（挑戰(zhàn)壓軸）專項(xiàng)2.10二次函數(shù)中角度有關(guān)問(wèn)題（三大類）（原卷版）

（挑戰(zhàn)壓軸）專項(xiàng)2.10二次函數(shù)中角度有關(guān)問(wèn)題（三大類）【方法技巧】類型一：將等角問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等腰三角形或平行線問(wèn)題。如例1：拋物線y=x+3x+4,與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C，CP⊥y軸交拋物線與點(diǎn)P，點(diǎn)M為A、C間拋物線上一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），求滿足∠MPO=∠POA的點(diǎn)M的坐標(biāo)。分析：顯然符合條件的點(diǎn)M有兩個(gè)，OP上方一個(gè)，OP下方一個(gè)、當(dāng)M在OP上方時(shí)，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,則M與C點(diǎn)重合。當(dāng)M在OP下方時(shí)，∠MPO=∠POA，這兩角組成的三角形是等腰三角形。設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)D，坐標(biāo)為D(n,0)，由兩點(diǎn)間距離公式可表示出OD、PD長(zhǎng)，根據(jù)OD=PD列方程即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再求出PD直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立，進(jìn)而求出M點(diǎn)坐標(biāo)。類型二：將等角問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等角所在三角形相似或等角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)（通常是正切值）相等問(wèn)題。這類問(wèn)題有兩種情況：一種是所求角的一邊與坐標(biāo)軸平行（重合）；例2如圖，拋物線y=+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，已知OB=OC=6.（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FAB=∠EDB時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；解析：通過(guò)已知條件易得拋物線表達(dá)式為及各定點(diǎn)坐標(biāo)，第二問(wèn)中的F有兩種情況：x軸上方一個(gè)，x軸下方一個(gè)。在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=，則tan∠FAB=，過(guò)F作x軸垂線，構(gòu)造∠FAB所在直角三角形，接著通過(guò)設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)，表示FH和AH長(zhǎng)，根據(jù)tan∠FAB=列方程，或利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式，從而求出點(diǎn)F坐標(biāo)，由于表示FH時(shí)加了絕對(duì)值，已經(jīng)考慮到了上下兩種情況，這樣兩個(gè)F就都求出來(lái)了。還可以從圖形的角度發(fā)現(xiàn)一對(duì)反8的相似三角形，推出AF與BD是垂直關(guān)系，進(jìn)而求出AF的直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立求出交點(diǎn)F的坐標(biāo)，這也是不錯(cuò)的方法。另一種是所求角的邊不與坐標(biāo)軸平行。例3:如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=x+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）x軸上有一點(diǎn)E（，0），連接CE，點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接CD，是否存在點(diǎn)D，使得△CDF中的某個(gè)角恰好等于∠AEC？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：通過(guò)已知條件易得拋物線表達(dá)式為y=xx+2及各定點(diǎn)坐標(biāo)。第二問(wèn)要分類討論，當(dāng)∠CDF=∠AEC或是∠DCF=∠AEC時(shí)，先來(lái)討論∠CDF=∠AEC的情況。在Rt⊿COE中，可知tan∠AEC=，當(dāng)∠CDF=∠AEC時(shí)，tan∠CDF=,即CF:DF=4：3，然后，在直角頂點(diǎn)F處構(gòu)建一線三垂直模型，由CF:DF=4：3，設(shè)CF=3m,DF=4m，由△CFH∽△CAO可得FH=8m，同理DG=6m，由GI=HO=24m，可得DI=2+2m,從而寫(xiě)出D點(diǎn)坐標(biāo)（11m,2+2m）,將其代入拋物線表達(dá)式求得D點(diǎn)坐標(biāo)?；蚴窃贏處作垂直構(gòu)建一線三垂直模型，利用相似寫(xiě)出K點(diǎn)坐標(biāo)，在求出CK直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立從而求出交點(diǎn)D的坐標(biāo)。當(dāng)∠DCF=∠AEC時(shí),可用同樣方法求出D點(diǎn)坐標(biāo)。類型三：二倍角或半角的存在性問(wèn)題.二倍角的構(gòu)造方法如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構(gòu)造，在BC邊上找一點(diǎn)D，使得BD=AD，則.這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來(lái)利用三角函數(shù)（一般用正切）計(jì)算就可以了。半角的構(gòu)造方法如圖，已知，構(gòu)造半角可以用下面兩種方法：方法一：和前面二倍角的構(gòu)造相對(duì)應(yīng)，利用外角定理，如圖，延長(zhǎng)CB至D，使得BD=BA，則，若AC、BC的長(zhǎng)度已知，則容易求出tan∠D的值，從而進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。方法二：如圖，直接做的角平分線BE，若AC、BC的長(zhǎng)度已知，則容易求出tan∠EBC的值。1．（2022秋?紅安縣期中）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，求△DCB面積的最大值；（3）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PCB＝∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．（2020秋?周村區(qū)期末）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝x+2交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，）．點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若存在點(diǎn)P，使∠PCF＝45°，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．（2022秋?洪山區(qū)期中）如圖1所示，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求△ABC的面積；（2）如圖2所示，點(diǎn)P是拋物線上第一象限的一點(diǎn)，且∠PAB＝∠ACO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；4．（2021?武進(jìn)區(qū)校級(jí)自主招生）如圖1，直線y＝﹣x+n交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C（0，4），拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B（0，﹣2）．點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PD，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥PD于點(diǎn)D，連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時(shí)，求線段PD的長(zhǎng)；（3）如圖2，將△BDP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△BD′P′，且旋轉(zhuǎn)角∠PBP′＝∠OAC，當(dāng)點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′落在坐標(biāo)軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．5（2020?遼寧）如圖，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），作直線BC．