專題10 特殊三角形的存在性（含2024年崇明、閔行一模）解析版

專題10特殊三角形的存在性特殊三角形的討論問(wèn)題，常見于中考試卷的壓軸題中，其融合了特殊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角比的應(yīng)用等數(shù)學(xué)核心知識(shí)，考查了學(xué)生的分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想。雖部分特殊三角形的存在性問(wèn)題有一定“套路”可循，但大多題目試題命題靈活，并無(wú)單一模式，對(duì)學(xué)生提出了相當(dāng)大的挑戰(zhàn)。然而萬(wàn)變不離其宗，從特殊三角形本身的性質(zhì)入手，結(jié)合邊、角的相互轉(zhuǎn)化，就能撥開迷霧、追尋真跡。易錯(cuò)點(diǎn)一：等腰三角形的存在性根據(jù)等腰三角形的定義，若為等腰三角形，則有三種可能情況：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根據(jù)實(shí)際圖形的差異，其中某些情況會(huì)不存在，所以等腰三角形的存在性問(wèn)題，往往有2個(gè)甚至更多的解，在解題時(shí)需要尤其注意．解題思路：（1）利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)式；（2）根據(jù)條件分情況進(jìn)行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分式或根式方程）（3）解出方程，并代回原題中進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去增根．解題策略：對(duì)于等腰三角形的存在性問(wèn)題，利用“兩圓一線”找交點(diǎn)，①已知邊為腰時(shí)，以已知邊的兩端點(diǎn)為圓心，已知邊為半徑畫圓找交點(diǎn)；②已知邊為底時(shí)，利用尺規(guī)作圖法作出已知邊的垂直平分線進(jìn)而找交點(diǎn)。

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的等腰三角形存在性問(wèn)題，有以下幾種做法：①如果點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，可以直接利用“等腰三角形的三線合一”或“兩邊”相等的性質(zhì)，直接求點(diǎn)的坐標(biāo)；②如果已知兩定點(diǎn)，還有一動(dòng)點(diǎn)在直線上，則設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，再利用距離公式，分類討論。③如果動(dòng)點(diǎn)在拋物線上或動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)不止一個(gè)，則不建議利用距離公式，這樣計(jì)算過(guò)程繁瑣且容易出現(xiàn)高次方程，可以利用圖中的相似三角形或其他圖形的特點(diǎn)進(jìn)行解決?！纠?】．（2024?崇明區(qū)）已知中，，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且滿足，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，聯(lián)結(jié)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式并寫出定義域；（3）過(guò)點(diǎn)作射線的垂線，垂足為，射線與射線交于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【分析】（1）由勾股定理可求的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求的長(zhǎng)；（2）通過(guò)證明，可得，即可求解；（3）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1），，，，，，，，，；（2），，，，，，，，，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，則，過(guò)點(diǎn)作于，，，，設(shè)，則，，，，又，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，；如圖4，當(dāng)點(diǎn)線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，則，，，，，，，，，，，，，，，，，綜上所述：或1．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【變式】．（2023春?靜安區(qū)期末）（1）如圖1，梯形中，，，，，．求證：四邊形是等腰梯形；（2）點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式并寫出定義域；②如果是等腰三角形，求的面積．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，先證四邊形是平行四邊形，再證是等邊三角形，于是問(wèn)題得證；（2）①過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，從而求出、的長(zhǎng)，于是得出的長(zhǎng)，最后在中利用勾股定理求出與之間的關(guān)系即可；②分三種情況討論，若是等腰三角形，則或或，當(dāng)時(shí)，先得出，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求出、的長(zhǎng)，即可求出的面積；當(dāng)或時(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷這兩種情況不成立．【解答】（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，又，是等邊三角形，，，，四邊形是等腰梯形；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，由勾股定理得，，，，，在中，由勾股定理得，，，整理得，關(guān)于的函數(shù)解析式，定義域；②是等腰三角形，或或，當(dāng)時(shí)，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，由勾股定理得，，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；綜上，的面積為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰梯形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握分類討論思想的運(yùn)用．【例2】．（2024?閔行區(qū)）如圖，在中，，以，為邊在外部作等邊三角形和等邊三角形，且聯(lián)結(jié)．（1）如圖1，聯(lián)結(jié)，，求證：；（2）如圖2，延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，求的值；②請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在直線上方作等邊三角形（不要求寫作法，保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論），當(dāng)點(diǎn)在的內(nèi)部時(shí)，求的取值范圍．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出相等的邊和相等的角，再利用角的和得出，從而得出全等．（2）①根據(jù)已知條件得出，再根據(jù)得出的結(jié)論證明，從而得出是等邊三角形，求出即可．②作等邊三角形，由作法可以證明是等邊三角形，分類討論當(dāng)在邊上時(shí)，當(dāng)在邊上時(shí)，分別求出的值，即可得出的取值范圍．【解答】（1）證明：等邊三角形和等邊三角形，，，，，；（2）解：①如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接、，是的中點(diǎn)，，，，，，，都是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，垂直平分，，是等邊三角形，，，．②如圖3，分別以、為圓心，長(zhǎng)為半徑在上方畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接、，則為所求作的等邊三角形，由作圖可知，所以為等邊三角形，當(dāng)在邊上且為中點(diǎn)時(shí)，由①知：可得，當(dāng)在邊上時(shí)，如圖4，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，，，，，，，，，和是等邊三角形，設(shè)，，，，，，在中，，，，，在中，，，，，，，，在中，，，，，，，，化簡(jiǎn)得，，，的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．