第四講 二次函數（典例精講）（解析版）

2023年中考數學典型例題系列之函數篇第四講二次函數（解析版）一、二次函數的定義。一般地，形如（QUOTEa，b，c是常數，）的函數，叫做二次函數。注意：二次項系數，而QUOTEb，c可以為零。二、二次函數四種基本形式的圖像性質。二次函數的基本表現形式：①；②；③；④；⑤.的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值．第一種：二次函數的性質（最基礎）。第二種：二次函數的性質。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．第三種：二次函數的性質。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值。向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．第四種：二次函數的性質的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．三、二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像和性質。函數二次函數（a、b、c為常數，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標增減性在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當時，y有最小值，拋物線有最高點，當時，y有最大值，四、二次函數的平移。步驟：（1）先將函數化成y=a(x-h)2+k，頂點坐標為（h,k）；（2）從函數y=ax2平移方法如下：“左加右減，上加下減”。平移前平移方向（m＞0)平移后口訣y=a(x-h)2+k向左平移m個單位“左加右減”“上加下減”向右平移m個單位向上平移m個單位向下平移m個單位五、二次函數圖像與系數a、b、c的關系。1.根據a、b、c的正負數判斷二次函數圖像。二次項系數a決定拋物線的開口方向及開口大小當時，拋物線開口向上當時，拋物線開口向下一次項系數b決定對稱軸的位置在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸。（同左異右b為對稱軸為y軸）常數項系數c決定拋物線與y軸的交點的位置當時，拋物線與軸的交點在軸上方當時，拋物線與軸的交點為坐標原點當時，拋物線與軸的交點在軸下方b2-4ac決定拋物線與x軸的交點個數b2－4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；b2－4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點；2.根據二次函數圖像判斷a、b、c關系式與0的關系。關系式實質2a+b實質式結合a的正負比較與1關系2a+b實質式結合a的正負比較與-1關系a+b+c實質是令x=1，看縱坐標正負a-b+c實質是令x=-1，看縱坐標正負4a+2b+c實質是令x=2，看縱坐標正負4a-2b+c實質是令x=-2，看縱坐標正負六、二次函數與一元二次方程的關系。二次函數與一元二次方程的關系一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況，圖象與軸的交點個數：①當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根。②當時，圖象與軸只有一個交點；③當時，圖象與軸沒有交點。A：當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；B：當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有七、待定系數法求二次函數的解析式。根據條件確定二次函數表達式的幾種基本思路：=1\*GB3①一般式：當已知拋物線上的三點坐標時，可設函數解析式為y=ax2+bx+c；=2\*GB3②頂點式：當已知拋物線的頂點坐標或對稱軸與最大（?。┲禃r，可設函數解析式為y=a(x?h)2+k；=3\*GB3③交點式：當已知拋物線與x軸的兩個交點（x1，0），（x2，0）時，可設函數解析式為y=ax?x1(x?【考點一】二次函數的圖像和性質?！镜湫屠}1】（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）關于二次函數，下列說法正確的是（

