專題06 填空小壓軸18題（旋轉、翻折、新定義25題）（解析版）

專題06填空小壓軸18題（旋轉、翻折、新定義25題）（解析版）題目精選自：2023、2024年上海名校及一二模真題，包含旋轉、翻折、新定義等18題?？碱愋皖}。一、填空題1．（2023上·上海靜安·九年級上海市市北初級中學?？计谀┤鐖D，已知將沿角平分線所在直線翻折，點恰好落在邊的中點處，且，那么的余弦值為.

【答案】【分析】設與交點為，過作交于，證出為的中位線，由三角形中位線定理得出，由翻折變換的性質得出：，，同理由三角形中位線定理得出，設，則，，得出，，利用勾股定理求出，根據余弦的定義即可得出結果．【詳解】解：設與交點為，過作交于，如圖所示：

為的中點，為的中點，為的中位線，，由翻折變換的性質得：，，同理：是的中位線，，設，則，，，，，∴，．故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換的性質、三角形中位線定理、平行線的性質、三角函數；熟練掌握翻折變換的性質，通過作輔助線由三角形中位線定理得出，是解決問題的關鍵．2．（2023上·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期末）在中，，，，點，分別在邊、上，且，將沿直線翻折，翻折后點落在點處，如果，那么.【答案】/0.5【分析】本題考查折疊的性質，解直角三角形，勾股定理，平行線的性質等，延長交于點D，先解，求出，，由折疊的性質可得，，設，則，，由推出，再解和求出x的值，進而即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于點D，中，，，，，，，由折疊的性質可得，，，，設，則，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．3．（2024上·上海長寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，是對角線，點在邊上，聯(lián)結，將沿著直線翻折，點的對應點恰好落在內，那么線段的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查矩形的折疊問題，相似三角形的判定和性質等，計算出點恰好落在邊上，以及點恰好落在邊上時的值，即可得出線段的取值范圍．【詳解】解：當點的對應點恰好落在邊上時，如圖：由折疊的性質知，，，又矩形中，，四邊形是正方形，，；當點的對應點恰好落在邊上時，如圖，由折疊的性質知，，又矩形中，，，，又，，，即，，，線段的取值范圍是．故答案為：．4．（2024上·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期末）在菱形中，點E為邊的中點．聯(lián)結，將沿著所在的直線翻折得到，點B落在點F處，延長交邊于點G．如果的延長線恰好經過點D，那么的值為．【答案】/0.75【分析】延長、交于點，由菱形的性質得，，，則，由折疊得，，則，，而，所以，推導出，可證明，得，則，所以，則，再證明，得，再證明，得，則，而，即可求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：延長、交于點，四邊形是菱形，，，，，由折疊得，，，，，，，，，在和中，，，，點為邊的中點，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，的值為．故答案為：【點睛】本題考查菱形的性質、軸對稱的性質、同角的補角相等、等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識，證明是解題的關鍵．5．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）如果一個三角形的兩個內角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“倍角互余三角形”．已知在中，，，，點D在邊上，且是“倍角互余三角形”，那么的長等于．【答案】或【分析】分兩種情況討論，當時，利用，列式計算即可求解；當時，即是的角平分線，利用角平分線的性質以及勾股定理即可求解．【詳解】解：當時，，即，是“倍角互余三角形”，則∴∴∴；當時，，即，是“倍角互余三角形”，此時是的角平分線，作于E，則，∵，∴，∴，∵，，，，∴，∴，設，則，在中，由勾股定理得，解得．綜上，的長等于或．故答案為：或．【點睛】本題考查了正切函數的定義，角平分線的性質以及勾股定理，分情況討論是解題的關鍵．6．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）如圖，已知在兩個直角頂點重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，，，，，將繞著點C順時針旋轉，當點D恰好落在邊上時，連接，那么．【答案】【分析】利用含30度角的直角三角形的性質，分別求出的長，證明，得到，推出，在中，利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：∵，，，，∴，，，，∴，∴，，∴，設，則：，∴，在中，，即：，解得：或（不合題意，舍去）；∴．故答案為：．【點睛】本題考查含30度的直角三角形，銳角三角函數，相似三角形的判定和性質，勾股定理，解一元二次方程．熟練掌握相關知識點，證明三角形相似，是解題的關鍵．7．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，我們定義點的“關聯(lián)點”為．如果已知點在直線上，點在的內部，的半徑長為（如圖所示），那么點的橫坐標的取值范圍是．【答案】【分析】根據點在直線上，可求得點的“關聯(lián)點”為，根據點與圓的位置關系可得，根據勾股定理即可得答案．【詳解】解：∵點A在直線上，∴，∴，，∴點的“關聯(lián)點”為，當時，，此時點在上，整理得，解得：，∵點在的內部，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了坐標與圖形，點與圓的位置關系及解一元二次方程，點在圓內，；點在圓上，，點在圓外，，正確得出點坐標，熟練掌握點與圓點位置關系是解題關鍵．8．（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）如圖，將平行四邊形沿著對角線翻折，點的對應點為，交于點，如果，，且，那么平行四邊形的周長為．（參考數據：）【答案】【分析】由，四邊形為平行四邊形，折疊的性質可得是等腰三角形，，設，則，由三角形的內角和定理解得，由外角性質可證明為等腰三角形，繼而得到，解得，分別過點作，利用余弦定理分別解得的長，最后求得平行四邊形的周長．【詳解】解：，四邊形為平行四邊形，翻折是等腰三角形設，則在中，由三角形內角和定理可得分別過點作在中，在中，平行四邊形的周長為故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、三角形內角和定理、圖形的翻折變換等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．9．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點D是邊的中點，點M在邊上，將沿所在的直線翻折，點A落在點E處，如果，那么．【答案】【分析】畫出圖形，過點D作的垂線段，交于點F，過點C作AB的垂線段，交于點G，證明為等腰三角形，，即可解答．【詳解】解：如圖，過點D作的垂線段，交于點F，過點C作的垂線段，交于點G，，，點D是邊的中點，，沿所在的直線翻折，點A落在點E處，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理與折疊問題，面積法，等腰三角形的性質，平行四邊形的判定及性質，畫出圖形并且作出正確的輔助線是解題的關鍵．10．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）在中，，，，為中點（如圖），為射線上一點，將沿著翻折得到，點的對應點為，如果，那么．