【變式】．（2023?徐匯區(qū)二模）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、．（1）求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于軸的上方，將沿直線翻折，如果點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求直線的表達(dá)式．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式為，再運(yùn)用配方法化為頂點(diǎn)式即可得出拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）設(shè)，且，連接，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交軸于，利用拋物線的對(duì)稱性可得，由翻折的性質(zhì)可得：，，推出是等邊三角形，得出，，再運(yùn)用解直角三角形即可求得答案；（3）?。?）中的點(diǎn)，連接，，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，可得為等邊三角形，再證得，得出，利用解直角三角形求得，再運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得直線的表達(dá)式．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，，解得：，，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）設(shè)，且，如圖，連接，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交軸于，則，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，由翻折得：，，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，，，是等邊三角形，，，，，，；（3）?。?）中的點(diǎn)，連接，，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，，為等邊三角形，，，，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，為等邊三角形，，，，即，，，在中，，，，，，，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，把、代入，得：，解得：，直線的表達(dá)式為．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，解本題的關(guān)鍵，熟練掌握代入法求二次函數(shù)解析式，添加輔助線構(gòu)造全等三角形．易錯(cuò)點(diǎn)二：直角三角形的存在性在考慮△ABC是否為直角三角形時(shí)，很顯然需要討論三種情況：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多數(shù)問(wèn)題中，其中某兩種情況會(huì)較為簡(jiǎn)單，剩下一種則是考察重點(diǎn)，需要用到勾股定理。解題思路：（1）按三個(gè)角分別可能是直角的情況進(jìn)行討論；（2）計(jì)算出相應(yīng)的邊長(zhǎng)等信息；（3）根據(jù)邊長(zhǎng)與已知點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．解題策略：對(duì)于直角三角形的存在性問(wèn)題，利用“兩圓一線”找交點(diǎn)，①已知邊為直角邊時(shí)，分別過(guò)邊的兩段點(diǎn)作邊的垂線找點(diǎn)；②已知邊為斜邊，作以斜邊為直徑的圓找點(diǎn)（直徑所對(duì)的圓周角是直角）。對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的直角三角形存在性問(wèn)題，有以下幾種做法：①如果動(dòng)點(diǎn)在直線上，則可以利用距離公式和勾股定理求解；②如果動(dòng)點(diǎn)落在拋物線上，則可以構(gòu)造“一線三直角模型”求解?！纠?】（2023秋?寶山區(qū)期中）已知中，，，是射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），線段的垂直平分線與邊交于點(diǎn)．（1）點(diǎn)在邊上，①如圖1，聯(lián)結(jié)，如果平分，求的長(zhǎng)；②如圖2，射線交射線于點(diǎn)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域．（2）如果是直角三角形，求的長(zhǎng)．【分析】（1）①連接，在上截取，連接，過(guò)點(diǎn)作于，證得，然后表示出長(zhǎng)，利用得到，代入計(jì)算解題即可；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)相似三角形用，表示得到，和的長(zhǎng)，然后利用得到關(guān)系式；（2）分和兩種情況分別畫圖解題即可．【解答】解：（1）①連接，在上截取，連接，過(guò)點(diǎn)作于，，，設(shè)，線段的垂直平分線與邊交于點(diǎn)，，，，，，平分，，又，，，，，，，，，，，，，又，，，即，解得，；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)作于點(diǎn)，由①得，，即，，，，又，，，，，即，，，，又，，，，，設(shè)，即，解得：，，又，，，，，，即，解得：，又，，即，點(diǎn)在邊上，，，定義域?yàn)椋海唬?）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由②可得：，，，，當(dāng)時(shí)，，即，解得或0（舍去），當(dāng)時(shí)，如圖，則，，，，，在中，，即，解得，綜上所述，當(dāng)為或時(shí)，是直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023?閔行區(qū)二模）如圖，在中，，，以為邊作（點(diǎn)、在直線的異側(cè)），且滿足，．（1）求證：；（2）設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求邊的長(zhǎng)；（3）設(shè)，，求關(guān)于函數(shù)解析式并寫出定義域．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可進(jìn)行求解；（2）由題意可分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，然后分別畫出圖形，進(jìn)而根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)可進(jìn)行求解；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意易得，則有，，然后可得，，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)可進(jìn)行求解．【解答】（1）證明：，，，，，，，；（2）解：由題意可分：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，，，，是等邊三角形，，，在上取一點(diǎn)，使得，，，，，，，；②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，由（1）可知，，，，，，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，，，；綜上所述：當(dāng)為直角三角形時(shí)，或；（3）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：由（1）可知，，，，，，，，即，，，，，，，，，，，，，，由（1）知，，是等腰直角三角形，，在中，由勾股定理得：，，，，，是斜邊，，即．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，主要考查函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)期末）已知在四邊形中，，，平分，交邊于點(diǎn)．