專題15 三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型（解析版）

專題15三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想，近年在中考數(shù)學和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短?！灸Ｐ捅尘啊繌那坝袀€少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.知識儲備：在直角三角形中銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即?！灸Ｐ徒庾x】一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點D和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點M．③作射線交于點F．若點P是線段上的一個動點，連接，則的最小值是．【答案】【分析】過點P作于點Q，過點C作于點H，先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求出，然后利用含的直角三角的性質(zhì)得出，則，當C、P、Q三點共線，且與垂直時，最小，最小值為，利用含的直角三角的性質(zhì)和勾股定理求出，，最后利用等面積法求解即可．【詳解】解：過點P作于點Q，過點C作于點H，由題意知：平分，∵，，∴，∴，∴，∴，∴當C、P、Q三點共線，且與垂直時，最小，最小值為，∵，，，∴，∴，∵，∴，即最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，注意掌握利用等積法求三角形的高或點的線的距離的方法．例2．（2023上·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，在長方形中，，，點在上，連接，在點的運動過程中，的最小值為．

【答案】/【分析】在線段下方作，過點作于點，連接，求出此時的長度便可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∴，，，∴，在線段下方作，過點作于點，連接，

∴，∴，當、、三點共線時，的值最小，此時，∴，∴，，∴，∴的最小值為：，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了長方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，垂線段最短性質(zhì)，關鍵是作輔助線構造的最小值．例3．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在菱形中，，，對角線、相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值為．【答案】【分析】過作，由菱形，，得到為平分線，求出，在中，利用角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到，故，求出的最小值即為所求最小值，當、、三點共線時最小，求出即可．【詳解】解：過作，菱形，，，，即為等邊三角形，，在中，，，當、、三點共線時，取得最小值，，，，在中，，則的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關鍵．例4．（2023·廣東佛山·?？家荒＃┰谶呴L為1的正方形中，是邊的中點，是對角線上的動點，則的最小值為___________．【答案】0【分析】作于，可得出，從而得的最小值，將變形為，進一步得出結果．【詳解】解：如圖，作于，∵四邊形是正方形，，，的最小值為0，∵，∴的最小值為0，故答案為：0．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題關鍵是作輔助線轉(zhuǎn)化線段．例5．（2023.廣西九年級期中）如圖，AC是圓O的直徑，AC＝4，弧BA＝120°，點D是弦AB上的一個動點，那么OD+BD的最小值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵的度數(shù)為120°，∴∠C＝60°，∵AC是直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，連接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，根據(jù)垂線段最短可知，當點E與M重合時，OD+BD的值最小，最小值為OM，∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB?sin60°＝，∴DB+OD的最小值為，故選：B．例6．（2023·山東·九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【分析】過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．根據(jù)，求出的最小值即可解決問題．【詳解】解：過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的相關性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．例7．（2022·湖南九年級期中）如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個頂點，將三角形分成兩個三角形，其中一個三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點D，連接AD．(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)如圖2，點P為直線DE上一點，當點P運動到什么位置時，PA+PC的值最?。壳蟠藭rPA+PC的長度．(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點Q為射線CF上一點，當取最小值時，求∠QAC的正弦值．【答案】(1)直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)當點運動到點時，PA+PC的值最小，此時；(3)∠QAC的正弦值為【分析】（1）根據(jù)定義證明△DBA∽△ABC即可得證；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，當點與重合時，,此時最小，設，則，根據(jù)，列出方程，解方程求解即可求得，進而即可求得的長，即最小值；（3）過點作于點，過點作于點，連接，設與交于點，根據(jù)已知條件求得，進而轉(zhuǎn)化為，則當點落在上時，點與點重合，此時的值最小，最小值為，進而根據(jù)求解即可．（1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=36°∵DE垂直平分AB∴AD=BD∴∠B=∠BAD=36°∴∠C=∠BAD又∵∠B=∠B∴△DBA∽△ABC∴直線AD是△ABC的自相似分割線．（2）如圖，連接，，垂直平分AB，當點與重合時，,此時最小，，設，則解得：PA+PC=當點運動到點時，PA+PC的值最小，此時；（3）如圖，過點作于點，過點作于點，連接，設與交于點，，由（2）知，平分點落在上時，點與點重合，即此時的值最小，最小值為∠QAC的正弦值為【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正弦，垂直平分線的性質(zhì)，兩點之間線段最短，垂線段最短，胡不歸問題，轉(zhuǎn)化線段是解題的關鍵．例8．（2022·湖北武漢·九年級期末）如圖，?中，，，為邊上一點，則的最小值為______．【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延長線于H，由直角三角形的性質(zhì)可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，當H、P、B三點共線時HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【詳解】如圖，過點作，交的延長線于，四邊形是平行四邊形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴當點，點，點三點共線時，HP+PB有最小值，即有最小值，此時，，，∴，則最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識．構造直角三角形是解題的關鍵．例9．（2023.重慶九年級一診）如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為線段AC的中點，直線BD與拋物線交于另一點E，與y軸交于點F．（1）求直線BD的解析式；（2）如圖②，點P是直線BE上方拋物線上一動點，連接PD，PF，當△PDF的面積最大時，在線段BE上找一點G，使得PG﹣GE的值最小，求出點G的坐標及PG﹣GE的最小值；【答案】（1）y＝x+1；（2）點G（，），最小值為；【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出點A和點B的坐標，令x=0，可求出點C的坐標，再根據(jù)點D時AC的中點，可求出點D的坐標，利用待定系數(shù)法求直線解析式即可．（2）求三角形的面積最值可以轉(zhuǎn)化為求線段長度的最大值，利用點坐標表示線段長度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可將不共線的線段轉(zhuǎn)換為共線的線段長度．【詳解】解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0），令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D為AC的中點，∴D（2，2），設直線BD的解析式為y＝kx+b（k≠0），代入點B和點D，，解得，∴直線BD的解析式為y＝x+1．（2）如圖所示，過點P作y軸的平行線，交BE交于點H，設點P的坐標為（t，﹣t2+t+4），則點H為（t，t+1），∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，當t＝時，PH最大，此時點P為（，），當PH最大時，△PDF的面積也最大．∵直線BD的解析式為y＝x+1，令x＝0，y＝1，∴點F（0，1），在Rt△BFO中，根據(jù)勾股定理，BF＝，∴sin∠FBO＝過點E作x軸的平行線與過點G作y軸的平行線交于點M，∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG?sin∠MEG＝EG，∴PG﹣GE＝PG﹣MG，當P、M、G三點共線時，PG﹣MG＝PM，否則都大于PM，∴當P、M、G三點共線時，PG﹣MG最小，此時點G與點H重合，令﹣x2+x+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴點E（3，），∴PM＝﹣＝，∴點G（，），∴點G（，），PG﹣GE的最小值為．【點睛】本題考查二次函數(shù)求最值問題，線段的和差求最值問題，找等腰三角形的分類討論，綜合性較強．課后專項訓練1．（2023·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是，點C的坐標是，點是x軸上的動點，點B在x軸上移動時，始終保持是等邊三角形（點P不在第二象限），連接，求得的最小值為（