）A．函數圖象的開口向下 B．函數圖象的頂點坐標是C．該函數有最大值，是大值是5 D．當時，y隨x的增大而增大【答案】D【分析】由拋物線的表達式和函數的性質逐一求解即可．【詳解】解：對于y=（x-1）2+5，∵a=1>0，故拋物線開口向上，故A錯誤；頂點坐標為（1，5），故B錯誤；該函數有最小值，最小值是5，故C錯誤；當時，y隨x的增大而增大，故D正確，故選：D．【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數圖象上點的坐標特征，要求學生非常熟悉函數與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數特征．【對應練習1】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）拋物線的頂點坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次函數的頂點式可得頂點坐標為即可得到結果．【詳解】∵二次函數解析式為，∴頂點坐標為；故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數頂點式的頂點坐標的求解，準確理解是解題的關鍵．【對應練習2】（2022·新疆·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線，下列結論錯誤的是（

）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸為直線 C．拋物線的頂點坐標為 D．當時，y隨x的增大而增大【答案】D【分析】根據二次函數的開口方向、對稱軸、頂點坐標以及增減性對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：拋物線中，a＞0，拋物線開口向上，因此A選項正確，不符合題意；由解析式得，對稱軸為直線，因此B選項正確，不符合題意；由解析式得，當時，y取最小值，最小值為1，所以拋物線的頂點坐標為，因此C選項正確，不符合題意；因為拋物線開口向上，對稱軸為直線，因此當時，y隨x的增大而減小，因此D選項錯誤，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式是解題的關鍵，即在中，對稱軸為，頂點坐標為．【對應練習3】（2021·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數的圖象與x軸交于A，兩點，則下列說法正確的是（

）A． B．點A的坐標為C．當時，y隨x的增大而減小 D．圖象的對稱軸為直線【答案】D【分析】根據二次函數的圖象與性質即可依次判斷．【詳解】由圖可得開口向上，故a＞0，A錯誤；∵解析式為，故對稱軸為直線x=-2，D正確∵∴A點坐標為（-3，0），故B錯誤；由圖可知當時，y隨x的增大而減小，故C錯誤；故選D．【點睛】此題主要考查二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是熟知二次函數頂點式的特點．【典型例題2】（2022·湖北隨州·中考真題）對于二次函數，下列結論錯誤的是（

）A．它的圖像與軸有兩個交點 B．方程的兩根之積為C．它的圖像的對稱軸在軸的右側 D．時，隨的增大而減小【答案】C【分析】直接利用二次函數與軸交點個數、二次函數的性質以及二次函數與方程之間關系分別分析得出答案．【詳解】解：A、∵，∴二次函數的圖像與軸有兩個交點，該選項結論正確，故此選項不符合題意；B、方程，即的兩根之積=，該選項結論正確，故此選項不符合題意；C、∵的值不能確定，∴它的圖像的對稱軸位置無法確定，該選項結論錯誤，故此選項符合題意；D、∵，對稱軸，∴時，隨的增大而減小，該選項結論正確，故此選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點以及二次函數的性質、根與系數的關系等知識．正確掌握二次函數的性質是解題關鍵．【對應練習】（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數，當函數值y隨x值的增大而增大時，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將函數表達式寫成頂點式，根據開口方向和對稱軸即可判斷．【詳解】解：∵∵開口向上，對稱軸為x=1，∴x＞1時，函數值y隨x的增大而增大．故選：B．【點睛】本題考查的是二次函數的圖像與性質，比較簡單，需要熟練掌握二次函數的圖像與性質．【典型例題3】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數，當時，的最小值為，則的值為（

）A．或4 B．或 C．或4 D．或4【答案】D【分析】分兩種情況討論，并且利用二次函數的性質即可解答．【詳解】解：二次函數的對稱軸為：直線，（1）當時，當時，隨的增大而減小，當，隨的增大而增大，當時，取得最小值，，；（2）當時，當時，隨的增大而增大，當，隨的增大而減小，當時，取得最小值，，．故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的性質以及分類討論思想是解題的關鍵．【典型例題4】（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝x2+3上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，則下列結論正確的是(

