人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題03一元二次方程的應(yīng)用題重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(原卷版+解析)

專題03一元二次方程的應(yīng)用題重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一傳播問題題型二增長率問題題型三與圖形有關(guān)的問題題型四數(shù)字問題題型五營銷問題題型六動(dòng)態(tài)幾何問題題型七行程問題題型八圖表信息題題型九其他問題【經(jīng)典例題一傳播問題】【解題技巧】1、病毒傳染問題：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人.開始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個(gè)人，他傳染了個(gè)人，用代數(shù)式表示第一輪后共有人患了流感.第二輪傳染中，人中的每個(gè)人又傳染了個(gè)人，用代數(shù)式表示第二輪后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）2人患了流感.樹枝問題：設(shè)一個(gè)主干長x個(gè)枝干，每個(gè)枝干長x個(gè)小分支，則一共有1+x+x2個(gè)枝?！纠?】（2023秋·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（簡稱：CBA），分常規(guī)賽和季后賽兩個(gè)階段進(jìn)行，采用主客場(chǎng)賽制（也就是參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽）．2022-2023CBA常規(guī)賽共要賽240場(chǎng)，則參加比賽的隊(duì)共有（）A．80個(gè) B．120個(gè) C．15個(gè) D．16個(gè)【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，下列所列方程正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）德爾塔（Delta）是一種全球流行的新冠病毒變異毒株，其傳染性極強(qiáng)．某地有1人感染了德爾塔，因?yàn)闆]有及時(shí)隔離治療，經(jīng)過兩輪傳染后，一共有144人感染了德爾塔病毒，那每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了____個(gè)人；如果不及時(shí)控制，照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后，一共有______人感染德爾塔病毒．3．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）2019年12月以來，“新冠”病毒影響著人們的出門及交往．(1)在“新冠”初期，有2人感染了“新冠”，經(jīng)過兩輪傳染后共有288人感染了“新冠”（這兩輪感染均未被發(fā)現(xiàn)未被隔離），則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？(2)某小區(qū)物管為預(yù)防業(yè)主感染傳播購買A型和B型兩種口罩，購買A型口罩花費(fèi)了2500元，購買B型口罩花費(fèi)了2000元，且購買A型口罩?jǐn)?shù)量是購買B型口罩?jǐn)?shù)量的2倍，已知購買一個(gè)B型口罩比購買一個(gè)A型口罩多花3元．則該物業(yè)購買A，B兩種口罩單價(jià)分別為多少元？【經(jīng)典例題二增長率問題】【解題技巧】增減率問題涉及的公式有:(1)(2)若設(shè)原來量是，平均增長率是，增長次數(shù)是，增長后的量是，則;若設(shè)原來量是，平均降低率是，降低次數(shù)是，降低后的量是，則.【例2】（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）據(jù)統(tǒng)計(jì)2019年某款A(yù)PP用戶數(shù)約為2400萬，2021年底達(dá)到5000萬．假設(shè)未來幾年內(nèi)仍將保持相同的年平均增長率，則這款A(yù)PP用戶數(shù)首次突破一億的年份是（

）A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）某學(xué)校實(shí)踐基地加大農(nóng)場(chǎng)建設(shè)，為學(xué)生提供更多的勞動(dòng)場(chǎng)所．該實(shí)踐基地某種蔬菜2020年的年產(chǎn)量為60千克，2022年的年產(chǎn)量為135千克．設(shè)該種蔬菜年產(chǎn)量的平均增長率為，則符合題意的方程是（

）A． B．C． D．2．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）為了加快發(fā)展新能源和清潔能源，助力實(shí)現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)，大力發(fā)展高效光伏發(fā)電關(guān)鍵零部件制造．青島某工廠今年第一季度生產(chǎn)某種零件的成本是20萬元，由于技術(shù)升級(jí)改進(jìn)，生產(chǎn)成本逐季度下降，第三季度的生產(chǎn)成本為萬元，設(shè)該公司每個(gè)季度的下降率都相同．則該公司每個(gè)季度的下降率是__________．3．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）在國家積極政策的鼓勵(lì)下，環(huán)保意識(shí)日漸深入人心，新能源汽車的市場(chǎng)需求逐年上升．(1)某汽車企業(yè)2020年到2022年這兩年新能源汽車的銷售總量增長了96%．求該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率；(2)某汽車企業(yè)下屬的一個(gè)專賣店經(jīng)銷一款進(jìn)價(jià)為15萬元/輛的新能源汽車，經(jīng)銷一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該款汽車售價(jià)定為25萬元/輛時(shí)，平均每周售出8輛；售價(jià)每降低0.5萬元，平均每周多售出1輛．若該店計(jì)劃下調(diào)售價(jià)使平均每周的銷售利潤為96萬元，并且盡量讓利于顧客，求下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)．【經(jīng)典例題三與圖形有關(guān)的問題】【解題技巧】利用一元二次方程解面積問題時(shí)，有時(shí)需要把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形【例3】（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖1，矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)沿從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)間的距離為，圖2是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)隨變化的關(guān)系圖象，則的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)溫州市第十二中學(xué)校考期中）對(duì)于一元二次方程，我國古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法．以方程為例加以說明．?dāng)?shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方注》中記載的方法是：如圖，將四個(gè)長為，寬為的長方形紙片拼成一個(gè)大正方形，則大正方形的邊長是，面積是四個(gè)矩形的面積與中間小正方形的面積之和，即，據(jù)此易得．小明用此方法解關(guān)于的方程，其中構(gòu)造出同樣的圖形，已知小正方形的面積為4，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)期中）如圖，用一面足夠長的墻為一邊，其余三邊用總長34米的圍欄建兩個(gè)面積相同的生態(tài)園，兩個(gè)生態(tài)園各留一扇寬為1米的門．由于場(chǎng)地限制，垂直于墻的一邊長不超過6米（圍欄寬忽略不計(jì)）．每個(gè)生態(tài)園的面積為48平方米，則每個(gè)生態(tài)園垂直于墻的一邊長為_________．3．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，用籬笆靠墻圍成矩形花圃，一面利用舊墻，其余三面用籬笆圍，墻可利用的最大長度為，籬笆長為，設(shè)平行于墻的邊長為．(1)若圍成的花圃面積為時(shí)，求的長；(2)如圖，若計(jì)劃在花圃中間用一道籬笆隔成兩個(gè)小矩形，且花圃面積為，請(qǐng)你判斷能否圍成花圃，如果能，求的長；如果不能，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典例題四數(shù)字問題】【解題技巧】數(shù)字問題有以下幾種常見類型:(1)連續(xù)整數(shù).若三個(gè)連續(xù)整數(shù)最中間的整數(shù)是，則最小的整數(shù)是，最大的整數(shù)是.(2)連續(xù)偶數(shù).若三個(gè)連續(xù)偶數(shù)最中間的偶數(shù)是，則最小的偶數(shù)是，最大的偶數(shù)是.(3)連續(xù)奇數(shù).若三個(gè)連續(xù)奇數(shù)最中間的奇數(shù)是，則最小的奇數(shù)是，最大的奇數(shù)是.(4)兩位數(shù).若一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，則這個(gè)兩位數(shù)是.(5)三位數(shù).若一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字是，十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，則這個(gè)三位數(shù)是.【例4】（2022·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)比它的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積大，已知十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大．則這個(gè)兩位數(shù)是（）A．64 B．75 C．53或75 D．64或75【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期中）有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為8，把它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，得到一個(gè)新數(shù)，新數(shù)與原數(shù)之積為1855，則原兩位數(shù)是（

