專題08 角度中的動態(tài)模型（解析版）

專題08角度中的動態(tài)模型角度的動態(tài)（旋轉(zhuǎn)）模型屬于七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內(nèi)容，對考生的綜合素養(yǎng)要求較高。絕大部分學(xué)生對角度旋轉(zhuǎn)問題信心不足，原因就是很多角度旋轉(zhuǎn)問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等結(jié)合得很緊密，思考性強(qiáng)，難度大。本專題重點(diǎn)研究與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)模型（求值模型；定值模型；探究模型；分類討論模型）?！局R儲備】1、角度旋轉(zhuǎn)模型解題步驟：①找——根據(jù)題意找到目標(biāo)角度；②表——表示出目標(biāo)角度：1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標(biāo)角=起始角+速度×?xí)r間；2）角度一邊動另一邊不動，角度變?。耗繕?biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大。變?。耗繕?biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；變大：目標(biāo)角=速度×?xí)r間—起始角③列——根據(jù)題意列方程求解。注：①注意題中是否確定旋轉(zhuǎn)方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②注意旋轉(zhuǎn)角度取值范圍。2、常見的三角板旋轉(zhuǎn)模型：三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉(zhuǎn)中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度?？傊还苓@個角如何旋轉(zhuǎn)，它的角度大小是不變的，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就是組成角的兩條射線旋轉(zhuǎn)的度數(shù)（角平分線也旋轉(zhuǎn)了同樣的度數(shù)）。抓住這些等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，三角板只是把具體的度數(shù)隱藏了起來。模型1、旋轉(zhuǎn)中的求值模型例1．（2023春·福建福州·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖1，已知繞點(diǎn)在的內(nèi)部轉(zhuǎn)動，平分，平分．

(1)如圖2，當(dāng)與重合時，求的度數(shù)；(2)請判斷的大小是否隨的位置的變化發(fā)生改變？并說明理由；：(3)當(dāng)時，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)不會隨的運(yùn)動而改變大小，理由見解析(3)的度數(shù)為或【分析】（1）如圖所示，，與重合，，平分，可求出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求出的度數(shù)，由此即可求解；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)分別求出的度數(shù)，根據(jù)即可求解；（3）根據(jù)題意分別求出與的關(guān)系，由此即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，，與OA重合，，平分，

，平分，，∵平分，，．（2）解：不會隨的運(yùn)動而改變大小，理由如下：平分，，平分，，，不會隨的運(yùn)動而改變大?。?）解：∵，由（2）可知，，，或，，或，解得或，或，∴的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，角的和差倍分的關(guān)系，理解圖示，掌握角的和差倍分的計(jì)算，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·福建福州·七年級期末）在一次數(shù)學(xué)活動課上，李磊同學(xué)將一副宜角三角板、按如圖1放置，點(diǎn)A、C、D在同一直線上，（°、），并將三角板繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，且始終保持．(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、E在同一直線上時，則____；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖3，當(dāng)時．請說明平分；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖4，當(dāng)時，求此時的度數(shù)．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)計(jì)算；（2）計(jì)算的度數(shù)，得到，得出結(jié)論；（3）設(shè)，表示出，根據(jù)，求出，得出答案；(1)解：點(diǎn)在同一直線上，，，故答案為：；(2)如圖3，，，∵，，∴，∵，，∴，∴平分；(3)如圖4，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角的和差，角的平分線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形準(zhǔn)確表示角的和差．模型2、旋轉(zhuǎn)中的定值模型例1．（2022·四川成都·七年級期末）已知，如圖1，，分別為定角（大小不會發(fā)生改變）內(nèi)部的兩條動射線，，．（1）求的度數(shù)；（2）如圖2，射線分別為的平分線，當(dāng)繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時，的位置也會變化但大小保持不變，請求出的度數(shù)；（3）如圖3，是外部的兩條射線，且，平分，平分．當(dāng)繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時，的大小是否會發(fā)生變化？若不變，求出其度數(shù)；若變化，說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）的大小不變?yōu)椋痉治觥浚?）由，可得，從而可求解從而可得的大?。唬?）由射線，分別為，的平分線，求解，從而可得的度數(shù)為；（3）先求解，再證明，結(jié)合角平分線性質(zhì)求解，從而可得．【詳解】解：（1）∵，∴∵，∴∴（2）∵射線，分別為，的平分線，∴，∴∴∴的度數(shù)為．（3）的大小不變?yōu)椋碛扇缦拢骸撸?，∴，，∵∴∵平分，平分∴∴【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，角的和差運(yùn)算，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·河南南陽·七年級?？计谀⒁桓比浅呷鐖D①擺放，，，現(xiàn)將繞點(diǎn)C以/秒的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為秒．

(1)如圖②，當(dāng)______時，恰好平分；(2)如圖③，當(dāng)______時，恰好平分；(3)如圖④，當(dāng)______時，恰好平分；(4)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖⑤的位置，平分，平分，求的度數(shù)；(5)若旋轉(zhuǎn)到如圖⑥的位置，（4）中結(jié)論是否發(fā)生變化？請說明理由．【答案】(1)4(2)7(3)10(4)(5)不變，，理由見解析；【分析】（1）如圖，由題意可得：，而，，再證明，而，再建立方程求解即可；（2）如圖，證明，，再建立方程求解即可；（3）如圖，證明，，同理：，而，可得，從而可得答案；（4）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案；（5）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案．【詳解】（1）解：如圖，由題意可得：，而，∴，

