第四講 二次函數(shù)（典例精講）（解析版）

2023年中考數(shù)學(xué)典型例題系列之函數(shù)篇第四講二次函數(shù)（解析版）一、二次函數(shù)的定義。一般地，形如（QUOTEa，b，c是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。注意：二次項(xiàng)系數(shù)，而QUOTEb，c可以為零。二、二次函數(shù)四種基本形式的圖像性質(zhì)。二次函數(shù)的基本表現(xiàn)形式：①；②；③；④；⑤.的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．第一種：二次函數(shù)的性質(zhì)（最基礎(chǔ)）。第二種：二次函數(shù)的性質(zhì)。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．第三種：二次函數(shù)的性質(zhì)。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值。向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．第四種：二次函數(shù)的性質(zhì)的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值．向下X=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．三、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像和性質(zhì)。函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開(kāi)口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。?jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，四、二次函數(shù)的平移。步驟：（1）先將函數(shù)化成y=a(x-h)2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）；（2）從函數(shù)y=ax2平移方法如下：“左加右減，上加下減”。平移前平移方向（m＞0)平移后口訣y=a(x-h)2+k向左平移m個(gè)單位“左加右減”“上加下減”向右平移m個(gè)單位向上平移m個(gè)單位向下平移m個(gè)單位五、二次函數(shù)圖像與系數(shù)a、b、c的關(guān)系。1.根據(jù)a、b、c的正負(fù)數(shù)判斷二次函數(shù)圖像。二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向及開(kāi)口大小當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下一次項(xiàng)系數(shù)b決定對(duì)稱軸的位置在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱軸。（同左異右b為對(duì)稱軸為y軸）常數(shù)項(xiàng)系數(shù)c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)的位置當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方b2-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)b2－4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；b2－4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；b2－4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；2.根據(jù)二次函數(shù)圖像判斷a、b、c關(guān)系式與0的關(guān)系。關(guān)系式實(shí)質(zhì)2a+b實(shí)質(zhì)式結(jié)合a的正負(fù)比較與1關(guān)系2a+b實(shí)質(zhì)式結(jié)合a的正負(fù)比較與-1關(guān)系a+b+c實(shí)質(zhì)是令x=1，看縱坐標(biāo)正負(fù)a-b+c實(shí)質(zhì)是令x=-1，看縱坐標(biāo)正負(fù)4a+2b+c實(shí)質(zhì)是令x=2，看縱坐標(biāo)正負(fù)4a-2b+c實(shí)質(zhì)是令x=-2，看縱坐標(biāo)正負(fù)六、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況，圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：①當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根。②當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)。A：當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有；B：當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有七、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式。根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達(dá)式的幾種基本思路：=1\*GB3①一般式：當(dāng)已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c；=2\*GB3②頂點(diǎn)式：當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最大（?。┲禃r(shí)，可設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x?h)2+k；=3\*GB3③交點(diǎn)式：當(dāng)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)（x1，0），（x2，0）時(shí)，可設(shè)函數(shù)解析式為y=ax?x1(x?【考點(diǎn)一】二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)?！镜湫屠}1】（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于二次函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)圖象的開(kāi)口向下 B．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C．該函數(shù)有最大值，是大值是5 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大【答案】D【分析】由拋物線的表達(dá)式和函數(shù)的性質(zhì)逐一求解即可．【詳解】解：對(duì)于y=（x-1）2+5，∵a=1>0，故拋物線開(kāi)口向上，故A錯(cuò)誤；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5），故B錯(cuò)誤；該函數(shù)有最小值，最小值是5，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故D正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)坐標(biāo)的求法，及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為即可得到結(jié)果．【詳解】∵二次函數(shù)解析式為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，準(zhǔn)確理解是解題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·新疆·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．拋物線開(kāi)口向上 B．拋物線的對(duì)稱軸為直線 C．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及增減性對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】解：拋物線中，a＞0，拋物線開(kāi)口向上，因此A選項(xiàng)正確，不符合題意；由解析式得，對(duì)稱軸為直線，因此B選項(xiàng)正確，不符合題意；由解析式得，當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為1，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，因此C選項(xiàng)正確，不符合題意；因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，因此當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，因此D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在中，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2021·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．