專題06 相似三角形中的基本模型之半角模型（原卷版）

專題06相似三角形中的基本模型之半角模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.半角模型（相似模型）【常見模型及結(jié)論】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°結(jié)論：如圖1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；圖1圖2結(jié)論：如圖2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；結(jié)論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4結(jié)論：如圖4，△BME∽△AMN∽△DFN.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型圖1圖2條件：如圖1，已知∠BAC＝90°，；結(jié)論：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③（）（2）含60°半角模型條件：如圖1，已知∠BAC＝120°，；結(jié)論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）例1．（2023·福建泉州·九年級?？计谥校┤鐖D，在正方形中，點(diǎn)分別是邊上的兩點(diǎn)，且分別交于.下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）A．②③④ B．①④ C．①②③ D．①②③④例2．（2023·湖南永州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，若，且，則的長為（

）．A． B． C． D．5例3．（2023·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，在Rt中，．求證：．例4．（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，中，，，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，，，則的長為．例5．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）在菱形中，．點(diǎn)，分別在邊，上，且．連接，．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）平分交于點(diǎn)．①如圖2，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長．②如圖3，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)不重合）．當(dāng)，時(shí)，是否存在直線將分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1∶3．若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．例6．（2023·江西吉安·統(tǒng)考一模）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)．讓我們一起動(dòng)手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動(dòng)帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．（1）_________，寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：_________（不需要添加字母）；轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q，連接PQ，如圖2．（2）線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為_________；（3）連接正方形對角線BD，若圖2中的的邊AP、AQ分別交對角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N．如圖3，則________；剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4．（4）求證：．例7．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考二模）【教材呈現(xiàn)】（1）如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形和擺放在一起，點(diǎn)為公共頂點(diǎn)，，若固定不動(dòng)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，邊，與邊分別交于點(diǎn)，（點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)不與點(diǎn)重合），則結(jié)論是否成立______（填“成立”或“不成立”）；【類比引申】（2）如圖2，在正方形中，為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)角，兩邊分別與，交于點(diǎn)，，且滿足，求證：；【拓展延伸】（3）如圖3，菱形的邊長為，，的兩邊分別與，相交于點(diǎn)，，且滿足，若，則線段的長為______．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023.廣東九年級期中）如圖，在中，，點(diǎn)D、E在邊上，，若，則的面積為（）A．20 B．24 C．32 D．362．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，點(diǎn)D、E為BC邊上的兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，連接EF、BF，則下列結(jié)論不正確的是（

）．A．△AED≌△AEFB．△ABE∽△ACDC．BE+DC＞DED．BE2+DC2=DE23．（2022·湖北·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（）①∠EAF＝45°；②△ABE∽△ACD；③AE平分∠CAF；④BE2+DC2＝DE2．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2023·湖北黃岡·九年級專題練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長為，為邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），將沿翻折至，延長交邊于點(diǎn)，連接，．則下列給出的判斷：①；②若，則；③若為的中點(diǎn)，則的面積為；④若，則，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④5．（2023秋·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形中，的頂點(diǎn)，分別在，邊上，高與正方形的邊長相等，連接分別交，于點(diǎn)，，下列說法：①；②連接，，則為直角三角形；③；④若，，則的長為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A．4 B．3 C．2 D．16．（2021秋·福建泉州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，AE、AF分別交BD于M、N，連按EN、EF，有以下結(jié)論：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③當(dāng)AE=AF時(shí)，；④BE+DF=EF；⑤若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，則CECB．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．2 B．3 C．4 D．57．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖，等腰直角三角形，，D，E是上的兩點(diǎn)，且，過D，E作分別垂直，垂足為M，N，交于點(diǎn)F，連接．其中①四邊形是正方形；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中，正確結(jié)論有．（填序號）

8．（2022·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）如圖，已知正方形邊長為，為邊上一點(diǎn)，將以點(diǎn)為中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，分別交，于點(diǎn)，若，則．9．（2023·安徽宿州·校考模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）若正方形的邊長為2，則的周長是．（2）若，則．10．（2023.上海市黃浦區(qū)九年級一模）如圖，四邊形中，，，，點(diǎn)M、N是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，、與對角線分別交于點(diǎn)P、Q．（1）求的值：（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（3）試問：在點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)過程中，線段比的值是否發(fā)生變化？如不變，請求出這個(gè)值；如變化，請至少給出兩個(gè)可能的值，并說明點(diǎn)N相度的位置．11．（2023山東九年級期末）已知正方形ABCD的邊長為8，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點(diǎn)E、F，連接EF．設(shè)CE=a，CF=b．（1）如圖①，當(dāng)a=8時(shí)，b的值為；（2）如圖②，當(dāng)∠EAF被對角線AC平分時(shí)，求a、b的值；（3）請寫出∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a，b滿足的關(guān)系式，并說明理由．

12．（2023·寧夏·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形和擺放在一起，為公共頂點(diǎn)，，它們的斜邊長為2，若固定不動(dòng)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，、與邊的交點(diǎn)分別為、（點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)不與點(diǎn)重合），設(shè)，．（1）請?jiān)趫D（1）中找出兩對相似但不全等的三角形，并選取其中一對進(jìn)行證明．（2）求與a的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量a的取值范圍．（3）以的斜邊所在的直線為軸，邊上的高所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖（2），若，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，猜想線段、和之間的關(guān)系，并通過計(jì)算加以驗(yàn)證．13．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)重合，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點(diǎn)，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，同時(shí)得到點(diǎn)在直線上．求證：；【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點(diǎn)，．求證：；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，求的值．14．（2023春·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）在矩形中，．(1)如圖1，若，點(diǎn)，分別在，上，連接．①線段，，三者之間的數(shù)量關(guān)系是：________；②當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)如圖2，若，，點(diǎn)，分別在，上．若，請直接寫出線段的長；(3)如圖3，若，，連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)?shù)囊贿吪c射線重合時(shí)，另一邊與的垂直平分線交于點(diǎn)，請直接寫出線段的長．15．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考二模）綜合與實(shí)踐

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，諸葛小組將正