數(shù)學(xué)版章末測(cè)試：第二章推理與證明B

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章測(cè)評(píng)B（高考體驗(yàn)卷）（時(shí)間：90分鐘滿分：100分）一、選擇題（本大題共10小題,每小題4分,共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．(2014山東高考)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根2．(2014廣東佛山質(zhì)量檢測(cè))用反證法證明命題:若整數(shù)系數(shù)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）有有理實(shí)數(shù)根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)．下列假設(shè)中正確的是（）A．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)是偶數(shù) B．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù)C．假設(shè)a,b，c都是偶數(shù) D．假設(shè)a,b，c都不是偶數(shù)3．（2014北京高考）顧客請(qǐng)一位工藝師把A，B兩件玉石原料各制成一件工藝品．工藝師帶一位徒弟完成這項(xiàng)任務(wù)．每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工藝師進(jìn)行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交付顧客．兩件原料每道工序所需時(shí)間(單位：工作日)如下：則最短交貨期為_(kāi)_________個(gè)工作日．4．(2014山東日照一中開(kāi)學(xué)考試）下列推理是歸納推理的是()A．A,B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足｜PA|＋｜PB|＝2a＞|AB｜，則P點(diǎn)的軌跡為橢圓B．由a1＝1，an＝3n－1,求出S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2,b2）＝1的面積S＝πabD．科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇5．(2014北京高考）學(xué)生的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格"．若學(xué)生甲的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門(mén)成績(jī)高于乙,則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好"．如果一組學(xué)生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好，并且不存在語(yǔ)文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生,那么這組學(xué)生最多有（)A．2人B．3人C．4人D．5人6．(2014北京順義一模)設(shè)非空集合M同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①M(fèi)?{1,2,3，…，n－1｝；②若a∈M，則n－a∈M(n≥2，n∈N＋)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若n為偶數(shù)，則集合M的個(gè)數(shù)為2eq\f（n,2)B．若n為偶數(shù)，則集合M的個(gè)數(shù)為2eq\f(n，2)－1C．若n為奇數(shù),則集合M的個(gè)數(shù)為2eq\f(n－1，2）D．若n為奇數(shù)，則集合M的個(gè)數(shù)為2eq\f(n＋1,2)7．(2014廣東佛山質(zhì)檢一）將n2個(gè)正整數(shù)1,2，3，…，n2(n≥2）任意排成n行n列的數(shù)表．對(duì)于某一個(gè)數(shù)表，計(jì)算各行和各列中的任意兩個(gè)數(shù)a，b(a＞b)的比值eq\f（a，b），稱這些比值中的最小值為這個(gè)數(shù)表的“特征值”．當(dāng)n＝2時(shí)，數(shù)表的所有可能的“特征值”的最大值為（)A．3B.eq\f（4，3)C．2D.eq\f(3，2)8．（2014湖北七市高三聯(lián)考)已知直線l：y＝ax＋1－a（a∈R）．若存在實(shí)數(shù)a使得一條曲線與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且以這兩個(gè)交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長(zhǎng)度恰好等于｜a｜,則稱此曲線為直線l的“絕對(duì)曲線"．下面給出四條曲線方程：①y＝－2｜x－1｜;②y＝x2；③(x－1)2＋（y－1）2＝1；④x2＋3y2＝4.則其中直線l的“絕對(duì)曲線"有(）A．①④B．②③C．②④D．②③④9．(2013吉林延邊質(zhì)檢）用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí),假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度 B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度 D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度10．（2012江西高考）觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝（）A．28B．76C．123D．199二、填空題(本大題共5小題，每小題4分,共20分．把答案填在題中的橫線上）11．(2014陜西高考）觀察分析下表中的數(shù)據(jù):多面體面數(shù)（F)頂點(diǎn)數(shù)(V）棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是__________．