專題02 平行線中的拐點(diǎn)模型之鉛筆頭模型（原卷版）

專題02平行線中的拐點(diǎn)模型之鉛筆頭模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問(wèn)題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（鉛筆頭模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來(lái)，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型2：鉛筆頭模型圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型證明】在圖1中，過(guò)P作AM的平行線PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在圖2中，過(guò)P1作AM的平行線P1C，過(guò)點(diǎn)P2作AM的平行線P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在圖3中，過(guò)各角的頂點(diǎn)依次作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）如圖，已知，，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．例2．（2023下·綿陽(yáng)市·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D1是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸．如圖2是手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知，，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．例3．（2023下·遼寧鞍山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，下列結(jié)論正確的是（

）

A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEFC．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°例4．（2023春·新疆·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．例5．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)期末）如圖，，，，已知，則的度數(shù)為．

例6．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，，若，下列各式：①

②

③

④其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④例7．（2023下·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各圖中的與平行．

圖中的，圖中的，圖中的，圖中的，據(jù)此推測(cè)，圖中的例8．（2023下·河南安陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【學(xué)習(xí)新知】射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面的夾角為，反射光線與水平鏡面的夾角為，則．(1)【初步應(yīng)用】生活中我們可以運(yùn)用“激光”和兩塊相交的平面鏡進(jìn)行測(cè)距．如圖2當(dāng)一束“激光”射到平面鏡上，被平面鏡反射到平面鏡上，又被平面鏡反射后得到反射光線，回答下列問(wèn)題：①當(dāng)，（即時(shí)，求的度數(shù)；②當(dāng)時(shí)，任何射到平面鏡上的光線經(jīng)過(guò)平面鏡和的兩次反射后，入射光線與反射光線總是平行的．請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)及新知說(shuō)明理由．（提示：三角形的內(nèi)角和等于(2)【拓展探究】如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線經(jīng)過(guò)三次反射，得到反射光線已知，若要使，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)________；例9．（2023下·河南平頂山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）我們知道，兩條平行線被第三條直線所截，可以得到一些相等的角或者互補(bǔ)的角，所以在某些探究性問(wèn)題中通過(guò)“構(gòu)造平行線”可以起到將直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的數(shù)量關(guān)系的作用．

問(wèn)題初探：（1）如圖1，，用等式表示之間的數(shù)量關(guān)系．分析：過(guò)點(diǎn)作，則有，因?yàn)椋?，所以，從而可以得到之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你直接寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系______．類比再探：（2）如圖2，，用等式表示之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．拓展應(yīng)用：（3）利用上面（1）、（2）得出的結(jié)論完成下題：已知，如圖3，，與兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)．①若，求的度數(shù)．②若的度數(shù)用表示，的度數(shù)用表示，則與的之間的關(guān)系式為_(kāi)_____．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023下·山西·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）小林乘車進(jìn)入車庫(kù)時(shí)仔細(xì)觀察了車庫(kù)門口的“曲臂直桿道閘”，并抽象出如圖所示的模型，已知垂直于水平地面．當(dāng)車牌被自動(dòng)識(shí)別后，曲臂直桿道閘的段繞點(diǎn)緩慢向上旋轉(zhuǎn)，段則一直保持水平狀態(tài)上升（即與始終平行），在該過(guò)程中始終等于（

）

A． B． C． D．2．（2023上·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，一束光線先后經(jīng)平面鏡，反射后，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為（）

A．55° B．70° C．60° D．35°3．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，，則（

）A．150° B．180° C．210° D．240°4．（2023下·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，按虛線剪去長(zhǎng)方形紙片的相鄰兩個(gè)角，并使，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知直線，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，若，，交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．（2022上·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為．（用含n的式子表示）7．（2023上·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在五邊形中滿足，則圖形中的的值是．

8．（2023下·山西呂梁·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一款長(zhǎng)臂折疊護(hù)眼燈示意圖，與桌面垂直，當(dāng)發(fā)光的燈管恰好與桌面平行時(shí)，，，則的度數(shù)為°．

9．（2023下·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，，，則．10．（2023下·甘肅·七年級(jí)校考期中）如圖，，已知，．則度．

11．（2023下·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一環(huán)湖公路的段為東西方向，經(jīng)過(guò)四次拐彎后，又變成了東西方向的段，則的度數(shù)是．

12．（2023下·河南許昌·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，于，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，．

13．（2023下·山東棗莊·七年級(jí)校考期中）如圖，已知，，，，平分，則．

14．（2023·江蘇鹽城·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，則．

15．（2023上·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知，若，，則α與β之間的數(shù)量關(guān)系為．

16．（2023下·遼寧鐵嶺·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖已知：，，平分，，有下列結(jié)論：①；②③；④，其中，正確的結(jié)論有．（填序號(hào)）

17．（2023下·河南安陽(yáng)·七年級(jí)校考期中）圖1是一種網(wǎng)紅彈弓的實(shí)物圖，在兩頭系上皮筋，拉動(dòng)皮筋可形成如圖2的平面示意圖，彈弓的兩邊可看成是平行的，即，活動(dòng)小組在探索與，之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，有如下發(fā)現(xiàn)：當(dāng)拉起皮筋使時(shí)，瞄準(zhǔn)最準(zhǔn)確．現(xiàn)測(cè)得，，則此次瞄準(zhǔn)是否最準(zhǔn)確？

18．（2023下·上海浦東新·七年級(jí)校考期中）如圖，已知，，那么等于多少度？為什么？

解：過(guò)點(diǎn)E作，得（____________），因?yàn)椋╛___________），（所作），所以（____________）．得____________（____________）．所以______°（等式性質(zhì)）．即______°，因?yàn)椋ㄒ阎?，所以______°（等式性質(zhì)）．19．（2023下·天津?yàn)I海新·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，四邊形為一張長(zhǎng)方形紙片．

（1）如圖2，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（），則__________°．（2）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（），則__________°．（3）如圖4，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（），則___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是____________°．20．（2023下·江西南昌·七年級(jí)校考期中）【課本再現(xiàn)】（1）①如圖1，已知，直接寫(xiě)出，和滿足的等式關(guān)系；②如圖2，已知，直接寫(xiě)出，和滿足的等式關(guān)系；【知識(shí)應(yīng)用】（2）如圖3是微信聊天對(duì)話框，圖4是其示意圖的一部分，已知，，寫(xiě)出，和滿足的等式關(guān)系，并說(shuō)明理由．

21．（2023·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫(xiě)出你的猜想并證明．22．（2023下·河南三門峽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下圖所示的格線彼此平行，小明在格線中作已知角，探究角的兩邊與格線形成的銳角所滿足的數(shù)量關(guān)系，他先作出．(1)如圖1，點(diǎn)O在一條格線上，當(dāng)時(shí)，__________；(2)如圖2，點(diǎn)O在兩條格線之間，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（可根據(jù)證明的需要用a，b，c，…來(lái)表示圖中的格線）；(3)在圖3中，記與圖中一條格線形成的銳角為，小明作射線，使得，記與圖中一條格線形成的銳角為，請(qǐng)直接用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系．

23．（2023下·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：如圖，，，分別是，上的點(diǎn)，點(diǎn)在，之間，連接，我們可以通過(guò)作輔助線證明結(jié)論：．請(qǐng)你利用這個(gè)結(jié)論或證明思路，完成下列問(wèn)題．已知，，分別是，上的點(diǎn)，點(diǎn)在，之