專(zhuān)題06 線(xiàn)段與角的等量代換模型（解析版）

專(zhuān)題06線(xiàn)段與角的等量代換模型等量代換是數(shù)學(xué)變形的最常見(jiàn)方式之一,它以處理問(wèn)題步驟簡(jiǎn)捷、巧妙靈活,給人留下深刻的印象。運(yùn)用它來(lái)解決中學(xué)代數(shù)和幾何的有關(guān)問(wèn)題（本專(zhuān)題主要涉及線(xiàn)段與角度的代換）,還可以避免繁雜運(yùn)算,具有計(jì)算量小的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn),因此有著廣泛的應(yīng)用。模型1.

線(xiàn)段與角度的等量代換模型【模型解讀】“等量代換”是在數(shù)學(xué)幾何中常用的一種推理證明方法，應(yīng)用于角度或線(xiàn)段相等關(guān)系的推導(dǎo)。1）線(xiàn)段的等量代換條件：如圖，已知：EG=HF；結(jié)論：EH=GF.2）角度的等量代換（圖中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）條件1：如圖，已知∠AOB=∠DOC；結(jié)論：∠1=∠2.條件2：如圖，已知∠AOB=∠DOC=90°；結(jié)論：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.利用等量代換我們還可以推導(dǎo)三個(gè)重要的性質(zhì)：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的補(bǔ)角相等；③對(duì)頂角相等；例1．（2023·重慶七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)C,D在線(xiàn)段AB上，若AC=DB,則（

）A．AC=CDB．CD=DBC．AD=2DBD．AD=CB【答案】D【詳解】根據(jù)題意，由AC=DB，可知AC+CD=DB+CD，即AD=BC，而其余選項(xiàng)均無(wú)法判斷.故選D.【點(diǎn)睛】注意根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級(jí)校考期末）如圖，點(diǎn)、、在同一直線(xiàn)上，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法：，其中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的定義和線(xiàn)段的和差分別計(jì)算即可.【詳解】①∵H是的中點(diǎn)，∵分別是的中點(diǎn)，.

∴①正確.②由①知∴②錯(cuò)誤.③∴③正確.④

∴④正確.綜上，①③④正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，線(xiàn)段的和差.根據(jù)線(xiàn)段的和差進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.例4．（2023秋·河南漯河·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，D、E順次為線(xiàn)段上的兩點(diǎn)，，C是的中點(diǎn)，則的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】先根據(jù)題意得到，進(jìn)而推出，再由線(xiàn)段中點(diǎn)的定義得到，則．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵C是的中點(diǎn)，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與線(xiàn)段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，正確理清線(xiàn)段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·廣東廣州·七年級(jí)校考期末）如圖，（1）若，則；（2）若，則．【答案】///【分析】（1）根據(jù)幾何圖形，結(jié)合等式的性質(zhì)即可求解．（2）根據(jù)幾何圖形，結(jié)合等式的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，即，故答案為：；（2）∵，∴，即，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．例6．（2023·云南昭通·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，已知，，則的度數(shù)是（

）

A．30° B．80° C．40° D．45°【答案】C【分析】根據(jù)∠AOB=140°，∠AOC=∠BOD=90°，先求出∠BOC，然后再求∠COD．【詳解】解：∵∠AOB=140°，∠AOC=∠BOD=90°，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=140°?90°=50°，∴∠COD=∠BOD?∠BOC=90°?50°=40°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是分清題中角之間的關(guān)系．例7．（2023秋·福建廈門(mén)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列推理錯(cuò)誤的是（

）A．因?yàn)椋訠．因?yàn)?，所以C．因?yàn)椋訢．因?yàn)?，所以【答案】A【分析】根據(jù)余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，利用等量代換思想逐項(xiàng)分析即可得出答案．【詳解】解：與不一定相等，根據(jù)，不能推出，故A選項(xiàng)推理錯(cuò)誤，符合題意；，通過(guò)等量代換可得，故B選項(xiàng)推理正確，不合題意；，通過(guò)等量代換可得，故C選項(xiàng)推理正確，不合題意；，根據(jù)等角的余角相等可得，故D選項(xiàng)推理正確，不合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查余角、補(bǔ)角，掌握等量代換思想是解題的關(guān)鍵．例8．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是一條直線(xiàn)，若，則，其理由是（