)A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不對【答案】D【分析】根據二次函數圖象及性質，即可判定．【詳解】∵拋物線y＝x2+3開口向上，在其圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2<x1≤0或0<-x1<x2或0<x1<-x2,故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的圖象及性質，熟練掌握和運用二次函數的圖象及性質是解決本題的關鍵．【對應練習1】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）點A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數y=（x-1）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據y1＜y2列出關于m的不等式即可解得答案．【詳解】解：∵點A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數y=（x-1）2+n的圖象上，∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，y2=（m-1）2+n，∵y1＜y2，∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，∴（m-2）2-（m-1）2＜0，即-2m+3＜0，∴m＞，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據已知列出關于m的不等式．【對應練習2】（2023秋·天津東麗·九年級?？计谥校┤?，，為二次函數的圖像上的三點，則的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先計算拋物線的對稱軸，在計算各點與對稱軸的水平距離，根據拋物線開口向上，距離越大，函數值也越大比較即可．【詳解】解：∵，∴對稱軸為直線，且，∵，，，∴點A到對稱軸直線的距離為，點B到對稱軸直線的距離為，點C到對稱軸直線的距離為，∵，∴，根據拋物線開口向上，離對稱軸越近，函數值越小，∴．故選：C．【點睛】本題考查了拋物線的增減性，熟練掌握拋物線開口向上，離對稱軸越近，函數值越小是解題的關鍵．【對應練習3】（2022秋·安徽蕪湖·九年級蕪湖市第二十九中學?？计谥校┤舳魏瘮档膱D象經過，，三點.則關于，，大小關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出二次函數的對稱軸，圖象開口向上；再求出點A、B、C到對稱軸的距離，然后根據二次函數增減性判斷即可．【詳解】解：∵∴二次函數對稱軸為直線，圖象開口向上∵，，∵，∴故選：A【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數的對稱性以及增減性，確定出各點到對稱軸的距離的大小是解題的關鍵．【考點二】二次函數圖像與系數的關系綜合?！镜湫屠}】（2022·四川資陽·中考真題）如圖是二次函數的圖象，其對稱軸為直線，且過點．有以下四個結論：①，②，③，④若頂點坐標為，當時，y有最大值為2、最小值為，此時m的取值范圍是．其中正確結論的個數是(

)A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】①：根據二次函數的對稱軸，，即可判斷出；②：結合圖象發(fā)現，當時，函數值大于1，代入即可判斷；③：結合圖象發(fā)現，當時，函數值小于0，代入即可判斷；④：運用待定系數法求出二次函數解析式，再利用二次函數的對稱性即可判斷．【詳解】解：∵二次函數的圖象，其對稱軸為直線，且過點，∴，，∴，∴，故①正確；從圖中可以看出，當時，函數值大于1，因此將代入得，，即，故②正確；∵，∴，從圖中可以看出，當時，函數值小于0，∴，∴，故③正確；∵二次函數的頂點坐標為，∴設二次函數的解析式為，將代入得，，解得，∴二次函數的解析式為，∴當時，；∴根據二次函數的對稱性，得到，故④正確；綜上所述，①②③④均正確，故有4個正確結論，故選A．【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，待定系數法求二次函數解析式等，熟練掌握二次函數的圖象和性質是本題的關鍵．【對應練習1】（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=1，與x軸正半軸的交點為A（3，0），其部分圖象如圖所示，有下列結論：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是拋物線上的三點，則y1<y2<y3．其中正確結論的個數有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據二次函數的圖象與性質一一判斷即可．【詳解】解：由圖象可知，開口向上，圖象與y軸負半軸有交點，則，，對稱軸為直線，則，∴，故①正確；當時，，∵，∴，即∴，故②錯誤；∵對稱軸為直線，∴拋物線與x軸負半軸的交點為（，0），∴，∵，兩式相加，則，∴，故③錯誤；∵，，，∴，∴根據開口向上，離對稱軸越近其對應的函數值越小，則有，故④正確；∴正確的結論有2個，故選：B【點睛】本題考查了二次函數的圖象及性質；熟練掌握二次函數圖象及性質，能夠通過函數圖象提取信息是解題的關鍵．