專題07二次函數(shù)中的平移問題 （含2023年中考真題+2024年一模）（解析版）

專題07二次函數(shù)中的平移問題二次函數(shù)中的平移問題主要是點的平移和圖形的平移：針對頂點式拋物線的平移規(guī)律是：“左加右減（括號內(nèi)），上加下減”，同時保持a不變。1．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知直線與x軸交于點A，y軸交于點B，點C在線段上，以點C為頂點的拋物線M：經(jīng)過點B．(1)求點A，B的坐標；(2)求b，c的值；(3)平移拋物線M至N，點C，B分別平移至點P，D，聯(lián)結(jié)，且軸，如果點P在x軸上，且新拋物線過點B，求拋物線N的函數(shù)解析式．【答案】(1)，(2)，(3)或【分析】（1）根據(jù)題意，分別將，代入直線即可求得；（2）設(shè)，得到拋物線的頂點式為，將代入可求得，進而可得到拋物線解析式為，即可求得b，c；（3）根據(jù)題意，設(shè)，，根據(jù)平移的性質(zhì)可得點，點向下平移的距離相同，即列式求得，，然后得到拋物線N解析式為：，將代入可得，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點A，y軸交于點B，當時，代入得：，故，當時，代入得：，故，（2）設(shè)，則可設(shè)拋物線的解析式為：，∵拋物線M經(jīng)過點B，將代入得：，∵，∴，即，∴將代入，整理得：，故，；（3）如圖：∵軸，點P在x軸上，∴設(shè)，，∵點C，B分別平移至點P，D，∴點，點向下平移的距離相同，∴，解得：，由（2）知，∴，∴拋物線N的函數(shù)解析式為：，將代入可得：，∴拋物線N的函數(shù)解析式為：或．【點睛】本題考查了求一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，求拋物線的解析式，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)的平移性質(zhì)求出m和a的值．2．（2024上·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，第二象限的點在拋物線上，點到兩坐標軸的距離都是．(1)求該拋物線的表達式；(2)將拋物線先向右平移個單位，再向下平移個單位后，所得新拋物線與軸交于點和點，已知，且，與軸負半軸交于點．①求的值；②設(shè)直線與上述新拋物線的對稱軸的交點為，點是直線上位于點下方的一點，分別連接、，如果，求點的坐標．【答案】(1)(2)①；②【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法，求得，由此得到答案．（2）①根據(jù)題意得到，平移后的拋物線表達式為，根據(jù)已知條件，令，求出，得到答案．②先利用已知條件，求出點，點，由此得到軸，過點，作軸于點，得到，又，設(shè)，，由此得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：點，點在拋物線上，，解得：，該拋物線的表達式為：．（2）①根據(jù)題意得：將拋物線先向右平移個單位，再向下平移個單位后的表達式為：，令，解得：，，，解得：；②由①拋物線的表達式為：，其對稱軸為，則點，當時，，即點，點、的縱坐標相同，軸，過點，作軸于點，由的坐標，得到，則，，設(shè)，，在中，，解得：，則點坐標為：．3．（2024上·上海長寧·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線．(1)用配方法把化為的形式，并寫出該拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標；(2)如果將該拋物線上下平移，得到新的拋物線經(jīng)過點，求平移后的拋物線的頂點坐標．【答案】(1)該拋物線的開口向上，對稱軸是直線，頂點坐標為(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用配方法把一般式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標．（2）設(shè)平移后的拋物線解析式為，代入點，求得的值即可求解．【詳解】（1）解：，∴該拋物線的開口向上，對稱軸是直線，頂點坐標為；（2）設(shè)平移后的拋物線解析式為，∵新的拋物線經(jīng)過點，∴，解得，∴平移后的拋物線解析式為，∴平移后的拋物線的頂點坐標是．4．（2024上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，將拋物線平移，使平移后的拋物線仍經(jīng)過原點O，新拋物線的頂點為M（點M在第四象限），對稱軸與拋物線交于點N，且．(1)求平移后拋物線的表達式；(2)如果點N平移后的對應點是點P，判斷以點O、M、N、P為頂點的四邊形的形狀，并說明理由；(3)拋物線上的點A平移后的對應點是點B，，垂足為點C，如果是等腰三角形，求點A的坐標．【答案】(1)；(2)是正方形，理由見解析；(3)、、、．【分析】（1）由題意得，平移后的拋物線表達式為：，得到點M、N的坐標，進而求解；（2）由題意得到，，，，證明四邊形是平行四邊形，由，得到四邊形是矩形，由，即可得出結(jié)論；（3）當時，列出等式即可求解；當或時，同理可解．【詳解】（1）解：由題意得，平移后的拋物線表達式為：，則點M的坐標為：，當時，，即點，則，解得：（舍去）或，則平移后的拋物線表達式為：；（2）解：四邊形是正方形，根據(jù)題意可得，，，，記與交于點G，則，∴，，，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形；（3）解：設(shè)，，，可得，，，①，，即，解得，（舍去0），；②，，解得，，或；③，，解得，；綜上，點A的坐標是、、、．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到正方形的性質(zhì)、圖象的平移，等腰三角形存在問題等，分類求解是解題的關(guān)鍵．5．