）A．內(nèi)錯(cuò)角相等 B．等角的補(bǔ)角相等 C．同角的補(bǔ)角相等 D．等量代換【答案】B【分析】根據(jù)等角的補(bǔ)角相等判定即可.【詳解】∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4(等角的補(bǔ)角相等)，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了補(bǔ)角的性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等.例9．（2023·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面內(nèi)，平分，則以下結(jié)論：①；②；③；④平分．其中正確的是．（填序號(hào)）【答案】①③④【分析】由根據(jù)同角的余角相等得到，即可判斷①；由，即可判斷②由，即可判斷③由平分，得出，再結(jié)合①，即可判斷④【詳解】解：∵，∴，∴，所以①正確；∵不一定等于，所以②不正確；∵，所以③正確；∵平分，∴，由①知，∴，∴，所以④正確．∴平分故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，同角（等角）的余角相等．也考查了角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握補(bǔ)余角的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義是關(guān)鍵．例10．（2023.黑龍江省哈爾濱市七年級(jí)期末）如圖，已知．

(1)試說(shuō)明：；(2)若平分，，，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，作射線(xiàn)，，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)正確畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)圖見(jiàn)解析，的度數(shù)是或或或【分析】（1）觀察圖形，可知已知的兩等角存在公共部分，同時(shí)減去，即可得解；（2）觀察圖形中角之間的位置關(guān)系，得，由角平分線(xiàn)，得；（3）由，分情況：①在內(nèi)部：由，進(jìn)一步分情況討論，在內(nèi)部或在外部，②在外部：進(jìn)一步分情況討論，在內(nèi)部或在外部；分別求解．【詳解】（1）解：，，，；（2）由（1）可知，，，，平分，，的度數(shù)是；（3）的度數(shù)是或或或，理由如下：如圖1，，，，

，又，，，如圖2，，即，又，，，

如圖3，，，又，，，如圖，，，，綜上所述，的大小為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查角的數(shù)量關(guān)系和計(jì)算，角平分線(xiàn)的定義；根據(jù)圖形得出角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例11．（2023秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師提出了如下問(wèn)題：已知點(diǎn)在直線(xiàn)上，，在同一平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，滿(mǎn)足．當(dāng)時(shí)，如圖1所示，求的度數(shù)．

甲同學(xué)：以下是我的解答過(guò)程（部分空缺）解：如圖2，∵點(diǎn)O在直線(xiàn)上，∴，∵，∴，，∴平分，∴，∵，，∴．乙同學(xué)：“我認(rèn)為還有一種情況．”請(qǐng)完成以下問(wèn)題：(1)請(qǐng)將甲同學(xué)解答過(guò)程中空缺的部分補(bǔ)充完整．(2)判斷乙同學(xué)的說(shuō)法是否正確，若正確，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出另一種情況對(duì)應(yīng)的圖形，并求的度數(shù)，寫(xiě)出解答過(guò)程；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將題目中“”的條件改成“”，其余條件不變，當(dāng)在到之間變化時(shí)，如圖3所示，為何值時(shí)，成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的值．【答案】(1)180，140，70，160(2)正確，理由見(jiàn)解析，或(3)或【分析】（1）根據(jù)平角定義和角平分線(xiàn)的定義補(bǔ)充即可；（2）由題意，還有在的外部時(shí)的情況，根據(jù)平角定義求解即可；（3）由題意，，，分在的內(nèi)部和在的外部，由求出即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)O在直線(xiàn)上，∴，∵，∴，，∴平分，∴，∵，，∴，故答案為：180；140；70；160；（2）解：正確，理由如下：當(dāng)在的外部時(shí)，如圖所示：