點(diǎn)A的坐標(biāo)為C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小 D．圖象的對(duì)稱軸為直線【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可依次判斷．【詳解】由圖可得開(kāi)口向上，故a＞0，A錯(cuò)誤；∵解析式為，故對(duì)稱軸為直線x=-2，D正確∵∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），故B錯(cuò)誤；由圖可知當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故C錯(cuò)誤；故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)頂點(diǎn)式的特點(diǎn)．【典型例題2】（2022·湖北隨州·中考真題）對(duì)于二次函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．它的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn) B．方程的兩根之積為C．它的圖像的對(duì)稱軸在軸的右側(cè) D．時(shí)，隨的增大而減小【答案】C【分析】直接利用二次函數(shù)與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)與方程之間關(guān)系分別分析得出答案．【詳解】解：A、∵，∴二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，該選項(xiàng)結(jié)論正確，故此選項(xiàng)不符合題意；B、方程，即的兩根之積=，該選項(xiàng)結(jié)論正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵的值不能確定，∴它的圖像的對(duì)稱軸位置無(wú)法確定，該選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；D、∵，對(duì)稱軸，∴時(shí)，隨的增大而減小，該選項(xiàng)結(jié)論正確，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)．正確掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)】（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將函數(shù)表達(dá)式寫(xiě)成頂點(diǎn)式，根據(jù)開(kāi)口方向和對(duì)稱軸即可判斷．【詳解】解：∵∵開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=1，∴x＞1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，需要熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【典型例題3】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則的值為（

）A．或4 B．或 C．或4 D．或4【答案】D【分析】分兩種情況討論，并且利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：直線，（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，取得最小值，，；（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，取得最小值，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【典型例題4】（2022·湖北荊門(mén)·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝x2+3上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，則下列結(jié)論正確的是(

)A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不對(duì)【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，即可判定．【詳解】∵拋物線y＝x2+3開(kāi)口向上，在其圖象上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2<x1≤0或0<-x1<x2或0<x1<-x2,故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）點(diǎn)A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x-1）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)y1＜y2列出關(guān)于m的不等式即可解得答案．【詳解】解：∵點(diǎn)A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x-1）2+n的圖象上，∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，y2=（m-1）2+n，∵y1＜y2，∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，∴（m-2）2-（m-1）2＜0，即-2m+3＜0，∴m＞，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于m的不等式．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2023秋·天津東麗·九年級(jí)?？计谥校┤簦?，為二次函數(shù)的圖像上的三點(diǎn)，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先計(jì)算拋物線的對(duì)稱軸，在計(jì)算各點(diǎn)與對(duì)稱軸的水平距離，根據(jù)拋物線開(kāi)口向上，距離越大，函數(shù)值也越大比較即可．【詳解】解：∵，∴對(duì)稱軸為直線，且，∵，，，∴點(diǎn)A到對(duì)稱軸直線的距離為，點(diǎn)B到對(duì)稱軸直線的距離為，點(diǎn)C到對(duì)稱軸直線的距離為，∵，∴，根據(jù)拋物線開(kāi)口向上，離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越小，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的增減性，熟練掌握拋物線開(kāi)口向上，離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越小是解題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022秋·安徽蕪湖·九年級(jí)蕪湖市第二十九中學(xué)?？计谥校┤舳魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn).則關(guān)于，，大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，圖象開(kāi)口向上；再求出點(diǎn)A、B、C到對(duì)稱軸的距離，然后根據(jù)二次函數(shù)增減性判斷即可．【詳解】解：∵∴二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，圖象開(kāi)口向上∵，，∵，∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性以及增減性，確定出各點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離的大小是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二】二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系綜合?！镜湫屠}】（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖是二次函數(shù)的圖象，其對(duì)稱軸為直線，且過(guò)點(diǎn)．有以下四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④若頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，y有最大值為2、最小值為，此時(shí)m的取值范圍是．