（1）如圖1，如果點(diǎn)與點(diǎn)重合，，求證：四邊形是正方形；（2）如果，，①如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)已知條件得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義得出，則，得出四邊形是矩形，根據(jù)，即可得出四邊形是正方形；（2）①如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，中，勾股定理求得，取的中點(diǎn)，則，得出是等邊三角形，則，根據(jù)角平分線的定義，即可求解；②當(dāng)時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則四邊形是矩形，設(shè)，，在中，勾股定理求得，因?yàn)橹?，，勾股定理建立方程，解方程即可求解；?dāng)時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，即可求解．【解答】（1）證明：，，，又，，，，平分，，，四邊形是矩形，又，四邊形是正方形；（2）①解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，又，四邊形是矩形，，，在中，，取的中點(diǎn)，連接，則，，是等邊三角形，，，平分，；②當(dāng)時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則四邊形是矩形，，，平分，，在和中，，，，設(shè)，則，在中，，，中，，即，解得：，；當(dāng)時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，，，，，是的角平分線，，在和中，，，，又是的角平分線，，，，綜上所述當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為2或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義以及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握角平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)點(diǎn)三：等腰直角三角形的存在性既要結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，又要結(jié)合直角三角形的性質(zhì)。需要分類討論哪個(gè)角是直角?！纠?】．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)和．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）已知點(diǎn)在第一象限，且在直線上，過(guò)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，在的左側(cè)，以為斜邊作等腰直角三角形，①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖所示，求點(diǎn)到這條拋物線對(duì)稱軸的距離；②如果點(diǎn)在這條拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）、代入即可得拋物線的解析式為；（2）①過(guò)作于，交軸于，與重合時(shí)，，，由是等腰直角三角形，得，到拋物線對(duì)稱軸的距離是；②過(guò)作于，先求出直線為，設(shè)，則，，，將代入解得或（與重合，舍去），即可求出．【解答】解：（1）、代入得：，解得，拋物線的解析式為：；（2）①過(guò)作于，交軸于，如圖：當(dāng)與重合時(shí)，，，是等腰直角三角形，和也是等腰直角三角形，，，而拋物線的對(duì)稱軸是軸，到拋物線對(duì)稱軸的距離是；②過(guò)作于，如圖：設(shè)直線解析式為，將、代入得：，解得，直線為，設(shè)，則，，當(dāng)，時(shí)，，將代入得：，解得或（與重合，舍去），，，，當(dāng)，時(shí)，，，由可知，此時(shí)、、重合，舍去，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、對(duì)稱軸公式、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示的坐標(biāo)．【變式】．（2023?楊浦區(qū)二模）已知拋物線與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）把拋物線沿射線方向平移得到拋物線，此時(shí)點(diǎn)、分別平移到點(diǎn)、處，且都在直線上，設(shè)點(diǎn)在拋物線上，如果是以為底的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，設(shè)點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，，交直線于點(diǎn)，求的值．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；（2）根據(jù)、的坐標(biāo)求得直線的解析式為，根據(jù)題意求得，求得軸，設(shè)，則，從而得出，解方程即可求得的坐標(biāo)；（3）先求得四邊形是矩形，作，交于，然后根據(jù)，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，，解得，拋物線的解析式為；（2）如圖1，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，是以為底的等腰直角三角形，，由平移得，，設(shè)，則，，解得（舍或，；（3）如圖2，拋物線的解析式為，令，則，解得或，，點(diǎn)和，，，，，，，四邊形是矩形，作，交于，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．1．（2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）已知，在梯形中，，，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段與線段交于點(diǎn)，且，設(shè)，．（1）求與之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)平分時(shí)，求的值；（3）分別延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合，三角形內(nèi)角和等于，證明，得到，將，，，代入計(jì)算可得．（2）延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，證明是等腰三角形，得，得，證明，得，將，，代入計(jì)算得到和的值，再分別計(jì)算和的值，即可求得答案．（3）過(guò)點(diǎn)、分別作的垂線交于點(diǎn)、，為中點(diǎn)，連接，證明、、是等腰三角形，得到、、的用表示的值，根據(jù)梯形是等腰梯形，，得到的值，得到，利用得到、的用表示的值，根據(jù)是等腰三角形，為中點(diǎn)，得到，解得的值，從而解得的值，得到的值．【解答】解：（1），，，又，，在梯形中，，，，，，，由題意可知，，，，，，，是上動(dòng)點(diǎn)，，與之間的函數(shù)解析式為；（2）延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，如圖1，平分，，，是等腰三角形，，，，，，，，，由題意可知，，，，代入代數(shù)式得：，解得：，，，梯形是等腰梯形，，，，，，；（3）分別延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作的垂線交于點(diǎn)、，為中點(diǎn)，連接，如圖2，，，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，，，，，，，則是等腰三角形，，，是等腰三角形，，，梯形是等腰梯形，，，，，是等腰三角形，為中點(diǎn)，，，，，，即，，，，得，化簡(jiǎn)得，△，，得，，，（舍去），，．【點(diǎn)評(píng)】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，正確作出輔助線，利用余弦函數(shù)、使用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?楊浦區(qū)期末）已知在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，．（1）如圖1，試說(shuō)明的理由；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．①試說(shuō)明的理由；②如果是等腰三角形，求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)等量代換可得．