∵點(diǎn)O在直線(xiàn)上，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，綜上所述，或；（3）解：∵，，∴，，當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，如圖，∵，∴平分，∴，即∴，解得：；當(dāng)在的外部時(shí)，如圖，∵，∴，∵，∴，解得：，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查角的運(yùn)算、角平分線(xiàn)的有關(guān)計(jì)算、平角定義，能根據(jù)圖形進(jìn)行角度運(yùn)算，能利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．例12．（2023秋·河南鶴壁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線(xiàn)，相交于點(diǎn)，．(1)若，，求的度數(shù)；(2)如果，那么與互相垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用余角、對(duì)頂角的定義計(jì)算即可；（2）利用余角的定義，求得兩個(gè)角的和為即為垂直．【詳解】（1）解：，，，，，；（2），證明：，，，即，．【點(diǎn)睛】本題考查的是余角、垂直的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握余角、垂直以及對(duì)頂角的定義，會(huì)識(shí)別余角、垂直、對(duì)頂角．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線(xiàn)段AB上有C，D兩點(diǎn)，其中D是BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．AB－AC＝BDB．CD＋BD＝ACC．CD＝ABD．AD－AC＝DB【答案】D【分析】根據(jù)線(xiàn)段的中線(xiàn)性質(zhì)求解即可；【詳解】∵D是BC的中點(diǎn)，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段中線(xiàn)的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東聊城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AC>BD，比較線(xiàn)段AB與線(xiàn)段CD的大?。?/p>

）A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．無(wú)法比較【答案】B【分析】由AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，則AB>CD．【詳解】∵AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，∴AB>CD．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了比較線(xiàn)段的長(zhǎng)短，比較兩條線(xiàn)段長(zhǎng)短的方法有兩種：度量比較法、重合比較法．3．（2023秋·湖北隨州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C、D是線(xiàn)段AB上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是DB的中點(diǎn)，若，，則線(xiàn)段CD的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由，得，再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得，最后由即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是DB的中點(diǎn)，∴，，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查與線(xiàn)段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)．4．（2023·江蘇·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)P，Q，C都在直線(xiàn)AB上，且P是AC的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，若AC＝m，BC＝n，則線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：P是AC的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，則故選C．考點(diǎn)：線(xiàn)段的中點(diǎn)．5．（2023·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，則圖中互補(bǔ)的角共有（

）

A．7對(duì) B．6對(duì) C．5對(duì) D．4對(duì)【答案】A【分析】首先求出，，然后根據(jù)互補(bǔ)的定義找出相加等于的角即可．【詳解】解：，，，，，，綜上，互補(bǔ)的角共有7對(duì)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差計(jì)算，互補(bǔ)的定義，如果兩個(gè)角的和等于，就說(shuō)這兩6．（2023云南七年級(jí)期末）如圖所示，，且與關(guān)系為（

）A．互補(bǔ) B．互余 C．和為 D．和為【答案】B【分析】首先根據(jù)圖形可得，再表示出來(lái)求解即可．【詳解】解：觀察圖形可知，，，與關(guān)系為互余．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查余角和補(bǔ)角，關(guān)鍵是掌握余角和補(bǔ)角的定義．7．（2023春·河南焦作·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如果，，那么與的關(guān)系是（

）A．互余 B．互補(bǔ) C．相等 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】根據(jù)題意可得和都是的余角，則根據(jù)同角的余角相等可知和的關(guān)系相等．【詳解】解：∵，∴故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角的余角相等，掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·山東濱州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，用量角器度量一些角的度數(shù)．下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．與的大小相同D．與互余【答案】D【分析】根據(jù)量角器的位置讀出個(gè)角的度數(shù)即可．【詳解】解：A、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，，它們的大小不相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，它們互余，故選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余角和補(bǔ)角，角的度量，量角器的使用方法，正確使用量角器是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·山西太原·七年級(jí)校考期中）學(xué)完第二章后，同學(xué)們對(duì)“對(duì)頂角相等”進(jìn)行了如圖所示的推理，其中“”處的依據(jù)為（

）

如圖，因?yàn)橹本€(xiàn)，相交于點(diǎn)，所以與都是平角．所以，．所以（據(jù)：）A．同角的余角相等 B．同角的補(bǔ)角相等 C．同位角相等 D．平角的定義【答案】B【分析】由補(bǔ)角的性質(zhì)：同角的補(bǔ)角相等，即可得到答案．【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)，相交于點(diǎn)，所以與都是平角，所以，．由同角的補(bǔ)角相等，即可得到．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·廣東深圳·七年級(jí)校考期末）如圖所示，將三個(gè)大小相同的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，則、、三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為（）

