專題08 角度中的動態(tài)模型（原卷版）

專題08角度中的動態(tài)模型角度的動態(tài)（旋轉(zhuǎn)）模型屬于七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內(nèi)容，對考生的綜合素養(yǎng)要求較高。絕大部分學(xué)生對角度旋轉(zhuǎn)問題信心不足，原因就是很多角度旋轉(zhuǎn)問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等結(jié)合得很緊密，思考性強，難度大。本專題重點研究與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)模型（求值模型；定值模型；探究模型；分類討論模型）?！局R儲備】1、角度旋轉(zhuǎn)模型解題步驟：①找——根據(jù)題意找到目標角度；②表——表示出目標角度：1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標角=起始角+速度×?xí)r間；2）角度一邊動另一邊不動，角度變?。耗繕私?起始角—速度×?xí)r間；3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大。變小：目標角=起始角—速度×?xí)r間；變大：目標角=速度×?xí)r間—起始角③列——根據(jù)題意列方程求解。注：①注意題中是否確定旋轉(zhuǎn)方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②注意旋轉(zhuǎn)角度取值范圍。2、常見的三角板旋轉(zhuǎn)模型：三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉(zhuǎn)中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度?？傊还苓@個角如何旋轉(zhuǎn)，它的角度大小是不變的，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就是組成角的兩條射線旋轉(zhuǎn)的度數(shù)（角平分線也旋轉(zhuǎn)了同樣的度數(shù)）。抓住這些等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，三角板只是把具體的度數(shù)隱藏了起來。模型1、旋轉(zhuǎn)中的求值模型例1．（2022·江蘇·七年級期中）已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①當(dāng)α=0°時，如圖1，則∠POQ=；②當(dāng)α=80°時，如圖2，求∠POQ的度數(shù)；③當(dāng)α=130°時，如圖3，請先補全圖形，然后求出∠POQ的度數(shù)；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，則∠POQ=，（請用含m、n的代數(shù)式表示）．例2．（2023·湖南株洲·七年級期末）點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角三角板的直角頂點放在點處．(1)如圖1，當(dāng)三角板的一邊與射線重合時，則________；(2)如圖2，將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時是的平分線，求和的度數(shù)；(3)將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至圖3所示的位置時，，求的度數(shù)．模型2、旋轉(zhuǎn)中的定值模型例1．（2022·江蘇南京·七年級期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點O，且∠AOC＝∠AOD，射線OM從OB開始繞O點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時從OD開始繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為12°/s，運動時間為t秒（0＜t＜12，本題出現(xiàn)的角均小于平角）（1）圖中一定有個直角；當(dāng)t＝2時，∠MON的度數(shù)為，∠BON的度數(shù)為；（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，當(dāng)∠EOF為直角時，請求出t的值；（3）當(dāng)射線OM在∠COB內(nèi)部，且是定值時，求t的取值范圍，并求出這個定值．例2．（2022秋·河南南陽·七年級?？计谀⒁桓比浅呷鐖D①擺放，，，現(xiàn)將繞點C以/秒的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為秒．(1)如圖②，當(dāng)______時，恰好平分；(2)如圖③，當(dāng)______時，恰好平分；(3)如圖④，當(dāng)______時，恰好平分；(4)繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖⑤的位置，平分，平分，求的度數(shù)；(5)若旋轉(zhuǎn)到如圖⑥的位置，（4）中結(jié)論是否發(fā)生變化？請說明理由．

模型3、旋轉(zhuǎn)中的探究類模型（判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系）例1．（2023秋·江蘇泰州·七年級?？计谀┮阎?，平分．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)將繞頂點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至如圖②的位置，和有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(3)將繞頂點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至如圖③的位置，（2）中的關(guān)系是否成立？請說明理由．例2．（2023·四川資陽·七年級期末）如圖-1，點O為直線上一點，過點O作射線，使，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一直角邊在射線上，另一邊在直線的下方．(1)如圖-2，將圖-1中的三角形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使一邊在的內(nèi)部，且恰好平分，此時直線是否平分？請說明理由；(2)如圖-3，繼續(xù)將圖-2中三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使得在的內(nèi)部，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)將圖-1中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，若直線恰好平分，此時三角板繞點O旋轉(zhuǎn)的時間是多少秒？模型4、旋轉(zhuǎn)中的分類討論模型例1.（2022?廣東七年級期末）如圖（1），∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內(nèi)部，，．（本題所涉及的角都是小于180°的角）(1)如圖（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①當(dāng)，時，______，______，______；②______（用含有或的代數(shù)式表示）．(2)如圖（3），P為∠AOB內(nèi)任意一點，直線PQ過點O，點Q在∠AOB外部：①當(dāng)OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為______；②當(dāng)OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為______；（∠MON的度數(shù)用含有或的代數(shù)式表示）(3)如圖（4），當(dāng)，時，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點O開始逆時針旋轉(zhuǎn)一周，同時射線OQ從OB處以相同的速度繞點O逆時針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時，∠MON的度數(shù)是40°？