專(zhuān)題28 尺規(guī)作圖（分層精練）（解析版）

專(zhuān)題28尺規(guī)作圖（分層精練）1．（2021秋?常州期中）下列作圖語(yǔ)句正確的是（）A．連接AD，并且平分∠BAC B．延長(zhǎng)射線AB C．作∠AOB的平分線OC D．過(guò)點(diǎn)A作AB∥CD∥EF【答案】C【解答】解：A．連接AD，不能同時(shí)使平分∠BAC，此作圖錯(cuò)誤；B．只能反向延長(zhǎng)射線AB，此作圖錯(cuò)誤；C．作∠AOB的平分線OC，此作圖正確；D．過(guò)點(diǎn)A作AB∥CD或AB∥EF，此作圖錯(cuò)誤；故選：C．2．（2022秋?南陽(yáng)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝52°，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑作弧交AB于點(diǎn)D，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作直線CE交AB于點(diǎn)F，則∠ACF的度數(shù)是（）A．24° B．26° C．14° D．18°【答案】C【解答】解：由尺規(guī)作圖可知，CF⊥AB，∴∠CFA＝90°，∵AB＝AC，∠B＝52°，∴∠ACB＝∠B＝52°，∴∠CAB＝76°，∴∠ACF＝180°﹣∠CFA﹣∠CAB＝14°．故選：C．3．（2022?淄博）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于AC的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，作直線PQ分別交BC，AC于點(diǎn)D和點(diǎn)E．若CD＝3，則BD的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：連接AD，如圖，∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，由作法得DE垂直平分AC，∴DA＝DC＝3，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴BD＝2AD＝6．故選：C．4．（2021?百色）如圖，在⊙O中，尺規(guī)作圖的部分作法如下：（1）分別以弦AB的端點(diǎn)A、B為圓心，適當(dāng)?shù)乳L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使兩弧相交于點(diǎn)M；（2）作直線OM交AB于點(diǎn)N．若OB＝10，AB＝16，則tanB等于（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，連接OA，∴OA＝OB，根據(jù)作圖過(guò)程可知：OM是AB的垂直平分線，∴AN＝BN＝AB＝8，在Rt△OBN中，OB＝10，BN＝8，根據(jù)勾股定理，得ON＝＝6，∴tanB＝＝＝．故選：B．5．（2021?黃石）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點(diǎn)；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③作射線BP，交邊AC于D點(diǎn)．若AB＝10，BC＝6，則線段CD的長(zhǎng)為（）A．3 B． C． D．【答案】A【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，如圖，則DE＝DC，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，∴?DE×10+?CD×6＝×6×8，即5CD+3CD＝24，∴CD＝3．故選：A．6．（2021?銅仁市）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步驟作圖：步驟1：以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長(zhǎng)為半徑作弧分別交AC、AB于點(diǎn)D、E．步驟2：分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M．步驟3：作射線AM交BC于點(diǎn)F．則AF的長(zhǎng)為（）A．6 B．3 C．4 D．6【答案】B【解答】解：由作法得AF平分∠BAC，過(guò)F點(diǎn)作FH⊥AB于H，如圖，∵AF平分∠BAC，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)C⊥AC，∴FH＝FC，在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，設(shè)CF＝x，則FH＝x，∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC，∴×10?x+×6?x＝×6×8，解得x＝3，在Rt△ACF中，AF＝＝＝3．故選：B．7．（2020?柳州）通過(guò)如下尺規(guī)作圖，能確定點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC于D；B、作BC的垂直平分線得到BC的中點(diǎn)D；C、過(guò)BC上的點(diǎn)D作BC的垂線；D、作AC的垂直平分線交BC于D．故選：B．8．（2020?長(zhǎng)春）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC一半的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N；②作直線MN，與邊AB相交于點(diǎn)D，連接CD．下列說(shuō)法不一定正確的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠B C．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°【答案】C【解答】解：由作圖可知，MN垂直平分線段BC，∴DB＝DC，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴2∠B+∠ACD＝90°，故選項(xiàng)A，B，D正確，故選：C．9．（2022?陜西）如圖，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作射線CP，使CP∥AB．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【解答】解：如圖，射線CP即為所求．10．（2021?陜西）如圖，已知△ABC，AB＞AC．請(qǐng)?jiān)谶匒B上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)B、C的距離相等．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【解答】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．11．（2022?赤峰）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分線，分別交AB、BC于點(diǎn)D、H；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，連接CD，求△BCD的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖，DH為所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周長(zhǎng)＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．12．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)一模）如圖，AB∥CD，以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P，作射線AP，交CD于點(diǎn)M．（1）求證：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度數(shù)．【解答】解：（1）連接PF，PE，由作圖過(guò)程可知AE＝AF，PE＝PF，AP＝AP，∴△AFP≌△AEP，∴∠FAP＝∠EAP，∴AP平分∠CAB．（2）∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝114°，∴∠CAB＝180°﹣114°＝66°，由（1）知AP平分∠CAB，即∠MAB＝∠MAC，∴∠MAB＝∠CAB＝33°．