）A．35 B．53 C．62 D．35或532．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）《念奴嬌?赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文采風(fēng)流，雄姿英發(fā)，談笑間，檣櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩歌，“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符．”若設(shè)這位風(fēng)流人物去世的年齡十位數(shù)字為x，則可列方程為____．3．（2022秋·江西南昌·九年級(jí)校聯(lián)考期中）對(duì)于任意一個(gè)三位數(shù)k，如果k滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個(gè)數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：，因?yàn)?，所?69是“喜鵲數(shù)”．(1)已知一個(gè)“喜鵲數(shù)”（，其中a，b，c為正整數(shù)），請(qǐng)直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式___________；判斷241___________“喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”）；(2)利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個(gè)一元二次方程①與②，若是方程①的一個(gè)根，是方程②的一個(gè)根，求m與n滿足的關(guān)系式；(3)在（2）中條件下，且，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有k的值．【經(jīng)典例題五營銷問題】【解題技巧】利潤問題常用公式如下:(1)利潤=售價(jià)–成本價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣–成本價(jià).(2)利潤率=(3)銷售額=銷售價(jià)×銷售量.(4)銷售利潤=(銷售價(jià)–成本價(jià))×銷售量【例5】（2023春·海南儋州·九年級(jí)專題練習(xí)）某口罩經(jīng)銷商批發(fā)了一批口罩，進(jìn)貨單價(jià)為每盒50元，若按每盒60元出售，則每周可銷售80盒．現(xiàn)準(zhǔn)備提價(jià)銷售，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每盒每提價(jià)1元，每周銷量就會(huì)減少2盒，為保護(hù)消費(fèi)者利益，物價(jià)部門規(guī)定，銷售時(shí)利潤率不能超過50%，設(shè)該口罩售價(jià)為每盒元，現(xiàn)在預(yù)算銷售這種口罩每周要獲得1200元利潤，則每盒口罩的售價(jià)應(yīng)定為（

）A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元【變式訓(xùn)練】1．5．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某網(wǎng)店銷售運(yùn)動(dòng)鞋，若每雙盈利40元，每天可以銷售20雙，該網(wǎng)店決定適當(dāng)降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查得知，每雙運(yùn)動(dòng)鞋每降價(jià)1元，每天可多銷售2雙，若想每天盈利1200元，并盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，則每雙運(yùn)動(dòng)鞋應(yīng)降價(jià)（

）A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元2．（2023秋·重慶大足·七年級(jí)統(tǒng)考期末）隨著新年的到來，某手機(jī)店購進(jìn)一批手機(jī)，第一周銷售A款手機(jī)的利潤率是，銷售B款手機(jī)的利潤率是，A款手機(jī)銷量是B款手機(jī)銷量的2倍，結(jié)果第一周這兩款手機(jī)的總利潤率是，受疫情的影響，第二周銷售A款手機(jī)的利潤率比第一周下降了，銷售B款手機(jī)的利潤率比第一周下降了，結(jié)果第二周這兩款的總利潤率達(dá)到，則第二周A款手機(jī)、B款手機(jī)的銷量之比值是________．（）3．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）“天使草莓”是通過草莓雜交育種、脫毒育苗篩查等生物技術(shù)而培育的一種草莓品種，因其外觀通體雪白、色澤透亮、汁多味美而深受廣大消費(fèi)者歡迎．今年春季，某水果店以60元/盒的價(jià)格購進(jìn)一批名叫“天使”的新品種草莓進(jìn)行銷售．該商家在銷售過程中發(fā)現(xiàn)當(dāng)每盒的售價(jià)為100元時(shí)，平均每天可售出180盒．若每盒的售價(jià)每降價(jià)5元，則每天可以多售出10盒．設(shè)此種草莓每盒的售價(jià)為x元，每天銷售此種草莓的利潤為y元．

(1)用含x的式子表示每盒此種草莓的利潤為______元，每天可賣出此種草莓的數(shù)量為______盒．(2)若該水果店計(jì)劃每天銷售此種草莓盈利6000元，問此種草莓每盒的售價(jià)應(yīng)定為多少元？【經(jīng)典例題六動(dòng)態(tài)幾何問題】【例6】（2022秋·四川資陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖①，在矩形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，的面積為，與的函數(shù)關(guān)系圖像如圖②所示，則邊的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)校考期中）如圖，矩形中，，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(

)A． B． C．6 D．2．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以每秒4個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)后，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)秒時(shí)，線段__．（2）當(dāng)__秒時(shí)，的面積是24．3．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以的速度向點(diǎn)D移動(dòng)．問：(1)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始幾秒時(shí)，四邊形的面積為？(2)幾秒時(shí)點(diǎn)P點(diǎn)Q間的距離是10厘米？(3)P，Q兩點(diǎn)間距離何時(shí)最小？【經(jīng)典例題七行程問題】【例7】（2023春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方路面26m處有情況，緊急剎車后汽車又滑行25m后停車，問剎車后汽車滑行到16m時(shí)約用了（）A．1s B．1.2s C．2s D．4s【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，東西方向上有A，C兩地相距10千米，甲以16千米/時(shí)的速度從A地出發(fā)向正東方向前進(jìn)，乙以12千米/時(shí)的速度從C地出發(fā)向正南方向前進(jìn)，那么最快經(jīng)過()小時(shí)，甲、乙兩人相距6千米？A． B． C．1.5 D．2．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）再讀教材：如圖，鋼球從斜面頂端靜止開始沿斜面滾下，速度每秒增加1.5m/s，在這個(gè)問題中，距離=平均速度時(shí)間t，，其中是開始時(shí)的速度，是t秒時(shí)的速度.如果斜面的長是18m，鋼球從斜面頂端滾到底端的時(shí)間為________s.3．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）小明在平整的草地上練習(xí)帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動(dòng)時(shí)，速度變化情況相同，小明速度達(dá)到6m/s后保持勻速運(yùn)動(dòng)．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時(shí)間的變化而變化的情況，小明在4s時(shí)第一次追上球．（提示：當(dāng)速度均勻變化時(shí)，平均速度，距離）(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運(yùn)動(dòng)方向不變，當(dāng)小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡要說明理由．【經(jīng)典例題八圖表信息題】【例8】（2022秋·寧夏銀川·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（

）23456513A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）重慶被稱為“基建狂魔”城市，今年2月份，重慶軌道交通引來“運(yùn)營里程超500千米的新突破”，另外重慶其他軌道工程也正處在建設(shè)中．(1)原計(jì)劃今年一季度施工里程（含普通道路施工、高架施工、隧道施工）共56千米，其中普通道路施工32千米，高架施工長度至少是隧道施工長度的7倍，則今年第一季度隧道施工最多是多少千米？(2)一季度的施工里程剛好按原計(jì)劃完成且隧道施工里程達(dá)到最大值，已知第一季度普通道路施工、高架施工、隧道施工每千米成本分別是1億元、2億元、4億元．在第二季度施工中，預(yù)計(jì)總里程會(huì)減少千米，隧道施工里程會(huì)增加千米，高架施工會(huì)減少千米，其中普通道路施工、隧道施工每千米成本與第一季度相同，高架橋施工每千米成本會(huì)增加億元，若第二季度總成本與第一季度相同，求的值．2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）烏克蘭危機(jī)發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動(dòng)，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實(shí)寫照，如表是該影片票房的部分?jǐn)?shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計(jì)收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計(jì)票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價(jià)每張40元，求10月11日賣出多少張電影票3．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）為了節(jié)約用水，不少城市對(duì)用水大戶作出了兩段收費(fèi)的規(guī)定．某市規(guī)定：月用水量不超過規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)a噸時(shí)，按每噸1.6元的價(jià)格交費(fèi)，如果超過了標(biāo)準(zhǔn)，超標(biāo)部分每噸還要加收元的附加費(fèi)用．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某戶7、8兩月的用水量和交費(fèi)情況如下表：月份用水量（噸）交費(fèi)總數(shù)（元）7140264895152（1）求出該市規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)用水量a的值；（2）寫出交費(fèi)總數(shù)y（元）與用水量x（噸）的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)關(guān)系計(jì)算，當(dāng)某月份用水量為150噸時(shí)，應(yīng)交水費(fèi)多少元？【經(jīng)典例題九其他問題】【例9】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)?？级＃┮阎丈廛嚬居屑?、乙兩個(gè)營業(yè)點(diǎn)，顧客租車后于當(dāng)日營業(yè)結(jié)束前必須在任意一個(gè)營業(yè)點(diǎn)還車．某日營業(yè)結(jié)束清點(diǎn)車輛時(shí)，發(fā)現(xiàn)在甲歸還的車輛比從甲出租的多4輛．若當(dāng)日從甲出租且在甲歸還的車輛為13輛，從乙出租且在乙歸還的車輛為11輛，則關(guān)于當(dāng)日從甲、乙出租車的數(shù)量下列比較正確的是（