再根據(jù)等角對(duì)等邊可得，即可解答；（2）①根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后設(shè)，則，利用（1）的結(jié)論可得，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得，即可解答；②根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，然后分三種情況：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1），，是的一個(gè)外角，，，，，．；（2）①，，，設(shè)，則，，，；②是的一個(gè)外角，，分三種情況：當(dāng)時(shí)，，，，，；當(dāng)時(shí)，，，，，；當(dāng)時(shí)，，，不存在，綜上所述：如果是等腰三角形，的度數(shù)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023春?黃浦區(qū)期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)、分別作軸的垂線，垂足為點(diǎn)、．（1）說(shuō)明的理由；（2）求的面積；（3）在軸上找到點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)已知可得，，再根據(jù)垂直定義可得，從而根據(jù)可證，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，從而可得，最后利用平角定義可得，即可解答；（2）在中，利用勾股定理求出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后利用（1）的結(jié)論以及三角形的面積公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）根據(jù)已知可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而利用兩點(diǎn)間距離公式求出，的值，然后分兩種情況：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，最后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）點(diǎn)、，，，，，，，軸，軸，，，，，，，，；（2）在中，，，，，，，的面積，的面積為；（3）點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，則，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，當(dāng)時(shí)，則，，解得：或（舍去），點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上所述：若是以為腰的等腰三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形面積，等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春?閔行區(qū)期末）如圖，梯形中，，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，，，垂直于射線，垂足為點(diǎn)．（1）證明：四邊形是平行四邊形；（2）聯(lián)結(jié)，如果是等腰三角形，求線段的長(zhǎng)度．【分析】（1）證明梯形是等腰梯形，可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，可證明，進(jìn)而可證明結(jié)論；（2）根據(jù)點(diǎn)的位置可以分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在線段上，易知此時(shí)為鈍角，則只能，過(guò)點(diǎn)分別向，作垂線，垂足分別為，，由證明，設(shè)，則，，，于是在和在中，利用雙勾股定理即可求解；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可推出，則只能，，于是再分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，由三角形內(nèi)角定理求得，于是；②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，設(shè)，則，，，在和中，利用雙勾股定理求解即可．【解答】（1）證明：在梯形中，，，梯形是等腰梯形，，，，，，，四邊形為平行四邊形；（2）解：由（1）知，四邊形為平行四邊形，，，為的中點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，于，，為鈍角，為鈍角三角形，若要使為等腰三角形，只能，當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)分別向，作垂線，垂足分別為，，，，，，，，，，，，又，，，即，在和中，，，，由，得，設(shè)，則，，，在中，，在中，，，解得：，（舍去），，；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，，又，，，，要使是等腰三角形，只能，，①當(dāng)時(shí)，如圖，則，，，，為等腰直角三角形，；②當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，，設(shè)，則，，，在中，，在中，，，解得：，（舍去），．綜上，若是等腰三角形，線段的長(zhǎng)度為或或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等，學(xué)會(huì)利用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．5．（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于，兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的拋物線與軸的正半軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；（2）過(guò)作軸的平行線交拋物線于，當(dāng)是為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若頂點(diǎn)在以、為鄰邊的平行四邊形的形內(nèi)（不含邊界），求的取值范圍．【分析】（1）先求出點(diǎn)，運(yùn)用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式為，令，可求得，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求得直線的解析式為；（2）設(shè)，且，則，可得，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式可得，根據(jù)是為腰的等腰三角形，分兩種情況：或，分別建立方程求解即可得出答案；（3）利用待定系數(shù)法可求得經(jīng)過(guò)點(diǎn)且平行直線的直線的解析式，聯(lián)立，得，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)題意可知：點(diǎn)必須在直線上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，故．【解答】解：（1）直線交軸于點(diǎn)，，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，，解得：，拋物線的解析式為，令，得，解得：，，，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得：，直線的解析式為；（2）點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，且，過(guò)作軸的平行線交拋物線于，，，，且，，是為腰的等腰三角形，，或，，，是等腰直角三角形，，，，①當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去）或，，；②當(dāng)時(shí)，則，，軸，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，，解得：（舍去），，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或；（3），拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且平行直線的直線的解析式為，如圖2，則，解得：，，聯(lián)立，得，解得：，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，頂點(diǎn)在以、為鄰邊的平行四邊形的形內(nèi)（不含邊界），點(diǎn)必須在直線上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，的取值范圍為：．