）A． B．4 C． D．2【答案】C【分析】如圖1所示，以OA為邊，向右作等邊△AOD，連接PD，過點D作DE⊥OA于E，先求出點D的坐標，然后證明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，則點P在經(jīng)過點D且與AD垂直的直線上運動，當點P運動到y(tǒng)軸時，如圖2所示，證明此時點P的坐標為（0，-2）從而求出直線PD的解析式；如圖3所示，作點A關于直線PD的對稱點G，連接PG，過點P作PF⊥y軸于F，設直線PD與x軸的交點為H，先求出點H的坐標，然后證明∠HCO=30°，從而得到，則當G、P、F三點共線時，有最小值，即有最小值，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出點G在x軸上，則OG即為所求．【詳解】解：如圖1所示，以OA為邊，向右作等邊△AOD，連接PD，過點D作DE⊥OA于E，∵點A的坐標為（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴點D的坐標為；∵△ABP是等邊三角形，△AOD是等邊三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，∴點P在經(jīng)過點D且與AD垂直的直線上運動，當點P運動到y(tǒng)軸時，如圖2所示，此時點P與點C重合，∵△ABP是等邊三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，∴此時點P的坐標為（0，-2），設直線PD的解析式為，∴，∴，∴直線PD的解析式為；如圖3所示，作點A關于直線PD的對稱點G，連接PG，過點P作PF⊥y軸于F，連接CG，設直線PD與x軸的交點為H，∴點H的坐標為，∴，∴∠OCH=30°，∴，由軸對稱的性質(zhì)可知AP=GP，∴，∴當G、P、F三點共線時，有最小值，即有最小值，∵A、G兩點關于直線PD對稱，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即點D為AG的中點，∵點A的坐標為（0，2），點D的坐標為，∴AG=2AD=2OA=4，∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等邊三角形，∵OC=OA，∴OG⊥AC，即點G在x軸上，∴由勾股定理得，∴當點P運動到H點時，有最小值，即有最小值，最小值即為OG的長，∴的最小值為，故選：C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，軸對稱最短路徑問題，解直角三角形等等，正確作出輔助線確定點P的運動軌跡是解題的關鍵．2．（2023·廣東東莞·校考三模）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠B＝120°．點P是對角線AC上一點（不與端點A重合），則AP+PD的最小值為_____．【答案】3【分析】過點P作PE⊥AB于點E，過點D作DF⊥AB于點F，根據(jù)四邊形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，當點D，P，E三點共線且DE⊥AB時，PE+DP的值最小，最小值為DF的長，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，過點P作PE⊥AB于點E，過點D作DF⊥AB于點F,∵四邊形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3;∵AP+PD＝PE+PD,∴當點D，P，E三點共線且DE⊥AB時,PE+DP的值最小，最小值為DF的長,∴AP+PD的最小值為3.故答案為：3.【點睛】本題考查菱形性質(zhì)，結合直角三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)知識點，準確判斷最小值的判定.3．（2023春·廣東廣州·九年級校考階段練習）如圖，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值等于______．【答案】4【分析】由四邊形是菱形，根據(jù)已知線段長度，將轉(zhuǎn)化，再根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】解：如圖，連接交于點M，過點M作于點H，過點A作于點G，交于點P，四邊形是菱形，邊長為5，，，，，，，，，，，，，，即，，當A，P，G三點共線且時，取最小值，最小值為，菱形的面積，，的最小值是4．故答案為：4．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形，以及最短路徑問題，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積公式，將轉(zhuǎn)化為是解題的關鍵．4．（2023·廣東珠?！ば？既＃┤鐖D，在中，，，，點是斜邊上的動點，則的最小值為.