）A．從甲出租的比從乙出租的多2輛 B．從甲出租的比從乙出租的少2輛C．從甲出租的比從乙出租的多6輛 D．從甲出租的比從乙出租的少6輛【變式訓(xùn)練】1．8．（2022秋·廣西欽州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D①，在矩形中，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，的面積為，與的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，則對(duì)角線的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）利用圖形的分、和、移、補(bǔ)探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，是矩形的對(duì)角線，將分割成兩對(duì)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若，則矩形的面積是______．

3．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：人類對(duì)一元二次方程的研究經(jīng)歷了漫長的歲月．一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在他的代表作《代數(shù)學(xué)》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進(jìn)行了證明．我國古代三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽也給出了類似的幾何解法．趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了解方程即得方法.首先構(gòu)造了如圖1所示得圖形，圖中的大正方形面積是，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，據(jù)此易得．任務(wù)：（1）參照上述圖解一元二次方程的方法，請(qǐng)?jiān)谙旅嫒齻€(gè)構(gòu)圖中選擇能夠說明方程的正確構(gòu)圖是（從序號(hào)①②③中選擇）．（2）請(qǐng)你通過上述問題的學(xué)習(xí)，在圖2的網(wǎng)格中設(shè)計(jì)正確的構(gòu)圖，用幾何法求解方程（寫出必要的思考過程）．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）用一條長為的繩子圍成一個(gè)面積為的長方形，a的值不可能為（

）A．120 B．100 C．60 D．202．（2023春·浙江衢州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了（

）A．9 B．10 C．11 D．123．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）2022年卡塔爾世界杯足球賽掀起校園足球熱，某市青少年校園足球聯(lián)賽采用單循環(huán)賽，每支球隊(duì)都要跟其他各支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽，整個(gè)單循環(huán)比賽共計(jì)進(jìn)行28場(chǎng)，則參加校園足球聯(lián)賽的隊(duì)伍共有（

）支．A．7 B．8 C．9 D．104．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）為加快推動(dòng)生態(tài)鞏義建設(shè)步伐，形成“城在林中、園在城中、山水相依，林路相隨”的生態(tài)格局，市政府計(jì)劃在某街心公園的一塊矩形空地上修建草坪，如圖，矩形長為40m，寬為30m，在矩形內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為，道路的寬度應(yīng)為多少?設(shè)矩形地塊四周道路的寬度為xm，根據(jù)題意，下列方程不正確的是（

）A． B．C． D．5．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，，將矩形沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，交于點(diǎn)E，若，則（

）A．2 B．3 C． D．6．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．當(dāng)一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，點(diǎn)M，N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為()A． B． C． D．7．（2020秋·浙江·八年級(jí)期末）一個(gè)矩形內(nèi)放入兩個(gè)邊長分別為和的小正方形紙片，按照?qǐng)D①放置，矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為，按照?qǐng)D②放置，矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為，若把兩張正方形紙片按圖③放置時(shí)，矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為（

）A． B． C． D．8．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┛盏厣嫌幸欢伍L為a米的舊墻，利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園（如圖1或圖2），已知木欄總長為40米，所圍成的菜園面積為S．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若，則有一種圍法B．若，則有一種圍法C．若，則有兩種圍法D．若，則有一種圍法9．（2023·貴州貴陽·?？家荒＃┠纤螖?shù)學(xué)家楊輝所著《田畝比類乘除捷法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長及闊各幾步．”譯文：一塊矩形田地的面積是864平方步，它的長和寬共60步，問它的長和寬各是多少步？設(shè)這塊矩形田地的長為步，根據(jù)題意可列方程為______．10．（2023·湖南常德·統(tǒng)考三模）一商店銷售某種商品，當(dāng)每件利潤為30元時(shí)，平均每天可售出20件，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件，當(dāng)每件商品的單價(jià)降低______元時(shí)，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元．11．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）某農(nóng)戶1月份購買了100只兔子進(jìn)行養(yǎng)殖，經(jīng)過兩個(gè)月后，農(nóng)戶養(yǎng)殖的兔子數(shù)量增長至169只，若兔子的月平均增長率都相同，則開始養(yǎng)殖一個(gè)月后，農(nóng)戶養(yǎng)殖的兔子數(shù)量為______只．12．（2023·黑龍江綏化·校考三模）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個(gè)圖形中一共有4個(gè)圓，第2個(gè)圖形中一共有8個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有14個(gè)圓，第4個(gè)圖形中一共有22個(gè)圓．……按此規(guī)律排列下去，現(xiàn)已知第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是134個(gè)，則_______．13．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)，速度為，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)，速度為．動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從，兩點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，動(dòng)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為________．14．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）六張完全相同的小矩形紙片C與A，B兩張矩形紙片恰好能拼成一個(gè)相鄰邊長為m，50的大矩形，部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示．（1）若，則矩形A的水平邊長為______；（2）請(qǐng)用含m，n的代數(shù)式表示矩形A的周長：______；（3）若矩形A，B的面積相等，則______．15．（2021秋·廣東河源·九年級(jí)校考期中）如圖，有一農(nóng)戶用24m長的籬笆圍成一面靠墻（墻長12m），大小相等且彼此相連的三個(gè)矩形雞舍．(1)雞舍的面積能夠達(dá)到嗎？若能，給出你的方案；若不能，請(qǐng)說明理由；(2)雞舍的面積能夠達(dá)到嗎？若能，給出你的方案；若不能，請(qǐng)說明理由．16．（2023·湖南長沙·?？级＃╇S著我國數(shù)字化閱讀方式的接觸率和人群持續(xù)增多，數(shù)字閱讀憑借獨(dú)有的便利性成為了更快獲得優(yōu)質(zhì)內(nèi)容的重要途徑.某市2020年數(shù)字閱讀市場(chǎng)規(guī)模為萬元，2022年數(shù)字閱讀市場(chǎng)規(guī)模為萬元.(1)求2020年到2022年該市數(shù)字閱讀市場(chǎng)規(guī)模的年平均增長率；(2)若年平均增長率不變，求2023年該市數(shù)字閱讀市場(chǎng)規(guī)模是多少萬元?17．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）為助力我省脫貧攻堅(jiān)，某村在“農(nóng)村淘寶網(wǎng)店”上銷售該村優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品．該網(wǎng)店于今年六月底收購一批農(nóng)產(chǎn)品，七月份銷售袋，八、九月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，九月份的銷售量達(dá)到袋．(1)求八、九這兩個(gè)月銷售量的月平均增長率；(2)該網(wǎng)店十月降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若該農(nóng)產(chǎn)品每袋降價(jià)元，銷售量可增加袋，當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品每袋降價(jià)多少元時(shí)，這種農(nóng)產(chǎn)品在十月份可獲利4250元？（若農(nóng)產(chǎn)品每袋進(jìn)價(jià)元，原售價(jià)為每袋元）18．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）等邊，邊長為，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，

