2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3模擬方法-概率的應(yīng)用課時(shí)作業(yè)含解析北師大版必修3

PAGE第三章概率3模擬方法——概率的應(yīng)用[課時(shí)作業(yè)][A組基礎(chǔ)鞏固]1．已知地鐵列車每10min一班，在車站停1min，則乘客到達(dá)站臺(tái)馬上乘上車的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,11) D.eq\f(1,8)答案：A2．一張方桌的圖案如圖所示，將一顆豆子隨機(jī)扔到桌面上，假設(shè)豆子不落在線上，則豆子落在紅色區(qū)域和落在黃色或綠色區(qū)域的概率分別是()A.eq\f(1,3)，eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)，eq\f(1,6)C.eq\f(1,6)，eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)，eq\f(3,4)答案：A3．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)，分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)的概率為()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：由題意，知點(diǎn)(a，b)在邊長(zhǎng)為2π的正方形邊上及內(nèi)部．要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)，需滿意4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，a2＋b2≥π表示以原點(diǎn)為圓心，eq\r(π)為半徑的圓及其外部，如圖中陰影部分所示，所以其面積為4π2－π2＝3π2，所以函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的概率為eq\f(3π2,4π2)＝eq\f(3,4).答案：B4．在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形的面積大于20cm2的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析：設(shè)AC＝xcm，則BC＝(12－x)cm，若矩形的面積大于20cm2，則x(12－x)>20，解得2<x<10，故所求概率P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).答案：C5．廣告法對(duì)插播廣告時(shí)間有規(guī)定，某人對(duì)某臺(tái)的電視節(jié)目作了長(zhǎng)期的統(tǒng)計(jì)后得出結(jié)論，他隨意時(shí)間打開(kāi)電視機(jī)看該臺(tái)節(jié)目，看不到廣告的概率約為eq\f(9,10)，那么該臺(tái)每小時(shí)約有________分鐘廣告．解析：這是一個(gè)與時(shí)間長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，這個(gè)人看不到廣告的概率約為eq\f(9,10)，則看到廣告的概率約為eq\f(1,10)，故60×eq\f(1,10)＝6.答案：66．設(shè)不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是________．解析：平面區(qū)域D的面積為4，到原點(diǎn)距離大于2的點(diǎn)位于圖中陰影部分，其面積為4－π，所以所求概率為eq\f(4－π,4).答案：eq\f(4－π,4)7．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，任作一條射線OA，則射線OA落在陰影內(nèi)的概率為_(kāi)_______．解析：以O(shè)為起點(diǎn)的射線OA等可能地落在坐標(biāo)系中，區(qū)域角度為360°，而射線OA落在陰影內(nèi)的區(qū)域角度為60°，所以射線OA落在陰影內(nèi)的概率是eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)8．假設(shè)你在如圖所示的圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落在陰影部分(等腰三角形)的概率是________．解析：設(shè)圓的半徑為R，則圓的面積為πR2，等腰三角形的面積為eq\f(1,2)×2R×R＝R2，∴所求概率為P＝eq\f(R2,πR2)＝eq\f(1,π).答案：eq\f(1,π)9．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，在正方形內(nèi)(包括邊界)任取一點(diǎn)M，求：(1)△AMB的面積大于或等于eq\f(1,4)的概率；(2)求AM的長(zhǎng)度不小于1的概率．解析：(1)如圖1，取BC，AD的中點(diǎn)E、F，連接EF，當(dāng)M在CEFD內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，△AMB面積大于eq\f(1,4)，由幾何概率定義，P＝eq\f(S矩形CEFD,S正方形ABCD)＝eq\f(1,2).圖1圖2(2)如圖2，以AB為半徑作弧，M在陰影部分時(shí)，AM長(zhǎng)度大于等于1，由幾何概型的概率公式得P＝eq\f(S陰影,S正方形ABCD)＝1－eq\f(1,4)×π×12＝1－eq\f(π,4).10．在轉(zhuǎn)盤嬉戲中，假設(shè)有三種顏色紅、綠、藍(lán)．在轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，假如指針指向紅色為贏，綠色為平，藍(lán)色為輸，問(wèn)若每種顏色被平均分成四塊，不同顏色相間排列，要使贏的概率為eq\f(1,5)，輸?shù)母怕蕿閑q\f(1,3)，則每個(gè)綠色扇形的圓心角為多少度？(假設(shè)轉(zhuǎn)盤停止位置都是等可能的)解析：由于轉(zhuǎn)回旋轉(zhuǎn)停止位置都是等可能的，并且位置是無(wú)限多的，所以符合幾何概型的特點(diǎn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓盤角度或周長(zhǎng)問(wèn)題．因?yàn)橼A的概率為eq\f(1,5)，所以紅色所占角度為周角的eq\f(1,5)，即α1＝eq\f(360°,5)＝72°.同理，藍(lán)色占周角的eq\f(1,3)，即α2＝eq\f(360°,3)＝120°，所以綠色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.將α3分成四等份，得α3÷4＝168°÷4＝42°.即每個(gè)綠色扇形的圓心角為42°.[B組實(shí)力提升]1．已知事務(wù)“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析：如圖，由題意，知當(dāng)點(diǎn)P在靠近點(diǎn)D的CD邊的eq\f(1,4)分點(diǎn)時(shí)，EB＝AB(當(dāng)點(diǎn)P超過(guò)點(diǎn)E向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，PB>AB)．設(shè)AB＝x，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，則BF＝eq\f(3,4)x，在Rt△BFE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝eq\f(7,16)x2，即EF＝eq\f(\r(7),4)x，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).答案：D2．若k∈R且k∈[－1，2]，則k的值使得過(guò)點(diǎn)A(1，1)可以作兩條直線與圓x2＋y2＋kx－2y－eq\f(5,4)k＝0相切的概率等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,4) D．不確定解析：這是長(zhǎng)度型幾何概型問(wèn)題，套用幾何概型的計(jì)算公式計(jì)算，依題意，點(diǎn)A應(yīng)當(dāng)在圓的外部，所以應(yīng)有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(k2,4)＋1＋\f(5,4)k>0，,12＋12＋k－2－\f(5,4)k>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>－1或k<－4，,k<0.))又因?yàn)閗∈[－1，2]，所以－1<k<0.因?yàn)閗的取值區(qū)間的長(zhǎng)度為3，而使得過(guò)A可以作兩條直線與圓相切的k的取值區(qū)間的長(zhǎng)度為1，由幾何概型的計(jì)算公式得所求概率P＝eq\f(1,3).答案：B3．有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_(kāi)_______．解析：圓柱的體積V圓柱＝π×12×2＝2π是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積．以O(shè)為球心，1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(2π,3)，則構(gòu)成事務(wù)“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”的區(qū)域體積為2π－eq\f(2π,3)＝eq\f(4π,3)，由幾何概型的概率公式，得所求概率P＝eq\f(\f(4π,3),2π)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)4．已知|p|≤3，|q|≤3，點(diǎn)(p，q)勻稱分布．(1)點(diǎn)M(x，y)的橫、縱坐標(biāo)由擲骰子確定，第一次確定橫坐標(biāo)，其次次確定縱坐標(biāo)，求點(diǎn)M(x，y)落在上述區(qū)域的概率；(2)求方程x2＋2px－q2＋1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的概率．解析：(1)點(diǎn)M(x，y)的橫、縱坐標(biāo)由擲骰子確定，第一次確定橫坐標(biāo)，其次次確定縱坐標(biāo)，共有36個(gè)不同的坐標(biāo)，而落在已知區(qū)域的點(diǎn)M有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9個(gè)．所以點(diǎn)M(x，y