2021年全國新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷試題特點(diǎn)分析

第第頁2021年全國新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷試題特點(diǎn)分析2020年全國高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)加強(qiáng)了創(chuàng)新力度，命題思路不同尋常，讓部分學(xué)生不太適應(yīng)新的題型的分析與解答.在這樣的背景下，2021年全國新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)風(fēng)格可謂平凡中蘊(yùn)含恰到好處的創(chuàng)新，層次分明，起點(diǎn)低，落點(diǎn)高，試題區(qū)分度好.加強(qiáng)了核心素養(yǎng)的多維考查，對(duì)核心素養(yǎng)的復(fù)合式考查和分級(jí)考查體現(xiàn)明顯，情景展現(xiàn)具有多樣性，創(chuàng)新地加強(qiáng)思維深廣度的考查.對(duì)中學(xué)教師的教、學(xué)生的學(xué)具有很好的指導(dǎo)性和可操作性，是新高考數(shù)學(xué)命題具有指導(dǎo)性的一套試題.很好地體現(xiàn)了新高考的“新”，但創(chuàng)新度又把控適當(dāng)，做到了“創(chuàng)新”而不“濫新”，體現(xiàn)在試卷中的“一小一大”題，即第12題的二進(jìn)制與新信息創(chuàng)新題，結(jié)合等比數(shù)列考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；第21題以生物繁殖為背景的概率統(tǒng)計(jì)與不等式及開放性問題的結(jié)合，考查離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)及期望，因式分解、韋達(dá)定理整體代換或?qū)?shù)、實(shí)根分布與不等式證明，旨在落實(shí)數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.今年Ⅱ卷數(shù)學(xué)的最大創(chuàng)新點(diǎn)在于不斷加強(qiáng)了思維深廣度的考查，考查學(xué)生的思維過程、思維深度和思維廣度，大力豐富了開放性試題的考查形式，體現(xiàn)在試卷中的“一小兩大”題，即第14題、第21題和第22題等.1.對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行復(fù)合式考查由最新的課程標(biāo)準(zhǔn)我們知道，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體.2021年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷（以下簡稱“Ⅱ卷”）中的題目，充分體現(xiàn)了對(duì)六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.例如，第6題如下.某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論中不正確的是（）（A）越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大（B）該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于的概率為（C）該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等（D）該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率與落在內(nèi)的概率相等此題不僅要考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)“”的抽象理解，還要明晰該數(shù)學(xué)對(duì)象表達(dá)的數(shù)據(jù)的意義，通過題目中所給出的數(shù)據(jù)，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，經(jīng)過正確的邏輯推理，達(dá)到對(duì)正態(tài)分布這一數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)意義的解讀，盡管難度不大，但卻涉及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等五個(gè)方面的素養(yǎng)進(jìn)行復(fù)合式考查.該題正確選項(xiàng)為D選項(xiàng).又如第10題，原題如下.如圖，下列各正方體中，為下底面的中點(diǎn)，為頂點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則滿足的有（）（A）（B）（C）（D）此題參考答案為BC選項(xiàng).可以很明顯的看出來，該題需要考生具備一定的直觀想象的能力，明確圖中點(diǎn)線面的空間位置關(guān)系，并通過立體幾何的公理體系進(jìn)行正確的演繹推理，如果學(xué)生對(duì)于正方體這個(gè)“模型”相對(duì)熟悉，作出正確的推理就更加迅速.第18題如下.在△中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（Ⅰ）若，求△的面積；（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得△為鈍角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).很多時(shí)候我們覺得數(shù)學(xué)建模只是應(yīng)用題，但是在數(shù)學(xué)建模這個(gè)核心素養(yǎng)里，除了要能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，抽象出問題后，還需要用數(shù)學(xué)方法來解決這個(gè)模型中的問題.解三角形問題雖然已經(jīng)完成從現(xiàn)實(shí)問題中提取模型的過程，但是在模型中要如何分析邊角關(guān)系，選擇何種工具進(jìn)行推理，這也屬于平時(shí)數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng)培養(yǎng)的必備教學(xué)過程.同時(shí)，也考查了學(xué)生的邏輯推理能力，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的運(yùn)算考查也相當(dāng)充分，先用哪些數(shù)據(jù)，后用哪些數(shù)據(jù)，也要求學(xué)生具有較高的數(shù)據(jù)處理能力.這樣的例子在“Ⅱ卷”里不勝枚舉.可以清楚的看到，“Ⅱ卷”中的試題考查單一數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的題目極少，而用一種復(fù)合的多維方式來考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，是這套試卷最顯著的特點(diǎn)之一，無論是較易題，還是中檔題或較難的題目，都體現(xiàn)了這一特點(diǎn)要求.2.