∵平分，∴，而，∴，解得：；（2）如圖，∵，平分，∴，

∵，，∴，∴，解得：；（3）如圖，∵，恰好平分，∴，，同理：，而，∴，解得：；（4）如圖，

∵，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∵平分，∴，而，∴．（5）如圖，∵，，∴，

∵平分，∴，∵，，∴，∵平分，∴，而，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的動態(tài)定義，角的和差運(yùn)算，角平分線的含義，一元一次方程的應(yīng)用，熟練的畫出符合題意的圖形，再利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．模型3、旋轉(zhuǎn)中的探究類模型（判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系）例1．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在內(nèi)部存在，平分，平分．(1)當(dāng)在的內(nèi)部，與不重合時．①如圖1若，求的角度．②如圖2，若，畫出圖形并探究與的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖3，若旋轉(zhuǎn)到的外部，平分，平分，則______【答案】(1)①，②(2)或【分析】（1）①根據(jù)，，平分，平分，得到，，根據(jù)計(jì)算即可．②根據(jù)題意，得,，整理求和計(jì)算即可．（2）畫圖分類計(jì)算即可．【詳解】（1）∵，，平分，平分，∴，，∴．②與的數(shù)量關(guān)系是．根據(jù)題意，得，，∵平分，平分，∴，，∴，，∴，，∴，∴．（2）如圖，平分，平分，∴，，∴=，∵，，∴．如圖，平分，平分，∴，，∴==∵，，∴．故答案為：或．例2．（2023·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）（1）已知：如圖1，P是直角三角板ABC斜邊AB上的一個動點(diǎn)，CD、CE分別是∠ACP和∠BCP的平分線．當(dāng)點(diǎn)P在斜邊AB上移動時，∠DCE＝°；（2）把直角三角板的直角頂點(diǎn)C放在直尺的一邊MN上：①點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線MN的上方（如圖2），此時∠ACM與∠BCN的數(shù)量關(guān)系是∠ACM+∠BCN＝；②當(dāng)把這把直角三角板繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A在直線MN的下方、點(diǎn)B仍然在直線MN的上方時（如圖3），∠ACM與∠BCN的數(shù)量關(guān)系是；③當(dāng)把這把直角三角板繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A和點(diǎn)B都在直線MN的下方時（如圖4），∠ACM與∠BCN的數(shù)量關(guān)系是．【答案】（1）45；（2）①90°；②∠BCN﹣∠ACM＝90°；③∠ACM+∠BCN＝270°【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得出，，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）①根據(jù)，計(jì)算求解即可；②由題意知，，進(jìn)而可得，計(jì)算求解即可；③由題意知，，，，對計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，，，∵，∴，故答案為：45．（2）①解：由題意知，，，∴，故答案為：90°．②解：由題意知，，，∴，∴，故答案為：．③解：由題意知，，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，與三角板有關(guān)的角的和差計(jì)算．明確角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．模型4、旋轉(zhuǎn)中的分類討論模型例1．（2023·重慶·西南大學(xué)附中七年級期中）如圖①，已知，在內(nèi)部畫射線，得到三個角，分別為、、．若這三個角中有一個角是另外一個角的3倍，則稱射線為的“幸福線”．（本題中所研究的角都是大于而小于的角．）(1)角的三等分線________這個角的“幸福線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，，射線為的“幸福線”，求的度數(shù)；(3)如圖②，已知，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，同時，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動的時間為秒（）．若、、三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸福線”，求出所有可能的值．【答案】(1)是；(2)，，，；(3)或或．【分析】（1）若OC為∠AOB的三等分線，則有，符合“幸福線”的定義；（2）根據(jù)“幸福線”的定義可得當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，然后根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可；（3）由題意可分①當(dāng)時在與重合之前，則有，，由是的“幸福線”可進(jìn)行分類求解；②當(dāng)時，在與重合之后，則有，，由是的“幸福線”可分類進(jìn)行求解．（1）解：若OC為∠AOB的三等分線，則有，符合“幸福線”的定義，所以角的三等分線是這個角的“幸福線”；故答案為：是．（2）解：由題意得：∵，射線為的“幸福線”，∴①當(dāng)時，則有：；②當(dāng)時，則有；③當(dāng)時，則有；④當(dāng)時，則有：；；綜上所述：當(dāng)射線為的“幸福線”時，∠AOC的度數(shù)為，，，；（3）解：∵，∴射線ON與OA重合的時間為（秒），∴當(dāng)時在與重合之前，如圖所示：∴°，°，是的“幸福線”，則有以下三類情況：①，即，（舍去），②，即，，③，即，；④，即，（舍去）；當(dāng)時，在與重合之后，如圖所示：∴°，°，是的“幸福線”，則有以下三類情況：①，即，（不符合題意，舍去），②，即，（不符合題意，舍去）；③，即，；④，即，不存在；綜上：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的三等分點(diǎn)的計(jì)算及角的動點(diǎn)問題，熟練掌握角的三等分點(diǎn)的計(jì)算及角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·成都市七中育才學(xué)校七年級月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如圖1所示放置，兩個頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，與重合，且，，，．將三角板繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度數(shù)．（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置時，與重合，______°，______°．（2）三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)還有其他可能嗎？如果有，請研究證明結(jié)論，若沒有，請說明理由．（3）類比拓展：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為時，其他條件不變，在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出的度數(shù)．