(1)求當(dāng)為直角三角形時(shí)的時(shí)間；(2)的面積能否為，若存在求時(shí)間，若不存在請(qǐng)說明理由．19．（2023·浙江溫州·校考一模）某科研單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長30m，寬20m的矩形空地，建成一個(gè)矩形花園，要求在花園內(nèi)修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道（小道進(jìn)出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形），剩余的地方種植花草．(1)如圖1，要使種植花草的面積為，求小道進(jìn)出口的寬度為多少米；(2)現(xiàn)將矩形花園的四個(gè)角建成休閑活動(dòng)區(qū)，如圖2所示，均為全等的直角三角形，其中，設(shè)米，豎向道路出口和橫向彎折道路出口的寬度都為2m，且豎向道路出口位于和之間，橫向彎折道路出口位于和之間．①求剩余的種植花草區(qū)域的面積（用含有a的代數(shù)式表示）；②如果種植花草區(qū)域的建造成本是100元/米2、建造花草區(qū)域的總成本為42000元，求a的值．20．（2023春·安徽六安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）某運(yùn)動(dòng)品牌銷售一款運(yùn)動(dòng)鞋，已知每雙運(yùn)動(dòng)鞋的成本價(jià)為60元，當(dāng)售價(jià)為100元時(shí)，平均每天能售出200雙；經(jīng)過一段時(shí)間銷售發(fā)現(xiàn)，平均每天售出的運(yùn)動(dòng)鞋數(shù)量y（雙）與降低價(jià)格x（元）之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系．(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)公司希望平均每天獲得的利潤達(dá)到8910元，且優(yōu)惠力度最大，則每雙運(yùn)動(dòng)鞋的售價(jià)應(yīng)該定為多少？(3)為了保證每雙運(yùn)動(dòng)鞋的利潤不低于成本價(jià)的50%，公司每天能否獲得9000元的利潤？若能，求出定價(jià)；若不能，請(qǐng)說明理由．專題03一元二次方程的應(yīng)用題重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一傳播問題題型二增長率問題題型三與圖形有關(guān)的問題題型四數(shù)字問題題型五營銷問題題型六動(dòng)態(tài)幾何問題題型七行程問題題型八圖表信息題題型九其他問題【經(jīng)典例題一傳播問題】【解題技巧】1、病毒傳染問題：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人.開始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個(gè)人，他傳染了個(gè)人，用代數(shù)式表示第一輪后共有人患了流感.第二輪傳染中，人中的每個(gè)人又傳染了個(gè)人，用代數(shù)式表示第二輪后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）2人患了流感.樹枝問題：設(shè)一個(gè)主干長x個(gè)枝干，每個(gè)枝干長x個(gè)小分支，則一共有1+x+x2個(gè)枝。【例1】（2023秋·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（簡稱：CBA），分常規(guī)賽和季后賽兩個(gè)階段進(jìn)行，采用主客場(chǎng)賽制（也就是參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽）．2022-2023CBA常規(guī)賽共要賽240場(chǎng)，則參加比賽的隊(duì)共有（）A．80個(gè) B．120個(gè) C．15個(gè) D．16個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，共要比賽240場(chǎng)，可列出方程．【詳解】解：設(shè)參加比賽的隊(duì)共有x，根據(jù)題意可得：，解得：，（舍去），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是根據(jù)總比賽場(chǎng)數(shù)作為等量關(guān)系列方程求解．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，下列所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)題意列出第一輪傳染后患流感的人數(shù)，再根據(jù)題意列出第二輪傳染后患流感的人數(shù)，而已知第二輪傳染后患流感的人數(shù)，故可得方程．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，第一輪傳染后患流感的人數(shù)是：，第二輪傳染后患流感的人數(shù)是：，而已知經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，則可得方程，．即故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，要根據(jù)題意列出第一輪傳染后患流感的人數(shù)，再根據(jù)題意列出第二輪傳染后患流感的人數(shù)，而已知第二輪傳染后患流感的人數(shù)，故可得方程．2．（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）德爾塔（Delta）是一種全球流行的新冠病毒變異毒株，其傳染性極強(qiáng)．某地有1人感染了德爾塔，因?yàn)闆]有及時(shí)隔離治療，經(jīng)過兩輪傳染后，一共有144人感染了德爾塔病毒，那每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了____個(gè)人；如果不及時(shí)控制，照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后，一共有______人感染德爾塔病毒．【答案】111728【分析】設(shè)平均一個(gè)人傳染了x人，根據(jù)題意，兩輪傳播了人，列方程得，解方程即可；三輪傳播的人數(shù)為，計(jì)算即可．【詳解】設(shè)平均一個(gè)人傳染了x人，根據(jù)題意，兩輪傳播了人，列方程得，解方程得（舍去），故答案為：11；三輪傳播的人數(shù)為，故答案為：1728．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用傳播問題，熟練掌握傳播問題解法是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）2019年12月以來，“新冠”病毒影響著人們的出門及交往．(1)在“新冠”初期，有2人感染了“新冠”，經(jīng)過兩輪傳染后共有288人感染了“新冠”（這兩輪感染均未被發(fā)現(xiàn)未被隔離），則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？(2)某小區(qū)物管為預(yù)防業(yè)主感染傳播購買A型和B型兩種口罩，購買A型口罩花費(fèi)了2500元，購買B型口罩花費(fèi)了2000元，且購買A型口罩?jǐn)?shù)量是購買B型口罩?jǐn)?shù)量的2倍，已知購買一個(gè)B型口罩比購買一個(gè)A型口罩多花3元．則該物業(yè)購買A，B兩種口罩單價(jià)分別為多少元？【答案】(1)11人(2)型口罩的單價(jià)為5元，型口罩的單價(jià)為8元【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了人，根據(jù)2人感染“新冠”經(jīng)過兩輪傳染后共有288人感染“新冠”，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該物業(yè)購買型口罩的單價(jià)為元，則型口罩的單價(jià)為元，列出方程，解方程即可得解．【詳解】（1）解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了人，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了11人．（2）設(shè)該物業(yè)購買型口罩的單價(jià)為元，則型口罩的單價(jià)為元，由題意得，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，則，答：該物業(yè)購買型口罩的單價(jià)為5元，型口罩的單價(jià)為8元．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，找出題目蘊(yùn)含的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二增長率問題】【解題技巧】增減率問題涉及的公式有:(1)(2)若設(shè)原來量是，平均增長率是，增長次數(shù)是，增長后的量是，則;若設(shè)原來量是，平均降低率是，降低次數(shù)是，降低后的量是，則.【例2】（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）據(jù)統(tǒng)計(jì)2019年某款A(yù)PP用戶數(shù)約為2400萬，2021年底達(dá)到5000萬．假設(shè)未來幾年內(nèi)仍將保持相同的年平均增長率，則這款A(yù)PP用戶數(shù)首次突破一億的年份是（