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】①：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸，，即可判斷出；②：結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值大于1，代入即可判斷；③：結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于0，代入即可判斷；④：運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象，其對(duì)稱軸為直線，且過(guò)點(diǎn)，∴，，∴，∴，故①正確；從圖中可以看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值大于1，因此將代入得，，即，故②正確；∵，∴，從圖中可以看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于0，∴，∴，故③正確；∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將代入得，，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，；∴根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，得到，故④正確；綜上所述，①②③④均正確，故有4個(gè)正確結(jié)論，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=1，與x軸正半軸的交點(diǎn)為A（3，0），其部分圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是拋物線上的三點(diǎn)，則y1<y2<y3．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：由圖象可知，開(kāi)口向上，圖象與y軸負(fù)半軸有交點(diǎn)，則，，對(duì)稱軸為直線，則，∴，故①正確；當(dāng)時(shí)，，∵，∴，即∴，故②錯(cuò)誤；∵對(duì)稱軸為直線，∴拋物線與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為（，0），∴，∵，兩式相加，則，∴，故③錯(cuò)誤；∵，，，∴，∴根據(jù)開(kāi)口向上，離對(duì)稱軸越近其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小，則有，故④正確；∴正確的結(jié)論有2個(gè)，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，能夠通過(guò)函數(shù)圖象提取信息是解題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集為0＜x＜x1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得出a，b，c的符號(hào)即可判斷①，當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0即可判斷②；根據(jù)對(duì)稱軸為，a＞0可判斷③；y1＝ax2+bx+c，數(shù)形結(jié)合即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在y軸右邊，與y軸交于正半軸，∴a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，∴①正確．∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②錯(cuò)誤．∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，∴2a﹣c＞0，∴③正確；如圖：設(shè)y1＝ax2+bx+c，，由圖值，y1＞y2時(shí)，x＜0或x＞x1，故④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)巧妙借助數(shù)學(xué)結(jié)合思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x﹣2）2﹣9，則下列結(jié)論中，正確的序號(hào)為（）①當(dāng)x＝2時(shí)，y取得最小值﹣9；②若點(diǎn)（3，y1），（4，y2）在其圖象上，則y2＞y1；③將其函數(shù)圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x﹣5）2﹣5；④函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)的距離為6．A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④【答案】B【分析】由二次函數(shù)的開(kāi)口向上，函數(shù)有最小值，可判斷①，由二次函數(shù)的增減性可判斷②，由二次函數(shù)圖象的平移可判斷③，由二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可判斷④，從而可得答案．【詳解】解：y＝（x﹣2）2﹣9，圖象的開(kāi)口向上，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y取得最小值﹣9；故①符合題意；y＝（x﹣2）2﹣9的對(duì)稱軸為，而故②符合題意；將其函數(shù)圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x+1）2﹣5，故③不符合題意；當(dāng)時(shí)，則解得：而故④符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，掌握“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】二次函數(shù)圖像的平移?！镜湫屠}】（2022秋·天津河北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）將拋物線先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將拋物線轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，然后利用拋物線平移規(guī)律：上加下減，左加右減進(jìn)而得出平移后的解析式，即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：，∴先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新拋物線的解析式為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是掌握平移的規(guī)律“左加右減，上加下減”．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·黑龍江哈爾濱·?？级＃┌褣佄锞€的圖像向左平移1個(gè)單位，則平移后的拋物線是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像“左加右減”的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可．【詳解】解：將拋物線向左平移1個(gè)單位，平移后的解析式為：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移；掌握二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______．【答案】（3，5）【分析】先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向上平移縱坐標(biāo)加求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），∵將拋物線y=（x-1）2+2再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，∴平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）．故答案為：（3，5）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．【考點(diǎn)四】一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖像綜合?！镜湫屠}】（2023秋·河北秦皇島·九年級(jí)校聯(lián)考期末）一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限，即可得出、、，由此可以得出二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸，與軸的交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，再對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)中的圖象即可得出結(jié)論．