例2．（2022·成都市七年級階段練習(xí)）定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角，如圖1，若，則是的內(nèi)半角．（1）如圖1，已知，，是的內(nèi)半角，則________；（2）如圖2，已知，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度得，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度為何值時，是的內(nèi)半角；（3）已知，把一塊含有角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點以3度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖4），問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線，，，能否構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請求出旋轉(zhuǎn)的時間；若不能，請說明理由．

課后專項訓(xùn)練1．（2023·廣東·七年級專題練習(xí)）一副三角板與如圖擺放，且，，，平分，平分．當(dāng)三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)（從圖到圖）．設(shè)圖、圖中的的度數(shù)分別為，，度．

2．（2023秋·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，射線在平面內(nèi)．(1)若與互補，則_____；(2)射線繞點從射線的反向延長線的位置出發(fā)，順時針旋轉(zhuǎn)角，平分．①若，則的度數(shù)為______；②是否存在的值，使得與互余，若存在，求出；若不存在，請說明理由．3．（2022秋·江蘇·七年級期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠AOC＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，則∠AOC＝∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．【解決問題】(1)在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD（填“是”或“不是”）射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；(2)如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，射線OB先從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒1°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)；10秒后射線OC也從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA的延長線重合時，運動停止．問：當(dāng)射線OC運動時間為多少秒時，射線OA，OB，OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？4．（2023春·江蘇無錫·八年級期中）已知如圖1，∠AOB=40°(1)若∠AOC=∠BOC，則∠BOC=;(2)如圖2，∠AOC=20°，OM為∠AOB內(nèi)部的一條射線，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；(3)如圖3，∠AOC=20°，射線OM繞著O點從OB開始以5度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周至OB結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)運動的時間為t，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，當(dāng)t在某個范圍內(nèi)4∠AON+∠BOM會為定值，請直接寫出定值，并指出對應(yīng)t的范圍（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）．5．（2023·江蘇蘇州·七年級?？计谀┒x：從一個角的頂點出發(fā)把這個角分成的兩個角的射線叫做這個角的一條三等分線．例如，如圖①，，則是的一條三等分線．顯然，一個角的三等分線有兩條．(1)如圖②，已知，、是的兩條三等分線，則的度數(shù)為；(2)在（1）的條件下，若以點為旋轉(zhuǎn)中心將射線順時針旋轉(zhuǎn)得到射線．①當(dāng)恰好為的三等分線時，求的值；②在旋轉(zhuǎn)過程中，若，求的取值范圍．6．（2022秋·江蘇淮安·七年級?？计谀拘赂拍睢咳鐖D1，為內(nèi)一條射線，當(dāng)滿足時，我們把射線叫做射線、的m等個性線，記作．（其中m為正整數(shù)）【實際應(yīng)用】已知：O為直線上一點，過O點作射線．(1)如圖2，將一個三角板（含、）直角頂點D放在O處，另兩條邊分別為，，當(dāng)是時，___________．（填“是”或“不是”）．(2)如圖3，將三角板的頂點E放在O處，那么當(dāng)是時，是否也是？請先猜想結(jié)果，再說明理由．(3)將圖3中的射線繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖4，此時存在正整數(shù)m使是的同時，也是，則___________，___________．7．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖①，直線?相交于點O，射線，垂足為點O，過點O作射線使．（1）將圖①中的直線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖②，在的內(nèi)部，當(dāng)平分時，是否平分，請說明理由；（2）將圖①中的直線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖③，在的內(nèi)部，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若，將圖①中的直線繞點O按每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)度度（），設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，當(dāng)與互余時，求t的值．8．（2022·江蘇鹽城·七年級期末）【閱讀理解】如圖1，一套三角板如圖拼在一起，我們將三角板COD繞點O以每秒15°的速度順時針旋轉(zhuǎn)180°．【解決問題】（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（2）當(dāng)運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由．（3）運動過程中，如圖2，形成的三個角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，當(dāng)其中一個角的度數(shù)是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”．①第（2）問中旋轉(zhuǎn)后的射線OC是“優(yōu)線”嗎？為什么？②在整個旋轉(zhuǎn)過程中，若旋轉(zhuǎn)時間記為t秒，當(dāng)射線OC是“優(yōu)線”時，請直接寫出所有滿足條件的t值．9．（2022·江蘇連云港·七年級期末）【問題提出】七年級上冊《數(shù)學(xué)實驗手冊》中有“三角尺拼角”的問題．(1)①填空：如圖（1），用副三角板可以直接畫出大于小于的角，它們是：，，，，，，，，______，，．②如果用兩副三角板能畫出嗎？________．（填“能”或“不能”）(2)【問題探究】如圖（2），現(xiàn)有、角的兩種模板，，，請設(shè)計一種方案，只用給出的模板和鉛筆畫出角．