（用含的式子來表示）【答案】（1）150；75（2）有，105°（3）或【分析】（1）利用兩個角的和的定義,角的平分線的定義計(jì)算即可；（2）利用分類思想，確定不同方式計(jì)算即可；（3）利用特殊與一般的思想，分類將問題抽象即可．【詳解】（1）如圖，由與重合，∵，，∴．又∵平分，平分，∴，，∴．故答案為：150°；75°；（2）如圖，∵平分，平分，∴+30°+30°+30°．∴，∴．（3）如圖，∵平分，平分，∴，，∴=+60°-=；如圖，∵OE平分，平分，∴，∴．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩個角的和，角的平分線，周角的定義，靈活運(yùn)用分類思想，角的平分線定義，角的和，差定義計(jì)算是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，點(diǎn)在線段上，圖中共有3條線段：和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”．則線段上共有____________個“二倍點(diǎn)”．（2）類似的如圖1，射線在內(nèi)部，圖中共有3個角：和，若其中一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“二倍線”．則內(nèi)部共有_____________條“二倍線”．（3）如圖2，若線段，點(diǎn)從點(diǎn)的位置開始，以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為秒．問為何值時，點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”．（4）如圖3，若，射線從射線的位置開始，繞點(diǎn)按逆時針方向以每秒5°的速度向射線旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線到達(dá)射線的位置時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線旋轉(zhuǎn)的時間為秒，若射線是的“二倍線”，求的值．（5）在（4）的條件下，同時射線從射線的位置開始，繞點(diǎn)按順時針方向以每秒10°的速度向射線旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線到達(dá)射線的位置時停止旋轉(zhuǎn)，同時射線也停止旋轉(zhuǎn)．請直接寫出當(dāng)射線是的“二倍線”時的值．【答案】（1）3；（2）3；（3）5或10或；（4）10或15或20；（5）t的值為或或或或15【分析】（1）找到線段AB的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)即可判斷；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三等分角的概念即可判斷；（3）根據(jù)（1）問結(jié)論即可判斷，即當(dāng)運(yùn)動10、20和30時，求出t即可；（4）根據(jù)（2）問結(jié)論列出方程即可，即當(dāng)運(yùn)動角50°，75°，100°時，求出t即可；（5）此時ON共運(yùn)動210°，分為六種情況討論：、、，列出方程即可求解．【詳解】（1）當(dāng)C為中點(diǎn)時：AB=2AC=2BC，當(dāng)C為靠近B的三等分點(diǎn)時，AC=2BC，當(dāng)C為靠近A的三等分點(diǎn)時，BC=2AC；（2）共有三種情況，當(dāng)OC為角平分線時，，當(dāng)OC為三等分角平分線時，或；（3）當(dāng)C為中點(diǎn)時：AB=2AC=2BC，此時BM=15=2t，解得t=，當(dāng)C為靠近B的三等分點(diǎn)時，AC=2BC，此時BM=10=2t，解得t=，當(dāng)C為靠近A的三等分點(diǎn)時，BC=2AC，此時BM=20=2t，解得t=，綜上所述，t的值為5或10或；（4）當(dāng)OC為角平分線時，，此時，即，解得，當(dāng)OC為三等分角平分線時，當(dāng)，此時，解得當(dāng)，此時，解得；綜上所述，t的值為10或15或20；（5）此時ON共運(yùn)動150°，ON共可運(yùn)動15s，此時OM共運(yùn)動150°，OM共可運(yùn)動30s，∴t的取值范圍為，當(dāng)OM在∠AON外部時，如圖：OM、ON重合時，，①∠AOM=∠AON，解得；②∠AOM=∠AON，解得；③∠AOM=∠AON，解得；當(dāng)OM在∠AON內(nèi)部時，如圖：①∠AOM=∠AON，解得；②∠AOM=∠AON，解得；③∠AOM=∠AON，解得(舍去)；綜上所述，t的值為或或或或15．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，找等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖1，是直線上的一點(diǎn)，，平分．

(1)若，求的度數(shù)；(2)將圖1中的繞頂點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置．①探究和的度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由；②在的內(nèi)部有一條射線，內(nèi)部有一條射線，且，試確定與的度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)①，理由見解析；②【分析】（1）由垂線的定義得，從而得到，由鄰補(bǔ)角的定義計(jì)算可得，最后由角平分線的性質(zhì)即可得到答案（2）①先分別表示出和，再找出其中的關(guān)系即可；②根據(jù)題意得出，，代入得到，再將，代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，，，，平分，；（2）解：①，理由如下：根據(jù)題意可得：，，，平分，，，；②畫出圖如圖所示：

，則，，，整理得：，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、垂線的定義、與余角和補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算、角的計(jì)算，熟練掌握角平分線的性質(zhì)、垂線的定義，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）已知150°．（1）如圖1，若60°，為內(nèi)部的一條射線，，平分，求的度數(shù)．（2）如圖2，若、是內(nèi)部的兩條射線，、分別平分，，且，求的值．（3）如圖3，為射線的反向延長線上一點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)順時針以的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后OB對應(yīng)射線為，旋轉(zhuǎn)時間為秒（），平分，為的三等分線，且，若，則的值為_______（直接填寫答案）．【答案】（1）；（2）；（3）或15【分析】（1）先根據(jù)角的和差倍分求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出，然后根據(jù)角的和差即可得；（2）設(shè)，先根據(jù)角平分線的定義得出，再根據(jù)角的和差化簡所求式子的分子分母即可得；（3）先依題意，找到兩個臨界位置：在AO的反向延長線上；與重合；然后根據(jù)角平分線的定義、角的和差倍分求解即可得．【詳解】（1）如圖1，平分，故的度數(shù)為；（2）設(shè)則∴故的值為2；（3），旋轉(zhuǎn)速度為射線OB旋轉(zhuǎn)到OA即停止轉(zhuǎn)動,由題意得，平分因則有兩個臨界位置：在AO的反向延長線上，此時；與重合，此時因此，分以下三種情況分析：①如圖3-1，當(dāng)時則解得，符合題設(shè)②如圖3-2，當(dāng)時則解得，符合題設(shè)③如圖3-3，當(dāng)時則解得或，均不符題設(shè)，舍去綜上，t的值為3或15故答案為：3或15．