《直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式-兩點(diǎn)間的距離公式》教材分析

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2《2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式》教材分析一、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離公式.難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo).三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議初中定性地研究了“相交線與平行線”，建立直線方程后，我們就可以用代數(shù)方法對(duì)直線的有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行定量研究.也就是說(shuō)，利用直線的方程，我們不僅能判斷兩條直線是否相交，而且在相交時(shí)能求出交點(diǎn)的位置，在平行時(shí)能求出兩條平行線間的距離.同樣，在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以得到兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行線間的距離公式等.通過(guò)平面直角坐標(biāo)系，我們對(duì)平面內(nèi)點(diǎn)、直線之間相互關(guān)系的認(rèn)識(shí)深化了.2.3.2兩點(diǎn)間的距離公式平面上兩點(diǎn)間的距離公式是解析幾何的基本公式.點(diǎn)到直線的距離公式的獲得，圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程的建立等都是以此為基礎(chǔ)的.1.平面上兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)本小節(jié)首先設(shè)置“探究”，提出問(wèn)題：已知平面內(nèi)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，如何求出這兩點(diǎn)間的距離呢？?jī)牲c(diǎn)間的距離是連接這兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度.在必修第二冊(cè)“第六章平面向量及其應(yīng)用”中已經(jīng)過(guò)向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示，給出的模長(zhǎng)公式.這里給出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)系向量知識(shí)，把求轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題.由，與“一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)”得，；再由平面向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示得，即.這樣已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以由上式求出這兩點(diǎn)間的距離.第73頁(yè)的“思考”，關(guān)鍵是讓學(xué)生思考在平面直角坐標(biāo)系中如何構(gòu)造直角三角形.教學(xué)時(shí)要據(jù)平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)，先讓學(xué)生回答，然后歸納.我們一般選擇與坐標(biāo)軸平行（或垂直）的直線構(gòu)造直角三角形，這樣與坐標(biāo)軸平行（或垂直）的線段的長(zhǎng)度容易用坐標(biāo)表示.構(gòu)造直角三角形后，我們就可以用勾股定理推導(dǎo)兩點(diǎn)間的距離公式，并將這種方法與向量法進(jìn)行比較.平面上兩點(diǎn)間的距離公式實(shí)質(zhì)是勾股定理的代數(shù)表示.用勾股定理推導(dǎo)兩點(diǎn)間距離公式需要分情況進(jìn)行討論：（1）是坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)如果是x軸上的兩點(diǎn)，那么點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.可以證明，無(wú)論點(diǎn)在原點(diǎn)的同側(cè)異側(cè)，或其中一點(diǎn)為原點(diǎn)，都有.類似地，如果是y軸上的兩點(diǎn)，那么.（2）直線與坐標(biāo)軸平行如圖1，直線與x軸平行.分別過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線，垂足分別為，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.由（1）得.所以類似地，如果直線與y軸平行，可以證明.（3）直線與x軸、y軸都不平行如圖2，過(guò)點(diǎn)作x軸的平行線，過(guò)點(diǎn)作y軸的平行線，兩條直線相交于點(diǎn)Q，則∠Q=90°，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是.，.由勾股定理，得容易發(fā)現(xiàn)，對(duì)于（1）（2）兩種情況，的計(jì)算公式與上式一致.所以對(duì)于任意兩點(diǎn)，都有這樣我們得到平面上兩點(diǎn)間的距離公式.可以看到，用勾股定理推導(dǎo)平面上兩點(diǎn)間的距離公式，不僅需要分情況討論，還需要添加輔助線構(gòu)造直角三角形，而向量法比用勾股定理推導(dǎo)方法簡(jiǎn)潔.2.例3的教學(xué)在例3中，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由平面上兩點(diǎn)間的距離公式可以用含x的式子表示.再由得到含x的方程，解方程求出x.就可以由坐標(biāo)確定所求的點(diǎn)，并由兩點(diǎn)間的距離公式求出的值.教學(xué)時(shí)要注意，運(yùn)用距離公式求解時(shí)，往往需要解二次方程，二次方程有兩個(gè)根：兩根相等時(shí)，是一個(gè)點(diǎn)；兩根不相等時(shí)，是兩個(gè)點(diǎn).3.例4的教學(xué)（1）例4的證明過(guò)程例4是用坐標(biāo)法證明平面幾何命題成立.用綜合法證明這個(gè)命題，需要添加輔助線，反復(fù)運(yùn)用勾股定理，有一定難度.這個(gè)結(jié)論有時(shí)被稱為“平行四邊形的勾股定理”或“廣義勾股定理”.用坐標(biāo)法證明，首先要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量.平面直角坐標(biāo)系建立得適當(dāng)，可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化.本例中，以?ABCD的頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.這樣，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為0，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為0點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)確定后，我們需要由它們的坐標(biāo)確定?如圖3，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為F，則AF=b，DF=c.在?ABCD中，因?yàn)镃D∥AB，所以CE=DF，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為c.又BC=AD，所以Rt△BCE≌Rt△ADF，所以BE=AF.因此AE=AB+BE=AB+AF，即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為a+b.綜上所述，點(diǎn)求點(diǎn)C的坐標(biāo)還可以采用如下的方法.在?ABCD中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為.由?ABCD的對(duì)角線互相平分可知，BD的中點(diǎn)也是AC的中點(diǎn).BD的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，設(shè)點(diǎn)C的的坐標(biāo)是，則AC的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以，.所以，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為.接下來(lái)，由兩點(diǎn)間的距離公式得到的表達(dá)式.進(jìn)而得到的表達(dá)式，從而證得本例中的平面幾何命題成立.（2）用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的基本步驟在必修第二冊(cè)“第六章平面向量及其應(yīng)用”中，我們?cè)凑障蛄糠ǖ摹叭角弊C明過(guò)這個(gè)命題，即建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.用坐標(biāo)法解決這個(gè)問(wèn)題的基本步驟與向量法完全類似，即建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；進(jìn)行代數(shù)