專題10 三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型(解析版)_第1頁
專題10 三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型(解析版)_第2頁
專題10 三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型(解析版)_第3頁
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文檔簡介

專題10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導角模型,該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算(內(nèi)角和定理、外角定理等)。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系,求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進行梳理及對應(yīng)試題分析,方便掌握。模型1、“8”字模型圖1圖28字模型(基礎(chǔ)型)條件:如圖1,AD、BC相交于點O,連接AB、CD;結(jié)論:①;②。8字模型(加角平分線)條件:如圖2,線段AP平分∠BAD,線段CP平分∠BCD;結(jié)論:2∠P=∠B+∠D例1.(2023·重慶·八年級假期作業(yè))如圖,AB和CD相交于點O,∠A=∠C,則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是(

)A.∠B=∠D B.∠1=∠A+∠D C.∠2>∠D D.∠C=∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性質(zhì),對頂角相等逐一判斷即可.【詳解】∵∠A+∠AOD+∠D=180°,∠C+∠COB+∠B=180°,∠A=∠C,∠AOD=∠BOC,∴∠B=∠D,∵∠1=∠2=∠A+∠D,∴∠2>∠D,故選項A,B,C正確,故選D.【點睛】本題考查了對頂角的性質(zhì),三角形外角的性質(zhì),熟練掌握并運用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.例2.(2023春·上海·八年級專題練習)如圖,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為.【答案】1080°【分析】連KF,GI,根據(jù)n邊形的內(nèi)角和定理得到7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和=(7-2)×180°=900°,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+(∠1+∠2)=900°,由三角形內(nèi)角和定理可得到∠1+∠2=∠3+∠4,∠5+∠6+∠H=180°,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+(∠3+∠4)+∠5+∠6+∠H=900°+180°,即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù).【詳解】解:連KF,GI,如圖,∵7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和=(7-2)×180°=900°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K=900°-(∠1+∠2),即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+(∠1+∠2)=900°,∵∠1+∠2=∠3+∠4,∠5+∠6+∠H=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+(∠3+∠4)=900°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+(∠3+∠4)+∠5+∠6+∠H=900°+180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K=1080°.故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為1080°.故答案為:1080°.【點睛】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理:n邊形的內(nèi)角和為(n-2)×180°(n≥3的整數(shù)).例3.(2023·山東德州·八年級??茧A段練習)如圖1,已知線段相交于點O,連接,則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”.(1)求證:;(2)如圖2,若和的平分線和相交于點P,且與分別相交于點.①若,求的度數(shù);②若角平分線中角的關(guān)系改為“”,試探究與之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)見解析(2)①;②【分析】(1)利用三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等即可證明;(2)①根據(jù)角平分線的定義得到,,再根據(jù)“8字形”得到,兩等式相減得到,即,即可求解.②根據(jù),可得,,再由三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等,可得,即可求解.【詳解】(1)證明:在中,,在中,,∵,∴;(2)解:①∵和的平分線和相交于點P,∴,∵①,②,由,得:,即,∵,∴;②∵,∴,,∵,,∴,,∴,∴),故答案為:.【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、有關(guān)角平分線的計算,解題的關(guān)鍵是靈活運用“8字形”求解.例4.(2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末)定理:三角形任意兩邊之和大于第三邊.(1)如圖1,線段,交于點,連接,,判斷與的大小關(guān)系,并說明理由;(2)如圖2,平分,為上任意一點,在,上截取,連接,.求證:;(3)如圖3,在中,,為角平分線上異于端點的一動點,求證:.【答案】(1);理由見詳解(2)證明見詳解(3)證明見詳解【分析】(1)根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊知,,,兩式相加即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)證即可得出結(jié)論;(3)在上取一點,使,連接交于點,證,即,同理證,然后同理(1)得,變形不等式即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解:,理由如下:,,,即;(2)證明:平分,,在和中,,,;(3)證明:在上取一點,使,連接交于點,是的角平分線,,在和中,,,,同理可證,,,,即,,.【點睛】本題主要考查三角形的綜合題,熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵.例5.(2023·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中)我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形.例如,在圖1中,的內(nèi)角與的內(nèi)角互為對頂角,則與為對頂三角形,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì):.(1)【性質(zhì)理解】如圖2,在“對頂三角形”與中,,,求證:;(2)【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3,在中,點D、E分別是邊、上的點,,若比大20°,求的度數(shù);(3)【拓展提高】如圖4,已知,是的角平分線,且和的平分線和相交于點P,設(shè),求的度數(shù)(用表示).【答案】(1)見詳解;(2)100°;(3)∠P=45°-【分析】(1)由“對頂三角形”的性質(zhì)得,從而得,進而即可得到結(jié)論;(2)設(shè)=x,=y,則=x+20°,=y-20°,可得∠ABC+∠DCB=y-20°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,列出方程,即可求解;(3)設(shè)∠ABE=∠CBE=x,∠ACD=∠BCD=y,可得x+y=90°-,結(jié)合∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P,即可得到結(jié)論.【詳解】(1)證明:∵在“對頂三角形”與中,∴,∵,∴,∵,∴,又∵∴;(2)∵比大20°,+=+,∴設(shè)=x,=y,則=x+20°,=y-20°,∵,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-=x+y,∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-=x+y-x-20°=y-20°,∵∠ABC+∠DCB+=180°,∴y-20°+y=180°,解得:y=100°,∴=100°;(3)∵,是的角平分線,∴設(shè)∠ABE=∠CBE=x,∠ACD=∠BCD=y,∴2x+2y+=180°,即:x+y=90°-,∵和的平分線和相交于點P,∴∠CEP=(180°-2y-x),∠CDP=(180°-2x-y),∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P,∴∠P=(180°-2y-x)+y-(180°-2x-y)=x+y=45°-,即:∠P=45°-.【點睛】本題主要考查角平分線的定義,三角形內(nèi)角和定理,三角形外角的性質(zhì),熟練掌握“對頂三角形”的性質(zhì),是解題的關(guān)鍵.模型2、“A”字模型結(jié)論:①∠3+∠4=∠D+∠E;②∠1+∠2=∠A+180°。例1.(2022秋·廣西北?!ぐ四昙壗y(tǒng)考期中)按如圖中所給的條件,的度數(shù)是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)鄰補角求得,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解.【詳解】解:如圖,∵,∴,故選:A.【點睛】本題考查了求鄰補角,三角形的外角的性質(zhì),掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.例2.(2023·綿陽市·八年級假期作業(yè))如圖,中,,直線交于點D,交于點E,則(