13．（2022?都安縣校級(jí)二模）如圖，四邊形ABCD是矩形．（1）尺規(guī)作圖：作AC的垂直平分線EF，與AD，AC，BC分別交于點(diǎn)E，O，F(xiàn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，用黑色墨水筆將痕跡加黑）；（2）在（1）的條件下，連接AF，CE，求證：四邊形AFCE是菱形．【解答】解：（1）如圖，直線EF即為所求．（2）證明：∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形．14．（2022春?華州區(qū)期末）如圖，用尺規(guī)在AD的右側(cè)作∠DCP＝∠DAB（不寫(xiě)作法，只需保留作圖痕跡）．【解答】解：如圖，∠DCP為所作．15．（2022?泗洪縣三模）如圖，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝50°，通過(guò)尺規(guī)作圖，得到直線DE和射線AF，仔細(xì)觀察作圖痕跡，完成下列問(wèn)題：（1）直線DE是線段AB的線，射線AF是∠EAC的線；（2）求∠EAF的度數(shù)．【解答】解：（1）通過(guò)觀察尺規(guī)作圖的痕跡，可以發(fā)現(xiàn)直線DE是線段AB的垂直平分線，射線AF是∠EAC的角平分線．故答案為：垂直平分，角平分；（2）∵DE垂直平分線段AB，∴EA＝EB，∴∠BAE＝∠B＝42°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣42°﹣50°＝88°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝88°﹣42°＝46°，∵AF平分∠CAE，∴∠FAE＝∠CAE＝×46°＝23°．16．（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BA的延長(zhǎng)線上．（1）作∠MAC的平分線AN，連結(jié)BO，并延長(zhǎng)BO交AN于點(diǎn)D，連結(jié)CD（用尺規(guī)作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，AN，CD即為所求；（2）四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下：∵AN是∠MAC的平分線，∴∠MAC＝2∠MAN＝2∠CAN，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠MAC＝∠ABC+∠ACB，∴2∠MAN＝2∠ABC，∴∠MAN＝∠ABC，∴AN∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，∵O是AC的中點(diǎn)，∴OA＝OC，在△OAD和△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴AD＝CB，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．17．（2022?市中區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，AD＝4．（1）用尺規(guī)作圖，作出邊AB的垂直平分線（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）若（1）中作的AB的垂直平分線交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，連接GA，GA恰好垂直于邊AD，求菱形ABCD的面積．【解答】解：（1）如圖所示，直線EF即為所求；（2）連接AC，由作圖知：AG＝BG，∴∠GAB＝∠ABG，∴∠AGD＝2∠ABG，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABG，∵GA恰好垂直于邊AD，∴∠ADB＝30°，∴△ADC為等邊三角形，∴AC＝AD＝4，∴OD＝AD＝2，∴另一對(duì)角線長(zhǎng)BD＝2OD＝，∴菱形的面積為．18．（2022?大渡口區(qū)模擬）已知：如圖，在菱形ABCD中，E是邊AB上的點(diǎn)．（1）作∠CDF，使∠CDF＝∠ADE，DF交菱形的邊BC于F．（要求：基本作圖，不寫(xiě)作法和結(jié)論，保留作圖痕跡）（2）根據(jù)（1）中作圖，求證：BE＝BF．【解答】（1）解：如圖，∠CDF即為所求；（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∠A＝∠C，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∵AB＝BC，∴BE＝BF．19．（2022?珠海一模）如圖，已知銳角△ABC中，AB＝AC．（1）請(qǐng)尺規(guī)作圖：作△ABC的BC邊上的高AD；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若BC＝8，AD＝3，則經(jīng)過(guò)A，C，D三點(diǎn)的圓的半徑r＝．【解答】解：（1）如圖，AD為所作；（2）如圖，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝4，在Rt△ADC中，AC＝＝＝5，∵∠ADC＝90°，∴AC為△ABC外接圓的直徑，∴r＝AC＝，即經(jīng)過(guò)A，C，D三點(diǎn)的圓的半徑r為．故答案為：．20．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，在?ABCD中，AD＞AB．（1）尺規(guī)作圖：作DC邊的中垂線MN，交AD邊于點(diǎn)E（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）連接EC，若∠BAD＝130°，求∠AEC的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖，直線MN，點(diǎn)E即為所求；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝130°，∴∠D＝50°∵M(jìn)N垂直平分線段CD，∴ED＝EC，∴∠D＝∠ECD＝50°，∴∠AEC＝∠D+∠ECD＝100°．∴AC＝OC．21．（2021?渝中區(qū)模擬）如圖，已知∠MAN，B為邊AM上一點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖（要求保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）：①過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AM交AN邊于點(diǎn)C；②以AC為邊作∠ACD＝∠A，且交AB于點(diǎn)D．（2）若AD＝3，BD＝2，請(qǐng)利用（1）中所作的圖形求sin∠A的值．【解答】解：（1）①如圖，直線BC即為所求作．②如圖，射線CD即為所求作．（2）由作圖可知，EF垂直平分線段AC，∴DA＝DC＝3，在Rt△DCB中，BC＝＝，在Rt△ABC中，AC＝＝＝，∴sinA＝＝＝．22．（2021?莫旗二模）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)．（1）過(guò)點(diǎn)D作直線DE⊥BC，交線段AB于點(diǎn)E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母，不寫(xiě)作法）；（2）在（1）的條件下，連接CE，求證：AE＝CE．【解答】解：（1）如圖所示，直線DE即為所求；（2）根據(jù)尺規(guī)作圖可知DE垂直平分BC，∴EC＝EB，∠EDB＝90°，∵∠ACB＝∠EDB＝90°，∴AC∥ED，∵點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴AE＝BE，∵EC＝EB，∴AE＝CE．23．（2022?濮陽(yáng)一模）如圖，Rt△ABC和它的外接⊙O，直徑是AB．（1）①請(qǐng)用尺規(guī)作圖，作∠ABC的角平分線BE，交⊙O于E；②連接OC、AE、CE，當(dāng)∠A＝°時(shí)，四邊形OAEC是菱形；（2）在①的條件下，若BC＝6，AC＝8，求BE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）①如圖所示，射線BE即為所求；②當(dāng)∠BAC＝30°時(shí)，四邊形OAEC是菱形，理由如下：連接OE交AC于D，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝ABC＝60°＝30°，∴∠CAE＝∠CBE＝3