專題08相似三角形的存在性 （含2024年一模）（解析版）

專題08相似三角形的存在性相似三角形存在性問(wèn)題，分類討論步驟：第一步：找到題目中已知三角形和待求三角形中相等的角；要先確定已知三角形是否有直角，或確定銳角（借助三角函數(shù)值-初中階段衡量角度問(wèn)題的計(jì)算手段，二次函數(shù)角的存在性壓軸專題應(yīng)用更為突出）①若有已知的相等角，則其頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)；②若沒(méi)有相等的角，則讓不確定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：確定相似后，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求解動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)：①若已知三角形各邊已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來(lái)推導(dǎo)邊的大??；②若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來(lái)表示各邊的長(zhǎng)度，之后用相似來(lái)列方程求解。易錯(cuò)點(diǎn)一：二次函數(shù)中相似三角形的存在性1．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）綜合實(shí)踐九年級(jí)第一學(xué)期教材第2頁(yè)結(jié)合教材圖形給出新定義對(duì)于下圖中的三個(gè)四邊形，通?？梢哉f(shuō)，縮小四邊形，得到四邊形；放大四邊形，得到四邊形．

圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運(yùn)動(dòng)．將一個(gè)圖形放大或縮小后，就得到與它形狀相同的圖形．圖中，四邊形和四邊形都與四邊形形狀相同．我們把形狀相同的兩個(gè)圖形說(shuō)成是相似的圖形，或者就說(shuō)是相似形．如圖，對(duì)于兩個(gè)多邊形，如果它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)與對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所連線段成比例，那么這兩個(gè)多邊形就是位似多邊形，這個(gè)點(diǎn)就是位似中心．(1)填空：在上圖中位似中心是點(diǎn)________；________多邊形是特殊的________多邊形．（填“位似”或“相似”）(2)在平面直角坐標(biāo)系中（如下圖），二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是此函數(shù)圖像上一點(diǎn)（點(diǎn)A、B均不與點(diǎn)O重合），已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，以點(diǎn)O為位似中心，相似比為，將縮小，得到它的位似．

①畫出，并求經(jīng)過(guò)O、、三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；②直線與二次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)M，與①中的拋物線交于點(diǎn)N，請(qǐng)判斷和是否為位似三角形，并根據(jù)新定義說(shuō)明理由．【答案】(1)P；位似；相似(2)①圖形見解析；；②和為位似三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)位似圖形的定義，即可求解；（2）①根據(jù)位似圖形的定義，畫出圖形，再求出、的坐標(biāo)，即可求解；②過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)N作軸于點(diǎn)C，聯(lián)立求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，可得，從而得到，進(jìn)而得到，再由點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，可得，然后根據(jù)新定義，即可求解．【詳解】（1）解：在上圖中位似中心是點(diǎn)P；位似多邊形是特殊的相似多邊形．故答案為：P；位似；相似（2）解：①如圖，即為所求；

令，則，解得：或0，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，解得：或0，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∵以點(diǎn)O為位似中心，相似比為，將縮小，得到它的位似，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)經(jīng)過(guò)O、、三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為，把點(diǎn)，，代入得：，解得：，∴經(jīng)過(guò)O、、三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為，②和為位似三角形，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)N作軸于點(diǎn)C，

聯(lián)立得：，解得：或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴，，，同理點(diǎn)N的坐標(biāo)為，∴，，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，∴，∴和為位似三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，理解新定義，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：對(duì)于拋物線（、、是常數(shù)，），若，則稱該拋物線是黃金拋物線，已知平面直角坐標(biāo)系，拋物線是黃金拋物線，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求此黃金拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在這個(gè)黃金拋物線上．①點(diǎn)在這個(gè)黃金拋物線的對(duì)稱軸上，求的正弦值．②在射線上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、所組成的三角形與相似，且相似比不為1．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)①，②存在，【分析】（1）根據(jù)黃金拋物線的定義，列出方程求出值，進(jìn)而求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）①將點(diǎn)代入解析式，求出的值，求出對(duì)稱軸，得到的值，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理逆定理，得到，利用正弦的定義，求解即可；②分和，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：拋物線是黃金拋物線，，所求拋物線的表達(dá)式為，配方得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）①由（1）得：拋物線的對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在這個(gè)黃金拋物線上，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，．②存在過(guò)點(diǎn)作，垂足為拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，，