【對應練習2】（2022·四川內江·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四個結論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集為0＜x＜x1．其中正確結論的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據函數圖象可得出a，b，c的符號即可判斷①，當x＝1時，y＜0即可判斷②；根據對稱軸為，a＞0可判斷③；y1＝ax2+bx+c，數形結合即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向上，對稱軸在y軸右邊，與y軸交于正半軸，∴a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，∴①正確．∵當x＝1時，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②錯誤．∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1，∴，∴，當時，，當時，，，，∴2a﹣c＞0，∴③正確；如圖：設y1＝ax2+bx+c，，由圖值，y1＞y2時，x＜0或x＞x1，故④錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的圖象及性質，根據二次函數的圖象及性質巧妙借助數學結合思想解決問題是解題的關鍵．【對應練習3】（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）拋物線的函數表達式為y＝（x﹣2）2﹣9，則下列結論中，正確的序號為（）①當x＝2時，y取得最小值﹣9；②若點（3，y1），（4，y2）在其圖象上，則y2＞y1；③將其函數圖象向左平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度所得拋物線的函數表達式為y＝（x﹣5）2﹣5；④函數圖象與x軸有兩個交點，且兩交點的距離為6．A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④【答案】B【分析】由二次函數的開口向上，函數有最小值，可判斷①，由二次函數的增減性可判斷②，由二次函數圖象的平移可判斷③，由二次函數與x軸的交點坐標可判斷④，從而可得答案．【詳解】解：y＝（x﹣2）2﹣9，圖象的開口向上，∴當x＝2時，y取得最小值﹣9；故①符合題意；y＝（x﹣2）2﹣9的對稱軸為，而故②符合題意；將其函數圖象向左平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度所得拋物線的函數表達式為y＝（x+1）2﹣5，故③不符合題意；當時，則解得：而故④符合題意；故選B【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與性質，二次函數與x軸的交點問題，掌握“二次函數的圖象與性質”是解本題的關鍵．【考點三】二次函數圖像的平移?！镜湫屠}】（2022秋·天津河北·九年級統(tǒng)考期末）將拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，平移后拋物線的頂點坐標是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將拋物線轉化成頂點式，然后利用拋物線平移規(guī)律：上加下減，左加右減進而得出平移后的解析式，即可得出頂點坐標．【詳解】解：，∴先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到的新拋物線的解析式為，∴頂點坐標為．故選：C．【點睛】本題主要考查二次函數圖象的平移，解題的關鍵是掌握平移的規(guī)律“左加右減，上加下減”．【對應練習1】（2022·黑龍江哈爾濱·?？级＃┌褣佄锞€的圖像向左平移1個單位，則平移后的拋物線是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據二次函數圖像“左加右減”的平移規(guī)律進行解答即可．【詳解】解：將拋物線向左平移1個單位，平移后的解析式為：故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖像的平移；掌握二次函數圖像的平移規(guī)律是解題的關鍵．【對應練習2】（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到拋物線的頂點坐標是______．【答案】（3，5）【分析】先求出拋物線的頂點坐標，再根據向右平移橫坐標加，向上平移縱坐標加求出平移后的拋物線的頂點坐標即可．【詳解】解：拋物線的頂點坐標為（1，2），∵將拋物線y=（x-1）2+2再向右平移2個單位長度，向上平移3個單位長度，∴平移后的拋物線的頂點坐標為（3，5）．故答案為：（3，5）．【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數解析式．【考點四】一次函數、反比例函數與二次函數圖像綜合?！