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、角的和差倍分，較難的是題（3），依據(jù)題意，找出兩個臨界位置，從而分三種情況討論是解題關(guān)鍵．4．（2022?江北區(qū)期末）將一副三角板疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O．（1）如圖1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度數(shù)．（2）若三角板AOB保持不動，將三角板COD的邊OD與邊OA重合，然后將其繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)．試猜想在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOC與∠BOD有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【解題思路】（1）由于是兩直角三角形板重疊，根據(jù)∠AOD的度數(shù)可得∠BOD，再根據(jù)∠DOC＝90°可得∠BOC；（2）當(dāng)分兩種情況：∠AOB與∠DOC有重疊部分時和當(dāng)∠AOB與∠DOC沒有重疊部分時．【解答過程】解：（1）若∠AOD＝35°，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，∴∠BOC＝90°﹣∠BOD＝90°﹣55°＝35°；（2）∠AOC與∠BOD互補(bǔ)．當(dāng)∠AOB與∠DOC有重疊部分時，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，∴∠AOC+∠BOD＝180°，當(dāng)∠AOB與∠DOC沒有重疊部分時，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，又∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°．5．（2022?洪山區(qū)期末）將一副直角三角板ABC，ADE，按如圖1疊加放置，其中B與E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．（1）如圖1，點(diǎn)F在直線AC上，且位于點(diǎn)A的左側(cè)，求∠FAD的度數(shù)；（2）將三角板ADE從圖1位置開始繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，并記AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線．①當(dāng)三角板ADE旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置時，求∠MAN的度數(shù)．②若三角板ADE的旋轉(zhuǎn)速度為每秒5°，且轉(zhuǎn)動到∠DAC＝180°時停止，運(yùn)動時間記為t（單位：秒），試根據(jù)不同的t的值，求∠MAN的大小（直接寫出結(jié)論）．【解題思路】（1）先根據(jù)三角板的度數(shù)得到∠DAC的度數(shù)，再用180°﹣∠DAC即可；（2）①由角平分線的定義可得∠MAE=12∠BAE，∠NAC=12∠CAD，再根據(jù)∠MAN＝∠MAE+NAC﹣∠CAE，整理可得∠MAN的度數(shù)；②當(dāng)0＜t＜9，9＜【解答過程】解：（1）∵∠BAC＝45°，∠BAD＝30°，∴∠DAC＝45°﹣30°＝15°，∴∠FAD＝180°﹣15°＝165°．（2）①∵AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線，∴∠MAE=12∠BAE，∠NAC=1∴∠MAN＝∠MAE+∠NAC﹣∠CAE=12（∠BAE+∠DAC=12（∠BAC+∠DAE+2∠CAE）﹣∠CAE②設(shè)∠CAE＝α，Ⅰ．當(dāng)0＜t＜9時，AE在∠BAC內(nèi)部，∠BAE＝45°﹣α，∠CAD＝30°﹣α，所以∠MAN=12（45°﹣α）Ⅱ．當(dāng)9＜t＜39時，AE在∠BAC外部，∠MAN＝∠NAC+∠BAC﹣∠BAM=12（30°+α）+45°Ⅲ．當(dāng)t＝39時，∠DAC＝180°，若M、N在直線DC同側(cè)，則∠BAE＝180°﹣45°+30°＝165°，∠BAM=1∠CAN=12×180°＝90°，∠NAB若M、N在直線DC異側(cè)，則∠BAE＝180°﹣45°+30°＝165°，∠EAM=1∠DAN=12×180°＝90°，∠NAE綜上所述，不論t為何值時，∠MAN的大小為37.5°或142.5°．6．（2022?綿陽七年級期中）如圖1，擺放一個三角形紙板ODE，邊OD在正東方向的射線上，點(diǎn)A，B分別在正西，正東方向上，∠COF＝30°，現(xiàn)將三角形紙板ODE從圖1位置開始繞點(diǎn)O以每秒5度的速度逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，在旋轉(zhuǎn)一周的過程中．（1）當(dāng)t＝5時，求∠AOD的度數(shù)，并寫出點(diǎn)D的方向角；（2）如圖2，當(dāng)三角形紙板ODE旋轉(zhuǎn)至△OD1E1時，邊OE1恰好落在射線OF上，且OF平分∠AOD1，OD1平分∠BOC，求t的值，并寫出點(diǎn)F的方向角；（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至△OD2E2時，OE2所在直線平分∠AOC，求t的值．【解題思路】（1）根據(jù)∠AOD＝180°﹣∠BOD，求出∠BOD即可．（2）如圖2中，設(shè)∠BOD1＝x°．想辦法構(gòu)建方程求出x即可解決問題．（3）分兩種情形：當(dāng)OE2線段平分∠AOC時，當(dāng)線段OE2的反向延長線平分∠AOC時，分別求解即可．【解答過程】解：（1）因?yàn)槿切渭埌錙DE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5度，所以當(dāng)t＝5時，∠BOD＝25°，此時，點(diǎn)D在北偏東65°方向上，又∠AOD+∠BOD＝180°，所以∠AOD＝180°﹣∠BOD，即∠AOD＝180°﹣25°＝155°．（2）如圖2中，設(shè)∠BOD1＝x°．因?yàn)镺D1平分∠BOC，所以∠BOC＝2x°，∠COD1＝x°，因?yàn)椤螩OF＝30°，所以∠D1OF＝∠COD1+∠COF＝x°+30°＝（x+30）°，又OF平分∠AOD1，即∠AOF＝∠D1OF，因?yàn)椤螦OF+∠D1OF+∠BOD1＝180°，即2∠D1OF+∠BOD1＝180°，所以2（x+30）°+x°＝180°，化解得3x°＝120°，解得x＝40，所以三角形紙板ODE運(yùn)動的時間t=405=8（秒），所以∠AOF＝∠D由90°﹣70°＝20°，得點(diǎn)F的方向角為北偏西20°．（3）如圖3中，由（2）得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2x°＝180°﹣2×40°＝100°，且∠D1OF＝∠DOE＝70°，又∠COE＝∠BOC﹣∠DOE＝80°﹣70°＝10°，當(dāng)OE2線段平分∠AOC時，OE旋轉(zhuǎn)的角大小為12所以三角形紙板ODE旋轉(zhuǎn)的時間為t=60當(dāng)線段OE2的反向延長線平分∠AOC時，OE旋轉(zhuǎn)的角大小為60°+180°＝240°，所以三角形紙板ODE旋轉(zhuǎn)的時間為t=240綜上，當(dāng)OE所在直線平分∠AOC時，t＝12秒或48秒7．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)七年級期中）新定義問題如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【閱讀理解】（1）角的平分線這個角的“幸運(yùn)線”；（填“是”或“不是”）【初步應(yīng)用】（2）如圖①，∠AOB＝45°，射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”，則∠AOC的度數(shù)為；【解決問題】（3）如圖②，已知∠AOB＝60°，射線OM從OA出發(fā)，以每秒20°的速度繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，同時，射線ON從OB出發(fā)，以每秒15°的速度繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸運(yùn)線”，求出所有可能的t值．