，

，要使以點(diǎn)、、所組成的三角形與相似，有兩種情況第一種：，又，，∴與全等，相似比為1，不合題意，舍去；第二種：，∵，，，，，，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．3．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是，；

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)D是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以D、C、B為頂點(diǎn)的三角形與相似，求出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正切函數(shù)，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案；（3）根據(jù)兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得關(guān)于y的方程，根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】（1）解：∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為，又∵，∴，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式是；（2）解：∵，∴，∵點(diǎn)P在x軸上方，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，∴，得（舍去）或，當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）解：如圖，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵，，∴，∴為的銳角三角形，∴也是銳角三角形，∴點(diǎn)D在點(diǎn)C的上方，∴，∴，∵，，，①如果，則，∴，即點(diǎn)，②如果則，∴，即點(diǎn)．綜上分析可知：符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式；利用正切函數(shù)得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，又利用圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式得出P點(diǎn)坐標(biāo)；利用兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似得出關(guān)于y的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．4．（2024上·上海靜安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知點(diǎn)、、、在同一個(gè)二次函數(shù)的圖像上．

(1)請(qǐng)從中選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)坐標(biāo)，求二次函數(shù)解析式；(2)如果射線平分，交軸于點(diǎn)，①現(xiàn)將拋物線沿對(duì)稱軸向下平移，頂點(diǎn)落在線段的點(diǎn)處，求此時(shí)拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；②如果點(diǎn)在射線上，當(dāng)與相似時(shí)，請(qǐng)求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①

②，【分析】（1）把解析式設(shè)為交點(diǎn)式，再把代入解析式中求解即可；（2）①過(guò)點(diǎn)E作于H，由角平分線的性質(zhì)得到．利用勾股定理求出，進(jìn)而利用等面積法求出，則，求出直線解析式為，再求出對(duì)稱軸為直線，由此即可求出；②先求出，設(shè)，則，，分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩種情況根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)解析式為，把代入中得：，解得，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：①過(guò)點(diǎn)E作于H，∵射線平分，，∴，∵、，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，∵二次函數(shù)解析式為，∴對(duì)稱軸為直線，在中，當(dāng)時(shí)，，∴；

②∵，∴，設(shè)，∴，，當(dāng)時(shí)，則，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴；當(dāng)時(shí)，則，∴，∴，解得或（舍去），；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何綜合等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．5．（2024上·上海崇明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在直角坐標(biāo)平面中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)．