【答案】【分析】根據(jù)兩點之間線段最短畫出圖形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：過點做，過點作于，過點作于點，∴，∴，∵兩點之間線段最短，∴當共線時，的值最小，即的最小值為，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，故答案為．

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．5．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點P是對角線AC上的動點，連接PD，則PA＋2PD的最小值________．【答案】6【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再將原式變形，進而得出PA+PD最小值，進而得出答案．【詳解】過點A作∠CAN=30°，過點D作DM⊥AN于點M，交AC于點P，∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=，∴∠CAB=60°，則∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD），，此時PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案為：6．【點睛】此題主要考查了胡不歸問題，正確作出輔助線是解題關鍵．6．（2023.成都市九年級期中）如圖，中，，，，為邊上的一動點，則的最小值等于．解：如圖，過點作，交的延長線于點，，當點，點，點三點共線且時，有最小值，即最小值為，故答案為：7．（2023·浙江寧波·九年級開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為__________．【答案】6【分析】先求出點A，點B坐標，由勾股定理可求AB的長，作點B關于OA的對稱點，可證是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH＝AC，則，即當點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，∴點A（3，0），點，∴AO＝3，，∴，作點B關于OA的對稱點，連接，，過點C作CH⊥AB于H，如圖所示：∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴當點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此時，，是等邊三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值為6．故答案為：6．【點睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定點C的位置是解題的關鍵．8．（2023·廣東中山·統(tǒng)考二模）如圖，菱形的對角線，點E為對角線上的一動點，則的最小值為_________．【答案】3【分析】過點作的垂線，垂足為，過點作，根據(jù)已知條件求得的長，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可得，當時，最小，股定理求得的長即可求解．【詳解】如圖，過點作的垂線，垂足為，過點作， 中，，如圖，當時，最小，最小值為的最小值為．故答案為：【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對稱求線段和的最小值，垂線段最短，轉(zhuǎn)化線段是解題的關鍵．9．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點，點C（0，1）在y軸上，點P在x軸上運動，則PC＋PB的最小值為___．【答案】4【詳解】思路引領：過P作PD⊥AB于D，依據(jù)△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，進而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，當C，P，D在同一直線上時，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂線段CD的長，求得CD的長，即可得出結論．答案詳解：如圖所示，過P作PD⊥AB于D，∵直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點，令x＝0，則y＝﹣3；令y＝0，則x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），當C，P，D在同一直線上，即CD⊥AB時，PC+PD的值最小，最小值等于垂線段CD的長，此時，△ACD是等腰直角三角形，又∵點C（0，1）在y軸上，∴AC＝1+3＝4，∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值為，∴PC+PB的最小值為4，故答案為：4．10．（2023·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分別以OC、OA所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的坐標系，連接OB，反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖象經(jīng)過線段OB的中點D，并與矩形的兩邊交于點E和點F，直線l：y=kx+b經(jīng)過點E和點F．（1）寫出中點D的坐標，并求出反比例函數(shù)的解析式；（2）連接OE、OF，求△OEF的面積；（3）如圖②，將線段OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得點B的對應點H恰好落在x軸的正半軸上，連接BH，作OM⊥BH，點N為線段OM上的一個動點，求HN+ON的最小值．

