4.4探索三角形相似的條件（練習(xí)）

第四章圖形的相似4.4探索三角形相似的條件精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2022·山東煙臺·八年級期末）如圖，具備下列條件①，②，③，④之一，就可以判定與相似的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】由兩個角相等的兩個三角形相似，可對條件①②③進(jìn)行判斷；由兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似對條件④進(jìn)行判斷；即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，條件①符合題意；∵僅有，無法確定與相似，∴條件②不符合題意；∵，，∴，條件③符合題意；∵，，∴，條件④符合題意．綜上所述，具備條件①③④之一，即可判定與相似．故選：D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．2．（2020·北京鐵路二中九年級期中）如圖，，如果增加一個條件就能使結(jié)論成立，那么這個條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法，一一判斷即可．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠DAB=∠BAC，∴添加∠D=∠B或∠AED=∠C或，可以推出△ADE∽△ABC，故選：D．【點睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．3．（2022·山東青島·九年級期末）如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個三角形是（

）A．①與② B．①與③ C．③與④ D．②與③【答案】B【分析】分別根據(jù)網(wǎng)格的特點求得各三角形三邊的長，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例判斷兩三角形相似即可．【詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格的特點，①號三角形的三邊長分別為：，2，，②號三角形的三邊長分別為：，，3，③號三角形的三邊長分別為：2，，，④號三角形的三邊長分別為：，3，，，①與③相似，故B選項正確，符合題意；其他選項不正確故選：B．【點睛】本題考查了網(wǎng)格中判斷相似三角形，分別求得各三角形的邊長是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東淄博·八年級期末）將兩個全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子（圖中的所有點，線同一平面內(nèi)），圖中相似而不全等的三角形有幾對（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)相似（不包括全等）三角形的判定可以得出結(jié)論．【詳解】解：圖中相似而不全等的三角形有：△ADE∽△BAE，△CDA∽△ADE，△BAE∽△CDA．∵△BAC和△AGF都是等腰直角三角形，∴∠B＝∠FAG＝45°，∴∠BAE＝∠ADE＝45°+∠BAD；∵△EAD和△EBA中，∠AED是公共角，∴△ADE∽△BAE；同理，可得△CDA∽△ADE．∴△BAE∽△CDA．故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．5．（2022·河北·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，P、Q分別為AB、AC邊上的點，且滿足．根據(jù)以上信息，嘉嘉和淇淇給出了下列結(jié)論：嘉嘉說：連接PQ，則PQ//BC．淇淇說：．對于嘉嘉和淇淇的結(jié)論，下列判斷正確的是（

）A．嘉嘉正確，淇淇錯誤 B．嘉嘉錯誤，淇淇正確 C．兩人都正確 D．兩人都錯誤【答案】B【分析】根據(jù)，可以判定，與不一定相等，不能判定PQ//BC．【詳解】解：∵，，∴，即淇淇的結(jié)論正確；∴，，∵不能得出或，∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉的結(jié)論不正確．故選B．【點睛】本題考查相似三角形和平行線的判定，熟練掌握相似三角形和平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵．6．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一個條件后，仍不能確定△ADE與△ABC相似的是（）A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝【答案】C【分析】△ADE≌△ABC根據(jù)題意可得，然后根據(jù)相似三角形的判定定理逐項判斷，即可求解．【詳解】解：∵，∴，A．若添加，可用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，證明△ADE≌△ABC，故本選項不符合題意；B．若添加，可用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，證明△ADE≌△ABC，故本選項不符合題意；C．若添加，不能證明△ADE≌△ABC，故本選項符合題意；D．若添加，可用兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，證明△ADE≌△ABC，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2022·黑龍江·肇源縣第四中學(xué)八年級期中）在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=8，DE=4，∠B=∠E，當(dāng)EF=_________時，△ABC與△DEF相似.【答案】或3【分析】利用三角形相似的判定可以得到解答．【詳解】解：由題意可得：當(dāng)或時，△ABC與△DEF相似，∴或，∴EF=或3，故答案為或3．【點睛】本題考查三角形相似的應(yīng)用，熟練掌握對應(yīng)線段成比例且夾角相等的兩個三角形相似是解題關(guān)鍵．8．（2022·上海靜安·二模）在和中，，，，，，判定這兩個三角形是否相似_______．（填“相似”或“不相似”）【答案】不相似【分析】求出，利用，即可求出兩個三角形不相似．【詳解】解：∵，，，∴，∵，，，∴，∴這兩個三角形不相似．故答案為：不相似【點睛】本題考查相似三角形的判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．9．（2022·山東淄博·八年級期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中有三個三角形，分別是，，，其中與相似的是______．【答案】【分析】分別求出三個三角形的三邊的比（按邊長的大小順序），所求三邊之比等于△ABC的三邊之比就是與△ABC相似的三角形．【詳解】解：∵△ABC的三邊之比是，△EBC的三邊之比是△CDB的三邊之比是，△DEB的三邊之比是．∴△DEB與△ABC相似，故答案為：△DEB．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，勾股定理與網(wǎng)格，掌握“三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似”是解題的關(guān)鍵．10．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，已知相交于點O，若補充一個條件后，便可得到，則要補充的條件可以是________．【答案】∠B=∠C（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意有∠AOB=∠DOC，因此根據(jù)相似三角形的判定條件只需要添加∠B=∠C或∠A=∠D即可證明△AOB∽△DOC．【詳解】解：∵∠AOB=∠DOC，∴當(dāng)添加條件∠B=∠C時可以證明△AOB∽△DOC，故答案為：∠B=∠C（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2020·北京延慶·九年級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點E．請寫出一對相似三角形，并證明．【答案】△BEC∽△ADC（答案不唯一），見解析【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，可得∠ADC=∠BEC=90°，再由∠C=∠C，可證得△BEC∽△ADC．【詳解】解：△BEC∽△ADC．證明如下：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC

