專題02 相似三角形重要模型-母子型（共邊共角模型）（原卷版）

專題02相似三角形重要模型--母子型（共邊共角模型）相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解模型內(nèi)涵，靈活運用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點講解相似三角形的“母子”模型。母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點和另外一個不是公共的頂點，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；4）共邊模型條件:如圖1，在四邊形中，對角線平分，，結(jié)論：；例1．（2023·四川成都·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，；若AD＝6，BD＝2，則CD＝．例2．（2023春·山東威?！ぞ拍昙壭Ｂ?lián)考期中）如圖，中，點在上，，若，，則線段的長為．例3.（2022.山西九年級期中）如圖，點C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．例4．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，中，，點為上一點，且．交于，交的延長線于．（1）求證：；（2）若，，求．例5．（2022.浙江中考模擬）如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）圖1中共有對相似三角形，寫出來分別為（不需證明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，請你求出CD的長：（3）在（2）的情況下，如果以AB為x軸，CD為y軸，點D為坐標原點O，建立直角坐標系（如圖2），若點P從C點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CB運動，點Q出B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段BA運動，其中一點最先到達線段的端點時，兩點即刻同時停止運動；設(shè)運動時間為t秒是否存在點P，使以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．例6．（2022·陜西漢中·九年級期末）如圖，是等腰直角斜邊的中線，以點為頂點的繞點旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與、的延長線相交，交點分別為點、，與交于點，與交于點，且．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖2，過作于點，若，，求的長．例7．（2023春·廣東深圳·九年級校考期中）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在四邊形中，對角線平分，，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，四邊形為平行四邊形，在邊上，，點在延長線上，連結(jié)，，，若，，，求的長；【拓展提高】（3）如圖3，在中，是上一點，連結(jié)，點，分別在，上，連結(jié)，，，若，，，，，求的值．

課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·北京延慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點是的邊上一點，要使得與相似，添加一個條件，不正確的是（）A．B．C．D．2．（2022秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，其中，，則（

）A．2 B． C． D．43．（2023春·浙江臺州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，過點C作于點D，點M為線段的中點，連接，過點D作于點E．設(shè)，，則圖中可以表示為的線段是（）

A． B． C． D．4．（2023秋·浙江金華·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，D是的邊上一點，連接，若，則的長．

5．（2023秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：如圖，中，，，D為邊上一點，．(1)求證：

．(2)若的周長為11，請求出的長．

6．（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）已知，點D在的邊上，連接．(1)如圖1，若．求證：；(2)如圖2，若，，，．求線段的長；(3)如圖3，M、N分別是上的兩點，連接交于點P，當(dāng)，時，若，直接寫出的值______．

7．（2023秋·上海閔行·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在梯形中，，，點E是邊中點，連接并延長交的延長線于點F，，且．(1)求證：；(2)求證：．

8．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在的邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，的三個頂點都在格點上．

(1)直接寫出的形狀______；(2)若垂足為D，證明：；(3)拓展應(yīng)用：在A時測得某樹（垂直于地面）的影長為4米，C時又測得該樹的影長為16米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為______米．（直接寫出結(jié)果）9．（2022春·廣東惠州·九年級校考開學(xué)考試）如圖，是的直徑，點D是上一點，且，與交于點F．(1)求證：是的切線；(2)若平分，求證：．10．（2022·湖南長沙·?？既＃┘s定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“華益美三角”．例如，如圖1，在中，為邊上的中線，與相似，那么稱為關(guān)于邊的“華益美三角”．

(1)如圖2，在中，，求證：為關(guān)于邊的“華益美三角”；(2)如圖3，已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，點是邊的中點，以為直徑的⊙恰好經(jīng)過點．①求證：直線與相切；②若的直徑為，求線段的長；(3)已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，求的面積．11．（2023秋·河北邢臺·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，是邊上一點．(1)當(dāng)時，①求證：；②若，，求的長；(2)已知，若，求的長．

12．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖所示，點在同一直線上，滿足，，且．求證：．13．（2022·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）如圖1，中，，D為上一點，．

(1)求證：；(2)如圖2，過點A作于M，交于點E，若，求的值；(3)如圖3，N為延長線上一點，連接、，若，，則的值為_．14．（2023·吉林·九年級階段練習(xí)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．15．（2023·福建九年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．16．（2022秋·廣東九年級課時練習(xí)）如圖，點C、D在線段AB上，且△PCD是等邊三角形．∠APB＝120°．（1）求證：△ACP∽△PDB；（2）當(dāng)AC＝4，BD＝9時，試求CD的值．17．（2023秋·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，平分，連接交于.(1)求證