七年級數學上冊有理數-絕對值(含解析)

七年級數學上冊有理數——絕對值考試要求：內容基本要求略高要求較高要求絕對值借助數軸理解絕對值的意義，會求實數的絕對值會利用絕對值的知識解決簡單的化簡問題重難點：絕對值的幾何意義：一個數的絕對值就是數軸上表示數的點與原點的距離.數的絕對值記作.絕對值的代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.注意：①取絕對值也是一種運算，運算符號是“”，求一個數的絕對值，就是根據性質去掉絕對值符號.②絕對值的性質：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；的絕對值是.③絕對值具有非負性，取絕對值的結果總是正數或0.④任何一個有理數都是由兩部分組成：符號和它的絕對值，如：符號是負號，絕對值是.求字母的絕對值：①②③利用絕對值比較兩個負有理數的大?。簝蓚€負數，絕對值大的反而小.絕對值非負性：如果若干個非負數的和為0，那么這若干個非負數都必為0.例如：若，則，，絕對值的其它重要性質：（1）任何一個數的絕對值都不小于這個數，也不小于這個數的相反數，即，且；（2）若，則或；（3）；；（4）；的幾何意義：在數軸上，表示這個數的點離開原點的距離．的幾何意義：在數軸上，表示數、對應數軸上兩點間的距離．例題精講：【例1】到數軸原點的距離是2的點表示的數是（）A、±2B、2C、-2D、4【難度】1星【解析】此題要全面考慮，原點兩側各有一個點到原點的距離為2，即表示2和-2的點．【答案】根據題意，知到數軸原點的距離是2的點表示的數，即絕對值是2的數，應是±2．

故選A．點評：利用數軸可以直觀地求出兩點的距離或解決一些與距離有關的問題，體現了數形結合的數學思想．【例2】下列說法正確的有（）

①有理數的絕對值一定比0大；②如果兩個有理數的絕對值相等，那么這兩個數相等；③互為相反數的兩個數的絕對值相等；④沒有最小的有理數，也沒有絕對值最小的有理數；⑤所有的有理數都可以用數軸上的點來表示；⑥符號不同的兩個數互為相反數．A、②④⑤⑥B、③⑤C、③④⑤D、③⑤⑥【難度】2星【解析】分別根據有理數、絕對值、相反數的定義及數軸的特點對各小題進行逐一判斷．【答案】①0是有理數，|0|=0，故本小題錯誤；

②互為相反數的兩個數的絕對值相等，故本小題錯誤；

③互為相反數的兩個數的絕對值相等，故本小題正確；

④有絕對值最小的有理數，故本小題錯誤；

⑤由于數軸上的點和實數是一一對應的，所以所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，故本小題正確；

⑥只有符號不同的兩個數互為相反數，故本小題錯誤．

所以③⑤正確．

故選B．點評：本題考查的是有理數、絕對值、相反數的定義及數軸的特點，熟知以上知識是解答此題的關鍵．【例3】如果a的絕對值是2，那么a是（）A、2B、-2C、±2D、【難度】1星【解析】根據題意可知：絕對值等于2的數應該是±2．【答案】2的絕對值是2，-2的絕對值也是2，所以a的值應該是±2．

故選C．點評：本題考查了絕對值的概念，學生要熟練掌握．【例4】若a＜0，則4a+7|a|等于（）A、11aB、-11aC、-3aD、3a【難度】2星【解析】：本題考查有理數的絕對值問題，如果用字母a表示有理數，則數a絕對值要由字母a本身的取值來確定：

①當a是正有理數時，a的絕對值是它本身a；

②當a是負有理數時，a的絕對值是它的相反數-a；

③當a是零時，a的絕對值是零【答案】：解：∵a＜0，

∴|a|=-a.4a+7|a|=4a+7|-a|=4a-7a=-3a．

選C．【例5】一個數與這個數的絕對值相等，那么這個數是（）A、1，0B、正數C、非正數D、非負數【難度】1星【解析】：根據絕對值的性質進行解答即可．【答案】解：因為一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0，

所以一個數與這個數的絕對值相等，那么這個數是非負數．

故選D．【例6】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，則x-y的值等于（）A、7或-7B、7或3C、3或-3D、-7或-3【難度】2星【解析】先根據絕對值的定義求出x、y的值，再由xy＞0可知x、y同號，根據此條件求出x、y的對應值即可．【答案】解：∵|x|=5，|y|=2，