A．B．C．D．【答案】A【分析】先根據(jù)同角的余角相等得到，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵將三個(gè)大小相同的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，∴，，∴，又∵，∴，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查同角的余角相等，其關(guān)鍵要弄清哪兩個(gè)角互余及角的和差，并利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．11．（2023秋·廣東深圳·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且線(xiàn)段，第一次操作：分別取線(xiàn)段和的中點(diǎn)、；第二次操作：分別取線(xiàn)段和的中點(diǎn)，；第三次操作：分別取線(xiàn)段和的中點(diǎn)，；……連續(xù)這樣操作20次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線(xiàn)段之和（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，分別為的中點(diǎn)，求出的長(zhǎng)度，再由的長(zhǎng)度求出的長(zhǎng)度，找到的規(guī)律即可求出的值．【詳解】解：∵，分別為的中點(diǎn)，∴，∵分別為的中點(diǎn)，∴，根據(jù)規(guī)律得到，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)線(xiàn)段規(guī)律性問(wèn)題的考查，準(zhǔn)確根據(jù)題意找出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，相對(duì)較難．12．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）在同一平面內(nèi)，，與互余，則為．【答案】90或40/40或90【分析】分在和之間，在和之間兩種情況，根據(jù)互余的定義和角的和差關(guān)系分別求解．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)在和之間時(shí)，如圖：

與互余，；當(dāng)在和之間時(shí)，如圖：

與互余，，，；綜上可知，為或，故答案為：90或40．【點(diǎn)睛】本題考查余角、角的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是注意分情況討論，避免漏解．13．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】根據(jù)垂直的定義分別得到，，再利用同角的余角相等可得結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握同角的余角相等．14．（2023秋·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線(xiàn)段上有、兩點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，若，則．

【答案】2【分析】根據(jù)，，得出，求出，根據(jù)中點(diǎn)定義得出．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)，，求出．15．（2023春·陜西寶雞·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，和都是直角，則（填，，）．【答案】【分析】由和都是直角，得，，從而即可得到答案．【詳解】解：和都是直角，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角的余角（補(bǔ)角）相等，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·湖南婁底·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C，D是線(xiàn)段上兩點(diǎn)，若，，且D是的中點(diǎn)，則．

【答案】11【分析】由、的長(zhǎng)度可求出的長(zhǎng)度，由點(diǎn)D是的中點(diǎn)可求出的長(zhǎng)度，再利用即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵，，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴．故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，由、的長(zhǎng)度結(jié)合點(diǎn)D是的中點(diǎn)，求出的長(zhǎng)度，是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，點(diǎn)E是線(xiàn)段的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．【答案】/24厘米【分析】根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，可得，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵，點(diǎn)E是線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，主要利用了線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，比較簡(jiǎn)單，準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．18．（2023·福建莆田·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，點(diǎn)C、D為線(xiàn)段AB上兩點(diǎn)，AC+BD＝8，AD+BC＝AB，則CD等于．【答案】【分析】根據(jù)已知條件分析出CD與AB之間的數(shù)量關(guān)系，從而得到AC+BD與AB之間的數(shù)量關(guān)系，即可求解AB的長(zhǎng)度，從而求出CD的長(zhǎng)度．【詳解】∵AD+BC=AB+CD，AD+BC＝AB，∴，∴，∵AC+BD=8，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系計(jì)算問(wèn)題，能夠準(zhǔn)確根據(jù)已知條件推理出部分線(xiàn)段與整體線(xiàn)段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．19．（2023秋·山西長(zhǎng)治·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C，D是線(xiàn)段AB上兩點(diǎn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，M，N分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn)．若，，則AB的長(zhǎng)為．【答案】9【分析】先M是線(xiàn)段的中點(diǎn)，得出，根據(jù)，得出，即可得出，從而得出．【詳解】解：∵M(jìn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出．20．（2023.湖北武漢江岸區(qū)七年級(jí)期末）已知點(diǎn)A、B、C都在直線(xiàn)l上，點(diǎn)C是線(xiàn)段的三等分點(diǎn)，D、E分別為線(xiàn)段中點(diǎn)，直線(xiàn)l上所有線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和為91，則．【答案】或13【分析】畫(huà)出圖形，分兩種情況討論①；②．設(shè)，根據(jù)直線(xiàn)l上所有線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和為91，列方程，先求出x，即可求出的長(zhǎng).【詳解】①當(dāng)時(shí)，如圖1設(shè)，則，，，∵直線(xiàn)l上所有線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和為91