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論思想和方程思想解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．6．（2023秋?寶山區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線平移，使平移后的拋物線仍經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，新拋物線的頂點(diǎn)為（點(diǎn)在第四象限），對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)，且．（1）求平移后拋物線的表達(dá)式；（2）如果點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，判斷以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拋物線上的點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，如果是等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）由題意得，平移后的拋物線表達(dá)式為：，得到點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)而求解；（2）證明、、、均為等腰直角三角形，即可求解；（3）當(dāng)時(shí)，列出等式即可求解；當(dāng)或時(shí)，同理可解．【解答】解：（1）由題意得，平移后的拋物線表達(dá)式為：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為：，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，則，解得：（舍去）或，則平移后的拋物線表達(dá)式為：；（2）以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，理由：由平移前后拋物線的表達(dá)式知，拋物線向右平移了2個(gè)單位向下平移了2個(gè)單位，由（1）知，點(diǎn)，則點(diǎn)，由點(diǎn)、、、的坐標(biāo)知，、、、均為等腰直角三角形，則，故四邊形為菱形，均為等腰直角三角形，則為直角，故四邊形為正方形，即以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為正方形；（3）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，點(diǎn)，由點(diǎn)、、的坐標(biāo)得，，，，當(dāng)時(shí)，則，解得：或4，即點(diǎn)的坐標(biāo)為：或；當(dāng)或時(shí)，同理可得：，，解得：或2，即點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或，或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到正方形的性質(zhì)、圖象的平移等，分類求解是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知正方形，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)在上，滿足，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連接．①當(dāng)時(shí)，求的值；②如果是以為腰的等腰三角形，求的正切值．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得，，則，所以，，則，所以；（2）①作于點(diǎn)，則，而，所以，則，可證明，得，作于點(diǎn)，可證明，則，因?yàn)?，所以，則；②分兩種情況討論，一是，則，可推導(dǎo)出，則，作于點(diǎn)，可證明，所以，則，所以，則，可求得，在上取一點(diǎn)，連接，使，則，所以，，則；二是，則，可證明點(diǎn)在上，則，求得，則，進(jìn)而證明，得，可證明，則，所以．【解答】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，，，，．（2）解：①如圖1，作于點(diǎn)，則，，，，，，，作于點(diǎn)，則，，，，，，，的值是2．②如圖2，是等腰三角形，且，則，，，，，，作于點(diǎn)，則，，，，，，，，，在上取一點(diǎn)，連接，使，則，，，，，；如圖3，是等腰三角形，且，則，，，，，點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，，，，，，，，，，，，，，，，綜上所述，的正切值為或．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線分線段成比例定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．8．（2023秋?普陀區(qū)期中）如圖，在梯形中，，，，，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，連接，作，與交于點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果是等腰三角形，求的長(zhǎng)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，則四邊形是矩形，，，，由勾股定理得出；（2）先判斷出，得出，得出，再用勾股定理得，代入即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理分三種情況討論計(jì)算即可得出結(jié)論．【解答】解：（1），，，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：則四邊形是矩形，，，，，在中，；（2）由（1）知，，，，，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，，；（3）是等腰三角形，①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，同（2）的方法得，①，，，，，，②，聯(lián)立①②得，（舍或，，即；②當(dāng)時(shí)，，，，點(diǎn)與點(diǎn)重合（不合題意，舍去）；③當(dāng)時(shí)，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，，（舍去）或，由（2）得，，解得：，綜上的長(zhǎng)為1或．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)、分類討論等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及正確運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋?閔行區(qū)期中）已知：如圖所示，四邊形中，，．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)、分別在邊、上，且，求證：；（3）在（2）的條件下，若，是等腰三角形，直接用含的代數(shù)式表示．【分析】（1），故，而，故，即可求解；（2）證明，即可求解；（3）分、、三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)即可求解．【解答】（1）解：如圖1，連接，，故，而，，；（2）證明：將圍繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置（點(diǎn)、為對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則，，，，則，，，，；（3）解：在四邊形中，，，則，知，，，①當(dāng)時(shí)，則，則，；②當(dāng)時(shí)，則，；③當(dāng)時(shí)，則，則，，綜上，為或或．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了三角形全等、等腰三角形的性質(zhì)、外角的性質(zhì)、圖象的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．10．（2023春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知，，，點(diǎn)在邊上，，垂足為點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)在邊上，且位于點(diǎn)的左側(cè)，聯(lián)結(jié)．（1）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)四邊形是等腰梯形時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求正方形的面積．