【解題思路】（1）根據(jù)幸運(yùn)線定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)幸運(yùn)線定義得到方程求解即可；（3）分3種情況，根據(jù)幸運(yùn)線定義得到方程求解即可．【解答過程】解：（1）一個角的平分線是這個角的“幸運(yùn)線”；故答案為：是；（2）①設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC＝2x，由題意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，②設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC＝x，由題意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，③設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC=12x，由題意得，x+12故答案為：15°或22.5°或30°；（3）當(dāng)0＜t≤4時，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，若OA是射線OM與ON的幸運(yùn)線，則∠AON=12∠MON，即60﹣15t=12（60+5∠AON=13∠MON，即60﹣15t=13（60+5t∠AON=23∠MON，即60﹣15t=23（60+5t當(dāng)4＜t＜9時，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60，若ON是射線OM與OA的幸運(yùn)線，則∠AON=12∠MOA即15t﹣60=12×∠AON=13∠MOA，即15t﹣60=13×20∠AON=23∠MOA，即15t﹣60=23×故t的值是127或125或12118．（2022·湖北武漢·七年級期末）【學(xué)習(xí)概念】如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．【理解運(yùn)用】（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請用含α的代數(shù)式表示∠MPN；【拓展提升】（2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時停止旋轉(zhuǎn)．同時射線PM繞點(diǎn)P以每秒6°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時，則t＝秒．【答案】（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時；當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時；分別求出∠MPN即可；（2）根據(jù)題意，設(shè)運(yùn)用的時間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，然后對PM和PQ的運(yùn)動情況進(jìn)行分析，可分為四種情況進(jìn)行分析，分別求出每一種情況的運(yùn)動時間，即可得到答案．【詳解】解：（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如圖2，當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α綜上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根據(jù)題意，PM運(yùn)動前∠MPN＝120°，設(shè)運(yùn)用的時間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，①當(dāng)時，如圖：∴，解得：；②當(dāng)，即時，如圖：∴，解得：；③當(dāng)，如圖：∴，解得：；④當(dāng)，如圖：∵，，∴，解得：；∵的最大值為：，∴不符合題意，舍去；綜合上述，t=，4，5秒．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的角度運(yùn)算，角度的和差關(guān)系，以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確掌握運(yùn)動狀態(tài)，運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．9．（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心七年級期中）【實(shí)踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué)．(1)如圖1，將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，．①若，則_________；若，則______；②猜想與的大小有何特殊關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若是兩個同樣的直角三角尺銳角的頂，點(diǎn)A重合在一起，，則與的大小又有何關(guān)系，請說明理由；(3)已知，（都是銳角），如圖3，若把它們的頂點(diǎn)O重合在一起，請直接寫出與的大小關(guān)系：________．【答案】(1)①，；②，理由見解析(2)，理由見解析(3)【分析】(1)①先計(jì)算∠ACE的大小，再根據(jù)∠ACB=∠ACE+∠BCE計(jì)算即可；先根∠ACB=∠ACE+∠BCE計(jì)算∠ACE的大小，再根據(jù)∠DCE=∠ACD-∠ACE計(jì)算即可；②根據(jù)∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，可得∠ACB+∠DCE=∠BCE+∠ACD；（2）根據(jù)∠GAC=∠CAD+∠GAD，∠DAF=∠FAG-∠GAD，可得∠GAC+∠DAF=∠CAD+∠FAG．（3）根據(jù)∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，計(jì)算∠AOD+∠BOC即可．（1）解：①∵，∴∠ACE=∠ACD-＝90°-35°＝55°，∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°+55°＝145°，故答案為：145°；∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ACB＝140°，∴∠ACE=140°-90°=50°，∵∠DCE=∠ACD-∠ACE，∴∠DCE=90°-50°=40°，故答案為：50°．②∠ACB與∠DCE數(shù)量關(guān)系為∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠BCE+∠ACD-∠ACE=∠BCE+∠ACD=180°．（2）∠GAC與∠DAF的數(shù)量關(guān)系，∠GAC+∠DAF=120°，理由如下：∵∠GAC=∠CAD+∠GAD，∠DAF=∠FAG-∠GAD，∴∠GAC+∠DAF=∠CAD+∠GAD+∠FAG-∠GAD=∠CAD+∠FAG=60°+60°=120°．（3）∠AOD+∠BOC=α+β.理由如下：∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，∠AOB=α，∠COD＝β（α，β都是銳角），∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠COD-∠BOD，=∠AOB+∠COD＝α+β．