②當(dāng)時(shí)，如圖2,故答案為：或13【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段的和差，解題的關(guān)鍵是要弄清楚直線(xiàn)l上的線(xiàn)段的條數(shù)，及要進(jìn)行分類(lèi)討論.22．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，，使，則．【答案】或或【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，分類(lèi)討論，根據(jù)角度的和差進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，，∴；如圖所示，∵，，∴；如圖所示，∵，，∴；故答案為：或或【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，分類(lèi)討是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·河北滄州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線(xiàn)AB和直線(xiàn)CD相交于點(diǎn)O，，有下列結(jié)論：①與互為余角；②；③；④與互為補(bǔ)角；⑤與互為補(bǔ)角；⑥與互為余角，其中錯(cuò)誤的有（填序號(hào)）．【答案】③⑤/⑤③【分析】根據(jù)互余、互補(bǔ)的性質(zhì)，結(jié)合圖形，對(duì)頂角的性質(zhì)判斷即可．【詳解】∵，∴∠AOE=90°，∴與互為余角；故①正確；；故②正確；無(wú)法判定，故③錯(cuò)誤；與互為補(bǔ)角；故④正確；無(wú)法判定與互為補(bǔ)角；故⑤錯(cuò)誤；∵，∴∠AOE=90°，∴與互為余角；∵；∴與互為余角，故⑥正確，故答案為：③⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了互余、互補(bǔ)的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，熟練掌握互余、互補(bǔ)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2023春·綿陽(yáng)市七年級(jí)期中）如圖，O是直線(xiàn)上一點(diǎn)，平分，且．(1)圖中存在____________組互補(bǔ)的角；與互補(bǔ)的角為_(kāi)___________；(2)求證：平分．下面給出平分的證明過(guò)程，請(qǐng)你將過(guò)程補(bǔ)充完整．證明：∵平分，∴____________（