（2024上·上海黃浦·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與軸、軸分別交于點．對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點，其與軸的另一交點為．(1)求該拋物線的表達式；(2)將該拋物線平移，使其頂點在線段上點處，得到新拋物線，其與直線的另一個交點為．①如果拋物線經(jīng)過點，且與軸的另一交點為，求線段的長；②試問：的面積是否隨點在線段上的位置變化而變化?如果變化，請說明理由；如果不變，請求出面積．【答案】(1)；(2)①；②的面積不變，的面積為2．【分析】（1）先求得，，利用拋物線的對稱性求得，設(shè)拋物線的表達式為，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）①；②聯(lián)立求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，作軸交直線于點，求得，利用三角形的面積公式，列式計算即可求解．【詳解】（1）解：令，則；令，則，解得；∴，，∵對稱軸為直線，其與軸的另一交點為，∴，設(shè)拋物線的表達式為，把代入，得，解得，∴拋物線的表達式為；（2）解：①根據(jù)題意設(shè)新拋物線的頂點坐標為，則新拋物線的解析式為，∵拋物線經(jīng)過點，∴，解得（舍去）或，當時，新拋物線的解析式為，令，則，解得或；∴與軸的另一交點為；∴；②的面積不變，∵新拋物線的解析式為，聯(lián)立得，整理得，解得或；∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，作軸交直線于點，則點，∴，∴的面積不變，的面積為2．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運用，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，坐標與圖形面積，二次函數(shù)圖象的平移，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．6．（2024上·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點、點，頂點為點C，拋物線M的對稱軸交x軸于點D．(1)求拋物線M的表達式和點C的坐標；(2)點P在x軸上，當與相似時，求點P坐標；(3)將拋物線M向下平移個單位，得到拋物線N，拋物線N的頂點為點E，再把點C繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到點F．當點F在拋物線N上時，求t的值．【答案】(1)，點(2)或(3)【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）當時，則，即，即可求解；當時，同理可解；（3）根據(jù)圖像平移和旋轉(zhuǎn)求出點，代入函數(shù)解析式求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，則拋物線的表達式為：，∵∴頂點；（2）解：由（1）知，，又∵拋物線M的對稱軸交x軸于點D，∴點，∵、，，，∴、、、，，又∵與相似，∴點O與點C對應，當時，則，即，解得：，即點；當時，則，即，解得：，則點；綜上，點的坐標為：或；（3）解：如圖，過點作交于點，則，設(shè)平移后的拋物線表達式為：，則，在等腰中，，則，則點，將點的坐標代入函數(shù)表達式得：，解得：（舍去）或，故．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，相似三角形的判定性質(zhì)等知識，分類求解是解題的關(guān)鍵．7．（2024·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點、點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，拋物線的頂點為，且．(1)求拋物線的表達式；(2)點是線段上一點，如果，求點的坐標；(3)在第（2）小題的條件下，將該拋物線向左平移，點平移至點處，過點作直線，垂足為點，如果，求平移后拋物線的表達式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)點的橫坐標為，點的橫坐標為，根據(jù)對稱軸，，列式，利用根與系數(shù)關(guān)系計算確定值即可．（2）過點作于點，交右側(cè)的的延長線于點，交左側(cè)的的延長線于點，利用三角形全等，確定坐標，后根據(jù)解析式交點確定所求坐標即可．（3）設(shè)拋物線向左平移了個單位，則點，過點作軸的平行線交過點和軸的平行線于點，交過點和軸的平行線于點，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點、點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，拋物線的頂點為，且，∴，解得，∴，解得，故拋物線的解析式為．（2）過點作于點，交右側(cè)的的延長線于點，∵，∴，過點作軸于點，∴∵，∴，∴，∵拋物線的解析式為，，∴，，∴∴，設(shè)的解析式為，的解析式為∴，解得∴的解析式為，的解析式為，∴，解得，故；（3）∵，點,設(shè)拋物線向左平移了個單位，則點，過點作軸的平行線交過點和軸的平行線于點，交過點和軸的平行線于點，由（2）知，直線的表達式為：，設(shè)∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，，∴，解得：，∴．【點睛】本題為考查了二次函數(shù)綜合運用，三角形全等和相似、解直角三角形、圖象平移等，正確作輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2024上·上海靜安·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中（如圖），已知點、、、在同一個二次函數(shù)的圖像上．