小明想出了一個方案，利用角模板畫出角．動手操作：如圖（3），M、O、N三點在一條直線上，的頂點A與點O重合，邊與射線重合，如圖所示，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，再將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，…，如此連續(xù)操作52次．再利用兩個平角等于一個周角，可得的角，即：．請聰明的你設(shè)計一個方案，利用角模板畫出角，并說明理由．(3)【問題拓展】現(xiàn)將【問題探究】中兩種模板按照如圖（4）所示放置，即M、O、N三點在一條直線上，與的頂點A、D都與點O重合，、邊與射線重合．動手操作：將繞點O以每秒的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，同時也繞點O以每秒的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)一方先完成旋轉(zhuǎn)一周時，另一方隨之停止轉(zhuǎn)動．．設(shè)運動時間為t（秒）．①當(dāng)t為何值時，？②請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，與的數(shù)量關(guān)系（數(shù)量關(guān)系中不能含t）．10．（2022·安徽亳州·七年級期末）如圖（）所示，將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．(1)若，則________°；若∠ACB=130°，則_________°．(2)如圖（b）所示，若兩個同樣的三角板，將銳角的頂點A疊放在一起，則與有何數(shù)量關(guān)系，請說明理由．(3)如圖（c）所示，已知，（，都是銳角）．若把它們的頂點O疊放在一起，則與有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．11．（2022·江蘇淮安·七年級期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠AOC＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，則∠AOC＝∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．【解決問題】(1)在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD（填“是”或“不是”）射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；(2)如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，射線OB先從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒1°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)；10秒后射線OC也從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA的延長線重合時，運動停止．問：當(dāng)射線OC運動時間為多少秒時，射線OA，OB，OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？12．（2022·江蘇無錫·七年級期末）類比角平分線的概念，如果一條射線把一個角分成1：2兩部分，則稱這條射線為這個角的一條三等分線，(1)如圖，已知，是的一條三等分線，．且，求的度數(shù)；(2)如圖，，是的一條三等分線（），是的角平分線，是的角平分線．若以每秒5的速度繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)t為何值時，射線恰好是的一條三等分線．13．（2022·揚州市七年級期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠BOC=120°．將一塊直角三角板的直角頂點放在點O處，邊OM與射線OB重合，另一邊ON位于直線AB的下方．（1）將圖1的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，問：此時ON所在直線是否平分∠AOC？請說明理由；（2）將圖1中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，在旋轉(zhuǎn)的過程中，ON所在直線或OM所在直線何時會恰好平分∠AOC？請求所有滿足條件的t值；（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使邊ON在∠AOC的內(nèi)部，試探索在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOM和∠CON的差是否會發(fā)生變化？若不變，請求出這個定值；若變化，請求出變化范圍．14．（2022·宿遷市初一期末）如圖，以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC=70°，將一個直角三角形的直角頂點放在點O處．（注：∠DOE=90°）(1)如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE=°；(2)如圖②，將直角三角板DOE繞點O逆時針方向轉(zhuǎn)動到某個位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度數(shù)；(3)如圖③，將直角三角板DOE繞點O轉(zhuǎn)動，如果OD始終在∠BOC的內(nèi)部，試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．15．（2022秋·江蘇宿遷·七年級?？计谀靖惺苄轮咳鐖D1，射線OC在∠AOB在內(nèi)部，圖中共有3個角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的三倍，則稱射線OC是∠AOB的“和諧線”．[注：本題研究的角都是小于平角的角．]（1）一個角的角平分線_______這個角的“和諧線”．（填是或不是）（2）如圖1，∠AOB=60°，射線OC是∠AOB的“和諧線”，求∠AOC的度數(shù)．【運用新知】（3）如圖2，若∠AOB＝90°，射線OM從射線OA的位置開始，繞點O按逆時針方向以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)，同時射線ON從射線OB的位置開始，繞點O按順時針方向以每秒7.5°的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線回到出發(fā)位置的時候，整個運動隨之停止，旋轉(zhuǎn)的時間為t（s），問：當(dāng)射線OM、ON旋轉(zhuǎn)到一條直線上時，求t的值．【解決問題】（4）在（3）的條件下，請直接寫出當(dāng)射線ON是∠BOM的“和諧線”時t的值．16．（2022秋·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）類比角平分線的概念，如果一條射線把一個角分成1：2兩部分，則稱這條射線為這個角的一條三等分線，(1)如圖，已知，是的一條三等分線，．且，求的度數(shù)；(2)如圖，，是的一條三等分線（），是的角平分線，是的角平分線．若以每秒5的速度繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)t為何值時，射線恰好是的一條三等分線．17．（2022·湖北武漢·七年級校聯(lián)考期末）已知，如圖1，OB、OC分別為定角（大小不會發(fā)生改變）∠AOD內(nèi)部的兩條動射線，∠AOC與∠BOD互補，∠AOB+∠COD＝50°（1）求∠AOD的度數(shù)；（2）如圖2，射線OM、ON分別為∠AOB、∠COD的平分線，當(dāng)∠COB繞著點O旋轉(zhuǎn)時，下列結(jié)論：①∠AON的度數(shù)不變；②∠MON的度數(shù)不變．其中只有一個是正確的，請你做出正確的選擇并求值．（3）如圖3，OE、OF是∠AOD外部的兩條射線，且∠EOB＝∠COF＝110°，OP平分∠EOD，