專題05勾股定理中的最值問題

專題五勾股定理中的最值問題考點(diǎn)一將軍飲馬問題【方法點(diǎn)撥】運(yùn)用“兩定一動(dòng)”的模型求最值。1．如圖，河邊有A，B兩個(gè)村莊，A村距河邊10m，B村距河邊30m，兩村平行于河邊方向的水平距離為30m，現(xiàn)要在河邊建一抽水站E，需鋪設(shè)管道抽水到A村和B村．（1）要使鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度最短，請(qǐng)作圖找出水站E的位置（不寫作法）（2）若鋪設(shè)管道每米需要500元，則最低費(fèi)用為多少？【思路點(diǎn)撥】（1）先求出點(diǎn)A關(guān)于河流的對(duì)稱點(diǎn)A′，然后連接A′B，與河流的交點(diǎn)E即為所求作的抽水站的位置．利用勾股定理求出A′B即為鋪設(shè)管道的最短距離．（2）運(yùn)用費(fèi)用＝米數(shù)×每米的錢數(shù)．【解析】解：（1）如圖所示，抽水站修在點(diǎn)E處才能使所需的管道最短．先求出點(diǎn)A關(guān)于河流的對(duì)稱點(diǎn)A′，然后連接A′B，與河流的交點(diǎn)E即為所求作的抽水站的位置．作BC垂直于河，A′C平行河．∵兩村的水平距離為30米，∴A′C＝30米．∵A村距河邊10米，B村距河邊30米，∴BC＝10+30＝40（米）．∴A′B=30（2）最低費(fèi)用為：50×500＝25000（元）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是利用了軸對(duì)稱的性質(zhì)求解．2．如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬，請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？【思路點(diǎn)撥】此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)M的位置，需要首先作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接點(diǎn)B和點(diǎn)A′，交l于點(diǎn)M，M即所求作的點(diǎn)．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，知：MA+MB＝A′B．根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】解：作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B與CD，交點(diǎn)CD于M，點(diǎn)M即為所求作的點(diǎn)，則可得：DK＝A′C＝AC＝10千米，∴BK＝BD+DK＝40千米，∴AM+BM＝A′B=302總費(fèi)用為50×3＝150萬元．【點(diǎn)睛】此類題的重點(diǎn)在于能夠確定點(diǎn)M的位置，再運(yùn)用勾股定理即可求解．3．如圖，A，B兩個(gè)工廠位于一段直線形河的異側(cè)，A廠距離河邊AC＝5km，B廠距離河邊BD＝1km，經(jīng)測(cè)量CD＝8km，現(xiàn)準(zhǔn)備在河邊某處（河寬不計(jì)）修一個(gè)污水處理廠E．（1）設(shè)ED＝x，請(qǐng)用x的代數(shù)式表示AE+BE的長(zhǎng)；（2）為了使兩廠的排污管道最短，污水廠E的位置應(yīng)怎樣來確定此時(shí)需要管道多長(zhǎng)？（3）通過以上的解答，充分展開聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，請(qǐng)你猜想x2+4+(12-x【思路點(diǎn)撥】（1）∵ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根據(jù)勾股定理可用x表示出AE+BE的長(zhǎng)；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知連接AB與CD的交點(diǎn)就是污水處理廠E的位置．過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)；（3）根據(jù)AE+BE=(8-x)2+25+【解析】解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可得AE=(8-x)2∴AE+BE=(8-（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知連接AB與CD的交點(diǎn)就是污水處理廠E的位置．過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，則有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1．∴AF＝AC+CF＝6．在Rt△ABF中，BA=AF∴此時(shí)最少需要管道10km．（3）根據(jù)以上推理，可作出下圖：設(shè)ED＝x．AC＝3，DB＝2，CD＝12．當(dāng)A、E、B共線時(shí)求出AB的值即為原式最小值．當(dāng)A、E、B共線時(shí)x2+4+(12-【點(diǎn)睛】本題是一道生活聯(lián)系實(shí)際的題目，綜合性較強(qiáng)，綜合利用了勾股定理，及用數(shù)形結(jié)合的方法求代數(shù)式的值的方法，有一定的難度．4．恩施州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世．著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB＝50km，A、B到直線x的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P，向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客．小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P），P到A、B的距離之和S1＝PA+PB，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)A關(guān)于直線X的對(duì)稱點(diǎn)是A'，連接BA'交直線X于點(diǎn)P），P到A、B的距離之和S2＝PA+PB．（1）求S1、S2，并比較它們的大??；（2）請(qǐng)你說明S2＝PA+PB的值為最小；（3）擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，B到直線Y的距離為30km，請(qǐng)你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長(zhǎng)最?。⑶蟪鲞@個(gè)最小值．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)勾股定理分別求得S1、S2的值，比較即可；（2）在公路上任找一點(diǎn)M，連接MA，MB，MA'，由軸對(duì)稱知MA＝MA，∴MB+MA＝MB+MA'＞A'B，∴S2＝BA'為最??