).A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出,根據(jù)平角的概念計算即可.【詳解】解:,,,故選:D.【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用,掌握三角形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵.例3.(2023秋·廣西·八年級專題練習)如圖所示,的兩邊上各有一點,連接,求證.【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和證明即可.【詳解】解:和是的外角,.又,.【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì),熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.例4.(2023·廣東八年級課時練習)如圖,已知在中,,現(xiàn)將一塊直角三角板放在上,使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點,直角頂點D落在的內(nèi)部,則(

).A. B. C. D.【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°,即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°,再說明∠DBC+∠DCB=90°,進而完成解答.【詳解】解:∵在△ABC中,∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中,∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴40°-90°=50°故選C.【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理,靈活運用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵.例5.(2023秋·河南信陽·八年級校聯(lián)考期末)(1)如圖1,為直角三角形,,若沿圖中虛線剪去,則__________;

(2)如圖2,在中,,剪去后成為四邊形,則__________;(3)如圖2,根據(jù)(1)和(2)的求解過程,請歸納與的關(guān)系是______________;(4)若沒有剪去,而是將折成如圖3的形狀,試探究與的關(guān)系,并說明理由.【答案】(1);(2);(3);(4),理由見解析【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和為,三角形的外角和定理,則,,,即可;(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和為,三角形的外角和定理,則,,,即可;(3)根據(jù)(1)和(2)可知,,根據(jù),即可;(4)根據(jù)折疊的性質(zhì),則,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和,平角的性質(zhì),則,,,再根據(jù)等量代換,即可.【詳解】(1)為直角三角形,,∴,∵,,∴,∴,故答案為:.