）A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年【答案】B【分析】設(shè)年平均增長率為，根據(jù)該款A(yù)PP在2019年底及2021年底的用戶數(shù)，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之可得及的值，將其代入與中，可求得2022年級(jí)2023年底的用戶數(shù)，將其與10000萬比較即可求解．【詳解】解：設(shè)年平均增長率為，依題意得，，∴，∴或（不合題意舍去），∴（萬），（萬），∵7200萬＜10000萬＜10417萬，∴該款A(yù)PP用戶在2023年首次突破一億．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確地列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）某學(xué)校實(shí)踐基地加大農(nóng)場(chǎng)建設(shè)，為學(xué)生提供更多的勞動(dòng)場(chǎng)所．該實(shí)踐基地某種蔬菜2020年的年產(chǎn)量為60千克，2022年的年產(chǎn)量為135千克．設(shè)該種蔬菜年產(chǎn)量的平均增長率為，則符合題意的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平均增長率的意義列式計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意，得，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握平均增長率問題是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）為了加快發(fā)展新能源和清潔能源，助力實(shí)現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)，大力發(fā)展高效光伏發(fā)電關(guān)鍵零部件制造．青島某工廠今年第一季度生產(chǎn)某種零件的成本是20萬元，由于技術(shù)升級(jí)改進(jìn)，生產(chǎn)成本逐季度下降，第三季度的生產(chǎn)成本為萬元，設(shè)該公司每個(gè)季度的下降率都相同．則該公司每個(gè)季度的下降率是__________．【答案】【分析】設(shè)該公司每個(gè)季度的下降率是x，根據(jù)該公司第一季度及第三季度的生產(chǎn)成本，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解∶設(shè)該公司每個(gè)季度的下降率是x，依題意，得∶，解得∶，（不符合題意，舍去）．即該公司每個(gè)季度的下降率是，故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．3．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）在國家積極政策的鼓勵(lì)下，環(huán)保意識(shí)日漸深入人心，新能源汽車的市場(chǎng)需求逐年上升．(1)某汽車企業(yè)2020年到2022年這兩年新能源汽車的銷售總量增長了96%．求該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率；(2)某汽車企業(yè)下屬的一個(gè)專賣店經(jīng)銷一款進(jìn)價(jià)為15萬元/輛的新能源汽車，經(jīng)銷一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該款汽車售價(jià)定為25萬元/輛時(shí)，平均每周售出8輛；售價(jià)每降低0.5萬元，平均每周多售出1輛．若該店計(jì)劃下調(diào)售價(jià)使平均每周的銷售利潤為96萬元，并且盡量讓利于顧客，求下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)．【答案】(1)該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為(2)下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)為21萬元【分析】（1）設(shè)該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為x，然后根據(jù)題意可得方程，進(jìn)而問題可求解；（2）設(shè)下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)為m萬元，則銷售量為輛，然后可得方程為，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）解：由題意可把2020年新能源汽車的銷售總量看作單位“1”，則設(shè)該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為x，則有：，解得：（不符合題意，舍去），答：該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為．（2）解：設(shè)下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)為m萬元，由題意得：解得：，∵盡量讓利于顧客，∴；答：下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)為21萬元．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三與圖形有關(guān)的問題】【解題技巧】利用一元二次方程解面積問題時(shí)，有時(shí)需要把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形【例3】（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖1，矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)沿從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)間的距離為，圖2是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)隨變化的關(guān)系圖象，則的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】當(dāng)，即在點(diǎn)時(shí)，；利用兩點(diǎn)之間線段最短，得到，得的最大值為；在中，由勾股定理求出的長，再根據(jù)求出的長．【詳解】解：由函數(shù)圖象知：當(dāng)，即在點(diǎn)時(shí)，．利用兩點(diǎn)之間線段最短，得到．的最大值為，．在中，由勾股定理得：，設(shè)的長度為，則，，即，，解得或，由于，．，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)勾股定理求出BE的長是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)溫州市第十二中學(xué)?？计谥校?duì)于一元二次方程，我國古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法．以方程為例加以說明．?dāng)?shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方注》中記載的方法是：如圖，將四個(gè)長為，寬為的長方形紙片拼成一個(gè)大正方形，則大正方形的邊長是，面積是四個(gè)矩形的面積與中間小正方形的面積之和，即，據(jù)此易得．小明用此方法解關(guān)于的方程，其中構(gòu)造出同樣的圖形，已知小正方形的面積為4，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】參照已知方法，求得大正方形的邊長為10，得到，再根據(jù)小正方形的邊長和面積，求出，即可得到的值．【詳解】解：由題意可知，將四個(gè)長為，寬為的長方形紙片拼成一個(gè)大正方形，則大正方形的邊長是，面積是四個(gè)矩形的面積與中間小正方形的面積之和，，小正方形的面積為4，大正方形的面積為，大正方形的邊長為10，，，小正方形的邊長為，即，，，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，仿照題干，正確理解一元二次方程的幾何解法是解題關(guān)鍵．2．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)期中）如圖，用一面足夠長的墻為一邊，其余三邊用總長34米的圍欄建兩個(gè)面積相同的生態(tài)園，兩個(gè)生態(tài)園各留一扇寬為1米的門．由于場(chǎng)地限制，垂直于墻的一邊長不超過6米（圍欄寬忽略不計(jì)）．每個(gè)生態(tài)園的面積為48平方米，則每個(gè)生態(tài)園垂直于墻的一邊長為_________．【答案】4米【分析】設(shè)每個(gè)生態(tài)園垂直于墻的一邊長為，可得平行于墻的一邊長為，根據(jù)面積建立一元二次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)每個(gè)生態(tài)園垂直于墻的一邊長為，∵三邊用總長34米，門寬1米∴平行于圍墻的一邊長為，∵每個(gè)生態(tài)園的面積為48平方米，∴，∴，解方程得，∵垂直于墻的一邊長不超過6米，∴舍去，故答案為：4米【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立正確的方程．3．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，用籬笆靠墻圍成矩形花圃，一面利用舊墻，其余三面用籬笆圍，墻可利用的最大長度為，籬笆長為，設(shè)平行于墻的邊長為．(1)若圍成的花圃面積為時(shí)，求的長；(2)如圖，若計(jì)劃在花圃中間用一道籬笆隔成兩個(gè)小矩形，且花圃面積為，請(qǐng)你判斷能否圍成花圃，如果能，求的長；如果不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)的長為米；(2)不能圍成花圃，理由見解析．【分析】（1）由于籬笆總長為，設(shè)平行于墻的邊長為，由此得到，接著根據(jù)題意列出方程，解方程即可求出的長；（2）不能圍成花圃；根據(jù)（）得到，此方程的判別式，由此得到方程無實(shí)數(shù)解，所以不能圍成花圃；【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，，則，∴，因?yàn)?，所以舍去，所以，答：的長為米；（2）解：不能圍成花圃，理由如下：根據(jù)題意得，，方程可化為，∴，∴方程無實(shí)數(shù)解，∴不能圍成花圃；【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，同時(shí)也利用了矩形的性質(zhì)，解題時(shí)首先正確理解題意，然后根據(jù)題意列出方程即可解決問題．【經(jīng)典例題四數(shù)字問題】【解題技巧】數(shù)字問題有以下幾種常見類型:(1)連續(xù)整數(shù).若三個(gè)連續(xù)整數(shù)最中間的整數(shù)是，則最小的整數(shù)是，最大的整數(shù)是.(2)連續(xù)偶數(shù).若三個(gè)連續(xù)偶數(shù)最中間的偶數(shù)是，則最小的偶數(shù)是，最大的偶數(shù)是.(3)連續(xù)奇數(shù).若三個(gè)連續(xù)奇數(shù)最中間的奇數(shù)是，則最小的奇數(shù)是，最大的奇數(shù)是.(4)兩位數(shù).若一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，則這個(gè)兩位數(shù)是.(5)三位數(shù).若一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字是，十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，則這個(gè)三位數(shù)是.【例4】（2022·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)比它的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積大，已知十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大．則這個(gè)兩位數(shù)是（）A．64 B．75 C．53或75 D．64或75【答案】D【分析】令個(gè)位上的數(shù)字為x，然后用x表示出十位上的數(shù)字，再根據(jù)題意列出方程求解出x的具體數(shù)值，最后寫出這個(gè)兩位數(shù).【詳解】令個(gè)位上的數(shù)字為x，則依據(jù)題意可知十位上的數(shù)字為(x+2)，該兩位數(shù)可表示為：10(x+2)+x依據(jù)題意列出方程：10(x+2)+x=x(x+2)+40整理得到：x2-9x+20=0

(x-4)(x-5)=0解得：x1=4，x2=5則該兩位數(shù)為64或75,故選擇D.【點(diǎn)睛】本題三個(gè)關(guān)鍵，第一是要會(huì)用字母表示出這個(gè)兩位數(shù)，第二是要能夠根據(jù)題意列出方程，第三是要能夠合理選擇方法解方程.【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期中）有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為8，把它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，得到一個(gè)新數(shù)，新數(shù)與原數(shù)之積為1855，則原兩位數(shù)是（