【點(diǎn)睛】本題考查了角和差關(guān)系，一般與特殊的思想，熟練掌握角的運(yùn)算，理解角的和與差的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2022·河南·鄭州市第四初級中學(xué)七年級期末）【閱讀理解】如圖①，射線OC在∠AOB內(nèi)部，圖中共有三個角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個角的度數(shù)之比為1：2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”．(1)∠AOB的角平分線這個角的“幸運(yùn)線”；（填“是”或“不是”）(2)若∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”，則∠AOC＝．【問題解決】(3)如圖②，已知∠AOB=150°，射線OP從OA出發(fā)，以20°/s的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線OQ從OB出發(fā)，以10°/s的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，當(dāng)其中一條射線旋轉(zhuǎn)到與∠AOB的邊重合時，運(yùn)動停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t（s），當(dāng)t為何值時，射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的幸運(yùn)線？試說明理由．【答案】(1)是；(2)40°或60°或80°；(3)或或3．【分析】（1）由角平分線的定義可得；（2）分三種情況討論，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三種情況，結(jié)合∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°可以求出∠AOC．（3）分三種情況討論，由“幸運(yùn)線”的定義，列出方程可求t的值．（1）解：∵一個角的平分線平分這個角，且這個角是所分兩個角的兩倍，∴一個角的角平分線是這個角的“幸運(yùn)線”，故答案為：是．（2）解：∵射線OC在∠AOB內(nèi)部，∴∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°．①當(dāng)∠AOC=2∠BOC時，∠AOC+∠BOC=3∠BOC=120°，∴∠BOC=40°，∴∠AOC=80°．②當(dāng)2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC=120°，∴∠AOC=40°．③當(dāng)∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC時，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠AOB=60°．綜上所述：∠AOC=40°或60°或80°．故答案為：40°或60°或80°．（3）解：∵射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的“幸運(yùn)線”，∴射線OP在以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的內(nèi)部．如下圖所示：∴∠AOP=20t°，∠BOQ=10t°，∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=(150-20t-10t)°=(150-30t)°,∠AOQ=∠AOB-∠BOQ==(150-10t)°．①當(dāng)∠AOP=2∠POQ時，則20t=2×(150-30t)，∴t=．②若∠POQ=2∠AOP，則150-30t=2×20t，∴t=．③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，則2×20t=150-10t，∴t=3．綜上所述：t=或或3．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，找等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．11．（2022·陜西·西安七年級期末）如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點(diǎn)O為端點(diǎn)的三條射線，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射線OP從OF處開始出發(fā)，繞點(diǎn)O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒5度：射線OQ從OC處開始出發(fā)，繞點(diǎn)O順時針勻速旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時開始旋轉(zhuǎn)（當(dāng)射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時，OP、OQ同時停止運(yùn)動），旋轉(zhuǎn)時間為t秒.（旋轉(zhuǎn)速度÷旋轉(zhuǎn)角度：旋轉(zhuǎn)時間）(1)當(dāng)t＝秒，射線OP平分∠AOB時；(2)若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒4度時，請求出當(dāng)∠POQ=60°時，射線OP旋轉(zhuǎn)的時間；(3)若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒3度時，是否存在某個時刻，使得射線OQ，OP，OB中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請直接寫出所有滿足題意的的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)10；(2)或秒；(3)或；【分析】（1）作出角平分線，求出OP運(yùn)動到OG時的時間即可．（2）動點(diǎn)問題需要分類討論，第一種OP、OQ還沒有相遇時，第二種OP、OQ相遇之后，畫圖利用角度列出等式．（3）分別一其中一條作為角平分線來分析，畫出圖像之后列等式求時間．（1）解：作∠AOB的角平分線OG∵∠AOB=60°，∴∠AOG=∠AOB=30°，∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，此時OP的運(yùn)動時間t=（秒）；故答案為：10；（2）解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，∴∠FOC=90°由題意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°①如圖所示：∴4t+60+5t=90，∴t=；②如圖所示：此時4t+5t-60=90，∴t=∵OQ停止運(yùn)動時間t=，∴以上兩種情況均符合∴當(dāng)∠POQ=60°時，OP的旋轉(zhuǎn)時間為或秒；（3）解：存在；①當(dāng)OQ平分∠BOP時，則∠BOQ=∠POQ，如圖：則，解得：；②當(dāng)OP平分∠BOQ時，則∠BOP=∠POQ，如圖：則，解得：；綜合上述，或；【點(diǎn)睛】主要考查角平分線的計(jì)算，角度的和差倍分問題，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識，運(yùn)用分類討論的思想，利用圖象找關(guān)系．12．（2022成都市七中育才學(xué)校七年級期末）如圖1，在表盤上12：00時，時針、分針都指向數(shù)字12，我們將這一位置稱為“標(biāo)準(zhǔn)位置”(圖中)．小文同學(xué)為研究12點(diǎn)分()時，時針與分針的指針位置，將時針記為，分針記為．如：12：30時，時針、分針的位置如圖2所示，試解決下列問題：（1）分針每分鐘轉(zhuǎn)動°；時針每分鐘轉(zhuǎn)動°；（2）當(dāng)與在同一直線上時，求的值；（3）當(dāng)、、兩兩所夾的三個角、、中有兩個角相等時，試求出所有符合條件的的值．