∴x=±5，y=±2，

∵xy＞0，

∴當x=5時，y=2，此時x-y=5-2=3；

當x=-5時，y=-2，此時x-y=-5+2=-3．

故選C．點評：本題考查的是絕對值的性質及有理數的加減法，熟知絕對值的性質是解答此題的關鍵．【例7】若，則x是（）A、正數B、負數C、非負數D、非正數【難度】2星【解析】本題作為選擇題可用排除法進行解答，由于是分式，所以x≠0，故可排除C、D；再根據x的取值范圍進行討論即可．【答案】：解：∵是分式，

∴x≠0，

∴可排除C、D，

∵當x＞0時，原式可化為=1，故A選項錯誤．

故選B．點評：本題考查的是絕對值的性質，即一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．【例8】已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判斷正確的是（）A、1-b＞-b＞1+a＞aD、1-b＞1+a＞-b＞aC、1+a＞1-b＞a＞-bB、1+a＞a＞1-b＞-b【難度】3星【解析】根據絕對值的定義，可知a＞0，b＜0時，|a|=a，|b|=-b，代入|a|＜|b|＜1，得a＜-b＜1，由不等式的性質得-b＞a，則1-b＞1+a，又1+a＞1，1＞-b＞a，進而得出結果．【答案】∵a＞0，∴|a|=a；

∵b＜0，∴|b|=-b；

又∵|a|＜|b|＜1，∴a＜-b＜1；

∴1-b＞1+a；

而1+a＞1，

∴1-b＞1+a＞-b＞a．

故選D．點評：本題主要考查絕對值的定義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是是它的相反數；0的絕對值是0；互為相反數的絕對值相等．【例9】已知a、b互為相反數，且|a-b|=6，則|b-1|的值為（）A、2B、2或3C、4D、2或4【難度】2星【解析】根據互為相反數的兩數和為0，又因為|a-b|=6，可求得b的值，代入即可求得結果判定正確選項．【答案】∵a、b互為相反數，

∴a+b=0，

∵|a-b|=6，

∴b=±3，

∴|b-1|=2或4．

故選D．點評：此題把相反數和絕對值的運算結合求解．先根據相反數求出b的值，再確定絕對值符號中代數式的正負，去絕對值符號．【例10】a＜0，ab＜0，計算|b-a+1|-|a-b-5|，結果為（）A、6B、-4C、-2a+2b+6D、2a-2b-6【難度】2星【解析】：根據已知條件先去掉絕對值即可求解．【答案】解：∵a＜0，ab＜0，

∴b-a+1＞0，a-b-5＜0，

∴|b-a+1|-|a-b-5|

=b-a+1+a-b-5

=-4．

故選A．【例11】若|x+y|=y-x，則有（）A、y＞0，x＜0B、y＜0，x＞0C、y＜0，x＜0D、x=0，y≥0或y=0，x≤0【難度】4星【解析】根據絕對值的定義，當x+y≥0時，|x+y|=x+y，當x+y≤0時，|x+y|=-x-y．從中得出正確答案．：【答案】解：∵|x+y|=y-x，

又當x+y≥0時，|x+y|=x+y，可得x=0，y≥0或者y=0，x≤0

又當x+y≤0時，|x+y|=-x-y，可得y=0，x≤0或x=0，y≥0

∴x=0，y≥0或y=0，x≤0

選D．點評：此題主要考查了絕對值的性質，能夠根據已知條件正確地判斷出x，y的值是解答此題的關鍵．【例12】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A、是正數B、是負數C、是零D、不能確定符號【難度】4星【解析】：先根據已知條件確定x、y、z的符號及其絕對值的大小，再畫出數軸確定出各點在數軸上的位置，根據絕對值的性質即可去掉原式的絕對值，使原式得到化簡．【答案】：解：由題意可知，x、y、z在數軸上的位置如圖所示：

所以|x+z|+|y+z|-|x-y|=x+z-（y+z）-（x-y）=0

【例11】給出下面說法：

（1）互為相反數的兩數的絕對值相等；

（2）一個數的絕對值等于本身，這個數不是負數；

（3）若|m|＞m，則m＜0；

（4）若|a|＞|b|，則a＞b，其中正確的有（）A、（1）（2）（3）B、（1）（2）（4）C、（1）（3）（4）D、（2）（3）（4）【難度】3星【解析】：分別根據絕對值的性質、相反數的定義進行解答．【答案】解：（1）正確，符合絕對值的性質；