镜湫屠}】（2023秋·河北秦皇島·九年級校聯考期末）一次函數和反比例函數在同一個平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則二次函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據反比例函數圖象和一次函數圖象經過的象限，即可得出、、，由此可以得出二次函數的圖象開口向下，對稱軸，與軸的交點在軸的負半軸，再對照四個選項中的圖象即可得出結論．【詳解】解：觀察一次函數和反比例函數的圖象可知：、、，二次函數的圖象開口向下，對稱軸，與軸的交點在軸的負半軸，故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數的圖象、一次函數的圖象以及二次函數的圖象，根據反比例函數圖象和一次函數圖象經過的象限，找出、、是解題的關鍵．【對應練習1】（2022·山東臨沂·九年級?？茧A段練習）一次函數與二次函數在同一個平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可先由一次函數圖象得到字母系數的正負，再與二次函數的圖象相比較看是否一致．【詳解】解：A、一次函數與軸交點應為，二次函數與軸交點也應為，圖象不符合，故本選項不合題意；B、由直線可知，，由拋物線可知，，且拋物線與直線與軸的交點相同，故本選項符合題意．C、由直線可知，，由拋物線可知，，的取值矛盾，故本選項不合題意；D、由直線可知，，由拋物線可知，，的取值矛盾，故本選項不合題意；故選：B．【點睛】本題考查拋物線和直線的圖象與系數的關系，用假設法來搞定這種數形結合題是一種很好的方法．【對應練習2】（2019·內蒙古赤峰·校聯考中考模擬）在同一平面直角坐標系中，一次函數和二次函數的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題可先由一次函數圖象得到字母系數的正負，再與二次函數的圖象相比較看是否一致．反之也可．【詳解】解：A、由一次函數的圖象可知、，由二次函數的圖象可知，兩者相矛盾，故此選項不符合題意；B、由一次函數的圖象可知、，由二次函數的圖象可知，兩者相吻合，故此選項符合題意；C、由一次函數的圖象可知、，由二次函數的圖象可知，兩者相矛盾，故此選項不符合題意；D、由一次函數的圖象可知、，由二次函數的圖象可知，兩者相矛盾，故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查一次函數和二次函數的圖象，熟練掌握一次函數和二次函數的圖象與系數的關系是解題的關鍵．【對應練習3】（2022·河南南陽·模擬預測）若，則函數和在同一坐標系中的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據，可知，或，，然后進行分類討論函數的圖象所在的位置，即可解答本題．【詳解】解：，，或，，當，時，的函數圖象的開口向上，頂點在原點，的圖象經過第一、三、四象限，故選項A、C錯誤；當，時，的函數圖象的開口向下，頂點在原點，的圖象經過第一、二、四象限，故選項B正確，選項D錯誤；故選B．【點睛】本題考查二次函數的圖象、一次函數的圖象，解題的關鍵是明確題意，利用分類討論的數學思想解答問題．【考點五】二次函數與一元二次方程?！镜湫屠}1】（2022·福建福州·?？家荒＃┤鐖D是二次函數的部分圖象，則關于的一元二次方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】觀察圖象得：該函數的對稱軸是直線，與軸的一個交點是，可得該函數與軸的另一個交點是，從而得到當時，，，即可求解．【詳解】解：由圖象可知，該函數的對稱軸是直線，與軸的一個交點是，則該函數與軸的另一個交點是，∴當，即時，，，∴關于的一元二次方程的解為，，故選：C．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(a，b，c是常數，)與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數的性質．【對應練習1】（2022·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學?？家荒＃┤绻麙佄锞€的對稱軸是直線，與x軸的一個交點的坐標是，那么它與x軸的一個交點的坐標是（

）A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0）【答案】C【分析】根據拋物線的對稱性解答即可．【詳解】解：拋物線與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，拋物線與x軸另一交點的橫坐標為，拋物線與x軸的另一個交點坐標為，故選：C【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點坐標，正確理解拋物線的對稱性是解題的關鍵．【對應練習2】（2022·黑龍江哈爾濱·?？级＃┒魏瘮档膱D象與軸交點坐標是________．【答案】【分析】令，求出的值，即可得解．【詳解】對于，令，則，∴該二次函數圖象與軸交點坐標是．故答案為：．【點睛】本題考查求二次函數圖象與軸的交點坐標．熟練掌握y軸上點的坐標特征是解題的關鍵．