(本小題中所有角的度數(shù)均不超過180°)【答案】（1）6，0.5；（2）的值為；（3）的值為或【分析】（1）由題意根據(jù)分針每60分鐘轉(zhuǎn)動一圈，時針每12小時轉(zhuǎn)動一圈進(jìn)行分析計(jì)算；（2）由題意與在同一直線上即與所圍成的角為180°，據(jù)此進(jìn)行分析計(jì)算；（3）根據(jù)題意分當(dāng)時以及當(dāng)時兩種情況進(jìn)行分析求解.【詳解】解：（1）由題意得分針每分鐘轉(zhuǎn)動：；時針每分鐘轉(zhuǎn)動：.故答案為：6，0．5.（2）當(dāng)與在同一直線上時，時針轉(zhuǎn)了度，即;分針轉(zhuǎn)了度，即∴解得，∴的值為．（3）①當(dāng)時，∵;∴∴；②當(dāng)時，∵;∴∴；∴綜上所述，符合條件的的值為或.【點(diǎn)睛】本題考查鐘表角的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意熟練掌握并運(yùn)用方程思維進(jìn)行分析是解答此題的關(guān)鍵.13．（2022·江西蓮花縣·七年級期末）樂樂對幾何中角平分線的興趣濃厚，請你和樂樂一起探究下面問題吧．已知°，射線分別是和的平分線；（1）如圖1，若射線在的內(nèi)部，且，求的度數(shù)；（2）如圖2，若射線在的內(nèi)部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則的度數(shù)為；（3）若射線在的外部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)中，均指小于的角)，其余條件不變，請借助圖3探究的大小，請直接寫出的度數(shù)(不寫探究過程)【答案】（1）50°；（2）50°；（3）50°或130°【分析】（1）先求出∠BOC度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出∠EOC和∠FOC度數(shù)，求和即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；（3）分兩種情況：①射線OE，OF只有1個在∠AOB外面，根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；②射線OE，OF，2個都在∠AOB外面，根據(jù)角平分線定義得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．【詳解】解：（1）∵∠AOB=100°，∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°，∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，∴∠EOC=∠AOC=15°，∠FOC=∠BOC=35°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=15°+35°=50°；（2）∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=×100°=50°；故答案為：50°．（3）①射線OE，OF只有1個在∠AOB外面，如圖3①，∴∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=×100°=50°；②射線OE，OF2個都在∠AOB外面，如圖3②，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=×260°=130°．∴∠EOF的度數(shù)是50°或130°．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的計(jì)算，角平分線的定義，熟知從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線是解答此題的關(guān)鍵．注意分類思想的運(yùn)用．14．（2022·福建·福州時代中學(xué)七年級期末）已知，OC、OD是過點(diǎn)O的射線，射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB．(1)如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，則______°(2)如圖②，若，，則______°(3)如圖③，在∠AOB內(nèi)，若，則______°(4)將（3）中的∠COD繞著點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)到∠AOB的外部（，），求此時∠MON的度數(shù)．【答案】(1)80(2)80(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，，，則；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，，而，則，所以；（3）與（2）一樣得到，，則；（4）反向延長、得到、，然后分類討論：當(dāng)、在內(nèi)部；當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到；當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到；當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到．（1）解：、是的三等分線，，射線、分別平分和，，，；故答案為80；（2）解：射線、分別平分和，，，，，，，；故答案為80；（3）解：射線、分別平分和，，，，，，，，；故答案為；（4）解：反向延長、得到、，如圖，當(dāng)、在內(nèi)部，，設(shè)，則，，，；當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到；當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到；當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，也考查了角平分線的定義，熟練掌握角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，射線OC在的內(nèi)部，圖中共有3個角：，和，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角的度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是的“倍分線”．(1)如圖，若，射線OC繞點(diǎn)O從OB位置開始，以每秒15°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)t秒，且．①當(dāng)秒時，OC______的“倍分線”；（填“是”或“不是”）②若射線OA是的“倍分線”，求t的值；(2)如圖，射線AF繞點(diǎn)A從AB位置開始逆時針旋轉(zhuǎn)，同時射線BG繞點(diǎn)B從BA的位置開始順時針旋轉(zhuǎn)，且，兩條射線相交于點(diǎn)C．CD、CE分別是的高和角平線，是否存在CE是的“倍分線”的情況？若存在，請求出與應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由．【答案】(1)①是；②6或12或8(2)存在是的“倍分線”的情況，理由見解析，與應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系為：或或【分析】（1）①設(shè)∠BOC=15t，當(dāng)t=2時，∠BOC=30°，且∠AOB=60°=2∠BOC，符合題意．②設(shè)∠BOC=15t，則OA分成的三個角為∠AOB=60°，∠BOC=15t，∠AOC=15t-∠AOB，分類計(jì)算即可．（2）運(yùn)用定義和分類思想計(jì)算即可．