【答案】（1）D(，2)，y=；（2）；（3）4．【分析】（1）首先確定點B坐標，再根據(jù)中點坐標公式求出點D的坐標即可解決問題．（2）求出點E，F(xiàn)的坐標，再根據(jù)S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB計算即可．（3）如圖②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先證明：sin∠JOD＝，推出NJ＝ON?sin∠NOD＝ON，推出NH＋ON＝NH＋NJ，根據(jù)垂線段最短可知，當J，N，H共線，且與HK重合時，HN＋ON的值最小，最小值＝HK的長，由此即可解決問題．【詳解】（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，∴B(3，4)．∵OD=DB，∴D(，2)．∵y=經(jīng)過D(，2)，∴k=3，∴反比例函數(shù)的解析式為y=．（2）如圖①中，連接OE，OF．由題意E(，4)，F(xiàn)(3，1)，

∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×(3﹣)=．（3）如圖②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．由題意OB=OH=5，∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，∴BH==2，∴sin∠CBH==．∵OM⊥BH，∴∠OMH=∠BCH=90°．∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，∴∠MOH=∠CBH．∵OB=OH，OM⊥BH，∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，∴sin∠JOD=，∴NJ=ON?sin∠NOD=ON，∴NH+ON=NH+NJ，根據(jù)垂線段最短可知，當J，N，H共線，且與HK重合時，HN+ON的值最小，最小值=HK的長．∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，∴HK=BC=4，∴HN+ON是最小值為4．【點睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積，最短問題等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．11．（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形的對角線，相交于點O，關于的對稱圖形為．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接，若，．①求的值；②若點P為線段上一動點（不與點A重合），連接，一動點Q從點O出發(fā)，以的速度沿線段勻速運動到點P，再以的速度沿線段勻速運動到點A，到達點A后停止運動．設點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間為t，求t的最小值．【答案】(1)見解析(2)①；②t的最小值為3【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，折疊的性質(zhì)可得，即可求證；（2）①連接交于點M，作交的延長線于H，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，，通過證明四邊形是矩形，得出，，則，根據(jù)勾股定理得出最后根據(jù)，即可求解；②根據(jù)題意得出點Q的運動時間，連接，過點P作于H，則，進而得出，根據(jù)垂線段最短可知，當點O，P，H共線且與重合時，t有最小值，t的最小值為的值，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵關于的對稱圖形為，∴，∴四邊形是菱形．（2）解：①如答圖1中，連接交于點M，作交的延長線于H．

∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴為中位線，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，在中，∴

②由題意得：點Q的運動時間如答圖2中，連接，過點P作于H，由①，得過點O作于M．如答圖2根據(jù)垂線段最短可知，當點O，P，H共線且與重合時，t有最小值，t的最小值為的值，

