專題10 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型（解析版）

專題10三角形中的倒角模型之平分平行（射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R(shí)點(diǎn)，需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，，本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。平分平行（射影）構(gòu)等腰模型、角平行線第二定理模型（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理模型）模型1、平分平行（射影）構(gòu)等腰1）角平分線加平行線必出等腰三角形．模型分析：由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進(jìn)行解題．平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。（簡(jiǎn)稱：“知二求一”，在以后還會(huì)遇到很多類似總結(jié)）。平行四邊形中的翻折問(wèn)題就常出現(xiàn)該類模型。

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過(guò)OO’的一點(diǎn)P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過(guò)點(diǎn)O作的平行線與，分別相交于點(diǎn)M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。2）角平分線加射影模型必出等腰三角形．→圖4條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。例1．（2023·河南濮陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，直線，點(diǎn)、分別在、上，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交、于點(diǎn)、；分別以、為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)作圖可知是的角平分線，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴∵，∴根據(jù)作圖可知是的角平分線，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，平行線的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．例2．（2023.湖南長(zhǎng)沙八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)O為△ABC的∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，OD//AB交BC于點(diǎn)D，OE//AC交BC于點(diǎn)E．若AB=5cm，BC=10cm，AC=9cm，則△ODE的周長(zhǎng)為(

)A．10cm B．9cm C．8cm D．5cm【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，把△ODE三條邊轉(zhuǎn)移到同一條線段BC上，即可解答．【詳解】解：如圖：∵OC、OB分別是∠ACB、∠ABC的角平分線，∴∠5=∠6，∠1=∠2，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠4=∠6，∠1=∠3．∴∠4=∠5，∠2=∠3，即OD=BD，OE=CE．∴△ODE的周長(zhǎng)=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明△BDO，△OEC都是等腰三角形．例3．（2023·重慶·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=．

【答案】12【分析】由角平分線與平行線易得∠EBG=∠EGB，從而得到EB=EG，同理可得DF=DC，再根據(jù)EB+DC=EG+DF=ED+FG即可得答案．【詳解】∵BG平分∠EBC∴∠EBG=∠GBC∵ED∥BC∴∠EGB=∠GBC∴∠EBG=∠EGB∴EB=EG同理可得DF=DC∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考角平分線與平行線，掌握角平分線加平行線，可得等腰三角形這一幾何模型是解題的關(guān)鍵．例4.（2023.成都市青羊區(qū)八年級(jí)期中）如圖，在中，，于點(diǎn)D，的平分線BE交AD于F，交AC于E，若，，則_____________．【答案】5【詳解】由角度分析易知，即，∵∴∵∴【點(diǎn)睛】這道題主要講解角平分線加射影模型必出等腰三角形的模型．例5．（2023.山東八年級(jí)期末）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.(2)如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問(wèn)中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說(shuō)明你的理由.【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5個(gè)，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根據(jù)EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，則EO=BE，OF=FC，則EF=BE+FC．（2）由（1）的證明過(guò)程可知：在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過(guò)程中，與AB=AC的條件沒(méi)有關(guān)系，故這兩個(gè)等腰三角形還成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的結(jié)論仍成立．（3）思路與（2）相同，只不過(guò)結(jié)果變成了EF=BE-FC．【詳解】解：（1）圖中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC．理由如下：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形，∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，F(xiàn)O=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（2）當(dāng)AB≠AC時(shí)，△EOB、△FOC仍為等腰三角形，（1）的結(jié)論仍然成立．∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，F(xiàn)O=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：同（1）可證得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO-FO=BE-FC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)．進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．模型2、角平行線第二定理（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理）模型1）內(nèi)角平分線定理圖1圖2圖3條件：如圖1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分線。結(jié)論：2）外角平分線定理?xiàng)l件：如圖2，在△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。結(jié)論：．3）奔馳模型條件：如圖3，的三邊、、的長(zhǎng)分別是a，b，c，其三條角平分線交于點(diǎn)O，將分為三個(gè)三角形。結(jié)論：=c：a：b。例1．（2022秋·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，是的平分線，設(shè)和的面積分別是，，則．【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)D作于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的面積公式得出與即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作于E，∵，，是的角平分線，∴，∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·廣東惠州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，的三邊，，長(zhǎng)分別是3，4，5，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，由，，是的三條角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，然后利用三角形面積的計(jì)算公式表示出、、，結(jié)合已知，即可得到所求的三個(gè)面積的比．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)．