；（3）過A作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，過B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接A'B'，交X軸于點(diǎn)P，交Y軸于點(diǎn)Q，求出A'B'的值即可．【解析】解：（1）圖（1）中過B作BC⊥X于C，垂足為C；AD⊥BC于D，垂足為D，則BC＝40，又∵AP＝10，∴BD＝BC﹣CD＝40﹣10＝30．在△ABD中，AD=502在Rt△PBC中，∴BP=CS1=402圖（2）中，過B作BC⊥AA′垂足為C，則A′C＝50，又∵BC＝40，∴BA'=40由軸對(duì)稱知：PA＝PA'，∴S2＝BA'=1041∴S1＞S2．（2）如圖（2），在公路上任找一點(diǎn)M，連接MA，MB，MA'，由軸對(duì)稱知MA＝MA'，∴MB+MA＝MB+MA'＞A'B，∴S2＝BA'為最?。?）過A作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，過B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接A'B'，交X軸于點(diǎn)P，交Y軸于點(diǎn)Q，則P，Q即為所求．過A'、B'分別作X軸、Y軸的平行線交于點(diǎn)G，B′G＝40+10＝50，A′G＝30+30+40＝100，A'B'=100∴AB+AP+BQ+QP＝AB+A′P+PQ+B′Q＝50+505，∴所求四邊形的周長(zhǎng)為50+505【點(diǎn)睛】此題考查了線路最短的問題，確定動(dòng)點(diǎn)為何位置是關(guān)鍵，綜合運(yùn)用勾股定理的知識(shí)．考點(diǎn)二立體圖形中的最短距離問題【方法點(diǎn)撥】將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”原理求最值。1．如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)寬都是3，高是8的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是（）A．32+8 B．10 C．14 D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)”兩點(diǎn)之間線段最短”，將點(diǎn)A和點(diǎn)B所在的兩個(gè)面進(jìn)行展開，展開為矩形，則AB為矩形的對(duì)角線，即螞蟻所行的最短路線為AB．【解析】解：將點(diǎn)A和點(diǎn)B所在的兩個(gè)面展開，則矩形的長(zhǎng)和寬分別為6和8，故矩形對(duì)角線長(zhǎng)AB=62即螞蟻所行的最短路線長(zhǎng)是10．故選：B．【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是將點(diǎn)A和點(diǎn)B所在的面展開，運(yùn)用勾股定理求出矩形的對(duì)角線．2．有一長(zhǎng)、寬、高分別為5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根細(xì)木條（木條的粗細(xì)、形變忽略不計(jì)）要求木條不能露出木箱．請(qǐng)你算一算，能放入的細(xì)木條的最大長(zhǎng)度是（）A．41cm B．34cm C．52cm D．5【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形，直角邊分別為木箱的高、底面的對(duì)角線，據(jù)此根據(jù)勾股定理求出木條的最大長(zhǎng)度．【解析】解：由題意可知FG＝5cm、EF＝4cm、CG＝3cm，連接EG、CE，在直角△EFG中，EG=EF2在Rt△EGC中，EG=41cm，CG＝3cm由勾股定理得CE=EG2+CG故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．3．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（）A．521 B．25 C．105+5 D．【思路點(diǎn)撥】要求螞蟻爬行的最短距離，需將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【解析】解：將長(zhǎng)方體展開，連接A、B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，（1）如圖，BD＝10+5＝15，AD＝20，由勾股定理得：AB=AD2（2）如圖，BC＝5，AC＝20+10＝30，由勾股定理得，AB=AC2+（3）只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖：∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=BD2由于25＜529＜537故選：B．【點(diǎn)睛】本題是一道趣味題，將長(zhǎng)方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即可．4．如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長(zhǎng)為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為1.3m（容器厚度忽略不計(jì)）．【思路點(diǎn)撥】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求．【解析】解：如圖：∵高為1.2m，底面周長(zhǎng)為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，∴A′D＝0.5m，BD＝1.2﹣0.3+AE＝1.2m，∴將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B==0.5＝1.3（m）．故答案為：1.3．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開﹣﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．5．如圖所示，長(zhǎng)方體中AD＝2.5，DC＝1.5，AF＝3，若在長(zhǎng)方體表面上有一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)G處，則螞蟻爬過的最短路程為5.14．【思路點(diǎn)撥】將長(zhǎng)方體盒子按不同方式展開，得到不同的矩形，求出不同矩形的對(duì)角線，最短者即為正確答案．【解析】解：第一種情況：如圖1，把我們所看到的上面和后面組成一個(gè)平面，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是4.5和2.5，則所走的最短線段AG=4．