【詳解】解：觀察一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象可知：、、，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸，與軸的交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，根據(jù)反比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限，找出、、是解題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·山東臨沂·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可先由一次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．【詳解】解：A、一次函數(shù)與軸交點(diǎn)應(yīng)為，二次函數(shù)與軸交點(diǎn)也應(yīng)為，圖象不符合，故本選項(xiàng)不合題意；B、由直線可知，，由拋物線可知，，且拋物線與直線與軸的交點(diǎn)相同，故本選項(xiàng)符合題意．C、由直線可知，，由拋物線可知，，的取值矛盾，故本選項(xiàng)不合題意；D、由直線可知，，由拋物線可知，，的取值矛盾，故本選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線和直線的圖象與系數(shù)的關(guān)系，用假設(shè)法來(lái)搞定這種數(shù)形結(jié)合題是一種很好的方法．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2019·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考中考模擬）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題可先由一次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．反之也可．【詳解】解：A、由一次函數(shù)的圖象可知、，由二次函數(shù)的圖象可知，兩者相矛盾，故此選項(xiàng)不符合題意；B、由一次函數(shù)的圖象可知、，由二次函數(shù)的圖象可知，兩者相吻合，故此選項(xiàng)符合題意；C、由一次函數(shù)的圖象可知、，由二次函數(shù)的圖象可知，兩者相矛盾，故此選項(xiàng)不符合題意；D、由一次函數(shù)的圖象可知、，由二次函數(shù)的圖象可知，兩者相矛盾，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若，則函數(shù)和在同一坐標(biāo)系中的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可知，或，，然后進(jìn)行分類討論函數(shù)的圖象所在的位置，即可解答本題．【詳解】解：，，或，，當(dāng)，時(shí)，的函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，的函數(shù)圖象的開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問(wèn)題．【考點(diǎn)五】二次函數(shù)與一元二次方程。【典型例題1】（2022·福建福州·?？家荒＃┤鐖D是二次函數(shù)的部分圖象，則關(guān)于的一元二次方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】觀察圖象得：該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，可得該函數(shù)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)是，從而得到當(dāng)時(shí)，，，即可求解．【詳解】解：由圖象可知，該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，則該函數(shù)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)是，∴當(dāng)，即時(shí)，，，∴關(guān)于的一元二次方程的解為，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)(a，b，c是常數(shù)，)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)?？家荒＃┤绻麙佄锞€的對(duì)稱軸是直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是，那么它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0）【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性解答即可．【詳解】解：拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，拋物線與x軸另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確理解拋物線的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·黑龍江哈爾濱·?？级＃┒魏瘮?shù)的圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是________．【答案】【分析】令，求出的值，即可得解．【詳解】對(duì)于，令，則，∴該二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．熟練掌握y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．【典型例題2】（2022秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則k的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】【分析】由二次函數(shù)和根的判別式得且，解不等式即可求解．【詳解】解：由題意得且解得所以k的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟悉掌握根的判別式的意義是解題關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·四川瀘州·瀘縣五中?？家荒＃┒魏瘮?shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為_(kāi)_________．【答案】【分析】利用根的判別式的意義得到，然后解方程即可．【詳解】∵二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)（是常數(shù)，）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若二次函數(shù)，當(dāng)______時(shí)，與x軸有唯一的交點(diǎn)．【答案】##0.5【分析】由二次函數(shù)與x軸有唯一的交點(diǎn)，可得，再解方程即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)與x軸有唯一的交點(diǎn)，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，掌握“當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)與軸有一個(gè)交點(diǎn)”是解本題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022·山東青島·山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，則______．【答案】0或或【分析】當(dāng)時(shí)，可知滿足條件，當(dāng)時(shí)，分當(dāng)函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)時(shí)和不過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可知滿足條件，當(dāng)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可知二次函數(shù)圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，令，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，可知該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由一元二次方程根的判別式等于0可求得的值．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)為，與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則有，解得，此時(shí)滿足條件；②當(dāng)函數(shù)圖象不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，令可得，因其與軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，，即，整理可得，解得，綜上可知的值為0或或．故答案為：0或或．【考點(diǎn)六】二次函數(shù)與不等式?！镜湫屠}】（2022·四川瀘州·瀘縣五中校考一模）二次函數(shù)．