(2)∵,∴,∵,,∴,∴,故答案為:.(3)由(1)和(2)得,,∵,∴,∴.(4),理由見下:由題意得,,∴,,∴,,∴,∵,∴,∴,∴,∴.【點睛】本題考查三角形的知識,解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和和三角形的外角和定理.例6.(2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期中)利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果.幾何模型:如圖(1),我們稱它為“A”型圖案,易證明:∠EDF=∠A+∠B+∠C;應(yīng)用上面模型解決問題:(1)如圖(2),“五角星”形,求?分析:圖中是“A”型圖,于是,所以=

;(2)如圖(3),“七角星”形,求;(3)如圖(4),“八角星”形,可以求得=;【答案】(1)180°(2)180°(3)360°【分析】(1)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把5個角轉(zhuǎn)化到一個三角形中可得答案;(2)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把7個角轉(zhuǎn)化到一個三角形中可得答案.(3)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把8個角轉(zhuǎn)化到一個四邊形中可得答案.【詳解】(1)解:如圖,由三角形外角的性質(zhì)可得,,∵,∴,∵,∴,故答案為:180°;(2)如圖,由(1)得,∵,∴.(3)如圖,由三角形外角的性質(zhì)可得,,,,故答案為:360°.【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì),能夠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.模型3、三角板模型【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥P?。圖①中:∠A=30°,∠C=60°,圖②中:∠A=∠C=45°,例1.(2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期中)如圖,將一副三角板按如圖放置,則下列結(jié)論:①;②與互為補角;③若,則;④.其中一定正確的序號是(

A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④【答案】B【分析】由題意知,,則,進而可判斷①的正誤;由,可得,則與互為補角,進而可判斷②的正誤;由,可得,則,,進而可判斷③的正誤;由題意知,,即,由,可得,則,進而可判斷④的正誤.【詳解】解:由題意知,,∴,①不一定正確,故不符合要求;∵,∴,∴與互為補角,②一定正確,故符合要求;∵,∴,∵,∴,③一定正確,故符合要求;由題意知,,即,∵,∴,∴,④一定正確,故符合要求;故選:B.【點睛】本題考查了三角板中角度計算,平行線的判定,三角形內(nèi)角和定理.解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系.例2.(2023春·安徽·九年級專題練習)將兩塊直角三角尺按如圖擺放,其中,,,若相交于點E,則的大小為(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】在中,利用三角形內(nèi)角和定理,可求出的度數(shù),再結(jié)合對頂角相等,即可得出的度數(shù).【詳解】解:在中,,,∴,∴.故選:B.【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及對頂角,牢記“三角形內(nèi)角和是”及“對頂角相等”是解題的關(guān)鍵.例3.(2023·陜西咸陽·??家荒#┤鐖D,將一副三角尺按圖中所示位置擺放,點C在的延長線上,點C、F分別為直角頂點,且,,若,則的度數(shù)是()

A.15° B.20° C.25° D.30°【答案】A【分析】由,利用“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”可求出,再利用三角形的外角性質(zhì),即可求出的度數(shù).【詳解】解:∵,∴.∵是的外角,∴.故選:A.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì),牢記“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”及“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵.例4.(2023春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期中)如圖,,一副直角三角板和如圖擺放,,,若,則下列結(jié)論:①;②;③;④平分,正確的有.(填序號)

【答案】①②④【分析】如圖,由題意得:,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出,進而可求出,即可判斷③④;根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)和角的和差求出,即可判斷①;求出,進而可判斷②.【詳解】解:如圖,由題意得:,∵,∴,

∵,∴,∴,,故結(jié)論③錯誤;∵,∴,∴平分,故結(jié)論④正確;∵,∴,∴,故結(jié)論①正確;∵,∴,∴,故結(jié)論②正確;故答案為:①②④.【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)等知識,熟練掌握三角形的相關(guān)知識和平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.例5.(2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末)實踐與探究材料:一副直角三角尺,記作:和,其中,,.

(1)操作一:如圖①,將三角尺按如圖方擺放,其中點C、D、A、F在同一條直線上,另兩條直角邊所在的直線分別為、,與相交于點O,則的大小為度.(2)操作二:保持、不變,將圖①中的三角尺經(jīng)過適當平移旋轉(zhuǎn),得到的位置如圖②所示,點B在上,點F在上,點A與點E重合,點C與點D重合,且平分,求的度數(shù).(3)操作三:如圖③,將圖①位置的三角尺繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一周,速度為每秒,設(shè)運動時間為t秒,當邊與互相平行時,直接寫出t的值.【答案】(1)105(2)(3)或【分析】操作一:可得出,從而,進而得出;操作二:延長,交于G,可得出,,由得出,進而得出;操作三:當?shù)谝淮螘r,由,得出,從而得出;當?shù)诙螘r,在第一次基礎(chǔ)上,又旋轉(zhuǎn),進一步得出結(jié)果.【詳解】(1)解:,,,,,,故答案為:;(2)解:如圖1,延長,交于G,平分,,由題意得:,,,;(3)解:如圖2,