【典型例題2】（2022秋·山東東營·九年級校聯考期末）已知二次函數的圖象與x軸沒有交點，則k的取值范圍為___________．【答案】【分析】由二次函數和根的判別式得且，解不等式即可求解．【詳解】解：由題意得且解得所以k的取值范圍為故答案為：【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，熟悉掌握根的判別式的意義是解題關鍵．【對應練習1】（2022·四川瀘州·瀘縣五中校考一模）二次函數的圖象與x軸只有一個公共點，則m的值為__________．【答案】【分析】利用根的判別式的意義得到，然后解方程即可．【詳解】∵二次函數的圖象與x軸只有一個公共點，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數（是常數，）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程；決定拋物線與x軸的交點個數．也考查了二次函數的性質．【對應練習2】（2022春·九年級課時練習）若二次函數，當______時，與x軸有唯一的交點．【答案】##0.5【分析】由二次函數與x軸有唯一的交點，可得，再解方程即可．【詳解】解：∵二次函數與x軸有唯一的交點，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查的是二次函數與軸的交點問題，掌握“當時，二次函數與軸有一個交點”是解本題的關鍵．【對應練習3】（2022·山東青島·山東省青島實驗初級中學?？寄M預測）函數（a為常數）的圖象與坐標軸只有兩個交點，則______．【答案】0或或【分析】當時，可知滿足條件，當時，分當函數圖象過原點時和不過原點，當過原點時，可知滿足條件，當不過原點時，可知二次函數圖象與軸只有一個交點，令，得到一個關于的一元二次方程，可知該方程有兩個相等的實數根，由一元二次方程根的判別式等于0可求得的值．【詳解】解：當時，函數為，與坐標軸只有兩個交點，滿足條件；當時，分兩種情況：①當函數圖象過原點時，則有，解得，此時滿足條件；②當函數圖象不過原點時，令可得，因其與軸有一個交點，所以該方程有兩個相等的實數根，，即，整理可得，解得，綜上可知的值為0或或．故答案為：0或或．【考點六】二次函數與不等式?！镜湫屠}】（2022·四川瀘州·瀘縣五中?？家荒＃┒魏瘮担?，則自變量x的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】令，求出拋物線與直線的交點橫坐標，再在坐標系中畫出拋物線與直線的圖象，不等式的含義表示拋物線的圖象在直線上方部分自變量的取值范圍，結合圖象即可作答．【詳解】令，整理，得：，解得，，，在坐標軸中畫出出拋物線與直線的圖象，如圖，不等式的含義表示拋物線的圖象在直線上方部分自變量的取值范圍，即不等式的解集為：或．故選：A．【點睛】本題主要考查了利用二次函數的圖象求解不等式解集的知識，注重數形結合是解答本題的關鍵．【對應練習1】（2022·江蘇徐州·校考二模）二次函數的圖像如圖所示，則函數值時，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】寫出函數圖象在x軸上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】解：由圖可知，當或時，．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數與不等式，此類題目，利用數形結合的思想求解是關鍵．【對應練習2】（2022春·九年級課時練習）二次函數的部分圖象如圖所示，當時，x的取值范圍是______．【答案】【分析】首先根據對稱軸和與x軸的一個交點確定另一個交點的坐標，然后根據其圖象確定自變量的取值范圍即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點坐標為，∴與x軸的另一個交點坐標為，∴時，x的取值范圍為：，故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點及二次函數的性質，解題的關鍵是根據對稱軸求得另一個交點坐標，難度不大．【對應練習3】（2022·四川成都·模擬預測）已知函數，當時，，則m的取值范圍是_______．【答案】-3≤m≤-1【分析】先確定拋物線的對稱軸，計算y=2時，自變量的值；當y=-2時，自變量的值，根據函數的增減性建立不等式計算即可．【詳解】∵函數，∴對稱軸為直線x=-1；當y=2時，，解得；當y=-2時，，解得，∵時，，∴，解得-3≤m≤-1，故答案為：-3≤m≤-1．【點睛】本題考查了二次函數的對稱軸，增減性，不等式組的解集，熟練掌握拋物線的性質，靈活轉化為不等式組求解是解題的關鍵．【考點七】待定系數法求二次函數的解析式?！镜湫屠}】（2022·甘肅蘭州·蘭州市外國語學校?？寄M預測）已知拋物線經過，，三點．(1)求拋物線的表達式和頂點坐標．(2)請你寫出一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在點處，并寫出平移后拋物線的表達式．