）A．35 B．53 C．62 D．35或53【答案】D【分析】設(shè)十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為，根據(jù)新數(shù)與原數(shù)之積為1855，列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為，根據(jù)題意得：，解得：或，∴這個(gè)兩位數(shù)為35或53，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系列出方程．2．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）《念奴嬌?赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文采風(fēng)流，雄姿英發(fā)，談笑間，檣櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩歌，“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符．”若設(shè)這位風(fēng)流人物去世的年齡十位數(shù)字為x，則可列方程為____．【答案】【分析】根據(jù)“十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符”以及十位數(shù)字+各位數(shù)字=個(gè)位數(shù)字的平方，據(jù)此列方程可得答案．【詳解】解：設(shè)這位風(fēng)流人物去世的年齡十位數(shù)字為x，則根據(jù)題意：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江西南昌·九年級(jí)校聯(lián)考期中）對(duì)于任意一個(gè)三位數(shù)k，如果k滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個(gè)數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：，因?yàn)?，所?69是“喜鵲數(shù)”．(1)已知一個(gè)“喜鵲數(shù)”（，其中a，b，c為正整數(shù)），請(qǐng)直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式___________；判斷241___________“喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”）；(2)利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個(gè)一元二次方程①與②，若是方程①的一個(gè)根，是方程②的一個(gè)根，求m與n滿足的關(guān)系式；(3)在（2）中條件下，且，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有k的值．【答案】(1)，不是(2)(3)121，242，363，484【分析】（1）根據(jù)喜鵲數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式解答即可；（3）求出m、n互為倒數(shù)，又得出，，求出，，結(jié)合喜鵲數(shù)的定義即可得出答案．【詳解】（1）解：∵是喜鵲數(shù)，∴，即；∵，，，∴241不是喜鵲數(shù)；故答案為：；不是；（2）∵是一元二次方程的一個(gè)根，是一元二次方程的一個(gè)根，∴，，將兩邊同除以得：，∴將m、看成是方程的兩個(gè)根，∵，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即；故答案為：；（3）∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，解得：，∴滿足條件的所有k的值為121，242，363，484；故答案為：121，242，363，484．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄清喜鵲數(shù)的定義．【經(jīng)典例題五營銷問題】【解題技巧】利潤問題常用公式如下:(1)利潤=售價(jià)–成本價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣–成本價(jià).(2)利潤率=(3)銷售額=銷售價(jià)×銷售量.(4)銷售利潤=(銷售價(jià)–成本價(jià))×銷售量【例5】（2023春·海南儋州·九年級(jí)專題練習(xí)）某口罩經(jīng)銷商批發(fā)了一批口罩，進(jìn)貨單價(jià)為每盒50元，若按每盒60元出售，則每周可銷售80盒．現(xiàn)準(zhǔn)備提價(jià)銷售，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每盒每提價(jià)1元，每周銷量就會(huì)減少2盒，為保護(hù)消費(fèi)者利益，物價(jià)部門規(guī)定，銷售時(shí)利潤率不能超過50%，設(shè)該口罩售價(jià)為每盒元，現(xiàn)在預(yù)算銷售這種口罩每周要獲得1200元利潤，則每盒口罩的售價(jià)應(yīng)定為（

）A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元【答案】A【分析】根據(jù)每天的銷售利潤＝每箱的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，在結(jié)合銷售利潤不能超過50%，即可確定x的值．【詳解】解：根據(jù)題意得：（x﹣50）[80-2（x-60）]＝1200，整理得：x2﹣150x+5600＝0．解得：x1＝70，x2＝80．當(dāng)x＝70時(shí)，利潤率＝×100%＝40%＜50%，符合題意；當(dāng)x＝80時(shí)，利潤率＝×100%＝60%＞50%，不合題意，舍去．所以要獲得1200元利潤，每盒口罩的售價(jià)應(yīng)定為70元．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題關(guān)鍵是根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出平均每天的銷售量，找準(zhǔn)等量關(guān)系正確列出一元二次方程．【變式訓(xùn)練】1．5．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某網(wǎng)店銷售運(yùn)動(dòng)鞋，若每雙盈利40元，每天可以銷售20雙，該網(wǎng)店決定適當(dāng)降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查得知，每雙運(yùn)動(dòng)鞋每降價(jià)1元，每天可多銷售2雙，若想每天盈利1200元，并盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，則每雙運(yùn)動(dòng)鞋應(yīng)降價(jià)（

）A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元【答案】B【分析】先設(shè)每雙鞋應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)平均每天售出的雙數(shù)×每件盈利=每天銷售利潤，再列出方程，求出x的值，再根據(jù)盡可能讓利顧客，把不合題意的根舍去即可求出答案；【詳解】解：設(shè)每雙鞋應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意得：（40-x）（20+2x）=1200，解得x1=20，x2=10，∵盡可能讓利顧客，∴x=20．答：每雙鞋應(yīng)降價(jià)20元；故選B【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，掌握“平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售的利潤”是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·重慶大足·七年級(jí)統(tǒng)考期末）隨著新年的到來，某手機(jī)店購進(jìn)一批手機(jī)，第一周銷售A款手機(jī)的利潤率是，銷售B款手機(jī)的利潤率是，A款手機(jī)銷量是B款手機(jī)銷量的2倍，結(jié)果第一周這兩款手機(jī)的總利潤率是，受疫情的影響，第二周銷售A款手機(jī)的利潤率比第一周下降了，銷售B款手機(jī)的利潤率比第一周下降了，結(jié)果第二周這兩款的總利潤率達(dá)到，則第二周A款手機(jī)、B款手機(jī)的銷量之比值是________．（）【答案】【分析】設(shè)A款手機(jī)的成本價(jià)為元/千克，B款手機(jī)的成本價(jià)為元/千克，第一周B款手機(jī)的銷量為千克，則第一周A款手機(jī)的銷量為千克，A款手機(jī)的利潤為元，B款手機(jī)的利潤為，根據(jù)第一周這兩種西瓜的總利潤率是建立方程可得，再設(shè)第四周A款手機(jī)的銷量為千克，B款手機(jī)的銷量為千克，則第四周A款手機(jī)的利潤為元，B款手機(jī)的利潤為元，根據(jù)第四周這兩種手機(jī)的總利潤率達(dá)到建立方程，由此即可得．【詳解】解：設(shè)A款手機(jī)的成本價(jià)為元/千克，B款手機(jī)的成本價(jià)為元/千克，第一周B款手機(jī)的銷量為千克，則第一周A款手機(jī)的銷量為千克，A款手機(jī)的利潤為元，B款手機(jī)的利潤為，，整理得：，設(shè)第四周A款手機(jī)的銷量為千克，B款手機(jī)的銷量為千克，則第四周A款手機(jī)的利潤為元，B款手機(jī)的利潤為元，，整理得：，則，即第四周A款手機(jī)、B款手機(jī)的銷量之比是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用，正確設(shè)未知數(shù)，建立方程是解題關(guān)鍵．3．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）“天使草莓”是通過草莓雜交育種、脫毒育苗篩查等生物技術(shù)而培育的一種草莓品種，因其外觀通體雪白、色澤透亮、汁多味美而深受廣大消費(fèi)者歡迎．今年春季，某水果店以60元/盒的價(jià)格購進(jìn)一批名叫“天使”的新品種草莓進(jìn)行銷售．該商家在銷售過程中發(fā)現(xiàn)當(dāng)每盒的售價(jià)為100元時(shí)，平均每天可售出180盒．若每盒的售價(jià)每降價(jià)5元，則每天可以多售出10盒．設(shè)此種草莓每盒的售價(jià)為x元，每天銷售此種草莓的利潤為y元．

(1)用含x的式子表示每盒此種草莓的利潤為______元，每天可賣出此種草莓的數(shù)量為______盒．(2)若該水果店計(jì)劃每天銷售此種草莓盈利6000元，問此種草莓每盒的售價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】(1)；(2)90元【分析】（1）根據(jù)每盒利潤等于每盒售價(jià)減每盒成本可得每盒利潤，根據(jù)每盒的售價(jià)每降價(jià)5元，則每天可以多售出10盒可得每天可賣出此種草莓的數(shù)量；（2）根據(jù)每天總利潤等于每盒利潤乘以每天可賣出此種草莓的數(shù)量列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵此種草莓每盒的售價(jià)為x元，每盒進(jìn)價(jià)60元，∴每盒此種草莓的利潤為元；又∵每盒的售價(jià)每降價(jià)5元，則每天可以多售出10盒，∴每天可賣出此種草莓的數(shù)量為：(盒)故答案為：；（2）由題意得，解得，(不符合題意舍去)答：此種草莓每盒的售價(jià)應(yīng)定為90元【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用—利潤問題、列代數(shù)式，根據(jù)等量關(guān)系列式和列方程是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六動(dòng)態(tài)幾何問題】【例6】（2022秋·四川資陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖①，在矩形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，的面積為，與的函數(shù)關(guān)系圖像如圖②所示，則邊的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】由圖②可知，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，的面積為6，此時(shí)的高為，則，解得，而，由此即可求解．【詳解】解：由圖②可知：當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，的面積為6，此時(shí)的高為，∴的面積，解得①，而從圖②還可知：②，由②得：③，將③代入①，得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵在矩形中，，∴，∴，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，此類問題關(guān)鍵是：弄清楚不同時(shí)間段，圖象和圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解，也考查了矩形的性質(zhì)以及解一元二次方程．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(