又所以t的最小值為3．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用垂線段最短解決最值問題，是中考壓軸題．12．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）（1）【問題原型】如圖①，在，，，求點到的距離．（2）【問題延伸】如圖②，在，，．若點在邊上，點在線段上，連結，過點作于，則的最小值為______．（3）【問題拓展】如圖（3），在矩形中，．點在邊上，點在邊上，點在線段上，連結．若，則的最小值為______．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）過點作于，過點作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由勾股定理可得的長，再由，即可求解；（2）連接，過點作于，過點作于．根據(jù)題意可得的最小值等于的長，再由當時，的長最小，可得的最小值等于的長，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由勾股定理可得的長，再由，即可求解；（3）過點F作于點H，連接，過點E作于點G，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得在，從而得到，繼而得到的最小值等于，再由當時，的長最小，即的長最小，可得的最小值等于，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，過點作于，過點作于．∵，∴．在中，．∵，∴．∴點到的距離為．（2）如圖，連接，過點作于，過點作于．∵，∴的最小值等于的長，∵當時，的長最小，此時點Q與點H重合，∴的最小值等于的長，∵，∴．在中，．∵，∴．即的最小值為；故答案為：（3）如圖，過點F作于點H，連接，過點E作于點G，在中，，∴，∴，∴的最小值等于，∵當時，的長最小，即的長最小，此時點H與點G重合，∴的最小值等于，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，即的最小值等于．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．13．（2022·江蘇·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點到的三個頂點的距離分別為、、，若有，則稱點為關于點的勾股點．（1）如圖2，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點、、、、、、均在小正方形的頂點上，則點E是關于點B的勾股點.（2）如圖3，是矩形內(nèi)一點，且點是關于點的勾股點,①求證：；②若，，求的度數(shù)．（3）如圖3，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點，且點是關于點的勾股點．①當時，求的長；②直接寫出的最小值．【答案】（2）①證明見解析；②30°；（3）①AE的長為或；②．【分析】（2）①由矩形性質(zhì)得∠ADC=90°，可得AD2+DC2=AC2；根據(jù)勾股數(shù)得BC2+EC2=AC2，又因為AD=BC，即得CE=CD．②設∠CED=α，根據(jù)∠AEC=135°和CE=CD即∠ADC=90°，可用α表示△ADE的三個內(nèi)角，利用三角形內(nèi)角和180°為等量關系列方程，即求出α進而求出∠ADE．（3）由條件“點C是△ABE關于點A的勾股點”仍可得CE=CD=5，作為條件使用．①△ADE是等腰三角形需分3種情況討論，把每種情況畫圖再根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理計算，即能求AE的長．②在CB上截取CH=，利用兩邊對應成比例及夾角相等構造△ECH∽△BCE，把BE轉(zhuǎn)化為EH，所以當點A、E、H在同一直線上時，AE+BE=AH取得最小值，利用勾股定理求出AH即可．【詳解】解：（2）①證明：∵點C是△ABE關于點A的勾股點∴CA2=CB2+CE2∵四邊形ABCD是矩形∴AB=CD，AD=BC，∠ADC=90°∴CA2=AD2+CD2=CB2+CD2∴CB2+CE2=CB2+CD2∴CE=CD②設∠CED=α，則∠CDE=∠CED=α∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-α∵∠AEC=135°∴∠AED=∠AEC-∠CED=135°-α∵DA=DE∴∠DAE=∠DEA=135°-α∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°∴2（135°-α）+（90°-α）=180°解得：α=60°∴∠ADE=90°-60°=30°（3）①∵矩形ABCD中，AB=5，BC=8∴AD=BC=8，CD=AB=5∵點C是△ABE關于點A的勾股點∴CE=CD=5i）如圖1，若DE=DA，則DE=8過點E作MN⊥AB于點M，交DC于點N∴∠AME=∠MND=90°∴四邊形AMND是矩形∴MN=AD=8，AM=DN設AM=DN=x，則CN=CD-DN=5-x∵Rt△DEN中，EN2+DN2=DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2=CE2∴DE2-DN2=CE2-CN2∴82-x2=52-（5-x）2解得：x=∴EN=，AM=DN=∴ME=MN-EN=8-,∴Rt△AME中，AE=ii）如圖2，若AE=DE，則E在AD的垂直平分線上過點E作PQ⊥AD于點P，交BC于點Q∴AP=DP=AD=4，∠APQ=∠PQC=90°∴四邊形CDPQ是矩形∴PQ=CD=5，CQ=PD=4∴Rt△CQE中，EQ=＝3∴PE=PQ-EQ=2∴Rt△APE中，AE=iii）如圖3，若AE=AD=8，則AE2+CE2=AD2+CD2=AC2∴∠AEC=90°取AC中點O，則點A、B、C、D在以O為圓心、OA為半徑的⊙O上∴點E也在⊙O上∴點E不在矩形ABCD內(nèi)部，不符合題意綜上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的長為或．