【答案】(1)，(2)把拋物線向左平移1個單位，向上平移個單位平移后拋物線的頂點落在點處；【分析】（1）利用待定系數法即可求得拋物線的解析式，把解析式化成頂點式，即可求得頂點坐標；（2）根據頂點坐標和的坐標即可得出把拋物線向左平移一個單位，向上平移個單位平移后拋物線的頂點落在點處，進而得到平移后拋物線的表達式為【詳解】（1）解：拋物線經過，，三點，而、兩點的縱坐標相同，拋物線的對稱軸為直線，，即，把的坐標代入得，解得，拋物線的表達式為，，頂點坐標為；（2）解：拋物線的頂點為，，把拋物線向左平移1個單位，向上平移個單位平移后拋物線的頂點落在點處，∴平移后拋物線的表達式為．【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，待定系數法求二次函數的解析式，正確記憶二次函數平移規(guī)律是解題關鍵．【對應練習1】（2023秋·山東濟南·九年級期末）已知一個拋物線經過點，和．(1)求這個二次函數的解析式；(2)求這個二次函數圖象的頂點坐標和對稱軸；【答案】(1)(2)頂點坐標為；對稱軸為直線【分析】（1）用待定系數法求解即可；（2）根據頂點坐標公式求解即可．【詳解】（1）設將代入，則∴（2）∵，∴頂點坐標為；對稱軸為直線．【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，以及二次函數的圖象和性質，對于二次函數（a，b，c為常數，），其對稱軸是直線，其頂點坐標是．【對應練習2】（2022·福建福州·?？家荒＃┮阎魏瘮档膱D像經過點，．(1)求，的值；(2)若點，在二次函數圖像上，其中，當時，求的取值的范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）將點，代入函數解析式即可求出，的值；（2）由題意可知，兩點關于對稱軸對稱，則得，再結合的范圍即可求出的范圍．【詳解】（1）解：函數的圖像經過點，，，；（2）解：，，，函數的對稱軸為直線，點，在二次函數圖像上，點與點關于對稱軸對稱，，，，，．【點睛】此題考查了用待定系數法、二次函數的圖像與性質，熟練掌握二次函數的圖像與性質是解答此題的關鍵．【對應練習3】（2022·內蒙古赤峰·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線（其中a、c為常數，且）與x軸的一個交點為，與y軸交于點B，此拋物線頂點C的縱坐標為4．(1)求拋物線的解析式；(2)求的正切值；【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得點C的坐標，設拋物線的解析式為，將點代入可求得a的值，即可得到拋物線的解析式；（2）先求得點B的坐標，根據勾股定理求得，，，根據勾股定理的逆定理可得，即可求得正切值．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為：，∵，∴拋物線開口向下，∵C點縱坐標為4，∴拋物線的頂點坐標，設拋物線的解析式為，將點代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）將代入拋物線解析式得：，∴，∵，∴，，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式、勾股定理及逆定理和求角的正切值，熟練掌握待定系數法求函數的解析式是解題的關鍵．【考點八】二次函數的實際應用?！镜湫屠}1】建系。（2022·四川南充·中考真題）如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調試發(fā)現，噴頭高時，水柱落點距O點；噴頭高時，水柱落點距O點．那么噴頭高_______________m時，水柱落點距O點．【答案】8【分析】由題意可知，在調整噴頭高度的過程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，則當噴頭高2.5m時，可設y=ax2+bx+2.5，將（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；噴頭高4m時，可設y=ax2+bx+4，將（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，聯立可求出a和b的值，設噴頭高為h時，水柱落點距O點4m，則此時的解析式為y=ax2+bx+h，將（4，0）代入可求出h．【詳解】解：由題意可知，在調整噴頭高度的過程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，當噴頭高2.5m時，可設y=ax2+bx+2.5，將（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，噴頭高4m時，可設y=ax2+bx+4，將（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，聯立可求出，，設噴頭高為h時，水柱落點距O點4m，∴此時的解析式為，將（4，0）代入可得，解得h=8．故答案為：8．【點睛】本題考查了二次函數在實際生活中的運用，重點是二次函數解析式的求法，直接利用二次函數的平移性質是解題關鍵．【對應練習1】35．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？