,,,當點A運動到時,,綜上所述:或.【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及其推論,平行線的判定和性質(zhì),圖形的旋轉(zhuǎn)等知識,解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識.課后專項訓練1.(2023春·新疆伊犁·七年級統(tǒng)考期末)如圖,某位同學將一副三角板隨意擺放在宗上,則圖中的度數(shù)是(

A. B. C. D.【答案】B【分析】由題意可得,利用對頂角相等得,,再利用三角形的內(nèi)角和即可求解.【詳解】解:如圖,

由題意得:,,,,在中,,,即.故選:B.【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和,解題的關(guān)鍵是熟記三角形的內(nèi)角和為.2.(2023春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末)若將一副三角板按如圖所示的方式放置,其中,則下列結(jié)論不正確的是(

A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)兩種三角板的各角的度數(shù),利用平行線的判定結(jié)合已知條件對各個結(jié)論逐一驗證,即可得出答案.【詳解】解:A、,,故此選項不符合題意;B、,,,,,故此選項不符合題意;C、,,,不平行,故此選項符合題意;D、,,,,故此選項不符合題意,故選:C.【點睛】本題考查平行線的判定,三角板中角度的計算,余角的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,屬于中考??碱}型.3.(2023春·江蘇蘇州·七年級蘇州中學??计谥校┤鐖D是兩塊直角三角板和,其中,,,且點D在邊AB上,點F在邊CB的延長線上,那么不可能等于(

).

A. B. C. D.【答案】D【分析】先求得,利用三角形的外角性質(zhì)得到,據(jù)此求解即可.【詳解】解:∵,∴,∵是的外角,∴,∴,觀察四個選項,選項D符合題意,故選:D.【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì),不等式的性質(zhì),掌握“三角形的一個外角大于與它不相鄰的任一內(nèi)角”是解題的關(guān)鍵.4.(2023春·廣東佛山·七年級??计谥校┤鐖D,已知為直角三角形,,若沿圖中虛線剪去,則等于(

A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和為可得,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得,進而可得的和.【詳解】解:四邊形的內(nèi)角和為,直角三角形中兩個銳角和為.故選:C.【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角,三角形內(nèi)角和定理,本題是一道根據(jù)四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解的綜合題,有利于鍛煉學生綜合運用所學知識的能力.5.(2022春·山西晉城·七年級統(tǒng)考期末)如圖是可調(diào)躺椅示意圖(數(shù)據(jù)如圖),與的交點為C,且保持不變.為了舒適,需調(diào)整大小,使,則應(yīng)調(diào)整為(

)A.30° B.25° C.20° D.10°【答案】A【分析】延長交于H,利用“8”字形求出,利用外角的性質(zhì)得到,由此求出的度數(shù),進而得到答案.【詳解】解:延長交于H,∵,∴,∴,∵,∴,故選A.【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,熟練掌握三角形各角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.6.(2023·廣東江門·八年級??计谥校┤缦聢D,的度數(shù)為(

)A.540° B.500° C.460° D.420°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得,根據(jù)平角的定義和四邊形內(nèi)角和可得,同理可得,據(jù)此即可求解.【詳解】解:如圖所示,∵,∴,∵,,∴∵∴,同理可得:,∴,故選:D.【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,四邊形內(nèi)角和定理,熟知四邊形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵.7.(2023春·江蘇·七年級專題練習)如圖,已知四邊形中,,若沿圖中虛線剪去,則等于()A. B. C. D.【答案】C【分析】運用內(nèi)外角之間的關(guān)系可得.【詳解】解:∵三角形的內(nèi)角和等于,∴可得和的鄰補角之和等于,∴,故選:C.【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系,三角形的內(nèi)角和等于,解題的關(guān)鍵是理解題意,掌握這些知識點.8.(2023·福建福州·七年級統(tǒng)考期中)如圖,將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上,使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點B、C,若∠ABC+∠ACB=120°,則∠ABD+∠ACD的值為(

)A.60° B.50° C.40° D.30°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=120°,∠DBC+∠DCB=90°,進而可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù).【詳解】解:在△ABC中,∠ABC+∠ACB=120°,在△DBC中,∠BDC=90°,∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°,∴∠ABD+∠ACD=120°﹣90°=30°.故選:D.【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°,此題難度不大.9.(2022·安徽·八年級??计谥校┤鐖D,若,則.