【答案】或6【分析】當點在線段上時，根據已知條件得出三點共線，在中，勾股定理求得的長，當在的延長線上時，證明，利用相似三角形的性質求解即可．【詳解】解：如圖所示，當點在線段上時，∵將沿著翻折得到，，∴，，∴三點共線，設，則，，∵，為中點，∴，∴，在中，，∴，解得：；

當在的延長線上時，如圖所示，∵，∴∴，又∵，，∴，解得：，故答案為：或6．【點睛】本題考查了折疊的性質，勾股定理，相似三角形的性質與判定，分論討論是解題的關鍵．11．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）如圖，已知在中，，將繞點B順時針旋轉，點分別落在點處，聯(lián)結，如果，那么邊的長．

【答案】【分析】由旋轉變換易證，，，，由，得；設，由三角函數得，；在中，運用勾股定理求解得，所以．【詳解】如圖，由旋轉知，，，，為等邊三角形，∴，，，

∴，∵∴設，則，中，∴，解得（負值舍去），故答案為：【點睛】本題主要考查旋轉變換、全等三角形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理及特殊角三角函數；能夠靈活運用相關知識導出線段間的數量關系是解題的關鍵．12．（2023·上海閔行·校聯(lián)考模擬預測）人們把這個數叫做黃金分割數，著名數學家華羅庚優(yōu)選法中的法就應用了黃金分割數．設，，則，記，，…，．則．【答案】10【分析】先根據求出（為正整數）的值，從而可得的值，再求和即可得．【詳解】解：，（為正整數），，，，，則，故答案為：10．【點睛】本題考查了二次根式的運算、分式的運算，正確發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是解題關鍵．13．（2023·上海浦東新·?？既＃┤鐖D，在中，，，點在邊上，且，將繞著點逆時針旋轉，點落在的一條邊上的點處，那么旋轉角的度數是．

【答案】或【分析】分類討論：當點在上，根據等邊對等角和三角形內角和即可求得；當點在上，根據30度所對的直角邊是斜邊的一半和三角形的外角性質即可求得．【詳解】當點在上，如圖：

∵，∴，∴，當點在上，如圖：

∵，∴，∴，故答案為：或【點睛】本題考查旋轉的性質，等邊對等角，三角形內角和，30度角的直角三角形性質，三角形的外角性質，解題的關鍵是分類討論思想的運用．14．（2023·上海嘉定·模擬預測）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，CD是斜邊AB的中線．將△ABC繞點A旋轉，點B、點C分別落在點B′、點C′處，且點B′在射線CD上，邊AC'與射線CD交于點E．如果＝3，那么線段CE的長是．【答案】【分析】根據已知，作出圖形，求出AD、CD、AE．利用相似三角形的性質求出，即可利用EC＝B′C﹣B′E求解．【詳解】解：根據已知，作出的圖形∵△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB的中線．∴AD＝CD＝DB＝AB＝3，∴∠DAC＝∠ACD，根據旋轉性質：∠B′AE＝∠B′CA，∴△B′AE∽△B′CA，∴，∵=3，∴，∴，∴B′C＝8，B′E＝，∴EC＝B′C﹣B′E＝8﹣＝，故答案為：．【點睛】本題考查旋轉的性質，直角三角形斜邊中線的性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考填空題掌握的壓軸題．15．（2023·上海靜安·?？家荒＃┒x：把二次函數與（a≠0，m、n是常數）稱作互為“旋轉函數”．如果二次函數與（b、c是常數）互為“旋轉函數”，寫出點的坐標．【答案】【分析】根據題意，把所給的兩個二次函數轉化成旋轉函數即可．【詳解】∴∴解得：故答案為：【點睛】本題考查的是學生對二次函數解析式的變形能力，解題的關鍵是根據題意去變換形式，細心謹慎．16．（2024上·上海松江·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，將邊繞點A逆時針旋轉，點B落在處，連接、，若，則．【答案】【分析】該題主要考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理，矩形的性質，旋轉的性質，解答該題的關鍵是掌握以上知識點；過A作，設證明，根據相似三角形的性質得出，再運用勾股定理列方程解答即可；【詳解】將邊繞點A逆時針旋轉，如圖所示，過A作，則，設，，，，，，，在中，，（負值舍去），故答案為：．17．（2022上·上海浦東新·九年級上海市建平實驗中學期末）如圖，中，，，，點在邊上，將沿著直線翻折得，交直線于點，連接，若是等腰三角形，則的長是．