若，則自變量x的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】令，求出拋物線與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再在坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線與直線的圖象，不等式的含義表示拋物線的圖象在直線上方部分自變量的取值范圍，結(jié)合圖象即可作答．【詳解】令，整理，得：，解得，，，在坐標(biāo)軸中畫(huà)出出拋物線與直線的圖象，如圖，不等式的含義表示拋物線的圖象在直線上方部分自變量的取值范圍，即不等式的解集為：或．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用二次函數(shù)的圖象求解不等式解集的知識(shí)，注重?cái)?shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·江蘇徐州·?？级＃┒魏瘮?shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)值時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】寫(xiě)出函數(shù)圖象在x軸上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】解：由圖可知，當(dāng)或時(shí)，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是______．【答案】【分析】首先根據(jù)對(duì)稱軸和與x軸的一個(gè)交點(diǎn)確定另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)其圖象確定自變量的取值范圍即可．【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴時(shí)，x的取值范圍為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)稱軸求得另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，難度不大．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則m的取值范圍是_______．【答案】-3≤m≤-1【分析】先確定拋物線的對(duì)稱軸，計(jì)算y=2時(shí)，自變量的值；當(dāng)y=-2時(shí)，自變量的值，根據(jù)函數(shù)的增減性建立不等式計(jì)算即可．【詳解】∵函數(shù)，∴對(duì)稱軸為直線x=-1；當(dāng)y=2時(shí)，，解得；當(dāng)y=-2時(shí)，，解得，∵時(shí)，，∴，解得-3≤m≤-1，故答案為：-3≤m≤-1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱軸，增減性，不等式組的解集，熟練掌握拋物線的性質(zhì)，靈活轉(zhuǎn)化為不等式組求解是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)七】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式?！镜湫屠}】（2022·甘肅蘭州·蘭州市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)請(qǐng)你寫(xiě)出一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點(diǎn)落在點(diǎn)處，并寫(xiě)出平移后拋物線的表達(dá)式．【答案】(1)，(2)把拋物線向左平移1個(gè)單位，向上平移個(gè)單位平移后拋物線的頂點(diǎn)落在點(diǎn)處；【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，把解析式化成頂點(diǎn)式，即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和的坐標(biāo)即可得出把拋物線向左平移一個(gè)單位，向上平移個(gè)單位平移后拋物線的頂點(diǎn)落在點(diǎn)處，進(jìn)而得到平移后拋物線的表達(dá)式為【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，而、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，即，把的坐標(biāo)代入得，解得，拋物線的表達(dá)式為，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：拋物線的頂點(diǎn)為，，把拋物線向左平移1個(gè)單位，向上平移個(gè)單位平移后拋物線的頂點(diǎn)落在點(diǎn)處，∴平移后拋物線的表達(dá)式為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正確記憶二次函數(shù)平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)期末）已知一個(gè)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，和．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)求這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；【答案】(1)(2)頂點(diǎn)坐標(biāo)為；對(duì)稱軸為直線【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．【詳解】（1）設(shè)將代入，則∴（2）∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；對(duì)稱軸為直線．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)于二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，），其對(duì)稱軸是直線，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·福建福州·校考一模）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)求，的值；(2)若點(diǎn)，在二次函數(shù)圖像上，其中，當(dāng)時(shí)，求的取值的范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）將點(diǎn)，代入函數(shù)解析式即可求出，的值；（2）由題意可知，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則得，再結(jié)合的范圍即可求出的范圍．【詳解】（1）解：函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，；（2）解：，，，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)，在二次函數(shù)圖像上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了用待定系數(shù)法、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（其中a、c為常數(shù)，且）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，與y軸交于點(diǎn)B，此拋物線頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4．(1)求拋物線的解析式；(2)求的正切值；【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入可求得a的值，即可得到拋物線的解析式；（2）先求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求得，，，根據(jù)勾股定理的逆定理可得，即可求得正切值．【詳解】（1）解：拋物線的對(duì)稱軸為：，∵，∴拋物線開(kāi)口向下，∵C點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）將代入拋物線解析式得：，∴，∵，∴，，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理及逆定理和求角的正切值，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)八】二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用?！镜湫屠}1】建系。（2022·四川南充·中考真題）如圖，水池中心點(diǎn)O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)；噴頭高時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)．那么噴頭高_(dá)______________m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)．