【答案】/250度【分析】按圖先進行標注,根據(jù)外角性質(zhì)分別表示出,,,,再根據(jù),進行求解即可得出最后結(jié)果.【詳解】解:如圖,進行標注,

是的一個外角,,是的一個外角,,即,是的一個外角,,,是的一個外角,,,故答案為:.【點睛】本題考查了三角形外角性質(zhì),圓周角及鄰補角的應(yīng)用,熟練掌握外角性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.10.(2023春·全國·七年級專題練習)如圖所示,已知,平分,平分,求證:【答案】見解析【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠ADC,∠C=∠ABC,再由BE平分∠ABC,DE平分∠ADC可知∠1=∠ADC,∠2=∠ABC,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】解:如圖:∵AB∥CD,∴∠A=∠ADC,∠C=∠ABC.∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∴∠1=∠ADC,∠2=∠ABC.∵∠3是三角形的外角,∴∠3=∠E+∠2=∠C+∠1,,即∠E+∠C=∠C+∠A,∴∠E=(∠A+∠C).【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì),三角形的外角,以及角平分線等知識點,熟知以上知識點是解題的關(guān)鍵.11.(2022秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中)如圖,已知,.【答案】/240度【分析】由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果.【詳解】連接,,∴又,∴.故答案為:.【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、對頂角相等以及三角形內(nèi)角和定理;熟練掌握三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵.12.(2022秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末)如圖,在中,D、E分別是上的點,點F在的延長線上,,,求的度數(shù).【答案】【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得,最后代入計算即可.【詳解】解:∵,∴由三角形的外角性質(zhì)可得.∴.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識點,靈活運用三角形外角的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.13.(2022春·七年級單元測試)探究:中華人民共和國國旗上的五角星的每個角均相等,小明為了計算每個角的度數(shù),畫出了如圖①的五角星,每個角均相等,并寫出了如下不完整的計算過程,請你將過程補充完整.

(1)解:∵,.∴.∵________,∴________,∴________.(2)拓展:如圖②,小明改變了這個五角星的五個角的度數(shù),使它們均不相等,請你幫助小明求,,,,的和.(3)應(yīng)用:如圖③.小明將圖②中的點落在上,點落在上,若,則________.【答案】(1),,(2)(3)【分析】(1)根據(jù)閱讀材料、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、結(jié)合圖形解得即可;(2)根據(jù)閱讀材料、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、結(jié)合圖形解得即可;(3)根據(jù)閱讀材料、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、結(jié)合圖形解得即可;【詳解】(1),..,,;(2),..,;(3).【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì),掌握三角形內(nèi)角和等于和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.14.(2021秋·廣東東莞·八年級??茧A段練習)(1)如圖1,已知△ABC為直角三角形,∠C=90°,若沿圖中虛線剪去∠C,則∠1+∠2等于___________A.90°

B.135°

C.270°

D.315°(2)如圖2,已知△ABC中,∠A=40°,剪去∠A后成四邊形,則∠1+∠2=_______(3)如圖2,根據(jù)(1)與(2)的求解過程,請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是________________(4)如圖3,若沒有剪掉,而是把它折成如圖3形狀,試探究∠1+∠2與∠A的關(guān)系并說明理由.【答案】(1)C;(2)220°;(3)∠1+∠2=180°+∠A;(4)∠1+∠2=2∠A,證明見解析【分析】(1)先求出∠B+∠A的度數(shù),再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°,即可得出答案;(2)先求出∠B+∠C的度數(shù),再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°,即可得出答案;(3)先用∠A表示出∠B+∠C,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°,即可得到結(jié)論;(4)由折疊的性質(zhì)得∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,結(jié)合平角的定義和三角形內(nèi)角和定理,即可得到結(jié)論.【詳解】解:(1)∵△ABC為直角三角形,∠C=90°,∴∠B+∠A=180°-90°=90°,∴∠1+∠2=360°-(∠B+∠A)=270°.故選:C;(2)∵△ABC中,∠A=40°,∴∠B+∠C=180°-40°=140°,∴∠1+∠2=360°-(∠B+∠C)=220°.故答案是:220°;(3)∵△ABC中,∠B+∠C=180°-∠A,∴∠1+∠2=360°-(∠B+∠C)=360°-(180°-∠A)=180°+∠A.故答案是:∠1+∠2=180°+∠A;(4)∠1+∠2=2∠A,理由如下:如圖:∵△EFP是由△EFA折疊得到的,∴∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,∴∠1=180°-2∠AFE,∠2=180°-2∠AEF,∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF),又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A,∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A.【點睛】此題主要考查三角形內(nèi)角和定理,四邊形內(nèi)角和等于360°以及折疊的性質(zhì),掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵.15.(2023春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末)如圖,將三角板與三角板擺放在一起;如圖,其中,,.固定三角板,將三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角.