，，是的三條角平分線，，于，，的三邊、、長(zhǎng)分別為3、4、5，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用角平分線的性質(zhì)定理解決問(wèn)題．例3．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)：已知角平分線分線段成比例定理內(nèi)容：三角形內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，如圖①，在△ABC中，AD平分∠BAC，則．下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程．(1)證明：如圖②，過(guò)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于E．請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分．(2)你還有其他的證明方法么？如果有，另外寫出一個(gè)完整的證明過(guò)程【答案】(1)見(jiàn)解析(2)有，見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)C作，交BA的延長(zhǎng)線于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到＝，等量代換證明結(jié)論．（2）利用等面積法即可證明．【詳解】（1）證明：如圖②，過(guò)C作，交BA的延長(zhǎng)線于E，則∠1＝∠E，∠DAC＝∠ACE，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠DAC，∴∠E＝∠ACE，∴AC＝AE，∵，∴＝，∴＝；（2）解：有其他的證明方法，理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC，∵AD是∠BAC的角平分線，DF⊥AB，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC，∴DF=DG，∵，，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、平行線分線段成比例以及等腰三角形的判定，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線證明線段成比例是解題的關(guān)鍵．例4、△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：．證明：過(guò)C作AD的平行線交AB于點(diǎn)E．∵∴，∠1=∠3，∠2=∠4∵AD為∠BAC的外角平分線∴∠1=∠2∴∠3=∠1=∠2=∠4∴AE=AC∴例5.（2022秋·北京·八年級(jí)北京八十中?？计谥校┰谥校珼是邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)時(shí)，_____；(2)如圖2，當(dāng)平分時(shí)，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如圖3，平分，延長(zhǎng)到E．使得，連接，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)16【分析】（1）過(guò)A作于E，根據(jù)三角形面積公式求出即可；（2）過(guò)D作于E，于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，根據(jù)三角形面積公式求出即可；（3）根據(jù)已知和（1）（2）的結(jié)論求出和的面積，即可求出答案．【詳解】（1））過(guò)A作于E，∵點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，∴，∴故答案為：；（2）過(guò)D作于E，于F，∵為的角平分線，∴，∵，，∴；（3）∵，∴由（1）知：，∵，∴，∵，平分，∴由（2）知：，∴，∴，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積公式，能根據(jù)（1）（2）得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，點(diǎn)為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，若，那么的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】連接，過(guò)點(diǎn)I作于M，于N，利用角平分線的性質(zhì)，以及等積法求線段的長(zhǎng)度，即可得解．【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)I作于M，于N，∵點(diǎn)I為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，，∴，∵，，∴，∵，∴，即：，∴，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，等積法求線段長(zhǎng)度．熟練掌握角平分線的性質(zhì)，利用等積法求線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·山西大同·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，的三邊、、長(zhǎng)分別是30、40、50，和的角平分線交于O，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)O分別作，，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OD=OE=OF，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：過(guò)O分別作，，，BO是平分線，，CO是平分線，，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是本題的關(guān)鍵．3．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交、于點(diǎn)和，再分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．是的平分線B．C．點(diǎn)在線段的垂直平分線上D．【答案】D【分析】由作圖可得：平分可判斷A，再求解可得可判斷B，再證明可判斷C，過(guò)作于再證明再利用，可判斷D從而可得答案．【詳解】解：由作圖可得：平分故A不符合題意；故B不符合題意；在的垂直平分線上，故C不符合題意；過(guò)作于平分故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·廣東八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作交AB于M，交AC于N，若，則線段MN的長(zhǎng)為A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由、的平分線相交于點(diǎn)E，，，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等量代換可，，然后即可求得結(jié)論．【詳解】解：、的平分線相交于點(diǎn)E，，，，，，，，，，，即．，，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解與掌握此題關(guān)鍵是證明是等腰三角形．5．（2023春·山東日照·八年級(jí)日照港中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC=3，AB=5，則線段DE的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，由∠ACB=90°，CD⊥AB，AF平分∠CAB，可得∠CAF=∠FAD，從而得到CE=CF，再由角平分線的性質(zhì)定理，可得FC=FG，再證得，可得，然后設(shè)，則，再由勾股定理可得，然后利用三角形的面積求出，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵，∴，∴，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，，設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴，∵，∴，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·遼寧鞍山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，以點(diǎn)為圓心，小于長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交，于，兩點(diǎn)，再分別以，為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)．若，則．