對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行分級(jí)考查課標(biāo)中明確指出數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平是六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的綜合表現(xiàn).數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分為三個(gè)水平，每一個(gè)核心素養(yǎng)都有水平一、水平二、水平三共三個(gè)水平的明確界定，三個(gè)水平就是學(xué)業(yè)水平、高考水平、高校自主招生水平.新高考試卷其實(shí)不僅僅考查學(xué)生是否達(dá)到水平二，也會(huì)同時(shí)兼顧水平一的考查.例如，第12題如下.設(shè)正整數(shù)，其中，，記，則（）（A）（B）（C）（D）第17題如下.記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求成立的的最小值.對(duì)于數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，水平一要求能夠在熟悉的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題.第17題就是在我們熟悉的特殊數(shù)列――等差數(shù)列的情景中抽象出數(shù)學(xué)問題的；水平2要求能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題.第12題就是二進(jìn)制的計(jì)數(shù)模型問題，而二進(jìn)制我們并不熟悉，題中采用了的特定線性表達(dá)式來呈現(xiàn)，這需要學(xué)生具備相當(dāng)水平的抽象能力才能準(zhǔn)確的理解到的意義.邏輯推理核心素養(yǎng)，水平一要求能夠在熟悉的情境中，用歸納或類比的方法，發(fā)現(xiàn)數(shù)量的性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系；水平二要求能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言予以表達(dá).第17題屬于難度較低的題目，雖然是在等差數(shù)列這一熟悉的情境中，但在第（Ⅱ）中仍然設(shè)置了數(shù)列與不等式求解的關(guān)聯(lián)情景，以及對(duì)最值的理解.“舉反例”屬于水平二，在12題B選項(xiàng)進(jìn)行判斷正誤時(shí)，就可以通過正向演繹推理從舉例（水平一）找到反例（水平二）.數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，水平一中要求了解數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)的實(shí)際含義；水平二理解模型中參數(shù)的意義.對(duì)待參數(shù)，“了解”和“理解”能力要求顯然是不同的.第12題若沒有理解到表達(dá)的是前的系數(shù)（僅0或1）之和，就無法進(jìn)行正確的推理，連A選項(xiàng)是否正確都無法進(jìn)行推理論證.數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，水平一要求能夠了解運(yùn)算法則及其適用范圍，正確進(jìn)行運(yùn)算；能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中，根據(jù)問題的特征建立合適的運(yùn)算思路，解決問題；水平二要求能夠在關(guān)聯(lián)的情境中確定運(yùn)算對(duì)象，提出運(yùn)算問題，能夠針對(duì)運(yùn)算問題，合理選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，解決問題，能夠理解運(yùn)算是一種演繹推理；能夠在綜合利用運(yùn)算方法解決問題的過程中，體會(huì)程序化思想的意義和作用.可以充分感受到第12題完全體現(xiàn)了水平二的各種要求.例如，對(duì)D選項(xiàng)的驗(yàn)證，若是對(duì)為正整數(shù)，的求和理解不深，又不能進(jìn)行關(guān)聯(lián)性理解，肯定也是無法進(jìn)行正確判斷的.通過這兩道題，可以感受到即使是同一個(gè)知識(shí)板塊的內(nèi)容，試題可以設(shè)計(jì)成熟悉的數(shù)學(xué)情景，也可以設(shè)計(jì)成新的數(shù)學(xué)情景，能夠?qū)W(xué)生在某一素養(yǎng)達(dá)到不同水平的程度進(jìn)行評(píng)價(jià).不同的題有大致的側(cè)重水平，同一個(gè)題目中也會(huì)同時(shí)體現(xiàn)不同的水平考查.3.試題情景展現(xiàn)具有多樣性體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個(gè)方面之一為情境與問題.情境主要是指現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境.“Ⅱ卷”中的題目陳述的情景當(dāng)然都在這三種類型之中，但是有的題目，卻同時(shí)擁有了這三種情景，而且對(duì)數(shù)學(xué)情境的考查也是多維度、靈活多變的.例如，第4題取材于我國航天事業(yè)的重要成果――北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，從我們生活中“導(dǎo)航”這件普通的現(xiàn)實(shí)情景開始，又給出了關(guān)聯(lián)科學(xué)情景地球靜止同步軌道衛(wèi)星的相關(guān)數(shù)據(jù)，提出了研究衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面面積的問題，給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)情境，很好地讓學(xué)生體驗(yàn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就可以解釋我們生活中和科學(xué)中的具體問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生作為中國人的自豪感.又如第21題，結(jié)合我們現(xiàn)實(shí)生活中由于疫情帶來對(duì)生物學(xué)科更多關(guān)注的現(xiàn)實(shí)情境，給出了微生物繁殖的科學(xué)情景，在第（2）問里，還設(shè)置了一個(gè)關(guān)于零點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題，從多維度考查因式分解、韋達(dá)定理整體代換或?qū)?shù)、實(shí)根分布與不等式證明等數(shù)學(xué)情境，通過題目告訴學(xué)生，可以收集哪些數(shù)據(jù)，就可以運(yùn)用所學(xué)去研究微生物存活與消亡的“大問題”，這也會(huì)激發(fā)學(xué)生對(duì)于世界的探索興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感，堅(jiān)持“五育并舉”，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù).第4題如下.北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度約為（軌道高度指衛(wèi)星到地球表面的最短距離）.把地球看成一個(gè)球心為，半徑為的球，其上點(diǎn)的緯度是指與赤道所在平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點(diǎn)的緯度的最大值記為，該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面的面積（單位：），則占地球表面積的百分比約為（）（A）（B）（C）（D）剖析：根據(jù)題目所給的情景，通過直觀想象，從立體圖形中，抓住計(jì)算對(duì)象所在平面，可以得到如右圖所示的軸截面，點(diǎn)為衛(wèi)星所在位置，地球表面上能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點(diǎn)的緯度的最大值，即為當(dāng)與圓相切時(shí)的值（其中為切點(diǎn)），，由球的表面積公式可知所求百分比約為，故答案選C.第21題如下.假設(shè)開始時(shí)有一個(gè)微生物個(gè)體（稱為第0代），該個(gè)體繁殖的若干個(gè)個(gè)體，形成第1代，第1代的每個(gè)個(gè)體繁殖的若干個(gè)個(gè)體，形成第2代，…….假設(shè)每個(gè)個(gè)體繁殖的個(gè)體數(shù)相互獨(dú)立且分布列相同，記第1代微生物的個(gè)體總數(shù)為，的分布列為.（1）若，求；（2）以表示這種微生物最終消亡的概率，已知是關(guān)于的方程的最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）說明（2）的結(jié)論的意義.剖析：（1）.（2）法一：，設(shè)，則，.當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，對(duì),在單調(diào)遞減，則在僅有一個(gè)零點(diǎn)1，即.當(dāng)時(shí)，,注意到在上單調(diào)遞增，則，使得當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，故而在時(shí)，為最小值，且，又，故而在上有唯一零點(diǎn)，即.法二：由題意知，，，令，的對(duì)稱軸為，注意到，.當(dāng)時(shí)，，的正實(shí)根，原方程的最小正實(shí)根；當(dāng)時(shí)，，的正實(shí)根，原方程的最小正實(shí)根.法三：由題意知，，，所以，，當(dāng)時(shí)，，，所以與一個(gè)小于等于1，一個(gè)大于等于1，不妨設(shè)，所以，又，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，同理可得，不妨設(shè)，所以，所以，又，此時(shí)，即.（3）當(dāng)個(gè)體平均繁殖的后代數(shù)不超過1時(shí)，這種微生物將最終消亡；當(dāng)個(gè)體平均繁殖的后代數(shù)大于1時(shí)，這種微生物長期存在的概率大于0.4.創(chuàng)新性著重加強(qiáng)思維深廣度的考查課程標(biāo)準(zhǔn)中提到重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成，在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)工具時(shí)，要關(guān)注知識(shí)技能的范圍和難度，要有利于考查學(xué)生的思維過程、思維深度和思維廣度（例如，設(shè)計(jì)好的開放題是行之有效的方法)，要關(guān)注六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的分布和水平；應(yīng)聚焦數(shù)學(xué)的核心概念和通性通法，聚焦它們所承載的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).如第14題、第21題第（3）問、第22題第（2）問都是設(shè)計(jì)得比較好的開放題，有利于考查學(xué)生的思維過程、思維深度和思維廣度，同時(shí)關(guān)注數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等幾個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的分布和水平一、二的考查；即便是壓軸的第22題也是聚焦數(shù)學(xué)的通性通法，如含參討論、不等式證明、零點(diǎn)存在定理及特值構(gòu)造法或洛必達(dá)法則等，聚焦它們所承載的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，從這些試題結(jié)構(gòu)特征和它們的解答過程中也可窺見一斑.第14題如下.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)：．①；②當(dāng)時(shí)，；③是奇函數(shù).第22題如下.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：有一個(gè)零點(diǎn).①；②.第22題參考解答如下.（1）定義域?yàn)椋?1）當(dāng)即時(shí)，，，∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為.2）當(dāng)即時(shí)，令，∴或，①當(dāng)時(shí)，即，也即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，∴的增區(qū)間為，無減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，即，也即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）若選①：，由（1）問知的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，又，所以，(*).∵，∴，∴，∴(*)，∴，∴當(dāng)時(shí)，.法一（特值構(gòu)造＋零點(diǎn)存在定理）：取，∴，由于，由零點(diǎn)存在定理，唯一的，使，∴在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即證.法二（洛必達(dá)法則）：，時(shí)，，故唯一的，使，∴在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即證.若選②：，由（1）問知增區(qū)間為，減區(qū)間為，，又∵，∴，∴(**).∵，∴，∴(**)，∴，∴當(dāng)時(shí)，.法一（特值構(gòu)造＋零點(diǎn)存在定理）：取，∵，∴，，而，∴，∴.由零點(diǎn)存在定理，唯一的，使，∴在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即證