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中,當為度時,;當為度時,.(2)當時,連接,利用圖探究值的大小變化情況,并說明理由.【答案】(1),(2)不變,理由見解析【分析】(1)如圖,記與的交點為點,與的交點為點,由,可得,再利用角的和差關(guān)系可得答案;如圖,記與的交點為,求解,由角的和差關(guān)系可得答案;(2)如圖3,設(shè)分別交、于點、,在中,可得,結(jié)合,,從而可得答案.【詳解】(1)解:如圖,記與的交點為點,與的交點為點,

,

,,

,即,如圖,記與的交點為,

,,,,即,(2)當,,保持不變,理由如下:如圖3,設(shè)分別交、于點、,在中,,

,,,,.【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),平行線的性質(zhì),垂直的定義,三角形的外角的性質(zhì)的應(yīng)用,熟練的利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與三角形的外角的性質(zhì)解題是關(guān)鍵.16.(2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末)學習完平行線的知識后,甲,乙,丙三位同學利用兩個三角形進行探究活動,分別得到以下圖形.已知中,.請根據(jù)他們的敘述條件完成題目.

(1)若為等腰直角三角形,且;①甲同學:如圖1,和的直角邊在同一直線上,點E和點C互相重合,斜邊與相交于點P,那么度;②乙同學:如圖2,和直角頂點C,D互相重合于點P,斜邊與斜邊互相平行,求的度數(shù),并寫出解答過程;(2)若為等腰三角形,已知.丙同學:如圖3,若直角頂點D恰好與底邊的中點重合,的斜邊經(jīng)過的頂點C,若,設(shè),請用含x的式子表示的度數(shù),并寫出解答過程.【答案】(1)①105;②75°(2)【分析】(1)①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)進行求解即可;②過點P作,利用平行線的判定和性質(zhì),進行求解即可;(2)利用等邊對等角,平行線的性質(zhì),以及三角形的外角的性質(zhì),進行求解即可.【詳解】(1)解:①∵,∴,∵,∴,∴,故答案為:105;②∵,∴,如圖2,過點P作,

∵,∴,∴,∴;(2)由②得:,∵,∴,∵,∴,∴.【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì),平行線的判定和性質(zhì).熟練掌握相關(guān)知識點,并靈活運用是解題的關(guān)鍵.17.(2023春·安徽宿州·八年級校聯(lián)考期中)小明善于用數(shù)學的眼光觀察生活,從中找到數(shù)學研究的樂趣.他用一副三角板拼成了如下兩幅圖.

(1)圖1中,的度數(shù)是______.(2)①求圖1中的度數(shù);②圖2中,,求的度數(shù).【答案】(1)(2)①;②【分析】(1)由三角板可知,,然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可;(2)①由三角板可知,,然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可;②由三角板可知,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出的度數(shù),再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可.【詳解】(1)解:∵,,∴,故答案為:;(2)解:①∵,,∴;②∵,,∴,又∵,∴.【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì),平行線的性質(zhì),熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.18.(2022秋·湖北省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期中)如圖所示,有一塊直角三角板足夠大,其中,把直角三角板放置在銳角上,三角板的兩邊、恰好分別經(jīng)過、.(1)若,則______,______,______(2)若,則______.(寫出求解過程)(3)請你猜想一下與所滿足的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)140,90,50;(2)35,過程見解析;(3),理由見解析.【分析】(1)在中,由和三角形內(nèi)角和定理求得,在中,由及三角形內(nèi)角和定理求得,即可求得;(2)按照(1)的過程即可得到答案;(3)在中,.在中,,利用,即可得到答案.【詳解】(1)在中,,,在中,,,;故答案為:140,90,50.(2)在中,,,在中,,,,故答案為:35;(3)與之間的數(shù)量關(guān)系為:.理由如下:在中,.在中,.,.【點睛】此題主要考查三角形內(nèi)角和定理,熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵.19.(2023春·七年級課時練習)(1)如圖①,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù);(2)如圖②,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠

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