第二種情況：如圖2，把我們看到的左面與后面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是5.5和1.5，所以走的最短線段AB=5．第三種情況：如圖3，把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是5.5和1.5，所以走的最短線段AB=5．三種情況比較而言，第一種情況最短．故答案為：5.14．【點(diǎn)睛】此題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，解答時(shí)要進(jìn)行分類討論，利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm，高為6cm．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要10cm；如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要29+16n2【思路點(diǎn)撥】將長(zhǎng)方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知所用細(xì)線最短長(zhǎng)度．【解析】解：將長(zhǎng)方體展開，連接A、B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB=82+6如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，相當(dāng)于直角三角形的兩條直角邊分別是8n和6，根據(jù)勾股定理可知所用細(xì)線最短需要62+(8n)2故答案為：10；29+16n【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，是一道趣味題，將長(zhǎng)方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即可．7．如圖，有一個(gè)圓柱，它的高為13cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在圓柱的下底面上A點(diǎn)處有一個(gè)螞蟻想吃到離上底面1cm處的B點(diǎn)的食物，需爬行的最短距離為13cm．【思路點(diǎn)撥】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【解析】解：把題中的圓柱沿著A點(diǎn)所在的母線剪開，其展開圖為一個(gè)矩形，如圖所示：由圖根據(jù)勾股定理得：AB=52+故需爬行的最短距離為13cm．【點(diǎn)睛】圓柱的側(cè)面展開為矩形，關(guān)鍵是在矩形上找出A和B兩點(diǎn)的位置，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．8．如圖，圓柱體的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，圓柱下底面A點(diǎn)除有一只蜘蛛，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的蒼蠅，需要爬行的最短路徑是13cm．【思路點(diǎn)撥】要求需要爬行的最短路徑首先要把圓柱的側(cè)面積展開，得到一個(gè)矩形，然后利用勾股定理求兩點(diǎn)間的線段即可．【解析】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到如圖所示的圖形，其中AC＝5cm，BC＝12cm，在Rt△ABC中，AB=52故答案為13【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，解題的關(guān)鍵是理解要求需要爬行的最短路徑首先要把圓柱的側(cè)面積展開，底面周長(zhǎng)和高以及所走的路線構(gòu)成一個(gè)直角三角形，然后再求線段的長(zhǎng)．9．邊長(zhǎng)分別為4cm，3cm兩正方體如圖放置，點(diǎn)P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P【思路點(diǎn)撥】求出兩種展開圖PA的值，比較即可判斷；【解析】解：如圖，有兩種展開方法：方法一：PA=72方法二：PA=82故需要爬行的最短距離是65cm．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開﹣?zhàn)疃虇栴}，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．10．如圖所示是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別等于55cm、10cm、6cm，A和B是這兩個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，則一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過臺(tái)階爬到點(diǎn)B的最短路線有多長(zhǎng)？【思路點(diǎn)撥】展開后得到直角三角形ACB，根據(jù)題意求出AC、BC，根據(jù)勾股定理求出AB即可．【解析】解：展開后由題意得：∠C＝90°，AC＝3×10+3×6＝48，BC＝55，由勾股定理得：AB=AC2答：一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過臺(tái)階爬到點(diǎn)B的最短路線有73cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)勾股定理，平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能理解題意知道是求出直角三角形ABC的斜邊AB的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．11．葛藤是一種刁鉆的植物，它自己腰桿不硬，為了爭(zhēng)奪雨露陽(yáng)光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹盤上升的路線，總是沿著最短路線﹣﹣盤旋前進(jìn)的．難道植物也懂得數(shù)學(xué)嗎？閱讀以上信息，你能設(shè)計(jì)一種方法解決下列問題嗎？（1）如圖，如果樹的周長(zhǎng)為3cm，從點(diǎn)A繞一圈到B點(diǎn)，葛藤升高4cm，則它爬行路程是多少厘米？（2）如果樹的周長(zhǎng)為8cm，繞一圈爬行10cm，則爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到達(dá)樹頂，則樹干高多少厘米？【思路點(diǎn)撥】（1）（2）立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，利用勾股定理解決問題即可；【解析】解：（1）如果樹的周長(zhǎng)為3cm，繞一圈升高4cm，則葛藤繞樹爬行的最短路線為：32+（2）如果樹的周長(zhǎng)為8cm，繞一圈爬行10cm，則爬行一圈升高為：102-8則樹干高為：10×6＝60厘米．