（1）①當(dāng)時，在內(nèi)部，且，，是的“倍分線”，故答案為：是；②（Ⅰ）當(dāng)在內(nèi)部且時，，，；（Ⅱ）當(dāng)在內(nèi)部且時，如圖：，，；（Ⅲ）當(dāng)在內(nèi)部且時，如圖：，，綜上所述，的值為6或12或8；（2）存在是的“倍分線”的情況，理由如下：（2）存在是的“倍分線”的情況，理由如下：如圖：由已知可得：，，，當(dāng)時，如圖：，，當(dāng)時，如圖：，整理得：，當(dāng)時，如圖：，整理得，綜上所述，與應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義角的計(jì)算問題，正確理解定義，熟練掌握分類計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)是解題的關(guān)鍵．16．（2022·貴州銅仁·七年級期末）沿河縣某初中七年級的數(shù)學(xué)老師在課外活動中組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐探究，用一副三角尺（分別含，，和，，的角）按如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器刻度線重合，邊AP與量角器刻度線重合，將三角尺ABP繞量角器中心點(diǎn)P以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊PB與刻度線重合時停止運(yùn)動，設(shè)三角尺ABP的運(yùn)動時間為t秒．(1)當(dāng)時，__________；(2)若在三角尺ABP開始旋轉(zhuǎn)的同時，三角尺PCD也繞點(diǎn)P以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺ABP停止旋轉(zhuǎn)時，三角尺PCD也停止旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)t為何值時，邊PB平分；②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻使，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)85(2)①當(dāng)t=時，邊PB平分∠CPD；②當(dāng)t=或t=時，∠BPD=2∠APC．【分析】（1）當(dāng)t=5秒時，計(jì)算出邊BP旋轉(zhuǎn)的角度的大小即可得出結(jié)論；（2）①如圖1，根據(jù)PB平分∠CPD，利用角平分線的定義可得∠CPB=∠BPD=∠CPD=30°，利用含t的代數(shù)式分別表示出∠MPB和∠BPD的度數(shù)，列出關(guān)于t的方程，解方程即可求解；②設(shè)時間為t秒，則∠APM=10°t，∠DPN=2°t，分兩種情況說明：Ⅰ）當(dāng)PA在PC左側(cè)時，如圖2所示：Ⅱ）當(dāng)PA在PC右側(cè)時，如圖3，根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程得出的角度的大小列出方程即可求得結(jié)論．（1）解：當(dāng)t=5秒時，由旋轉(zhuǎn)知，邊BP旋轉(zhuǎn)的角度為：10°×5=50°，∴∠BPD=180°-（45°+50°）=85°，故答案為：85；（2）解：①如圖1所示：由題意得：∠MPB=10°t+45°，∠DPN=2°t．∵PB平分∠CPD；∴∠CPB=∠BPD=∠CPD=30°，由∠MPN=∠MPB+∠BPD+∠DPN=180°得：10°t+45°+30°+2°t=180°，解得，t=，∴當(dāng)t=時，邊PB平分∠CPD；②在旋轉(zhuǎn)過程中，存在某一時刻使∠BPD=2∠APC．∵運(yùn)動時間為t秒，則∠APM=10°t，∠DPN=2°t，Ⅰ）當(dāng)PA在PC左側(cè)時，如圖2所示：此時，∠APC=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（120°-12°t），解得：t=，因?yàn)楫?dāng)t=時，運(yùn)動的情況剛好同解答圖的圖1，此時∠BPD=30°，∠APC=15°，∠BPD=2∠APC．是成立的；Ⅱ）當(dāng)PA在PC右側(cè)時，如圖3所示：此時，∠APC=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（12°t-120°），解得：t=．當(dāng)PB在PD的右側(cè)時，∠APC=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°，則12°t-135°=2（12°t-120°），解得：t=，此時PB在PD的左側(cè)，所以和假設(shè)情況矛盾，不符合題意，舍去．綜上所述，當(dāng)t=或t=時，∠BPD=2∠APC．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的變化，量角器的識別，角平分線的定義，角的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)運(yùn)動的時間為t，用含t的代數(shù)式表示出∠APC與∠BPD的值是解本題的關(guān)鍵．17．（2022·湖北孝感·七年級期末）如圖，直線與相交于點(diǎn)O，將一直用三角尺AOB的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合．(1)如圖1，若°，試說明；(2)小學(xué)時我們學(xué)習(xí)過，把一個圖形繞著一個固定的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度，這個圖形的形狀和大小都不會發(fā)生改變．如圖2，若°，OB平分，將三角尺AOB以每秒5°的速度繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為秒．如果，0≤≤42，當(dāng)為何值時，直線EF平分？【答案】(1)見解析(2)3或39【分析】（1）利用同角的余角相等即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線定義求出∠BOE=30°，分兩種情況①當(dāng)OE平分時，②當(dāng)OF平分時，列方程解答即可．（1）解：∵，

∴，∴；（2）∵OB平分，，

∴，①當(dāng)OE平分時，則旋轉(zhuǎn)之后，∠BOE=∠AOB=45°，∴OB旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，

∴，解得t=3；②當(dāng)OF平分時，OB旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45°+150°=195°，∴，

解得t=39，綜上所述，t=3或39．【點(diǎn)睛】此題考查了同角的余角相等的性質(zhì)，角平分線的定義，旋轉(zhuǎn)角的計(jì)算，列一元一次方程解決幾何問題，正確掌握各知識點(diǎn)并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．18．（2022·四川成都·七年級期末）點(diǎn)O直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使得∠BOC＝65°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．（1）如圖1，將三角板MON的一邊ON與射線OB重合時，求∠MOC的度數(shù)；（2）如圖2，將三角板MON繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時OC是∠MOB的平分線，求∠BON和∠CON的度數(shù)；（3）將三角板MON繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖3時，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度數(shù)．【答案】（1）∠MOC＝25°；（2）∠BON＝40°，∠CON＝25°；（3）∠NOB＝70°．【分析】（1）根據(jù)∠MON和∠BOC的度數(shù)可以得到∠MON的度數(shù)．（2）根據(jù)OC是∠MOB的角平分線，∠BOC=65°可以求得∠BOM的度數(shù)，由∠NOM=90°，可得∠BON的度數(shù)，從而可得∠CON的度數(shù)．（3）由∠BOC=65°，∠NOM=90°，∠NOC