(1)請從中選擇適當?shù)狞c坐標，求二次函數(shù)解析式；(2)如果射線平分，交軸于點，①現(xiàn)將拋物線沿對稱軸向下平移，頂點落在線段的點處，求此時拋物線頂點的坐標；②如果點在射線上，當與相似時，請求點的坐標．【答案】(1)(2)①

②，【分析】（1）把解析式設(shè)為交點式，再把代入解析式中求解即可；（2）①過點E作于H，由角平分線的性質(zhì)得到．利用勾股定理求出，進而利用等面積法求出，則，求出直線解析式為，再求出對稱軸為直線，由此即可求出；②先求出，設(shè)，則，，分當時，當時，兩種情況根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)解析式為，把代入中得：，解得，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：①過點E作于H，∵射線平分，，∴，∵、，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，∵二次函數(shù)解析式為，∴對稱軸為直線，在中，當時，，∴；

②∵，∴，設(shè)，∴，，當時，則，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴；當時，則，∴，∴，解得或（舍去），；綜上所述，或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何綜合等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．9．（2024上·上海青浦·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點和點，與軸交于點．

(1)求、的值和點的坐標；(2)點為拋物線上一點（不與點重合），當時，求點的坐標；(3)在（）的條件下，平移該拋物線，使其頂點在射線上，設(shè)平移后的拋物線的頂點為點，當與相似時，求平移后的拋物線的表達式．【答案】(1)，，，(2)；(3)．【分析】（）由待定系數(shù)法即可求解；（）證明，則直線的表達式為，即可求解；（）當與相似時，證明，得到，則

，即可求解；本題考查了二次函數(shù)綜合運用，涉及到三角形相似、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識點的應用．【詳解】（1）由題意得:，解得：，當時，，則，（2）由（）得：∴拋物線解析式為，