（2）正確，符合絕對值的性質；

（3）正確，符合絕對值的性質；

（4）錯誤，例如a=-5，b=2時，不成立．

故選A．（1）相反數的定義：只有符號不同的兩個數，叫互為相反數；

（2）絕對值的性質：一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0．【例12】已知a，b，c為三個有理數，它們在數軸上的對應位置如圖所示，則|c-b|-|b-a|-|a-c|=_________【難度】3星【解析】：根據圖示，可知有理數a，b，c的取值范圍b＞1＞a＞0＞c＞-1，然后根據它們的取值范圍去絕對值并求|c-b|-|b-a|-|a-c|的值．【答案】：解：根據圖示知：b＞1＞a＞0＞c＞-1，

∴|c-b|-|b-a|-|a-c|

=-c+b-b+a-a+c

=0

故答案是0．點評：本題主要考查了關于數軸的知識以及有理數大小的比較．【例13】若x＜-2，則|1-|1+x||=______若|a|=-a，則|a-1|-|a-2|=________【難度】3星【解析】根據已知x＜-2，則可知1+x＜0，x+2＜0；再根據絕對值的定義|1-|1+x||逐步去掉絕對值可轉化為-2-x

根據已知|a|=-a與絕對值的定義，那么a≤0，則|a-1|-|a-2|可去掉絕對值后【答案】∵x＜-2，∴1+x＜0，x+2＜0，

則|1-|1+x||=|1-[-（1+x）]|=|2+x|=-2-x；∵|a|=-a，

∴a≤0，

∴a-1＜0，a-2＜0，，

則|a-1|-|a-2|=1-a-（2-a），

=1-a-2+a，

=-1．

故答案為：-2-x，-1．點評：此題主要考查了絕對值的性質，能夠根據已知條件正確地判斷出1+x＜0、x+2＜0、a≤0

進而得出a-1＜0、a-2＜0，這些是解答此題的關鍵【例14】，分別求的值【難度】3星【解析】根據平方和絕對值的非負性解決?！敬鸢浮靠傻?；所以【例15】的最小值是_______【難度】4星【解析】根據絕對值的定義，對本題需去括號，那么牽涉到x的取值，因而分①當x＜-1；②當-1≤x≤5；③當x＞5這三種情況討論該式的最小值．【答案】①當x＜-1，|x+1|+|x-5|+4=-（x+1）+5-x+4=8-2x＞10，

②當-1≤x≤5，|x+1|+|x-5|+4=x+1+5-x+4=10，

③當x＞5，|x+1|+|x-5|+4=x+1+x-5+4=2x＞10；

所以|x+1|+|x-5|+4的最小值是10．

故答案為：10．點評：本題主要考查了絕對值的定義．如何去掉絕對值是解決本題的關鍵，因而采用了對x的取值討論，去掉絕對值，進而確定式子的最小值．【例16】計算=【難度】4星【解析】根據絕對值的定義，去掉絕對值符合，化簡求值．【答案】==

=

=

故答案為點評：解決本題的關鍵是去掉絕對值符號后，部分數值恰好是互為相反數，其和等于0．【例17】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化簡：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=________【難度】4星【解析】根據絕對值的性質進行化簡：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0．【答案】∵|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，

∴a≤0，b≤0，c≥0，

∴a+b≤0，c-b≥0，a-c≤0，

∴原式=-b+a+b-c+b-a+c=b．

故答案為b．點評：此題考查了絕對值的性質，同時注意根據有理數的運算法則正確判斷含有字母的式子的符號．【例18】已知：abc≠0，且M=，當a，b，c取不同值時，M有____種不同可能．

當a、b、c都是正數時，M=______；當a、b、c中有一個負數時，則M=________；當a、b、c中有2個負數時，則M=________；

當a、b、c都是負數時，M=__________．【難度】4星【解析】：根據abc≠0，可以知道，a、b、c一定不可能是0，可以分三個中都是正數，只有一個負數，有2個負數，3個都是負數，4種情況進行討論即可．【答案】當a、b、c中都是正數時，M=1+1+1=3；

當a、b、c中有一個負數時，不妨設a是負數，則M=-1+1+1=1；

當a、b、c中有2個負數時，不妨設a，b是負數，則M=-1-1+1=-1；

當a、b、c都是負數時，M=-1-1-1=-3；

故M有4種不同結果．課堂檢測：1.若a的絕對值是，則a的值是（）A、2B、-2C、D、【難度】1星【解析】：根據絕對值的意義可知：表示數a的點與原點的距離為，這樣的點有兩個，分別在原點的左右兩側．求出即可．【答案】解：∵|a|=，∴a=．

故選D．點評：此題注意考查絕對值的意義，應多讓學生借助數軸，直觀的觀察、總結、歸納結論．2.若|x|=-x，則x一定是（）A、負數B、負數或零C、零D、正數【難度】1星【解析】：根據絕對值的性質進行解答即可．【答案】：解：A、錯誤，例如x=0時不成立；

