．答案：正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值8．(2014·銀川高二檢測）已知eq\r(2＋\f（2，3）)＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r（3＋\f（3，8))＝3eq\r（\f（3,8）），eq\r(4＋\f(4,15)）＝4eq\r（\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f（a,b））＝6eq\r(\f（a,b))（a，b∈R)，則a＋b＝________.解析：根據(jù)題意，由于eq\r(2＋\f(2,3)）＝2eq\r（\f(2,3))，eq\r（3＋\f（3,8）)＝3eq\r(\f(3，8）)，eq\r(4＋\f(4,15)）＝4eq\r(\f(4，15）)，…，那么可知eq\r(6＋\f（a,b））＝6eq\r（\f（a，b）），a＝6，b＝6×6－1＝35,所以a＋b＝41.答案：419．已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn＝n2·an(n≥2),而a1＝1，通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an.解：∵Sn＝n2·an（n≥2)，a1＝1，∴S2＝4·a2＝a1＋a2，a2＝eq\f（1,3)＝eq\f（2，3×2）.S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，a3＝eq\f（a1＋a2,8)＝eq\f（1,6)＝eq\f(2，4×3).S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4，a4＝eq\f(a1＋a2＋a3，15)＝eq\f（1，10)＝eq\f（2,5×4)。∴猜想an＝eq\f(2，nn＋1).10。如圖所示,在△ABC中,a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想．解：如圖所示，在四面體P-ABC中,S1,S2，S3，S分別表示△PAB,△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大?。孪隨＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ。［高考水平訓(xùn)練]1．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如：圖（1）圖(2）他們研究過圖(1）中的1,3，6,10，…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地,稱圖（2)中的1，4,9,16,…這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A．289 B．1024C．1225 D．1378解析：選C．記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為｛an}，則a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3,a4＝10＝1＋2＋3＋4,可得通項(xiàng)公式為an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1，2)。同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為bn＝n2。將四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式，使得n都為正整數(shù)的只有1225.2．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長比為1∶2,則它們的面積比為1∶4。類似地，在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長比為1∶2,則它們的體積比為________．解析：∵兩個(gè)正三角形是相似的三角形,∴它們的面積之比是相似比的平方．同理，兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似幾何體，體積之比為相似比的立方，∴它們的體積比為1∶8。答案：1∶83．我們已經(jīng)學(xué)過了等比數(shù)列，你有沒有想到是否也有等積數(shù)列呢？（1)類比“等比數(shù)列"，請你給出“等積數(shù)列”的定義．(2)若｛an}是等積數(shù)列，且首項(xiàng)a1＝2，公積為6，試寫出{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式．解：（1）如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的乘積是同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，其中，這個(gè)常數(shù)叫做公積．(2）由于{an}是等積數(shù)列，且首項(xiàng)a1＝2，公積為6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2,a6＝3,…，即｛an｝的所有奇數(shù)項(xiàng)都等于2，偶數(shù)項(xiàng)都等于3，因此{(lán)an｝的通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4