由點、的坐標知，軸，由點、的坐標知，，則直線的表達式為：，聯(lián)立得：，解得：（舍去）或，∴時，，則點；（3）由點、的坐標得直線的表達式為：，故設(shè)點，由點、、、的坐標得，，，，當與相似時，∵，，則，∴，則，即，即，解得：，則點，則拋物線的表達式為：．10．（2024上·上海松江·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，拋物線的圖像經(jīng)過原點、點，此拋物線的對稱軸與x軸交于點C，頂點為B．(1)求拋物線的對稱軸；(2)如果該拋物線與x軸負半軸的交點為D，且的正切值為2，求a的值；(3)將這條拋物線平移，平移后，原拋物線上的點A、B分別對應新拋物線上的點E、P．聯(lián)結(jié)，如果點P在y軸上，軸，且，求新拋物線的表達式．【答案】(1)直線(2)(3)【分析】該題主要考查了二次函數(shù)綜合，涉及知識點主要有解直角三角形，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判斷，函數(shù)平移等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點；（1）將、代入解析式再求解即可；（2）過A作軸，根據(jù)求解即可；（3）由（1）算出，，再根據(jù)點P在y軸上，軸，作軸于K，得出證明得出，又結(jié)合平移得出，在中，由列方程解出，即可求解；【詳解】（1）過，又過，∴，∴的對稱軸為直線，（2）由（1）知，，∴，過A作軸，，，（3）由（1）得，，∴，對稱軸為直線，故，點P在y軸上，軸，作軸于K，設(shè)交y軸于L，，∴又又，，∴，又由平移知，∴，∴，又在中，，∴，或，，，∴二次函數(shù)解析式為，∴為，∴新拋物線解析式為11．（2024上·上海金山·九年級統(tǒng)考期末）已知：在平面直角坐標系中，拋物線過點、、．(1)求拋物線的表達式和頂點的坐標；(2)點在拋物線對稱軸上，，求點的坐標；(3)拋物線的對稱軸和軸相交于點，把拋物線平移，得到新拋物線的頂點為點，，的延長線交原拋物線為，，求新拋物線的表達式．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法解得該拋物線解析式，并將其轉(zhuǎn)化為頂點式，即可確定點的坐標；（2）設(shè)點，根據(jù)勾股定理可得，，，在中，由勾股定理可得，然后代入求值，即可獲得答案；（3）首先過點作于點，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)確定點為中點，易得；過點作軸于點，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，易知點的橫坐標為，進而確定點，點，然后根據(jù)平移的性質(zhì)，即可獲得答案．【詳解】（1）解：將點、、代入拋物線，可得，解得，∴該拋物線的表達式為，又∵，∴頂點的坐標為；（2）如下圖，根據(jù)題意，點在拋物線對稱軸上，，設(shè)點，∵，，∴，，，在中，由勾股定理可得，即，解得，∴點的坐標為；（3）如下圖，∵原拋物線，∴其對稱軸為，∴，∵新拋物線的頂點為點，，過點作于點，則，即點為中點，∵，，∴，∴，過點作軸于點，∵，，，∴，∴，，∴點的橫坐標為，∴，∴，∴，∴，∵把原拋物線平移，得到新拋物線，∴新拋物線解析式為．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、利用二次函數(shù)解決幾何問題、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．1．（2023上·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期末）已知平面直角坐標系，拋物線經(jīng)過點和兩點.(1)求拋物線的表達式；(2)如果將這個拋物線向右平移個單位，得到新拋物線經(jīng)過點，求的值.【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)的解析式求解以及二次函數(shù)的平移，注意計算的準確性即可．（1）將點和代入即可求解；（2）由（1）得，設(shè)平移后的拋物線表達式為，將點代入即可求解．【詳解】（1）解：將點和代入得：解得∴拋物線的表達式是：.（2）解：由（1）配方得：根據(jù)題意可設(shè)平移后的拋物線表達式為∵經(jīng)過點；∴解得：，∵∴.2．（2023上·上海浦東新·九年級?？茧A段練習）已知拋物線如圖所示，請結(jié)合圖像中所給信息完成以下問題：