備用圖(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接，將拋物線向下平移個(gè)單位后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，過(guò)B、E兩點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)F．①如果，求的值；②如果與相似，求m的值．【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出拋物線對(duì)稱軸為直線，則，進(jìn)而得到；求出直線的解析式為，同理可得直線的解析式為，進(jìn)而求出；利用勾股定理求出，，，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，則；②時(shí)，則此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，則與重合，可得；當(dāng)時(shí)，則，如圖所示，設(shè)直線交x軸于G，則，推出，得到，如圖所示，取點(diǎn)，則，，，證明是等腰直角三角形，得到，則點(diǎn)F在直線上，同理可得直線的解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，，則，即可得到；綜上所述，或．【詳解】（1）解：把代入中，得：，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：①∵拋物線解析式為，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，∵點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，∴，∵將拋物線向下平移個(gè)單位后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，且，∴；設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，同理可得直線的解析式為，聯(lián)立，解得，∴；∴，，，∴，∴是直角三角形，且，∴；②當(dāng)時(shí)，則此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，則與重合，∴；當(dāng)時(shí)，則，如圖所示，設(shè)直線交x軸于G，則，∴，∴，∴，如圖所示，取點(diǎn)，則，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴點(diǎn)F在直線上，同理可得直線的解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)，求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，一次函數(shù)與幾何綜合，坐標(biāo)與圖形變化—平移，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，通過(guò)利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明直角三角形是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)點(diǎn)二：幾何圖形中相似三角形的存在性1．（2022·上海寶山·統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為的圓中，、都是圓的半徑，且，點(diǎn)是劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，求的大?。?2)如果設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，射線與射線交于點(diǎn)，如果以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值．【答案】(1)(2)關(guān)于的函數(shù)解析式為，定義域?yàn)?3)【分析】（1）利用直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明是等邊三角形，得出，即可求出；（2）連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理得出，，再證明∽，得出，即可得出，由點(diǎn)是劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，得出，即可求出定義域；（3）當(dāng)時(shí)，由可知，，進(jìn)而得出，，，由∽，可證明∽，得出，可得，得出，由相似三角形的性質(zhì)得出．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵點(diǎn)為線段中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；（2）解：如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴∽，∴，∵，OD＝y(tǒng)＋3，，∴，∵點(diǎn)是劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，∴，∵，∴，∴y關(guān)于的函數(shù)解析式為，定義域?yàn)?；?）解：如圖，當(dāng)時(shí)，由可知，，∵，，，，，∵∽，，∵，∴，，∴∽，∴，∴，∴，∴，∵∽，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合應(yīng)用，掌握等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）如圖1，點(diǎn)D為內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，以為鄰邊作平行四邊形，與邊交于點(diǎn)F，．(1)求證：；(2)延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)G，如果，且的面積與平行四邊形面積相等，求的值；(3)如圖2，聯(lián)結(jié)，若平分，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)2(3)【分析】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)推導(dǎo)出，即可證明；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，由題意可得，，再由（1）可得，從而得到是等腰三角形，H是的中點(diǎn)，由，可得，則，即可求；（3）延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義，可得，則，再由，可知N是的中點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，求出，證明，則有，可求，再求，由此即可求出．【詳解】（1）解：證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，∵的面積與平行四邊形面積相等，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴H是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴N是的中點(diǎn)，∵，∴M是的中點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，已知線段AB＝4，以AB為直徑作半圓，過(guò)圓心O作AB的垂線OQ交半圓于點(diǎn)E，P是上的點(diǎn)，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交OQ于點(diǎn)C，連結(jié)PB交OQ于點(diǎn)F．(1)我們知道∠APB＝90°，證明方法如下：聯(lián)結(jié)OP，∵OA＝OP，∴∠PAO＝∠APO，∵OB＝OP，∴∠OPB＝∠OBP．在△APB中，∠PAO＋∠APO＋∠OPB＋∠OBP＝180°，∴∠APO＋∠OPB＝90°，即∠APB＝90°請(qǐng)?jiān)儆靡环N其他方法證明∠APB＝90°．(2)如圖2，以PB，PC為鄰邊作，當(dāng)CD與⊙O相切時(shí)，求PC的長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)M為AC上的點(diǎn)，且．當(dāng)△MFP與△ABP相似時(shí)，求的值．【答案】(1)見解析；(2)；(3)或或【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AP于點(diǎn)N，由垂徑定理得點(diǎn)N為AP的中點(diǎn)，則ON是△ABP的中位線，結(jié)論得證；（2）設(shè)CD切⊙O于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)OH交BP于點(diǎn)G，證明四邊形CPGH是矩形，設(shè)GH＝PC＝x，則OG＝2－x，證明△AOC∽△APB，得到，，解方程后檢驗(yàn)即得PC的長(zhǎng)；（3）分點(diǎn)P在線段CM上和點(diǎn)P在線段AM上兩種情況進(jìn)行分類討論即可求解．【詳解】（1）證明：如圖4，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AP于點(diǎn)N，∵ON⊥AP∴∠ANO＝90°，AN＝PN∴點(diǎn)N為AP的中點(diǎn)∵AO＝BO∴點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)∴ON是△ABP的中位線∴ONBP∴∠APB＝∠ANO＝90°（2）解：如圖5，設(shè)CD切⊙O于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)OH交BP于點(diǎn)G，∵CD切⊙O于點(diǎn)H∴∠CHO＝90°∵四邊形是平行四邊形∴PBCD∴∠PGH＝180°－∠CHO＝90°，∠PGO＝∠CHO＝90°，∠PCH＝∠APB＝90°,∴∠CHO＝∠PGH＝∠PCH＝90°，PG＝GB，∴四邊形CPGH是矩形∴GH＝CP，設(shè)GH＝PC＝x，則OG＝2－x，∵OA＝OB∴AP＝2OG＝4－2x∴AC＝AP＋PC＝4－x∵∠CAO＝∠PAB，∠APB＝∠AOC＝90°∴△AOC∽△APB∴∴∴解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，∵OG＝2－x＞0，∴x＜2∴∴PC＝（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在線段CM上時(shí)，當(dāng)∠PMF＝∠ABP時(shí)，△MFP∽△BAP，如圖6所示，∵△AOC∽△APB，∴∠ABP＝∠ACO∴∠PMF＝∠ACO∴MF＝CF∵∠APB＝90°∴PC＝PM＝CM，∵∴PM＝AM＝CP∴＝當(dāng)∠PFM＝∠ABP時(shí)，△MFP∽△ABP，如圖7所示，∴MFAB∴設(shè)OF＝m，則OC＝3m，∵∠AOC＝∠FOB＝90°，∠ACO＝∠OBF∴△AOC∽△FOB，∴∴OFOC＝2×2＝4∴3m2＝4∴m＝∴OF＝，OC＝，∴AC＝∴AM＝，CM＝，CF＝∵∠PCF＝∠OCA，∠CPF＝∠COA＝90°，∴△CPF∽△COA