12．（2014陜西高考)已知f（x)＝eq\f（x，1＋x），x≥0，若f1（x)＝f（x)，fn＋1（x）＝f(fn(x))，n∈N＋，則f2014(x）的表達(dá)式為_(kāi)_________．13．（2014河北唐山三模）觀察等式：eq\f(sin30°＋sin90°,cos30°＋cos90°）＝eq\r(3)，eq\f(sin15°＋sin75°,cos15°＋cos75°)＝1，eq\f(sin20°＋sin40°，cos20°＋cos40°）＝eq\f（\r(3）,3）.照此規(guī)律，對(duì)于一般的角α，β，有等式__________．14．（2014福建高考）已知集合｛a，b，c｝＝{0,1,2}，且下列三個(gè)關(guān)系：①a≠2；②b＝2;③c≠0有且只有一個(gè)正確，則100a＋10b＋c等于__________．15．(2014江西新課程三適）設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C所對(duì)三邊長(zhǎng)分別為a,b，c，已知I是△ABC的內(nèi)心，過(guò)I作直線l與直線AB,AC，BC分別交于D，E,F三點(diǎn)，且eq\x\to(IE）＝x0eq\x\to（ID），eq\x\to（IF）＝y(tǒng)0eq\x\to（ID），則eq\f(b，x0)＋eq\f（a，y0）＋c＝0。將這個(gè)結(jié)論類比到空間：設(shè)四面體ABCD的四個(gè)面BCD，ABC，ACD，ABD的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球球心為I，過(guò)I作直線l與平面BCD，ABC,ACD，ABD分別交于點(diǎn)P，Q，M，N，且eq\x\to(IQ）＝x0eq\x\to（IP）,eq\x\to(IM)＝y(tǒng)0eq\x\to（IP)，eq\x\to(IN)＝z0eq\x\to(IP)，則__________．三、解答題(本大題共4小題，共40分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）16．(8分）(2014江蘇南京、鹽城一模)已知x1,x2,x3為正實(shí)數(shù)，若x1＋x2＋x3＝1，求證：＋＋≥1。17．（10分)(2014陜西寶雞三模）假設(shè)數(shù)列{an｝的各項(xiàng)均不相等，將數(shù)列從小到大重新排序后相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成的新數(shù)列成為數(shù)列｛an}的排序數(shù)列，例如：數(shù)列a2＜a3＜a1，滿足的排序數(shù)列為2，3，1.（1）寫(xiě)出2，4，3,1的排序數(shù)列；（2）求證：數(shù)列｛an}的排序數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{an}為單調(diào)數(shù)列．18．(10分)(2014天津高考）已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)．設(shè)集合M＝{0,1,2,…，q－1｝，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M,i＝1,2，…，n｝．（1)當(dāng)q＝2,n＝3時(shí)，用列舉法表示集合A;（2)設(shè)s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…,n。證明：若an＜bn，則s＜t.19．（12分）(2014吉林長(zhǎng)春調(diào)研）已知函數(shù)f（x）＝aex＋b在(0,f(0））處的切線方程為x－y＋1＝0.(1)求f（x)的解析式；(2）設(shè)A（x1，f（x1）），B(x2，f（x2))，x1＜x2，k表示直線AB的斜率，求證：f′(x1）＜k＜f′(x2）．

參考答案1.解析:因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)的反面為一個(gè)也沒(méi)有，所以要做的假設(shè)是方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根．答案:A2。解析:“至少有一個(gè)”的否定為“一個(gè)都沒(méi)有”，即假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)．答案:D3.解析：最短交貨期為先由徒弟完成原料B的粗加工,共需6天，然后工藝師加工該件工藝品,需21天；徒弟可在這幾天中完成原料A的粗加工；最后由工藝師完成原料A的精加工，需15個(gè)工作日．故交貨期為6＋21＋15＝42個(gè)工作日．答案：424.解析：由A可知其為橢圓的定義；B由a1＝1,an＝3n－1求出S1，S2,S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式，屬于歸納推理;C由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1的面積S＝πab,是類比推理；D科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇，也屬于類比推理,故選B。答案:B5.解析：用A，B，C分別表示優(yōu)秀、及格和不及格．顯然，語(yǔ)文成績(jī)得A的學(xué)生最多只有一人，語(yǔ)文成績(jī)得B的也最多只有1人，得C的也最多只有1人，所以這組學(xué)生的成績(jī)?yōu)?AC)，(BB),（CA）滿足條件，故學(xué)生最多為3人．答案：B6.解析：當(dāng)n＝2時(shí)，M?{1}，且滿足1∈M，2－1∈M，故集合M的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)n＝3時(shí)，M?｛1，2｝，且1∈M，3－1＝2∈M，故集合M的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)n＝4時(shí)，M?{1，2,3},且1∈M,4－1＝3∈M,2∈M,4－2＝2∈M，故集合M的個(gè)數(shù)為3，故可排除A，C，D，選B。答案：B7。