【分析】（1）在中，利用勾股定理，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，根據(jù)，，求出的定義域；（2）根據(jù)四邊形是等腰梯形時(shí)，為等腰直角三角形，，列式計(jì)算即可；（3）分和兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)，利用三線合一，得到：，列式求解；當(dāng)，在中，用勾股定理進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1），，，，，是等腰直角三角形，，又四邊形為正方形，，，在中：，即：．，，即：，，解得：；，定義域?yàn)椋?；?）如圖：當(dāng)四邊形是等腰梯形時(shí)，，為等腰直角三角形，，即：，解得：；的長(zhǎng)為：；（3）點(diǎn)在內(nèi)部，，分兩種情況討論是等腰三角形．①當(dāng)時(shí)，，．即：．解得．此時(shí)．②當(dāng)時(shí)，．在中，由勾股定理，得，即：，解得，．綜上，正方形的面積為：1或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．注意，分類討論．11．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）已知邊長(zhǎng)為的正方形中，是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)，不重合），過(guò)點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)（如圖所示），設(shè)，的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否為等腰三角形？如果能，試求出的長(zhǎng)，如果不能，試說(shuō)明理由．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，如圖1．證，得出，連接，證，則有，然后得出關(guān)系式即可；（2）可分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上兩種情況討論，通過(guò)計(jì)算就可求出符合要求的的長(zhǎng)．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，連接，交于點(diǎn)，四邊形是正方形，，，，，，，即，，在和中，，，，四邊形是正方形，．，，，，，，在和中，，，，，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，，，，，即與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）①若點(diǎn)在線段上，，，，．若為等腰三角形，則，，，與矛盾，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，不可能是等腰三角形；②若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，若是等腰三角形，，，，，，，，，，的長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查四邊形的綜合題，熟練掌握正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖1，梯形中，，，，，，在邊上，連接，．（1）求的長(zhǎng)；（2）如圖2，作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）在（2）的條件下，若是等腰三角形，求的值．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明四邊形為矩形，則，，再根據(jù)勾股定理定理即可求出；（2）連接，先用等面積法求出，再證明，從而得出，最后證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)可得為等腰三角形，分或或三種情況討論即可．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，四邊形為矩形，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得：．（2）解：連接，，，，即，解得：，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，整理得：．（3）由（2）可得，為等腰三角形，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）可得：，，，，，，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，綜上：或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了四邊形和三角形的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各個(gè)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，根據(jù)題意正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形那個(gè)和全等三角形求解．13．（2022?崇明區(qū)二模）如圖，在中，，，．點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，連接，以線段為對(duì)角線作正方形，邊交邊于點(diǎn)，線段交邊于點(diǎn)，邊交邊于點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的定義域；（3）連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的值．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交于，由直角三角形的性質(zhì)證出，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）由直角三角形的性質(zhì)求出，，，由三角形面積公式可得出答案；（3）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，由全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出答案．【解答】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作交于，，，，，，，，，；（2）由題意得：．，，，，定義域?yàn)椋?；?）①當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，，，即，，解得，；②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，，，，，同①可得，，，，，，，，，，解得．，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．14．（2023?嘉定區(qū)一模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求此拋物線的表達(dá)式及對(duì)稱軸；（2）求的值；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形？如果存在，求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入解析式，解方程組即可得出結(jié)論；（2）作軸，垂足為．作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．將放在中，根據(jù)余切的定義即可表達(dá)；（3）根據(jù)題意，需要分兩種情況進(jìn)行討論：或，分別作出圖形求解即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意：，解得，拋物線表達(dá)式為．拋物線的對(duì)稱軸為：直線．（2）拋物線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)是，作軸，垂足為．作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．，，，．，．．．（3）存在，理由如下：為直角邊，只可能有兩種情況：或．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為①當(dāng)，作，垂足為，作，垂足為．，．，，，；，可求得，（舍．；②當(dāng)，作軸，垂足為．，．，，，；，可求得（舍，．