）．∵O是直線(xiàn)上一點(diǎn)，∴（

）．∵，∴．∵，∵，∴____________（

）．∴平分．【答案】(1)，和(2)，角平分線(xiàn)的定義，平角的定義，，等角的余角相等【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)角的定義，進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義，平角的定義，等角的余角相等，將過(guò)程補(bǔ)充完整即可．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵是直線(xiàn)上一點(diǎn)，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又：，∴圖中共有5組互補(bǔ)的角，且與互補(bǔ)的角為和．故答案為：5；和；（2）證明：∵平分，∴（角平分線(xiàn)的定義）．∵O是直線(xiàn)上一點(diǎn)，∴（平角的定義）．∵，∴．∵，∵，∴（等角的余角相等）．∴平分．故答案為：，角平分線(xiàn)的定義，平角的定義，，等角的余角相等．【點(diǎn)睛】本題考查余、補(bǔ)角的計(jì)算，角平分線(xiàn)的計(jì)算．熟練掌握兩角之和等于，兩角互為補(bǔ)角，等角的余角相等，角平分線(xiàn)平分角，是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋·北京·七年級(jí)校考期末）完成下列說(shuō)理過(guò)程（括號(hào)中填寫(xiě)推理的依據(jù)）：已知：如圖，直線(xiàn)，相交于點(diǎn)，平分，．求證：．證明：平分，．（①），．直線(xiàn)，相交于點(diǎn)，．．②．（③）直線(xiàn)，相交于，，．④．（⑤）．【答案】①角平分線(xiàn)的定義；②；③等角的余角相等；④；⑤同角的補(bǔ)角相等．【分析】先證明，再根據(jù)等角的余角相等證明，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證明，即可證明．【詳解】解：平分，．（角平分線(xiàn)的定義），．直線(xiàn)，相交于點(diǎn)，．．．（等角的余角相等）直線(xiàn)，相交于，，．．（同角的補(bǔ)角相等）．故答案為：①角平分線(xiàn)的定義；②；③等角的余角相等；④；⑤同角的補(bǔ)角相等．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的定義，等角的余角相等，同角的補(bǔ)角相等等知識(shí)，理解題意，根據(jù)圖形靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．26．（2023·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問(wèn)題：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：如圖1，，OC平分．若，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)．同學(xué)一：以下是我的解答過(guò)程（部分空缺）解：如圖2，∵，OC平分，∴（1）°∵，∴（2）=（3）°．同學(xué)二：“符合題目要求的圖形還有一種情況．”請(qǐng)你完成以下問(wèn)題：(1)將同學(xué)一的解答過(guò)程空缺部分補(bǔ)充完整．(2)判斷同學(xué)二的說(shuō)法是否正確，若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若正確，請(qǐng)你在圖1中畫(huà)出另一種情況對(duì)應(yīng)的圖形，并求的度數(shù)．(3)若，直接寫(xiě)出的度數(shù)【答案】(1)45，，110(2)正確，見(jiàn)解析，20°(3)或【分析】（1）根據(jù)圖形，角平分線(xiàn)的定義，角度的和差關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)圖形，角平分線(xiàn)的定義，角度的和差關(guān)系即可求解，（3）根據(jù)圖形，角平分線(xiàn)的定義，角度的和差關(guān)系即可求解．注意分情況討論．【詳解】（1）∵，OC平分，∴45°∵，∴=110°．故答案為：45，，110（2）如圖：，OC平分∴∴（3）如圖，①當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，∵，OC平分，∴∵，∴=．②當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，∵，OC平分∴∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的定義，角度的和差，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．27．（2023·廣東七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）問(wèn)題：如圖，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線(xiàn)段CB上，點(diǎn)E是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，若EC=3，求線(xiàn)段DB的長(zhǎng)．請(qǐng)補(bǔ)全以下解答過(guò)程．解：因?yàn)辄c(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，_________，所以_________，AD=2AE．因?yàn)镈B=AB?_________，所以DB=_________?2AE=2(AC?AE)=2EC．因?yàn)镋C=3，所以DB=_________．【答案】點(diǎn)E是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)；AB=2AC；AD；2AC；6【分析】根據(jù)點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，即可知AC=BC，AB=2AC，AD=2AE，再根據(jù)DB=AB-AD，將AB和AD用2AC和2AE代替即可找到DB與EC的關(guān)系進(jìn)而求解．【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，所以AB=2AC，AD=2AE，因?yàn)镈B=AB-AD，所以DB=2AC-2AE=2（AC-AE）=2EC．因?yàn)镋C=3，所以DB=6．故答案為：點(diǎn)E是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)；AB=2AC；AD；2AC；6．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離以及推理過(guò)程的完整書(shū)寫(xiě)，理解DB=AB-AD，并將AB和AD用2AC和2AE代替是解題的關(guān)鍵．28．（2023·重慶萬(wàn)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)度為的線(xiàn)段上有兩點(diǎn)C、D，這兩點(diǎn)將線(xiàn)段分成．(1)求線(xiàn)段的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)M為線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度．【答案】(1)4cm(2)14cm【分析】（1）根據(jù)題意AC：CD：DB＝3：1：2，可得CD＝24計(jì)算即可得出答案；（2）根據(jù)題意先計(jì)算出AC，BD的長(zhǎng)度，再根據(jù)M為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線(xiàn)段BD的中點(diǎn)可計(jì)算出MN，DN的長(zhǎng)度，則根據(jù)MN＝CM＋CD＋DN即可得出答案．【詳解】（1）∵AC：CD：DB＝3：1：2，AB=24cm，∴；（2）∵，∴，，∵M(jìn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離和中點(diǎn)的定義，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．29．（2023.湖北省蘄春縣七年級(jí)期末）已知C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)．（1）畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并寫(xiě)出圖中線(xiàn)段的條數(shù)和名稱(chēng)；（2）若圖中所有線(xiàn)段的長(zhǎng)度和為26，求線(xiàn)段AC的長(zhǎng)度；（3）若E為線(xiàn)段BC上的點(diǎn)，M為EB的中點(diǎn)，，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見(jiàn)解析，6條，AD，AC，AB，DC，DB，CB；（2）4；（3）2a-b【分析】（1）根據(jù)題目信息進(jìn)行畫(huà)圖；（2）根據(jù)（1）的圖象列出相關(guān)等式進(jìn)行計(jì)算；（3）根據(jù)題目信息作圖，再根據(jù)已知信息找到線(xiàn)段之間的等量關(guān)系，列出等式進(jìn)行作答．【詳解】（1）如圖所示：線(xiàn)段為：AD，AC，AB，DC，DB，CB共6條；（2）∵D、C分別是AC，AB的中點(diǎn)，∴AC＝2AD，AB＝2AC，設(shè)AC＝x，則有，解得：x＝4，即AC＝4；（3）∵M(jìn)為線(xiàn)段EB的中點(diǎn)，∴EB＝2EM，∴AB＝AC＋CE＋EB＝2CD＋2EM＋CE＝2（DC＋EM）＋CE，∵DM＝a，CE＝b，∴AB＝2（a﹣b）＋b＝2a﹣b．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)、線(xiàn)段、射線(xiàn)，其中根據(jù)圖象找到線(xiàn)段的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．30．（2023春·廣東珠?！て吣昙?jí)開(kāi)學(xué)考試）對(duì)“如果和都是的余角，那么”的說(shuō)理過(guò)程，在括號(hào)內(nèi)填上依據(jù)．理由：因?yàn)椋ㄒ阎裕ǖ仁降男再|(zhì)）．因?yàn)?，所以?/p>