)A． B． C．6 D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是．根據(jù)題意可得，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是．根據(jù)題意可得，解得，，∵，∴兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了后停止運(yùn)動(dòng)．∴．故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．2．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以每秒4個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)后，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)秒時(shí)，線段__．（2）當(dāng)__秒時(shí)，的面積是24．【答案】202或3/3或2【分析】（1）當(dāng)秒時(shí)，根據(jù)題意可得，，再根據(jù)勾股定理即可求解．（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，根據(jù)的面積是24列出方程，求解即可．【詳解】解：（1）∵當(dāng)秒時(shí)，，根據(jù)勾股定理得．故答案為：20．（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，此時(shí)，，，∵的面積是24，∴，整理得，，解得：，∴當(dāng)秒或3秒時(shí)，的面積是24．故答案為：2或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、列代數(shù)式、一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，列出方程是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以的速度向點(diǎn)D移動(dòng)．問：(1)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始幾秒時(shí)，四邊形的面積為？(2)幾秒時(shí)點(diǎn)P點(diǎn)Q間的距離是10厘米？(3)P，Q兩點(diǎn)間距離何時(shí)最??？【答案】(1)5秒(2)秒或秒(3)秒【分析】（1）表示出和，利用梯形的面積公式結(jié)合四邊形的面積為，即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）過作于，如果設(shè)出發(fā)秒后，厘米．那么可根據(jù)路程速度時(shí)間，用未知數(shù)表示出、的值，然后在直角三角形中，求出未知數(shù)的值．（3）在直角三角形中，為0時(shí)，就最小，那么可根據(jù)這個(gè)條件和（1）中用勾股定理得出的的式子，令，得出此時(shí)時(shí)間的值．【詳解】（1）解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，，，依題意，得：，解得：．答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到5秒時(shí)，四邊形的面積為．（2）設(shè)出發(fā)秒后、兩點(diǎn)間的距離是10厘米．則，．作于，則，，解得：或，∴、出發(fā)或秒時(shí)，，間的距離是10厘米；（3），當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最?。军c(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題結(jié)合幾何知識(shí)并根據(jù)題意列出方程，然后求解．【經(jīng)典例題七行程問題】【例7】（2023春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方路面26m處有情況，緊急剎車后汽車又滑行25m后停車，問剎車后汽車滑行到16m時(shí)約用了（）A．1s B．1.2s C．2s D．4s【答案】A【分析】等量關(guān)系為：平均速度×?xí)r間=16，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：設(shè)約用了x秒．汽車每秒減少的速度為：20÷[25÷（20÷2）]=8，∴16米時(shí)的平均速度為：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x．∴（20﹣4x）×x=16，解得：x1=1，x2=4，∵20﹣8x＞0，∴x=1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)為：勻變速運(yùn)動(dòng)的物體的平均速度=初速度與末速度和的一半；每秒減少的速度等于初速度與末速度之差與所用時(shí)間的比值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，東西方向上有A，C兩地相距10千米，甲以16千米/時(shí)的速度從A地出發(fā)向正東方向前進(jìn)，乙以12千米/時(shí)的速度從C地出發(fā)向正南方向前進(jìn)，那么最快經(jīng)過()小時(shí)，甲、乙兩人相距6千米？A． B． C．1.5 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意表示出BC，DC的長，進(jìn)而利用勾股定理求出答案【詳解】解：設(shè)最快經(jīng)過x小時(shí)，甲、乙兩人相距6km，根據(jù)題意可得：BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm，因?yàn)锽C2+DC2＝BD2，則（10﹣16x）2+（12x）2＝62，解得：x1＝x2＝0.4．答：最快經(jīng)過0.4小時(shí)，甲、乙兩人相距6km．故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理以及一元二次方程的應(yīng)用，利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）再讀教材：如圖，鋼球從斜面頂端靜止開始沿斜面滾下，速度每秒增加1.5m/s，在這個(gè)問題中，距離=平均速度時(shí)間t，，其中是開始時(shí)的速度，是t秒時(shí)的速度.如果斜面的長是18m，鋼球從斜面頂端滾到底端的時(shí)間為________s.【答案】【分析】根據(jù)題意求得鋼球到達(dá)斜面低端的速度是1.5t．然后由“平均速度時(shí)間t”列出關(guān)系式，再把s=18代入函數(shù)關(guān)系式即可求得相應(yīng)的t的值．【詳解】依題意得s=×t=t2，把s=18代入，得18=t2，解得t=，或t=-（舍去）．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)關(guān)系式．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．3．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）小明在平整的草地上練習(xí)帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動(dòng)時(shí)，速度變化情況相同，小明速度達(dá)到6m/s后保持勻速運(yùn)動(dòng)．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時(shí)間的變化而變化的情況，小明在4s時(shí)第一次追上球．（提示：當(dāng)速度均勻變化時(shí)，平均速度，距離）(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運(yùn)動(dòng)方向不變，當(dāng)小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡要說明理由．【答案】(1)(2)(3)7，理由見解析【分析】（1）設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)經(jīng)過點(diǎn)利用待定系數(shù)法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度為，利用小明在4s時(shí)第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；（3）根據(jù)題意找到速度、時(shí)間、路程的變化規(guī)律，即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，把點(diǎn)代入得，，解得，∴關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：對(duì)于球來說，，小明前a秒的平均速度為，a秒后速度為，由小明在4s時(shí)第一次追上球可得，，解得，即圖中a的值為；（3）小明第一次踢球已經(jīng)帶球跑了16米，還需要跑米，由（1）知，，假設(shè)每次踢球t從0開始計(jì)算，因?yàn)榍蛟诓莸厣蠞L動(dòng)時(shí)，速度變化情況相同，則第二次踢球后變化規(guī)律為，，，則，，第二次踢后，則，（舍去），，此時(shí)又經(jīng)過了米，，第三次踢后，變化規(guī)律為，，，則，，第三次追上，則，（舍去），，此時(shí)又經(jīng)過了米，，又開始下一個(gè)循環(huán)，故第四次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過24米，故第五次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過48米，故第六次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過24米，故第七次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過48米，∵，，∴帶球走過200米，在第七次踢球時(shí)實(shí)現(xiàn)，故小明小明踢球次數(shù)共有七次，故答案為：7【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八圖表信息題】【例8】（2022秋·寧夏銀川·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（