；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)是或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．15．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、作直線，交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上，設(shè)，，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）判斷的形狀，并給出證明；（2）如果，求的長(zhǎng)．【分析】（1）先證為等腰直角三角形，由勾股定理得，再由即可得出答案；（2）由題意得，再由點(diǎn)是的中點(diǎn)知，，則，，，可推出，據(jù)此可得答案；（3）分點(diǎn)在線段上和線段延長(zhǎng)線上兩種情況，分別求出、的長(zhǎng)，即可得出答案．【解答】解：（1），，，，又，為等腰直角三角形，，，，又，，；（2），，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，，，即，，又，，，在中，，，即，，；如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，，，同理可得，，在中，，，綜上，如果，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要是三角形的綜合問(wèn)題，主要考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、含直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋?虹口區(qū)校級(jí)期末）如圖，中，，，，點(diǎn)、分別是邊、上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，設(shè)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的面積；（2）如圖2，設(shè)當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，求關(guān)于的解析式，并寫出定義域；（3）若為直角三角形，求的值．【分析】（1）由含角的直角三角形的性質(zhì)得，再由勾股定理得，然后再證，最后由三角形面積關(guān)系即可得出答案；（2）由含角的直角三角形的性質(zhì)得，，再由勾股定理得，然后由得，則，求出的范圍即可；（3）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，由含角的直角三角形的性質(zhì)好勾股定理分別得出方程，解方程即可．【解答】解：（1），，，，，，，，，，的面積的面積；（2），，，，，，，，，，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)不與點(diǎn)重合，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，，即關(guān)于的解析式為；（3）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖3所示：則，，，，，，，，，，，由（2）得：，，解得：；②當(dāng)時(shí)，如圖4所示：，，是等邊三角形，，，，，，，解得：；綜上所述，若為直角三角形，的值為或4．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題目，考查了勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積以及分類討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．17．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）如圖1，，，以點(diǎn)為頂點(diǎn)、為腰在第三象限作等腰．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，為軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)向軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以為直角頂點(diǎn)，為腰作等腰，過(guò)作軸于點(diǎn)，求的值；（3）如圖3，已知點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，作，始終保持，與軸負(fù)軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的值．【分析】（1）過(guò)作軸于點(diǎn)，由“”證明，可得出，，即可求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖2，過(guò)作于點(diǎn)，可證四邊形是矩形，可得，，即，由“”可明，可得，即可得結(jié)論；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)分別作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，由“”證明，可得，即可求得的值．【解答】解：（1）過(guò)作軸于點(diǎn)，如圖1，，，，則在和中，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）如圖2，過(guò)作于點(diǎn)，，，，四邊形是矩形，，，，，，，在和中，，，，；（3）結(jié)論②是正確的，，理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)分別作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，，，在和中，，，，又，，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．18．（2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末）已知的余切值為2，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)、都在射線上，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，聯(lián)結(jié)，并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．（1）聯(lián)結(jié)，求證：；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如果的正切值為2，求線段的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【分析】（1）聯(lián)結(jié)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得出結(jié)論；（2）由題意可知，所以，再由三角函數(shù)的定義和相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意，需要分三種情況，畫圖出行，分別求解即可．【解答】（1）證明：如圖，聯(lián)結(jié)，四邊形是正方形，，的余切值為2，，設(shè)，則，，．即．（2）解：由（1）知，，，的正切值為2，，，，，，，，即，解得；（3）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為．根據(jù)題意，需要分三種情況：①，如圖，，，，，，，，即，解得；②，如圖，，即，，，，，，即，解得；③，如圖，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，，解得，，，，，即，解得．綜上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求線段的長(zhǎng)為：或或．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，分類討論思想等相關(guān)知識(shí)，根據(jù)題意求出與正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．19．（2023?奉賢區(qū)二模）在梯形中，，，，，過(guò)點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，垂足為，交射線于點(diǎn)．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求證：；（2）如圖，如果是的中點(diǎn)，求的值；（3）聯(lián)結(jié)，如果是等腰三角形，求的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）如圖1，作點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)．