②在CB上截取CH=，連接EH∴,∵∠ECH=∠BCE∴△ECH∽△BCE∴,∴EH=BE∴AE+BE=AE+EH∴當點A、E、H在同一直線上時，AE+BE=AH取得最小值∵BH=BC-CH=8-＝,∴AH=∴AE+BE的最小值為．【點睛】此題考查勾股定理、勾股定理逆定理的應用，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解一元一次方程和一元二次方程，圓的定義和圓周角定理．解題關鍵是對新定義概念的性質(zhì)運用，第（3）①題等腰三角形的分類討論需數(shù)形結合把圖形畫出后再解題，②可利用特殊位置試算得到最小值，計算過程較繁瑣復雜．14．（2023.上海九年級月考）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過x軸上的點和點B（點A在點B左側(cè)）及y軸上的點C，經(jīng)過B、C兩點的直線為，頂點為D，對稱軸與x軸交于點Q．（1）求拋物線的表達式；（2）連接．若點P為直線上方拋物線上一動點，過點P作軸交于點E，作于點F，過點B作交y軸于點G．點H，K分別在對稱軸和y軸上運動，連接．①求的周長為最大值時點P的坐標；②在①的條件下，求的最小值及點H的坐標．【答案】（1）；（2）①；②的最小值為10，此時點H的坐標為【分析】（1）先求出點C的坐標，可得到n，進而求出點B的坐標，再將點A、C的坐標代入，即可求解；（2）①設點P的坐標，并表示出點E的坐標，從而得到PE，再根據(jù)△PFE∽△BOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；②如圖，將直線OG繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到直線l，作，垂直分別為，則∠MGO=60°，從而得到，，從而得到當點H位于拋物線對稱軸與OP的交點時，最小，最小值為PM，然后證得點P、O、M三點共線，即可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過y軸上的點C，∴當時，，∴點，將點，代入，得：，∴直線BC的解析式為，當時，，∴點B（4,0），將點，B（4,0），代入，得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）①設，則，∴，設△PEF的周長為m，∵，∴∠PEF=∠BCO，∵∠PFO=∠BCO=90°，∴△PFE∽△BOC，∴，∵點B（4,0），，∴，∴，∴，∴，∴當時，m最大，此時，即的周長為最大值時點P的坐標為；②拋物線的對稱軸為，如圖，將直線OG繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到直線l，作，垂直分別為，則∠MGO=60°，∴，，∴，∴當點H位于拋物線對稱軸與OP的交點時，最小，最小值為PM，∵∠MGO=60°，∴∠MOG=30°，∵，∴，，∴∠POB=60°，∴∠MOG+∠BOG+∠POB=180°，∴點P、O、M三點共線，設直線AC的解析式為，∵，∴，解得：，∴直線AC的解析式為，∵，∴可設直線BG的解析式為，把點B（4,0），代入得：，∴直線BG的解析式為，∴點，∴，∴，∴PM=10，∴的最小值為10，∵∠POB=60°，拋物線對稱軸為，∴此時點H的縱坐標為，∴的最小值為10，此時點H的坐標為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結合思想解答是解題的關鍵．15．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預測）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點F在線段AC上，連接BF，延長CA至點D，連接BD，滿足∠ABF＝∠ABD，H是線段BC上一動點（不與點B、C重合），連接DH交BF于點E，交AB于點G．(1)如圖①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的長；(2)如圖②，若∠CDH+∠BFD∠DEF，猜想AD與CH的數(shù)量關系，并證明你猜想的結論：(3)如圖③，在（1）的條件下，P是△BCD內(nèi)一點，連接BP，DP，滿足∠BPD＝150°，是否存在點P、H，使得2PH+CH最??？若存在，請直接寫出2PH+CH的最小值．【答案】(1)2(2)CHAD，證明見解析(3)存在，2【分析】（1）解斜三角形BCD可求得結果；（2）作HN//AB交AC于N，作NM⊥BC于M，求得∠C＝∠NHC＝30°，于是CH＝2HMHN，由條件推出∠BED＝∠BAD＝60°，進而證明△ABD≌△NDH，進一步可求得結果；（3）作等邊三角形BDO，以O為圓心，OB＝BD＝2為半徑作圓O，確定點P在⊙O上運動，作∠BCR＝30°，作HN⊥CR，可得HN，從而得出PH+HN最小時，P、H、N共線，且PHN過點O，作OQ⊥CR于Q交AB于T，作BT⊥OQ于T，解Rt△BOT，Rt△BCR，進一步求得結果．【詳解】（1）如圖1，作DM⊥BC于M，∴∠BMD＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∴∠A