∴∴CP＝∴AP＝AC－CP＝2∴＝當(dāng)點(diǎn)P在線段AM上時(shí)，若∠PFM＝∠ABP，△MFP∽△ABP，聯(lián)結(jié)OP，如圖8，∴∠OPB＝∠OBP＝∠PFM∴OPMF設(shè)MP＝m，AP＝n，則CM＝2（m＋n），PC＝3m＋2n，AC＝3m＋3n∵OPMF∴△CMF∽△CPO∴∴∵△MFP∽△ABP，∴∴∴∴∴∴∵∴∴當(dāng)∠MFP＝∠A時(shí)，∵∠PFC＝∠A∴∠MFP＝∠PFC∴點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，此種情況不成立，綜上，的值為或或．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)定理、垂徑定理、三角形的中位線定理、分式方程、一元二次方程、勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，分類討論是解決此題的關(guān)鍵．4．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，．點(diǎn)D是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），聯(lián)結(jié)，過(guò)點(diǎn)C作，分別交、于點(diǎn)E、F．(1)當(dāng)時(shí)，求的正切值；(2)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的定義域；(3)聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)，與邊的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，若與相似，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等分析可得，然后根據(jù)正切的概念求解；（2）過(guò)點(diǎn)F作，，然后結(jié)合角的正切值及三角形的面積比分析求解；（3）分情況討論，通過(guò)證明和利用點(diǎn)四點(diǎn)共圓以及相似三角形的性質(zhì)分析求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴；（2）過(guò)點(diǎn)F作，，∵，，∴，∴，∴，設(shè)的邊上的高為，則的邊上的高為，∴，又∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，即；（3）如圖：①當(dāng)時(shí)，,又∵，∴，∴，∴點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且為直徑，又∵，∴，，在中，，∴，即．②當(dāng)時(shí)，，又∵，∴，過(guò)點(diǎn)F作，∴，∵，，∴，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，綜上，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查余角的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)，理解正切的概念，掌握相似三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確添加輔助線是解題關(guān)鍵．5．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二模）如圖1，在△ABC中，，以點(diǎn)A為圓心、AC為半徑的⊙A交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊BC上，滿足，過(guò)點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)G．

(1)求證：；(2)延長(zhǎng)EF與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，如圖2所示，求的值；(3)以點(diǎn)B為圓心、BE為半徑作⊙B，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷⊙A與⊙B的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析(2)2(3)外切，理由見解析【分析】（1）有等腰三角形的性質(zhì)得到，再由余角定義解得，然后根據(jù)AA即可證得；（2）有同角的余角相等得到，由等量代換得到，繼而證得，再代入線段的比值計(jì)算即可；（3）在CD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)N，使得，根據(jù)全等三角形的判定方法證得，繼而得到，再求得BE的長(zhǎng)，最后由⊙A與⊙B的半徑之和等于兩圓的圓心距證明即可【詳解】（1）解：（1）由題意可得：，∴．又且．∴，故有．又∴．（2）在Rt△MCG中，，又∵．∴．∵∴．故有．又，∴（3）如圖，在CD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)N，使得，則，又，故，∴，從而有．在△BCN與△CME中，．故則，∵，

∴，故，，則從而．此時(shí)有即⊙A與⊙B的半徑之和等于兩圓的圓心距，∴⊙A與⊙B外切．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．6．（2023·上海·一模）如圖，在中，，是邊上的中線，，，點(diǎn)Q是延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．