B、正確，符合絕對值的性質；

C、錯誤，x＜0時原式仍成立；

D、錯誤，例如|5|≠-5．

故選B．點評：本題考查的是絕對的性質，根據已知條件判斷出x的取值范圍是解答此題的關鍵．2.如果|x-1|=1-x，那么（）A、x＜1B、x＞1C、x≤1D、x≥1【難度】1星【解析】：根據|x-1|=1-x可確定x-1的符號，再根據不等式的性質解答即可．【答案】：解：∵|x-1|=1-x，

∴x-1≤0，

∴x≤1．

故選C．點評：絕對值規(guī)律總結：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．

在確定x與1的大小關系時要利用不等式的相關性質．3.若|a-3|=2，則a+3的值為（）A、5B、8C、5或1D、8或4【難度】2星【解析】：先根據絕對值的性質去掉絕對值符號，求出a的值，再把a的值代入a+3進行計算即可．【答案】：解：當a-3≥0，即a≥3時，原不等式可化為a-3=2，a=5，故a+3=5+3=8；

當a-3＜0，即a＜3時，原不等式可化為-a+3=2，a=1，故a+3=1+3=4．

故a+3=8或4．

故選D．點評：本題考查的是絕對值的性質，解答此題題目是要注意分類討論，不要漏解．4.若x＜2，則|x-2|+|2+x|=________________【難度】2星【解析】：已知x＜2，可得x-2＜0，先分類討論，然后根據絕對值的性質進行求解．【答案】：解：∵x＜2，

∴x-2＜0，

①若-2≤x＜2，

∴|x-2|+|2+x|=-（x-2）+2+x=4；

②x＜-2，

∴x+2＜0，

∴|x-2|+|2+x|=2-x-2-x=-2x．

故答案為：4或-2x．點評：此題主要考查絕對值的性質，當x＞0時，|x|=x；當x≤0時，|x|=-x，解題的關鍵是如何根據已知條件，去掉絕對值，還考查了分類討論的思想，是一道好題．5.絕對值小于6的所有整數的和與積分別是__________【難度】2星【解析】根據絕對值的概念，即數軸上表示數的點到原點的距離叫這個數的絕對值，結合數軸，知絕對值小于6的所有整數分別是±1，±2，±3，±4，±5，0，進一步求得其和與積．【答案】絕對值小于6的所有整數分別是±1，±2，±3，±4，±5，0．

則它們的和是0，積是0．

故答案為0，0．點評：此題考查了絕對值的意義以及有理數的加法和乘法運算．互為相反數的兩個數的和是0；幾個數相乘，若其中一個因數為0，則積為0．6.如圖所示，a、b是有理數，則式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化簡的結果為__________【難度】3星【解析】先根據a、b兩點在數軸上的位置判斷出其取值范圍，再根據絕對值的性質進行解答即可．【答案】∵由數軸上a、b兩點的位置可知，-1＜a＜0，b＞1，

∴a+b＞0，b-a＞0，

∴原式=-a+b+a+b+b-a=3b-a．

故答案為：3b-a．點評：本題考查的是絕對值的性質及數軸的特點，能根據a、b兩點在數軸上的位置判斷出其取值范圍是解答此題的關鍵．7.已知|x|=2，|y|=3，且xy＜0，則x+y的值為_________ 【難度】3星【解析】若|x|=2，|y|=3，則x=±2，y=±3；又有xy＜0，則xy異號；故x+y=±1．【答案】∵|x|=2，|y|=3，

∴x=±2，y=±3，

∵xy＜0，

∴xy符號相反，

①x=2，y=-3時，x+y=-1；

②x=-3，y=3時，x+y=1．

故答案為：±1．點評：本題考查絕對值的化簡，正數的絕對值是其本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0．課后作業(yè)：1.-19的絕對值是________【難度】1星【解析】直接根據絕對值的性質進行解答即可．【答案】：解：∵-19＜0，

∴|-19|=19．

故答案為：19．點評：本題考查的是絕對值的性質，用到的知識點為：負數的絕對值是它的相反數．2.如果|-a|=-a，則a的取值范圍是（A、a＞OB、a≥OC、a≤OD、a＜O【難度】1星【解析】：根據絕對值的性質：一個負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0．若|-a|=-a，則可求得a的取值范圍．注意0的相反數是0．【答案】：解：因為一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0或相反數，所以如果|a|=-a，那么a的取值范圍是a≤0．

故選C．點評：此題考查的知識點是絕對值，關鍵明確絕對值規(guī)律總結：一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它