家荒＃┤鐖D，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時水面寬，當水位上升時，水面寬．(1)按如圖所示的直角坐標系，求此拋物線的函數表達式；(2)有一條船以的速度向此橋徑直駛來，當船距離此橋，橋下水位正好在處，之后水位每小時上漲，當水位達到處時，將禁止船只通行．如果該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛時，水面寬是多少？它能否安全通過此橋？【答案】(1)(2)水面寬是，它能安全通過此橋【分析】（1）以拱橋最頂端為原點，建立直角坐標系，根據題目中所給的數據設函數解析式為，由待定系數法求出其解即可；（2）計算出船行駛到橋下的時間，由這個時間按計算水位上升的高度，從而得出此時水面寬度，再比較就可以求出結論．【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為不等于，橋拱最高點到水面的距離為米．則，，解得，拋物線的解析式為；（2）解：由題意，得船行駛到橋下的時間為：小時，水位上升的高度為：米．設此時水面寬為，，由（1）知：，∴F縱坐標為，把代入，得，解得：，，∴，．船的速度不變，它能安全通過此橋．答：該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛時，水面寬是，它能安全通過此橋．【點睛】本題考查了運用待定系數法求二次函數的解析式的運用，行程問題的數量關系的運用，有理數大小的比較的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．【對應練習2】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）第24屆冬奧會（也稱2022年北京冬奧會）于2022年2月4日至2月20日在中國北京舉行，北京成為了歷史上第一座既舉辦過夏奧會又舉辦過冬奧會的城市．冬奧會上跳臺滑雪是一項極為壯觀的運動．運動員經過助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個動作連貫一致，一氣呵成，如圖，某運動員穿著滑雪板，經過助滑后，從傾斜角的跳臺A點以速度沿水平方向跳出，若忽略空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變．同時，由于受重力作用，運動員沿豎直方向會加速下落，因此，運動員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該運動員在B點著陸，，且．忽略空氣阻力，請回答下列問題：(1)求該運動員從跳出到著陸垂直下降了多少m？(2)以A為坐標原點建立直角坐標系，求該拋物線表達式；(3)若該運動員在空中共飛行了4s，求他飛行2s后，垂直下降了多少m？【答案】(1)該運動員從跳出到著陸垂直下降了90m(2)(3)他飛行2s后，垂直下降了22.5m【分析】（1）以A為原點，建立平面直角坐標系．過點B作軸于點D．在中，利用求出即可；（2）利用勾股定理求出，得到點B坐標，即可求出拋物線的解析式；（3）將代入（2）的解析式求出y值即可．【詳解】（1）解：如圖，以A為原點，建立平面直角坐標系．過點B作軸于點D．在中，，答：該運動員從跳出到著陸垂直下降了90m；（2）解：在中，，，由題意拋物線頂點為，經過．設拋物線的解析式為，則有，，拋物線的解析式為．（3）解：當時，，他飛行2s后，垂直下降了22.5m．【點睛】此題考查了拋物線的實際應用，待定系數法求拋物線的解析式，銳角三角函數的應用，已知自變量求函數值，正確理解題意得到對應的數量關系是解題的關鍵．【典型例題2】銷售問題。（2022·四川綿陽·東辰國際學校?？寄M預測）某景點投入40輛同型號電動代步車，準備成立代步車租賃公司，市運管所規(guī)定每輛代步車的日租金按10元的整數倍收取，但不得超過250元．經市場調研發(fā)現：當每輛代步車的日租金不超過150元時，40輛代步車可以全部租賃出去；當每輛代步車的日租金超過150元時，每增加10元，租賃出去的代步車數量將減少2輛．已知租賃出去的代步車每輛一天各項支出共需20元，沒有租賃出去的代步車每輛一天各項支出共需10元，另外公司每天還需支出其他各項費用共1800元．(1)若40輛代步車能全部租出，當每天總租金不低于總支出時，每輛代步車的日租金至少是多少元？(2)求該代步車租賃公司一天的總利潤最多是多少元？【答案】(1)至少是90元(2)該代步車租賃公司一天的總利潤最多是3580元【分析】（1）設每輛代步車的日租金為x元，根據“40輛代步車能全部租出，且每天總租金不低于總支出”，即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結合x為10的整數倍即可得出結論；（2）設每輛代步車的日租金為m元，該代步車租賃公司一天總利潤為w元，分及兩種情況考慮，當時，利用總利潤＝總租金﹣總支出，即可得出w關于m的函數關系式，再利用一次函數的性質即可找出w的最大值；當m＞150時，每天可租出輛，利用總利潤＝總租金﹣總支出，即可得出w關于m的函數關系式，再利用二次函數的性質即可找出w的最大值．