(1)當(dāng)點(diǎn)B為的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)過(guò)點(diǎn)B作交于F，當(dāng)和相似時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，x的取值范圍為；(3)的長(zhǎng)為4或．【分析】（1）利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求得的長(zhǎng)度，即可求出的長(zhǎng)；（2）由，求得的長(zhǎng)度，從而由求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再寫出x的取值范圍即可；（3）分兩種情況討論：①，利用相似三角形的性質(zhì)，求得的長(zhǎng)度，再證明，得到，即可求出的長(zhǎng)度；②，利用相似三角形的性質(zhì)，求得的長(zhǎng)度，得到，進(jìn)而證明，得到，設(shè)，由（2）可知，，列方程求解即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：，，，，是邊上的中線，，，，，，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，，，；（2）解：，，設(shè)，，，，，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，x的取值范圍為；（3）解：①如圖，若，則，

，，，，，，，，，，，；②如圖，若，則，，

，，，，，設(shè)，由（2）可知，，，化簡(jiǎn)得：，解得：，（舍），，綜上可知，的長(zhǎng)為4或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，求二次函數(shù)關(guān)系式，勾股定理等知識(shí)，正確運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵，注意分類討論．7．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）梯形中，，于點(diǎn)，，，以為直徑，以為直徑，直線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)（如圖），設(shè)．(1)記兩圓交點(diǎn)為、（在上方），當(dāng)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)與線段交于、時(shí)，設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)連接，線段與交于點(diǎn)，分別連接、，若與相似，求的值．【答案】(1)1+(2)=-(x+3)2+64（1≤x＜2）(3)6-【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，連接O1E，O2E，由題意得垂直平分EF，，通過(guò)解直角三角形可得AG=8，BG=6，再由，，，AG⊥BC得四邊形ADCG和四邊形ADO2I是矩形，根據(jù)勾股定理求出O1N和O2H，進(jìn)而求AD；（2）過(guò)點(diǎn)O2作O2G⊥PQ于點(diǎn)G，勾股定理求O2G=，再由正切求得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）由∽，得=，由=，得MN=GN，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥MN，利用正切和勾股定理求出AM=2，再由相似的性質(zhì)和判定求出AM=（6-x），進(jìn)而得x．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，連接O1E，O2E由題意得垂直平分EF，又∴，∠EHO2=∠EHO1=90°，EH=EF=3又AG⊥BC，∴∠AGC=∠AGB=90°，∠DCG=90°∵∴∠AIO2=∠AIO1=90°，∠DO2I=∠O1O2C=∠ADO2=90°∴四邊形ADCG和四邊形ADO2I是矩形∴DC=AG，DA=CG=IO2，DO2=AI∵O2是DC的中點(diǎn)∴I是AG的中點(diǎn)∵O1是AB的中點(diǎn)∴O1I是△ABG的中位線∴O1I=BG∵，∴AG=8，BG=6∴O1I=BG=×6=3在Rt△O1HE和Rt△O2HE中O1H===4O2H===∴O1O2=O1H+O2H=4+∴AD=IO2=O1O2-O1I==4+-3=1+（2）解：由（1）可知，O1O2=AD+O1I=x+3過(guò)點(diǎn)O2作O2G⊥PQ于點(diǎn)G∴PG=PQ=y在Rt△O2PG中O2G===∵∴∠O2O1G=∠B又∴tan∠O2O1G=∴sin∠O2O1G=又O1O2=x+3∴=∴=-(x+3)2+64（1≤x＜2）（3）解：∵M(jìn)N=O2N+O1M-O1O2∴MN=4+5-（3+x）=6-x由∽，得=由=，得MN=GN=6-x∴∠GMN=∠MGN又O1A=O1M∴∠GMN=∠O1AM∴∠O1AM=∠MGN∴∠AMO1為公共角∴△AMO1∽△GMN∴△AMO1∽∴=∴AM=（6-x）∵∴又∴過(guò)點(diǎn)A作AH⊥MN又O1A=5∴O1H=3，AH=4∴HM=O1M-O1H=5-3=2在Rt△AHM中AM===2∴（6-x）=2解得x=6-【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)求值，中位線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，屬于中考中的壓軸題．8．（2022·上海浦東新·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知等腰中，是邊上的中位線，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)是底邊上一動(dòng)點(diǎn)，線段與線段交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．