得到，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論；（3）①如圖2，當(dāng)時(shí)，②如圖3，當(dāng)時(shí)，③如圖4，當(dāng)時(shí)，設(shè)與交于，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：，，，，，，，，；（2）解：如圖1，作點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，．，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，即，解得，；（3）解：①如圖2，當(dāng)時(shí)，，，，，是等邊三角形，，，，；②如圖3，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，；③如圖4，當(dāng)時(shí)，設(shè)與交于，，，，，，，即，解得，，綜上所述，如果是等腰三角形，的長(zhǎng)為8或或．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．20．（2023春?徐匯區(qū)期中）如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)從開始沿邊向以每秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)從開始沿邊向以每秒的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)、分別從、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）求證：當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形；（2）是否可能平分對(duì)角線？若能，求出當(dāng)為何值時(shí)平分；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若是以為腰的等腰三角形，求的值．【分析】（1）由題意可得當(dāng)秒時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，，即可得，，由，即可求得，又由，即可判定四邊形是平行四邊形；（2）首先連接交于點(diǎn)，若平分對(duì)角線，則，易證得，繼而可得四邊形為平行四邊形，則可得，解此方程即可求得答案．（3）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，作于，于，與，如圖所示：則，，，得出，，由得出方程，解方程即可；②當(dāng)時(shí)，由勾股定理得出方程，方程無(wú)解；即可得出答案．【解答】（1）證明：，當(dāng)秒時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，，，，當(dāng)時(shí)，，，又四邊形為等腰梯形，，四邊形為平行四邊形；（2）解：能平分對(duì)角線，當(dāng)秒時(shí)，平分對(duì)角線．理由如下：連接交于點(diǎn)，如圖1所示：若平分對(duì)角線，則，，，，在和中，，，，即四邊形為平行四邊形，，解得，符合題意，當(dāng)秒時(shí)，平分對(duì)角線．（3）解：分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，作于，于，與，如圖2所示：則，，，，，，，，解得：；②當(dāng)時(shí)，由勾股定理得：，，整理得：，解得△，方程無(wú)解；綜上所述：若是以為腰的等腰三角形，的值為．【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題目，考查了等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)、解方程．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．（2003?閔行區(qū)模擬）已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求的取值范圍；（2）設(shè)拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，如果是等腰直角三角形，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，且以、、為頂點(diǎn)的三角形和以、、為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）利用根的判別式即可判斷的取值范圍．（2）利用兩根之和與兩根之積公式、等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出的值．（3）利用極端假設(shè)法分別求出、的值，再利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：△，，的取值范圍是．（2）設(shè)，、，，則，．，由得頂點(diǎn)，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)得；，解得，，，舍去，所求拋物線的解析式是．（3）設(shè)，則，令得，，，、，令得：，，當(dāng)時(shí)得：，，解得，；當(dāng)時(shí)得：，，解得，，當(dāng)和相似時(shí)，或．【點(diǎn)評(píng)】本題結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意以、、為頂點(diǎn)的三角形和以、、為頂點(diǎn)的三角形相似的表示方法．22．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）已知在中，，點(diǎn)在邊上，聯(lián)結(jié)．（1）如圖1，如果點(diǎn)在線段的垂直平分線上，求證：；（2）過(guò)點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，①如圖2，如果點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，求的度數(shù)；②填空：如果，，且是以為腰的等腰三角形，那么的長(zhǎng)等于或．【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得，則，再證，得，即可得出結(jié)論；（2）①取的中點(diǎn)，連接，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，再證，得，則，即可解決問(wèn)題；②分兩種情況，、時(shí)，、時(shí)，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求出的長(zhǎng)即可．【解答】（1）證明：點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，，，，，，，；（2）解：①如圖2，取的中點(diǎn)，連接，則，，，，，，，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，在和中，，，，，，，，即，，即的度數(shù)為；②，，，，分兩種情況：、如圖3，時(shí)，由（1）可知，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，設(shè)，則，在和中，由勾股定理得：，即，解得：，，；、如圖4，時(shí)，，，，，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，；綜上所述，的長(zhǎng)等于或，故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理以及分類討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．23．（2023秋?嘉定區(qū)期末）如圖1，在和中，，，，．（1）求證：；（2）已知點(diǎn)在邊上一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），且，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．①如圖2，設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【分析】（1）由勾股定理得，再證，然后證，即可得出結(jié)論；（2）①證，得，則，然后證，得，即可得出結(jié)論；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，也是等腰三角形，分三種情況，、當(dāng)時(shí)，、當(dāng)時(shí)，、當(dāng)時(shí)，分別