）．所以（

）．【答案】已知，等式的性質(zhì)，等量代換【分析】根據(jù)各步前后式的邏輯關(guān)系寫(xiě)出依據(jù)．【詳解】，理由如下：因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（等式的性質(zhì)）．因?yàn)椋ㄒ阎裕ǖ仁降男再|(zhì)）．所以（等量代換）．故答案為：已知，等式的性質(zhì)，等量代換．【點(diǎn)睛】本題考查推理步驟的應(yīng)用，根據(jù)各步前后式的邏輯關(guān)系寫(xiě)出推理依據(jù)是解題關(guān)鍵．31．（2023春·貴州銅仁·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，在內(nèi)部，．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若平分，請(qǐng)說(shuō)明：；(3)如圖3，若在的外部分別作，的余角，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由，，得到，而，即可求出的度數(shù)；（2）由角平分線(xiàn)定義，得到，而，即可證明；（3）由余角的定義，得到，而，，即可求出的度數(shù)，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，；（2）平分，，，，，，，，；（3），，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查余角和補(bǔ)角，角平分線(xiàn)定義，關(guān)鍵是應(yīng)用角平分線(xiàn)定義，角的和差表示出有關(guān)的角．32．（2023秋·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)校考期末）閱讀材料并回答問(wèn)題：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：已知，如圖1，，平分．若，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)．同學(xué)一的解答如下：解：如圖2，作因?yàn)?，平分，所以______________，因?yàn)椋訽__________________________，同學(xué)二說(shuō)：“符合題目要求的圖形還有一種情況．”請(qǐng)你完成以下問(wèn)題：(1)將同學(xué)一的解答過(guò)程空缺部分補(bǔ)充完整；(2)判斷同學(xué)二的說(shuō)法是否正確，若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若正確，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出另一種情況對(duì)應(yīng)的圖形，并求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)正確，圖見(jiàn)解析．【分析】(1)根據(jù)角平分線(xiàn)的定義即可求得的度數(shù)；(2)分為在直角內(nèi)部和外部?jī)煞N情況：再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義即可求得的度數(shù)．【詳解】（1）解：