(1)若，證明：，且；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，若以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與以為直徑的圓相切，求的長(zhǎng)；(3)若，且與相似，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)的長(zhǎng)為或(3)1【分析】（1）連接，可證明，從而得出，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）分為兩圓外切和內(nèi)切．由勾股定理可得，從而認(rèn)得出的值，結(jié)合以為直徑的圓的半徑，進(jìn)而求得結(jié)果；（3）可推出，故可能或，而不可能：作于，交于，交于，作的外接圓的圓心記作，作，連接，可求得的半徑的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)，從而與相離；當(dāng)時(shí)，結(jié)合（1），可求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：如圖，

連接，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，，，，，，，為中點(diǎn)，，，，，，又，，，，且；（2）解：如圖，

過(guò)A作于交于，當(dāng)以為半徑的圓與以為直徑的圓外切時(shí)，，，，是的中位線，，、是、的中位線，，以為直徑的半徑為，以為半徑的圓與以為直徑的圓外切，的半徑；如圖，

當(dāng)以為半徑的圓與以為直徑的圓內(nèi)切時(shí)，同理可得的半徑；綜上所述，的長(zhǎng)為或；（3）解：，，可能或，下面說(shuō)明：不可能，理由如下：如圖，

作于，交于，交于，作的外接圓的圓心記作，作，連接，，，，，，，由得，，，，，由得，，，，與相離，不可能，當(dāng)時(shí)，，，由知：，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，判斷直線和圓的位置關(guān)系．9．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，已知在中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），點(diǎn)為上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．