【答案】或【分析】根據題意作圖如下，過作的垂線，交于，由勾股定理求得，根據翻折的性質，可得：，若是等腰三角形，則，勾股定理求出，再證明，求出，根據，即可求出；當點在邊之間上動，且點在線段的延長線上時，同理即可求解．．【詳解】解：∵在邊上，將沿著直線翻折得，交直線于點，連接，根據題意作圖如下，過作的垂線，交于，

在中，，根據翻折的性質，可得：，當點在邊之間上動，且點在線段上時，故，若是等腰三角形，則，根據等腰三角形的三線合一的性質知，點為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，過作的垂線，交于，

在中，，根據翻折的性質，可得：，當點在邊之間上動，且點在線段的延長線上時，故，若是等腰三角形，則，根據等腰三角形的三線合一的性質知，點為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，故答案為：或．【點睛】此題考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知識，解題的關鍵是根據題意作出相應圖形，利用三角形相似來求邊長．18．（2023上·上海楊浦·九年級期末）如圖，在中，，平分交于點，過作交于點，將沿折疊得到，交于點．若，則．

【答案】【分析】過點作于，證明，得出，根據，得，設，，則，則，在中，，在中，，則，解方程求得，則，，勾股定理求得，根據正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于，

∵平分交于點，∴,∴∴∵折疊，∴，∴,又∵∴∴∴∵，，則，∴∴，，∵設，，則，則，∵∴在中，在中，∴即解得：∴，則∴故答案為：．【點睛】本題考查了求正切，折疊的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．19．（2024上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期末）已知和是矩形的兩條對角線，將沿直線翻折后，點D落在點E處，三角形與矩形的重疊部分是三角形，連接，如果，，那么的正切值是．【答案】或【分析】此題考查了折疊的性質、矩形的性質、解直角三角形，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．分兩種情況討論，根據矩形的性質得出，，則，根據折疊的性質得出，，設，則，根據直角三角形的性質及三角形外角性質推出，則，或，根據正切的定義求解即可．【詳解】解：如圖，交于點O，，，∵四邊形是矩形，.∴，，，根據折疊的性質得，，，設，則，，，，，，，在中，，，即∠BDE的正切值是；如圖，交于點O，，，同理得，，，，，在中，，，，，，，即的正切值是；綜上，的正切值是或，故答案為：或．20．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt中，，，，點、分別是邊、的中點，連接．將繞點順時針方向旋轉，點、的對應點分別是點、．如果點落在線段上，那么線段．【答案】【分析】根據勾股定理求得，根據旋轉的性質得出，，進而得出，根據相似三角形的性質即可求解．【詳解】在Rt中，，，，點、分別是邊、的中點，∴,，如圖所示，點落在線段上，設旋轉角為，∴，旋轉，∴，∵，∴，∴，∵，．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．21．（2023·上海虹口·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形ABCD中，，點E在邊AB上，，連接DE，將沿著DE翻折，點A的對應點為P，連接EP、DP，分別交邊BC于點F、G，如果，那么CG的長是．

【答案】/【分析】延長交于點，根據已知得出，證明，求得，根據折疊的性質以及平行線的性質得出，在中，，進而得出，證明，根據相似三角形的性質即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長交于點，

∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∵，

∴，∴，∵折疊，∴，，，則，又∵，∴∴，∴∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，

又∵，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，相似三角形的性質與判定，熟練掌握折疊的性質以及相似三角形的性質是解題的關鍵．22．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形中，點E、F分別在邊上，．將沿直線CE翻折，如果點D的對應點恰好落在線段上，那么的正切值是．

【答案】2【分析】過點作于點M，由折疊得再證明從而證明設，則求出再證明得，由勾股定理求出，進一步可求出的正切值．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴過點作于點M，

∵∴∴由折疊得，∴∴∵∴∴∴設，則在中，由勾股定理得，∵∴又∴∴∴，在中，在中，∴，故答案為2【點睛】本題主要考查了正方形的折疊問題，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質以及求正切值等知識，正確作出輔助線構造全等三角形是解答本題的關鍵．23．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，，，為邊的中點，聯(lián)結、，為邊上一點，將沿翻折，如果點的對應點恰好位于內，那么的取值范圍是．【答案】【分析】本題考矩形的折疊問題，相似三角形的性質，勾股定理；根據翻折的性質、直角三角形的邊角關系以及相似三角形的性質，分別求得的最小值與最大值