(1)求拋物線的表達式：(2)若該拋物線經(jīng)過一次平移后過原點，請寫出一種平移方法，并寫出平移后得到的新拋物線的表達式．【答案】(1)(2)將拋物線向下平移個單位，【分析】（1）由題意可設(shè)拋物線的解析式為，把代入上式，即可求解；（2）把拋物線表達式化為一般式，根據(jù)平移的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由題意可得，拋物線過點∴設(shè)拋物線的解析式為：，把代入，可得，解得：，拋物線的解析式為：；（2）由（1）得，將拋物線向下平移個單位，得，得到該拋物線經(jīng)過一次平移后過原點，3．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：經(jīng)過點，．(1)求函數(shù)解析式；(2)平移拋物線使得新頂點為（m＞0）．①倘若，且在的右側(cè)，兩拋物線都上升，求的取值范圍；②在原拋物線上，新拋物線與軸交于，時，求點坐標．【答案】(1)(2)①k≥2②P的坐標為（2，3）【分析】（1）把，代入，求解即可；（2）①由，得頂點坐標為(0，-3)，即點B是原拋物線的頂點，由平移得拋物線向右平移了m個單位，根據(jù)，求得m=2，在的右側(cè)，兩拋物線都上升，根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求出k取值范圍；②把P（m，n）代入，得n=，則P（m，），從而求得新拋物線解析式為：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，則Q(0，m2-3)，從而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=，即可得出BP=PQ，過點P作PC⊥y軸于C，則PC=|m|，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根據(jù)tan∠BPC=tan60°=，即可求出m值，從而求出點P坐標．【詳解】（1）解：把，代入，得，解得：，∴函數(shù)解析式為：；（2）解：①∵，∴頂點坐標為(0，-3)，即點B是原拋物線的頂點，∵平移拋物線使得新頂點為（m＞0）．∴拋物線向右平移了m個單位，∴，∴m=2，∴平移拋物線對稱軸為直線x=2，開口向上，∵在的右側(cè)，兩拋物線都上升，又∵原拋物線對稱軸為y軸，開口向上，∴k≥2，②把P（m，n）代入，得n=，∴P（m，）根據(jù)題意，得新拋物線解析式為：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，∴Q(0，m2-3)，∵B（0，-3），∴BQ=m2，BP2=，PQ2=，∴BP=PQ，如圖，過點P作PC⊥y軸于C，則PC=|m|，∵BP=PQ，PC⊥BQ，∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，∴tan∠BPC=tan60°=，解得：m=±2（舍去負數(shù)），∴n==3，故P的坐標為（2，3）.【點睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的平移，拋物線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，本題屬拋物線綜合題目，屬中考?？荚囶}目，難度一般．4．（2023上·上海普陀·九年級統(tǒng)考階段練習）在平面直角坐標系中（如圖），已知拋物線經(jīng)過和，與軸的另一個交點為．

(1)求該拋物線的表達式及頂點的坐標；(2)將拋物線先向右平移2個單位，再向下平移（）個單位后得到的新拋物線與軸交于點，新拋物線的頂點為；①求新拋物線的表達式及頂點的坐標；②點是新拋物線對稱軸上的一點，當與相似時，求點的坐標．【答案】(1)，(2)①，；②或【分析】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，相似三角形的性質(zhì)．（1）把點和代入函數(shù)中，即可求出a、c的值，從而得到該拋物線的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到拋物線頂點M的坐標．（2）①根據(jù)平移可得新拋物線的表達式為，把點代入即可求出m的值，進而得到頂點坐標．②把代入函數(shù)，可求得拋物線與軸的另一個交點C的坐標，根據(jù)點A，B，C的坐標可求出的三邊，，的長．根據(jù)新拋物線的表達式可得對稱軸為，從而設(shè)點N的坐標為，根據(jù)點，，，可得到三邊，，的長．若與相似，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，分情況討論，構(gòu)造方程即可求解．【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過和，∴，解得，∴拋物線的表達式為，∵，∴拋物線的頂點M坐標為．（2）①∵將拋物線右平移2個單位，再向下平移（）個單位，得到新的拋物線，∴新拋物線的表達式為，∵新拋物線與軸交于點，∴，解得，∴∴新拋物線的表達式為，頂點坐標為．②

把代入函數(shù)，得，解得，，∴拋物線與軸的另一個交點C的坐標為，∵，，，∴，，，∵新拋物線的對稱軸為，點N是該對稱軸上的一點，∴設(shè)點N的坐標為，∵，，，∴，，，若與相似，則有以下情況：①，即，解得：，∴點N的坐標為；②，即，該方程組無解；③，即，該方程組無解；④，即，該方程組無解；⑤，即，解得：，∴點N的坐標為；⑥，即，該方程組無解．綜上所述，點N的坐標為或．5．