【答案】【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)基本作圖得到平分，由角平分線的定義可得的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，由作法得：平分，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線）．也考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．7．（2023秋·湖南益陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，是的角平分線，，相交于點(diǎn)于F，，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③若的周長(zhǎng)為m，，則④若，則其中正確的結(jié)論是（填寫序號(hào)）．【答案】①②④【分析】①利用三角形的內(nèi)角和以及角平分線平分角，求出的度數(shù)，進(jìn)行判斷；②在上截取，證明，得到，再證明，得到，進(jìn)而得到；③連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為：，利用角平分線的性質(zhì)，以及，進(jìn)行求解即可；④根據(jù)，得到，根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，根據(jù)，得到：，即可得到．【詳解】解：①∵，∴，∵，是的角平分線，∴，∴；故①正確；②如圖，在上截取，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴；故②正確；③連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為：，∵，是的角平分線，∴，∴；故③錯(cuò)誤；④如圖，由②知，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即：；故④正確；綜上，正確的是①②④；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，Rt△ABC的兩直角邊AB，BC長(zhǎng)分別為6，8，其三條角平分線交于點(diǎn)O，將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=．【答案】3：4：5【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝?AB?OE：?BC?OF：?AC?OD＝AB：BC：AC＝6：8：10=3：4：5．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，理解角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等是解答本題的關(guān)鍵.9．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，、分別是的一個(gè)內(nèi)角的平分線與一個(gè)外角的平分線，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)E、F．如果四邊形的周長(zhǎng)是16，，那么【答案】5【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，由平行線的性質(zhì)可得，，可推出，，等量代換可得，則答案可解．【詳解】∵、分別是內(nèi)角和外角平分線，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∵四邊形周長(zhǎng)是16，∴，，，，∵，∴，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，分別是，的平分線，過(guò)點(diǎn)D作，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】證明均為等腰三角形，得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，分別是，的平分線，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握遇到角平分線和平行線，常常會(huì)有等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，、分別為、上的點(diǎn)，，、的平分線分別交于點(diǎn)、，若，則的度數(shù)為．【答案】16°/16度【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)可得出∠B、∠C的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，，∵EG平分，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用等腰三角形及三角形外角的性質(zhì)求出12．（2023江蘇八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過(guò)頂點(diǎn)A的直線DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分線分別交DE于點(diǎn)E、D，若AC=9，AB=12，則DE的長(zhǎng)為．【答案】21【詳解】試題分析：由平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)推知∠E=∠ABE，則AB=AE．同理可得AD=AC，所以線段DE的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為線段AB、AC的和．解：∵DE∥BC，∴∠E=∠EBC.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠E=∠ABE，∴AB=AE.同理可得：AD=AC，∴DE=AD+AE=AB+AC=21.故答案為21.13．（2023天津市八年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的角平分線交AD于點(diǎn)E，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則DE＝cm．【答案】3【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出ADBC，進(jìn)而得出∠AEB=∠CBF，再利用角平分線的性質(zhì)得出∠ABF=∠CBF，進(jìn)而得出∠AEB=∠ABF，即可得出AE的長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】解：∵在平行四邊形ABCD中，∴ADBC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠ABC的角平分線交AD于點(diǎn)E，∴∠ABF=∠CBF，∴∠AEB=∠ABF，∴AB=AE，∵AB=4cm，AD=7cm，∴DE=3cm．故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，得出∠AEB=∠ABF是解題關(guān)鍵．14．（2023·貴州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖①，在中，和的平分線交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作交于交于（1）求證:是等腰三角形．（2）如圖①，猜想:線段與線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．（3）如圖②，若中的平分線與三角形外角的平分線交于，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)交于點(diǎn)這時(shí)圖中線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系又如何？直接寫出答案，不說(shuō)明理由．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而得出根據(jù)等角對(duì)等邊即可證出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而得出根據(jù)等角對(duì)等邊可得；同理證出從而證出結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而得出根據(jù)等角對(duì)等邊可得；同理證出從而證出結(jié)論．【詳解】（1）求證：平分是等腰三角形（2）猜想：理由如下：平分同理可得．（3），理由如下平分同理可得．【點(diǎn)睛】此題考查的是角平分線的定義、平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定，掌握角平分線的定義、平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解決此題的關(guān)鍵．15．（2023吉林八年級(jí)月考）已知如圖，△ABC中BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，OD∥AB，OE∥AC，若BC=10．求△ODE的周長(zhǎng)【答案】10【分析】△ODE的周長(zhǎng)=OD+DE+OE，可以先證明BD=OD，CE=OE，則OD+DE+OE=BC得出．【詳解】解：∵OD∥AB，∴∠ABO=∠BOD，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBD，∴∠OBD=∠BOD，∴BD=OD，則同理可得CE=OE，∴△ODE的周長(zhǎng)=OD+DE+OE=BD+DE+EC=10．故答案為10．【點(diǎn)睛】此題比較簡(jiǎn)單，考查的是角平分線的定義，平行線及等腰三角形的性質(zhì)．16．（2023湖北省黃岡市八年級(jí)月考）（1）如圖1，已知：在中，，平分，平分