(1)如果點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，求的正切值；(2)當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式及的取值范圍；(3)聯(lián)結(jié)，如果與相似，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)的值為或或【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于．解直角三角形求出，即可解決問(wèn)題；（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)作，延長(zhǎng)交于，直線交于，交的延長(zhǎng)線于．根據(jù)全等三角形的平時(shí)和性質(zhì)證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即，可得結(jié)論；（3）利用相似三角形的性質(zhì)，可得或，由此構(gòu)建方程求出，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，同法可求．【詳解】（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)作于．∵，∴∵，，∴∴∴（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)作，延長(zhǎng)交于，直線交于，交的延長(zhǎng)線于．∵，∴∴，∵∴∴∵，∴∴∵∴∵，∴∵，∴∴∵，∴∴，∵∴∴∴∵∴∴．（3）如圖3中，連接，作于．∵，∴∵與相似∴與相似∴或∴或整理得，或解得，或（舍棄）或（舍棄）∴或當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，同法可得，綜上所述，滿足條件的的值為或或．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．1．（2023·上海寶山·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，將該拋物線位于軸上方的部分沿軸翻折，得到的新圖象記為“圖象”，“圖象”與軸交于點(diǎn)．(1)寫出“圖像U”對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式及定義域；(2)求的正切值；(3)點(diǎn)在軸正半軸上，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，交“圖象”于點(diǎn)，如果與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)3(3)，或，或，或，【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）由，求出，進(jìn)而求解；（3）因?yàn)?，故?dāng)與相似時(shí)，或，①當(dāng)時(shí)，設(shè)：，則，則且或，即可求解；②當(dāng)時(shí)，同理可解．【詳解】（1）解：由題意得：，則翻折后的函數(shù)表達(dá)式為：，即；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，即，解得：，則，則；（3）由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，在點(diǎn)，點(diǎn)或，則，或，如下圖，故當(dāng)與相似時(shí)，或，①當(dāng)時(shí)，即，在中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)：，則，則且或，解得：或（不合題意的值已舍去）；②當(dāng)時(shí)，則，同理可得：且或，解得：或（不合題意的值已舍去）；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或，或，或，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、解直角三角形等，分類求解是本題解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．(1)求二次函數(shù)的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)連接，試判斷與是否相似，并說(shuō)明理由；(3)將拋物線平移，使新拋物線的頂點(diǎn)E落在線段上，新拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F，連接，如果四邊形的面積為3，求新拋物線的解析式．【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；(2)，理由見解析(3)新拋物線的解析式為．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，利用配方法可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）利用勾股定理分別求得的三邊的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷是直角三角形，且，求得，即可證明；（3）設(shè)新拋物線的解析式為()，則頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為，分別用a表示出梯形的上底和下底的長(zhǎng)，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴，∵點(diǎn)、，∴，，，，，∵，∴，∴是直角三角形，且，∵，，∴；（3）解：∵，∴對(duì)稱軸為，設(shè)新拋物線的解析式為()，則頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，依題意得，解得，∴新拋物線的解析式為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移，相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．3．（2024·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖，是的直徑，點(diǎn)是圓上兩點(diǎn)，且平分交于．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）通過(guò)證明，判定；（2）連接，交于，結(jié)合垂徑定理和勾股定理求得，的長(zhǎng)，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)推理計(jì)算．【詳解】（1）證明：平分，，又，∴；（2）解：連接，交于，則，，，，，，由（1）知，，即，．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，理解垂徑定理和勾股定理，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2022下·上海普陀·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為B．點(diǎn)在拋物線上，直線BC交x軸于點(diǎn)E．(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)連接AB，求∠B的余切值；(3)點(diǎn)G為線段AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作CB的垂線交x軸于點(diǎn)M（位于點(diǎn)E右側(cè)），當(dāng)△CGM與△ABE相似時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)；E（2，0）(2)3(3)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）或（7，0）【分析】（1）由對(duì)稱軸可求得a的值，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得c的值，則可求得拋物線表達(dá)式，則可求得B、C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可求得AB、AC和BC的長(zhǎng)，可判定△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，利用三角形的定義可求得答案；（3）設(shè)M（x，0），當(dāng)∠GCM＝∠BAE時(shí)，可知△AMC為等腰直角三角形，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)∠CMG＝∠BAE時(shí)，可證得△MEC∽△MCA，利用相似三角形的性質(zhì)可求得x的值，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵拋物線對(duì)稱軸為x＝1，∴＝1，解得a＝，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得c＝，∴拋物線表達(dá)式為，∵∴B（1，?2），把C（5，m）代入拋物線解析式可得m＝，∴C（5，6），設(shè)直線BC解析式為y＝kx＋b，把B、C坐標(biāo)代入可得，解得∴直線BC解析式為y＝2x?4，令y＝2可得2x?4＝0，解得x＝2，∴E（2，0）；（2）∵A（?1，0），B（1，?2），C（5，6），∴AB＝，AC＝，BC＝，∴AB2＋AC2＝8＋72＝80＝BC2，∴△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，∴；（3）∵A（?1，0），B（1，?2），∴∠CAE＝∠BAE＝45°，∵GM⊥BC，∴∠CGM＋∠GCB＝∠GCB＋∠ABC＝90°，∴∠CGM＝∠ABC，∴當(dāng)△CGM與△ABE相似時(shí)有兩種情況，設(shè)M（x，0），則C（x，2x?4），①當(dāng)∠GCM＝∠BAE＝45°時(shí)，則∠AMC＝90°，∴MC＝AM，即2x?4＝x＋1，解得x＝5，∴M（5，0）；②當(dāng)∠GMC＝∠BAE＝∠MAC＝45°時(shí)，∵∠MEC＝∠AEB＝∠MCG，∴△MEC∽△MCA，∴，即，∴MC2＝（x?2）（x＋1），∵C（5，6），∴MC2＝（x?5）2＋62＝x2?10x＋61，∴（x?2）（x＋1）＝x2?10x＋61，解得x＝7，∴M（7，0）；綜上可知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）或（7，0）．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中注意利用對(duì)稱軸求得a的值是解題的關(guān)鍵，在（2）中證得△ABC為直角三角形是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況．5．（2023下·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知等腰和等腰有公共的頂點(diǎn)A，且，，，點(diǎn)E恰好落在邊上（與B、C不重合），連接．

(1)求證：；(2)若與相交于點(diǎn)F，求證：；(3)若，，且，請(qǐng)畫出符合條件的圖形，并求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)圖見解析，【分析】（1）先證明，再證明，從而可得結(jié)論；（2）先證明，，可得，則，從而可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意先畫圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，求解，結(jié)合，可得，，證明，在中，，再利用勾股定理可得答案．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，