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開﹣?zhàn)疃虇栴}，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．12．我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長(zhǎng)幾何？，題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長(zhǎng)為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處．則問題中葛藤的最短長(zhǎng)度是多少尺？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理求解即可．【解析】解：如圖所示，在如圖所示的直角三角形中，∵BC＝20尺，AC＝5×3＝15尺，∴AB=15答：葛藤長(zhǎng)為25尺．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，此類問題應(yīng)先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．13．慶安中學(xué)要舉辦第四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)，現(xiàn)需裝飾一根高為9米，底面半徑為2π米的圓柱，如圖，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上．用一根彩帶（寬度不計(jì)）從點(diǎn)A順著圓柱側(cè)面繞3圈到點(diǎn)B【思路點(diǎn)撥】求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【解析】解：圓柱體的展開圖如圖所示，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動(dòng)最短路線是：AC→CD→DB，即在圓柱體的展開圖長(zhǎng)方形中，將長(zhǎng)方形平均分成3個(gè)小長(zhǎng)方形，A沿著3個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線運(yùn)動(dòng)到B的路線最短，∵圓柱底面半徑為2πcm∴長(zhǎng)方形的寬即是圓柱體的底面周長(zhǎng)＝2π×2π=又∵圓柱高為9cm，∴小長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)是3cm，根據(jù)勾股定理求得AC＝CD＝DB＝5cm，∴AC+CD+DB＝15cm，答：這根棉線的長(zhǎng)度最短是15cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的計(jì)算、平面展開﹣路徑最短問題．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，此長(zhǎng)方形的寬等于圓柱底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的高．解題的關(guān)鍵就是把圓柱的側(cè)面展開成長(zhǎng)方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．考點(diǎn)三其它最值問題【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體的圖形，采用具體的方法求最值。1．△ABC中，AB＝CB，AC＝10，S△ABC＝60，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE，過A作AF⊥CE于F，連結(jié)BF，則BF的最小值是7．【思路點(diǎn)撥】過B作BD⊥AC于D，根據(jù)S△ABC＝60，計(jì)算BD的長(zhǎng)，由∠AFC＝90°，可知F在以AC為直徑的圓上，由三角形三邊關(guān)系得：BF+DF＞BD，則當(dāng)F在BD上時(shí)，BF的值最小，求BF'的長(zhǎng)即可．【解析】解：過B作BD⊥AC于D，∵AB＝BC，∴AD＝CD=12AC＝∵S△ABC＝60，∴12×ACBD＝12，∵AF⊥CE，∴∠AFC＝90°，∴F在以AC為直徑的圓上，∵BF+DF＞BD，且DF＝DF'，∴當(dāng)F在BD上時(shí)，BF的值最小，此時(shí)BF'＝12﹣5＝7，則BF的最小值是7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)、圓周角定理、三角形面積，確定BF的最小值時(shí)點(diǎn)F的位置是關(guān)鍵．2．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延長(zhǎng)BC至D使CD＝BC，連接AD．（1）求證：△ABD是等邊三角形；（2）若E為線段CD的中點(diǎn)，且AD＝4，點(diǎn)P為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EP，BP．①求EP+12②求2BP+AP的最小值．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理，可得AD＝AB，只要證明∠B＝60°即可解決問題．（2）①如圖1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．由∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，推出PF=12PA，推出PE+12PA＝PE+PF，所以當(dāng)E、P、F共線時(shí)，即EF′⊥AB時(shí)，PE+PF最短，最小值為線段②如圖2中，作PF⊥AD于F，EF′⊥AD于F′，交AC于P′．由∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，推出PF=12PA，推出2BP+AP＝2（PB+12PA）＝2（PB+PF），所以當(dāng)B、P、F共線時(shí)，即BF′⊥AD時(shí)，PB+PF最短，最小值為線段【解析】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°∴AC⊥BD，∠B＝60°∵DC＝CB，∴AD＝AB，∵∠B＝60°，∴△ABD是等邊三角形．（2）①如圖1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．∵∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，∴PF=12∴PE+12PA＝PE+∴當(dāng)E、P、F共線時(shí)，即EF′⊥AB時(shí)，PE+PF最短，最小值為線段EF′，在Rt△EF′B中，∵∠B＝60°，EB＝3，∴EF′＝EB?sin60°=3∴EP+12AP的最小值為②如圖2中，作