∴∠ADC=90°

又∵BE⊥AC∴∠BEC=90°

∴∠ADC=∠BEC=90°

又∵∠C=∠C∴△BEC∽△ADC【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．（2020·北京房山·九年級期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點．和的頂點都在邊長為1的小正方形的格點上．(1)則_____°，______；(2)判斷與是否相似．若相似，請說明理由．【答案】(1)，(2)∽，證明見解析【分析】（1）利用圖形以及勾股定理解決問題即可．（2）結(jié)論：△ABC∽△DFE．根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明即可．（1）解：觀察圖形可知，∠ABC＝90°＋45°＝135°，BC．故答案為：，（2）結(jié)論：△ABC∽△DFE．理由：∵AB＝2，BC＝2，DF，EF＝2，∠DFE＝90°＋45°＝135°，∴，∵∠ABC＝∠DFE，∴△ABC∽△DFE．【點睛】本題考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．提升篇提升篇一、填空題1．（2020·上?！ど贤飧街芯拍昙夒A段練習(xí)）的邊長分別為的邊長分別，則與____________（選填“一定”“不一定”“一定不”）相似【答案】不一定【分析】先求出兩個三角形三邊的比，再根據(jù)三邊對應(yīng)成比例判斷兩個三角形相似即可．【詳解】解：∵的邊長分別為的邊長分別，∴兩個三角形對應(yīng)邊的比分別為：，當(dāng)a=b=c時，，這兩個三角形相似，當(dāng)a≠b≠c時，，這兩個三角形不相似，∴與不一定相似，故答案為：不一定．【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解答的關(guān)鍵．2．（2022·甘肅酒泉·九年級期末）在和中，，，，，則__時，和相似．【答案】或【分析】由于兩相似三角形的對應(yīng)邊不能確定，故應(yīng)分與兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：，當(dāng)時，，又∵，，，即，解得：；當(dāng)時，，又∵，，，即，解得：．綜上所述，當(dāng)或時，和相似．故答案為：或．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，在解答此題時要注意進(jìn)行分類討論．3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，P為線段AB上一點，AD與BC交于點E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于點F，AD交PC于點G，則圖中相似三角形有_____對．【答案】3【分析】先根據(jù)條件證明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，再證明△APD∽△PGD，進(jìn)而證明△APG∽△BFP再證明時注意圖形中隱含的相等的角．【詳解】解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，∴△PCF∽△BCP．∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，∴△APD∽△PGD．∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C∴∠APG＝∠BFP，∴△APG∽△BFP．則圖中相似三角形有3對，故答案為：3．【點睛】本題考查相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角．4．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABD與△AEC都是等邊三角形，AB≠AC，下列結(jié)論中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正確的序號是__．【答案】①②【分析】由兩個等邊三角形容易證明△DAC≌△BAE，則可得①正確，同時有∠ADC＝∠ABE，利用三角形內(nèi)角和即可得②正確，再由AB≠AC及AC=AE，得AB≠AE，從而可得∠ABE≠∠AEB，則易得∠DBO≠∠OCE，從而得③不正確．【詳解】∵△ABD、△AEC都是等邊三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＋60°，∠BAE＝∠BAC＋60°，∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE，∴BE＝DC．∴∠ADC＝∠ABE，∵∠BOD＋∠BDO＋∠DBO＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBO＝180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°＋∠ABE）＝60°，∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC＝∠ABE，∠AEB＝∠ACD，∵∠DBO＝∠ABD＋∠ABE＝60°＋∠ABE，∠OCE＝∠ACE＋∠ACO＝60°＋∠ACD，∵AE=AC，∴AB≠AE，∴∠ABE≠∠AEB，∵∠AEB＝∠ACD，∴∠ABE≠∠ACD，∴∠DBO≠∠OCE，∴兩個三角形的最大角不相等，∴△BOD不相似于△COE；即③不正確；故答案為：①②．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，說明③不正確是本題的難點，許多學(xué)生無從下手．5．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為；如果P、Q兩動點同時運動，那么經(jīng)過______秒時與相似．【答案】或##或【分析】設(shè)經(jīng)過t秒時，與相似，則,,,利用兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進(jìn)行分類討論：時，，即；當(dāng)時，，即，然后解方程即可求出答案．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過t秒時，與相似，則,,,∵，∴當(dāng)時，，即，解得：；當(dāng)時，，即，解得：；綜上所述：經(jīng)過或秒時，與相似，【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析題意列出方程求解．二、解答題6．（2022·全國·九年級）已知和中，，、分別是兩個三角形斜邊上的高，且，求證：．【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)題意得出，再由，得出，故可得出，再由即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵、分別是兩個三角形斜邊上的高，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解本題的關(guān)鍵．7．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點E為AC的中點，AD⊥BC于點D，ED延長后交AB的延長線于點F，求證：△AEF∽△ABC．【答案】證明見解析．【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到ED＝EC，則∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性質(zhì)可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，則根據(jù)有