解析：當(dāng)n＝2時(shí)，這4個(gè)數(shù)分別為1,2,3，4，排成了兩行兩列的數(shù)表，當(dāng)1，2同行或同列時(shí)，這個(gè)數(shù)表的“特征值"為eq\f（4，3)；當(dāng)1，3同行或同列時(shí)，這個(gè)數(shù)表的特征值分別為eq\f(4,3)或eq\f（3，2)；當(dāng)1，4同行或同列時(shí)，這個(gè)數(shù)表的“特征值"為eq\f(4,3）或eq\f（3，2);故這些可能的“特征值”的最大值為eq\f(3,2）。答案:D8。解析：直線l:y＝a(x－1)＋1恒過(guò)點(diǎn)(1,1)，對(duì)于①，畫(huà)圖知，過(guò)點(diǎn)（1,1)的直線與曲線沒(méi)有兩個(gè)交點(diǎn)，故排除①；對(duì)于②,畫(huà)圖知,過(guò)點(diǎn)（1,1）的直線與曲線恒有交點(diǎn)，且弦長(zhǎng)范圍為（0，＋∞）；對(duì)于③，因?yàn)?1，1)為圓心，所以過(guò)點(diǎn)（1,1）的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為直徑,其長(zhǎng)為2;對(duì)于④,過(guò)點(diǎn)(1，1）的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)中，與x軸垂直的最短，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)，經(jīng)計(jì)算,得弦長(zhǎng)范圍為［2,2eq\r（2)]．根據(jù)題意，對(duì)于②③④，均可以找到相應(yīng)的a，使得其弦長(zhǎng)為｜a｜，故選D.答案：D9。解析:根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定，即“三內(nèi)角都大于60度”，故選B。答案：B10.解析：利用歸納法：a＋b＝1,a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29,a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.規(guī)律為從第三組開(kāi)始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和．答案:C11。解析：因?yàn)?＋6－9＝2,6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝212.解析：依題意,f1（x)＝f（x)＝eq\f（x，1＋x）,f2（x)＝f（f1(x))＝feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(x，1＋x））)＝eq\f(\f（x,1＋x)，1＋\f（x，1＋x)）＝eq\f(x,1＋2x），f3(x）＝f（f2（x）)＝feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（x，1＋2x）））＝eq\f(\f（x,1＋2x）,1＋\f(x，1＋2x))＝eq\f(x，1＋3x）,…，由此可猜測(cè)fn(x)＝eq\f（x,1＋nx），故f2014(x）＝eq\f（x，1＋2014x）。答案：eq\f(x，1＋2014x）13。解析:根據(jù)等式的特點(diǎn),分別用α，β代替兩個(gè)角,并且發(fā)現(xiàn)taneq\f(30°＋90°,2）＝eq\r（3)，taneq\f(15°＋75°,2)＝1，taneq\f(20°＋40°，2）＝eq\f（\r（3)，3），故對(duì)于一般的角α，β的等式為eq\f（sinα＋sinβ，cosα＋cosβ）＝taneq\f(α＋β,2).答案:eq\f（sinα＋sinβ,cosα＋cosβ）＝taneq\f（α＋β，2）14。解析:由題意可知三個(gè)關(guān)系只有一個(gè)正確分為三種情況：（1）當(dāng)①成立時(shí)，則a≠2，b≠2，c＝0，此種情況不成立;（2）當(dāng)②成立時(shí)，則a＝2，b＝2，c＝0，此種情況不成立；(3)當(dāng)③成立時(shí)，則a＝2，b≠2,c≠0，即a＝2,b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.故答案為201。答案:20115.解析：此類問(wèn)題由平面類比空間，根據(jù)面積類比體積，長(zhǎng)度類比面積，故推理為:eq\f（S2，x0）＋eq\f（S3,y0）＋eq\f(S4,z0)＋S1＝0.答案：eq\f(S2，x0）＋eq\f（S3,y0)＋eq\f(S4，z0)＋S1＝016.證明:∵＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2(x1＋x2＋x3）＝2,∴＋＋≥1.17.（1)解:排序數(shù)列為4，1，3，2。（2)證明：充分性：當(dāng)數(shù)列{an}單調(diào)遞增時(shí)，∵a1＜a2＜…＜an，∴排序數(shù)列為1，2，3，…，n，∴排序數(shù)列為等差數(shù)列．當(dāng)數(shù)列｛an｝單調(diào)遞減時(shí)，∵an＜an－1＜…＜a1,∴排序數(shù)列為n，n－1，n－2，…，1，∴排序數(shù)列為等差數(shù)列．綜上，數(shù)列{an｝為單調(diào)數(shù)列時(shí)，排序數(shù)列為等差數(shù)列．必要性:∵排序數(shù)列為等差數(shù)列，∴排序數(shù)列為1,2，3，…，n或n,n－1,n－2，…，1，∴a1＜a2＜…＜an或an＜an－1＜…＜a1?！鄶?shù)列｛an｝為單調(diào)數(shù)列．18.分析:(1）先由已知寫(xiě)出M,及描述法的集合A,再對(duì)xi值的情況討論，寫(xiě)出A的列舉法表示．(2)證明s＜t,可用作差法，即判斷s－t＜0。作差后利用放縮法，將差式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和判斷差的符號(hào)．（1)解:當(dāng)q＝2，n＝3時(shí)，M＝{0，1｝，A＝｛x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M,i＝1,2,3}．可得，A＝{0，1，2，3，4,5