∵，，∴，∵，且，∴，，∵，，∴，∴，，在中，，∵，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟悉基本圖形，熟練的運(yùn)用以上知識(shí)解題是關(guān)鍵．6．（2023上·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線：：經(jīng)過(guò)點(diǎn)在，，與y軸的交點(diǎn)為C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線為(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)A在的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，若相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求出的解析式為，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征“橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)”可得出的解析式為，即；（2）設(shè)，則，由題意可知，即可求出，．根據(jù)解析式可求出，即得出，．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，即，解得，或，，進(jìn)而即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將，代入，得：，解得：，∴拋物線：的解析式為．∵與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴的解析式為，即；（2）解：如圖，設(shè)，則，∵點(diǎn)A在的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，，∴，∴，．對(duì)于：，令，則，∴，∴，．∵，∴，即，∴或解得：，或，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)，即此時(shí)與點(diǎn)M重合，舍去；當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)．綜上可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的性質(zhì)，解含絕對(duì)值的一元二次方程等知識(shí)．正確求出與的解析式和利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．7．（2023上·四川瀘州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式；(2)在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使的周長(zhǎng)最小，求滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在y軸右側(cè)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)E，連接．若與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為：(2)(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或【分析】（1）將，代入拋物線可得，求出a，c的值即可；（2）由拋物線的性質(zhì)可得點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，待定系數(shù)法求出直線的解析式為，連接交對(duì)稱軸于M，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：，則的周長(zhǎng)，從而得到當(dāng)在同一直線上時(shí)，最小，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，由此即可求解；（3）設(shè)，則，，，分兩種情況：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)，分別建立方程，求解即可得出答案．【詳解】（1）將，代入拋物線可得：，解得：，拋物線的解析式為：；（2），拋物線的對(duì)稱軸為直線，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，設(shè)直線BC的解析式為，將，代入解析式得：，解得：，直線BC的解析式為：，如圖，連接BC交對(duì)稱軸于M，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：，的周長(zhǎng)，當(dāng)在同一直線上時(shí)，最小，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，在中，當(dāng)時(shí)，，，故答案為：；（3），，，，設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，，，整理得：或，解得：，（不符合題意，舍去）或，（不符合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)或；當(dāng)時(shí)，，，整理得：或，解得：，（不符合題意，舍去）或（不符合題意，舍去），（不符合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的綜合—周長(zhǎng)問(wèn)題、軸對(duì)稱的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．8．（2023上·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，將該直線向上平移，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，平移后所得直線與x軸交于點(diǎn)C．

(1)求的正切值；(2)如果四邊形是等腰梯形，求平移后的直線表達(dá)式；(3)如果與相似，求這時(shí)四邊形的面積．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先求出的坐標(biāo)，設(shè)向上平移個(gè)單位，得到直線的解析式，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)正切的定義，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平移，得到，進(jìn)而得到當(dāng)四邊形是等腰梯形時(shí)，，過(guò)點(diǎn)作軸，在中，利用勾股定理，求出的值，即可；（3）分和兩種情況進(jìn)行討論求解．【詳解】（1）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，設(shè)直線向上平移個(gè)單位，則點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，平移后直線的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴軸，，

∴；（2）如圖，

∵平移，∴，∴當(dāng)四邊形是等腰梯形時(shí)，，由（1）知：，，∴，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，在中，由勾股定理，得：，即：，解得：（不合題意，舍去）或；∴直線的解析式為：；（3）①當(dāng)時(shí)，如圖：

則：，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴軸，∵，∴，∴，，∴四邊形的面積為；當(dāng)時(shí)，如圖：

則：，，∴，由（1）知，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴四邊形的面積為；綜上：四邊形的面積為或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象的平移，解直角三角形，勾股定理，等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確的畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，屬于壓軸題．9．（2023上·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)A、C分別在x軸負(fù)半軸、y軸正半軸上，的長(zhǎng)分別是方程的兩個(gè)根，且．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線交軸于點(diǎn)F，在直線上截取，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使以D，E，P為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】(1）解方程的得到兩個(gè)解，即為AB、BC的長(zhǎng)，在根據(jù)坐標(biāo)的意義即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2）利用三角形全等求出所需線段的長(zhǎng)度，再在根據(jù)坐標(biāo)的意義即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式；(3）利用相似的性質(zhì)分兩種情況，得出PE、DE的長(zhǎng)度的比，進(jìn)而求出PE的長(zhǎng)度，最后根據(jù)坐標(biāo)的意義即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：由可得，，，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（2）過(guò)點(diǎn)A作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，，，，，，，，，四邊形為矩形，，，．設(shè)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)解析式為，（3）存在，，理由如下：當(dāng)時(shí)，，，，，根據(jù)解析（2）可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或