【答案】8【分析】由題意可知，在調(diào)整噴頭高度的過(guò)程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，則當(dāng)噴頭高2.5m時(shí)，可設(shè)y=ax2+bx+2.5，將（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；噴頭高4m時(shí)，可設(shè)y=ax2+bx+4，將（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，聯(lián)立可求出a和b的值，設(shè)噴頭高為h時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m，則此時(shí)的解析式為y=ax2+bx+h，將（4，0）代入可求出h．【詳解】解：由題意可知，在調(diào)整噴頭高度的過(guò)程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，當(dāng)噴頭高2.5m時(shí)，可設(shè)y=ax2+bx+2.5，將（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，噴頭高4m時(shí)，可設(shè)y=ax2+bx+4，將（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，聯(lián)立可求出，，設(shè)噴頭高為h時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m，∴此時(shí)的解析式為，將（4，0）代入可得，解得h=8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，重點(diǎn)是二次函數(shù)解析式的求法，直接利用二次函數(shù)的平移性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】35．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？家荒＃┤鐖D，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時(shí)水面寬，當(dāng)水位上升時(shí)，水面寬．(1)按如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)有一條船以的速度向此橋徑直駛來(lái)，當(dāng)船距離此橋，橋下水位正好在處，之后水位每小時(shí)上漲，當(dāng)水位達(dá)到處時(shí)，將禁止船只通行．如果該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛時(shí)，水面寬是多少？它能否安全通過(guò)此橋？【答案】(1)(2)水面寬是，它能安全通過(guò)此橋【分析】（1）以拱橋最頂端為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題目中所給的數(shù)據(jù)設(shè)函數(shù)解析式為，由待定系數(shù)法求出其解即可；（2）計(jì)算出船行駛到橋下的時(shí)間，由這個(gè)時(shí)間按計(jì)算水位上升的高度，從而得出此時(shí)水面寬度，再比較就可以求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為不等于，橋拱最高點(diǎn)到水面的距離為米．則，，解得，拋物線的解析式為；（2）解：由題意，得船行駛到橋下的時(shí)間為：小時(shí)，水位上升的高度為：米．設(shè)此時(shí)水面寬為，，由（1）知：，∴F縱坐標(biāo)為，把代入，得，解得：，，∴，．船的速度不變，它能安全通過(guò)此橋．答：該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛時(shí)，水面寬是，它能安全通過(guò)此橋．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，有理數(shù)大小的比較的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）第24屆冬奧會(huì)（也稱2022年北京冬奧會(huì)）于2022年2月4日至2月20日在中國(guó)北京舉行，北京成為了歷史上第一座既舉辦過(guò)夏奧會(huì)又舉辦過(guò)冬奧會(huì)的城市．冬奧會(huì)上跳臺(tái)滑雪是一項(xiàng)極為壯觀的運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過(guò)助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個(gè)動(dòng)作連貫一致，一氣呵成，如圖，某運(yùn)動(dòng)員穿著滑雪板，經(jīng)過(guò)助滑后，從傾斜角的跳臺(tái)A點(diǎn)以速度沿水平方向跳出，若忽略空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變．同時(shí)，由于受重力作用，運(yùn)動(dòng)員沿豎直方向會(huì)加速下落，因此，運(yùn)動(dòng)員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該運(yùn)動(dòng)員在B點(diǎn)著陸，，且．忽略空氣阻力，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)求該運(yùn)動(dòng)員從跳出到著陸垂直下降了多少m？(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求該拋物線表達(dá)式；(3)若該運(yùn)動(dòng)員在空中共飛行了4s，求他飛行2s后，垂直下降了多少m？【答案】(1)該運(yùn)動(dòng)員從跳出到著陸垂直下降了90m(2)(3)他飛行2s后，垂直下降了22.5m【分析】（1）以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D．在中，利用求出即可；（2）利用勾股定理求出，得到點(diǎn)B坐標(biāo)，即可求出拋物線的解析式；（3）將代入（2）的解析式求出y值即可．【詳解】（1）解：如圖，以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D．在中，，答：該運(yùn)動(dòng)員從跳出到著陸垂直下降了90m；（2）解：在中，，，由題意拋物線頂點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)．設(shè)拋物線的解析式為，則有，，拋物線的解析式為．（3）解：當(dāng)時(shí)，，他飛行2s后，垂直下降了22.5m．【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，已知自變量求函數(shù)值，正確理解題意得到對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【典型例題2】銷售問(wèn)題。（2022·四川綿陽(yáng)·東辰國(guó)際學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）某景點(diǎn)投入40輛同型號(hào)電動(dòng)代步車，準(zhǔn)備成立代步車租賃公司，市運(yùn)管所規(guī)定每輛代步車的日租金按10元的整數(shù)倍收取，但不得超過(guò)250元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每輛代步車的日租金不超過(guò)150元時(shí)，40輛代步車可以全部租賃出去；當(dāng)每輛代步車的日租金超過(guò)150元時(shí)，每增加10元，租賃出去的代步車數(shù)量將減少2輛．已知租賃出去的代步車每輛一天各項(xiàng)支出共需20元，沒(méi)有租賃出去的代步車每輛一天各項(xiàng)支出共需10元，另外公司每天還需支出其他各項(xiàng)費(fèi)用共1800元．(1)若40輛代步車能全部租出，當(dāng)每天總租金不低于總支出時(shí)，每輛代步車的日租金至少是多少元？(2)求該代步車租賃公司一天的總利潤(rùn)最多是多少元？【答案】(1)至少是90元(2)該代步車租賃公司一天的總利潤(rùn)最多是3580元【分析】（1）設(shè)每輛代步車的日租金為x元，根據(jù)“40輛代步車能全部租出，且每天總租金不低于總支出”，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結(jié)合x(chóng)為10的整數(shù)倍即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每輛代步車的日租金為m元，該代步車租賃公司一天總利潤(rùn)為w元，分及兩種情況考慮，當(dāng)時(shí)，利用總利潤(rùn)＝總租金﹣總支出，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可找出w的最大值；當(dāng)m＞150時(shí)，每天可租出輛，利用總利潤(rùn)＝總租金﹣總支出，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可找出w的最大值．