）23456513A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5【答案】D【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，找出代數(shù)式從變?yōu)闀r(shí)的取值范圍即可判斷【詳解】時(shí)，，時(shí)，，則的解的范圍為，即一元二次方程的解大概是4.5．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了估算一元二次方程的解的近似值，根據(jù)表格獲得信息是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）重慶被稱為“基建狂魔”城市，今年2月份，重慶軌道交通引來“運(yùn)營里程超500千米的新突破”，另外重慶其他軌道工程也正處在建設(shè)中．(1)原計(jì)劃今年一季度施工里程（含普通道路施工、高架施工、隧道施工）共56千米，其中普通道路施工32千米，高架施工長度至少是隧道施工長度的7倍，則今年第一季度隧道施工最多是多少千米？(2)一季度的施工里程剛好按原計(jì)劃完成且隧道施工里程達(dá)到最大值，已知第一季度普通道路施工、高架施工、隧道施工每千米成本分別是1億元、2億元、4億元．在第二季度施工中，預(yù)計(jì)總里程會(huì)減少千米，隧道施工里程會(huì)增加千米，高架施工會(huì)減少千米，其中普通道路施工、隧道施工每千米成本與第一季度相同，高架橋施工每千米成本會(huì)增加億元，若第二季度總成本與第一季度相同，求的值．【答案】(1)3千米(2)【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃今年一季度，隧道施工最多是x千米，則高架施工千米，根據(jù)高架施工長度至少是隧道施工長度的7倍，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；（2）先求得第二季度高架施工長度為千米，第二季度隧道施工長度為千米，第二季度普通道路施工長度為千米，再根據(jù)第二季度總成本與第一季度相同，列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)原計(jì)劃今年一季度，隧道施工是x千米，則高架施工千米，根據(jù)題意，得解得：，∴今年第一季度隧道施工最多是3千米；（2）解：第一季度高架施工長度為(千米)，則第二季度高架施工長度為千米，第二季度隧道施工長度為千米，第二季度普通道路施工長度為千米，根據(jù)題意，得化簡整理，得解得：，(不符合題意，舍去)∴．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式與一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，列出一元一次不等式與一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）烏克蘭危機(jī)發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動(dòng)，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實(shí)寫照，如表是該影片票房的部分?jǐn)?shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計(jì)收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計(jì)票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價(jià)每張40元，求10月11日賣出多少張電影票【答案】(1)10%(2)2500000張【分析】（1）設(shè)平均每次累計(jì)票房增長的百分率是，利用第3次累計(jì)票房=第1次累計(jì)票房（1+平均每次累計(jì)票房增長的百分率），即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用數(shù)量=總結(jié)單價(jià)，即可求出結(jié)論；【詳解】（1）解：設(shè)平均每次累計(jì)票房增長的百分率是，依題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：平均每次累計(jì)票房增長的百分率是10%．（2）解：（張）．答：10月11日賣出2500000張電影票．（或（張）．）【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及統(tǒng)計(jì)表，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）為了節(jié)約用水，不少城市對(duì)用水大戶作出了兩段收費(fèi)的規(guī)定．某市規(guī)定：月用水量不超過規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)a噸時(shí)，按每噸1.6元的價(jià)格交費(fèi)，如果超過了標(biāo)準(zhǔn)，超標(biāo)部分每噸還要加收元的附加費(fèi)用．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某戶7、8兩月的用水量和交費(fèi)情況如下表：月份用水量（噸）交費(fèi)總數(shù)（元）7140264895152（1）求出該市規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)用水量a的值；（2）寫出交費(fèi)總數(shù)y（元）與用水量x（噸）的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)關(guān)系計(jì)算，當(dāng)某月份用水量為150噸時(shí)，應(yīng)交水費(fèi)多少元？【答案】（1）a＝100；（2），當(dāng)某月份用水量為150噸時(shí)，應(yīng)交水費(fèi)290元．【分析】（1）由于七月份用水量為140噸，每噸1.6元計(jì)算，應(yīng)繳費(fèi)224元，而實(shí)際繳費(fèi)264，則七月份用水量超過了標(biāo)準(zhǔn)，超過標(biāo)準(zhǔn)的部分每噸需加收元的附加費(fèi)用；然后列出關(guān)于a的方程求得a值，最后結(jié)合8月份的用水量對(duì)答案進(jìn)行取舍即可；（2）根據(jù)（1）中求得的a值進(jìn)行分段，然后根據(jù)規(guī)定分別建立函數(shù)關(guān)系式；并將x=150噸代入合適的解析式求解即可．【詳解】解：（1）因七月份用水量為140噸，1．6×140＝224＜264，所以需加收:(元)，即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，又8月份用水量為95噸，1．6×95＝152，不超標(biāo)故答案為a＝100；（2）當(dāng)0≤x≤100時(shí)，則y＝1．6x；當(dāng)x＞100時(shí)，則y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100．即y用水量為150噸時(shí)，應(yīng)交水費(fèi)：y=2.6×150－100=290（元）．答：當(dāng)某月份用水量為150噸時(shí)，應(yīng)交水費(fèi)290元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和一次函數(shù)在實(shí)際中的運(yùn)用，從表格中獲取所需信息以及結(jié)合表格建立分段函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題九其他問題】【例9】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)?？级＃┮阎丈廛嚬居屑?、乙兩個(gè)營業(yè)點(diǎn)，顧客租車后于當(dāng)日營業(yè)結(jié)束前必須在任意一個(gè)營業(yè)點(diǎn)還車．某日營業(yè)結(jié)束清點(diǎn)車輛時(shí)，發(fā)現(xiàn)在甲歸還的車輛比從甲出租的多4輛．若當(dāng)日從甲出租且在甲歸還的車輛為13輛，從乙出租且在乙歸還的車輛為11輛，則關(guān)于當(dāng)日從甲、乙出租車的數(shù)量下列比較正確的是（

）A．從甲出租的比從乙出租的多2輛 B．從甲出租的比從乙出租的少2輛C．從甲出租的比從乙出租的多6輛 D．從甲出租的比從乙出租的少6輛【答案】B【分析】設(shè)當(dāng)日從甲、乙出租的車數(shù)量分別為x輛，y輛，根據(jù)題意列方程解答即可．【詳解】解：設(shè)當(dāng)日從甲、乙出租的車數(shù)量分別為x輛，y輛，根據(jù)題意得：，所以，即從甲出租的比從乙出租的少2輛．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．【變式訓(xùn)練】1．8．（2022秋·廣西欽州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D①，在矩形中，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，的面積為，與的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，則對(duì)角線的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】當(dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△AOP面積逐漸增大，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖象可得△AOP面積最大為3，得到AB與BC的積為12；當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△AOP面積逐漸減小，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，△AOP面積為0，此時(shí)結(jié)合圖象可知P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長為7，得到AB與BC的和為7，構(gòu)造關(guān)于AB的一元二方程可求解．【詳解】解：當(dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△AOP面積逐漸增大，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，△AOP面積最大為3．即AB?BC=12．當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△AOP面積逐漸減小，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，△AOP面積為0，此時(shí)結(jié)合圖象可知P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長為7，∴AB+BC=7．則BC=7-AB，代入AB?BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，∵AB＜AD，即AB＜BC，∴AB=3，BC=4．∴四邊形ABCD為矩形故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是分析三角形面積隨動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的變化過程，找到分界點(diǎn)極值，結(jié)合圖象得到相關(guān)線段的具體數(shù)值．2．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）利用圖形的分、和、移、補(bǔ)探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，是矩形的對(duì)角線，將分割成兩對(duì)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若，則矩形的面積是______．

【答案】30【分析】設(shè)小正方形的邊長為，利用、、表示矩形的面積，再用、、表示三角形以及正方形的面積，根據(jù)面積列出關(guān)于、、的關(guān)系式，解出，即可求出矩形面積．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為，矩形的長為，寬為，由圖1可得：，整理得：，，，，，矩形的面積為．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題主要考查列代數(shù)式，一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)出小正方形的邊長列一元二次方程和整體代換是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：人類對(duì)一元二次方程的研究經(jīng)歷了漫長的歲月．一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在他的代表作《代數(shù)學(xué)》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進(jìn)行了證明．我國古代三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽也給出了類似的幾何解法．趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了解方程即得方法.首先構(gòu)造了如圖1所示得圖形，圖中的大正方形面積是，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，據(jù)此易得．任務(wù)：（1）參照上述圖解一元二次方程的方法，請(qǐng)?jiān)谙旅嫒齻€(gè)構(gòu)圖中選擇能夠說明方程的正確構(gòu)圖是（從序號(hào)①②③中選擇）．（2）請(qǐng)你通過上述問題的學(xué)習(xí)，在圖2的網(wǎng)格中設(shè)計(jì)正確的構(gòu)圖，用幾何法求解方程（寫出必要的思考過程）．【答案】（1）②；（2）．【分析】（1）仿照案例構(gòu)造圖形，即可判斷正確構(gòu)圖；（2）仿照案例構(gòu)造圖形即可求得x的值．【詳解】解：（1）應(yīng)構(gòu)造面積是的大正方形，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形的面積為，所以大正方形的面積又可表示為，進(jìn)一步可知大正方形的邊長為8，所以，得．故正確構(gòu)圖的是②．故答案為：②；（2）首先構(gòu)造了如圖2所示的圖形．圖中的大正方形面積是，其中四個(gè)全等的小矩