專題17解答題壓軸題新定義題型

專題17解答題壓軸題新定義題型（解析版）模塊一2022中考真題集訓(xùn)類型一函數(shù)中的新定義問題1．（2022?南通）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n（n≥0）的點(diǎn)叫做這個函數(shù)圖象的“n階方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（13，13）是函數(shù)y＝x圖象的“12階方點(diǎn)”；點(diǎn)（2，1）是函數(shù)（1）在①（﹣2，?12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三點(diǎn)中，是反比例函數(shù)y=1x圖象的“1階方點(diǎn)”的有（2）若y關(guān)于x的一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，求a的值；（3）若y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，請直接寫出n的取值范圍．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；（2）在以O(shè)為中心，邊長為4的正方形ABCD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時，圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，結(jié)合圖象求a的值即可；（3）在以O(shè)為中心，邊長為2n的正方形ABCD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．解：（1）①（﹣2，?12）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是2，∵2＞1，12∴（﹣2，?12）不是反比例函數(shù)y②（﹣1，﹣1）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是1，1，∵≤1，1≤1，∴（﹣1，﹣1）是反比例函數(shù)y=1③（1，1）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是1，1∵1≤1，1≤1，∴（1，1）是反比例函數(shù)y=1故答案為：②③；（2）∵當(dāng)x＝3時，y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1＝1，∴函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（3，1），如圖1，在以O(shè)為中心，邊長為4的正方形ABCD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時，圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，由圖可知，C（2，﹣2），D（2，2），∵一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D時，a＝﹣1，此時圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C時，a＝3，此時圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，綜上所述：a的值為3或﹣1；（3）在以O(shè)為中心，邊長為2n的正方形ABCD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，如圖2，當(dāng)n＞0時，A（n，n），C（﹣n，﹣n），B（n，﹣n），D（﹣n，n），當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時，n＝1；當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)D時，n＝﹣1（舍）或n=1∴14≤n≤1時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象有“綜上所述：當(dāng)14≤n≤1時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“總結(jié)提升：本題屬于二次函數(shù)背景下新定義問題，主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，理解定義，將所求問題轉(zhuǎn)化為正方形與函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵．2．（2022?湘西州）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．（1）求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN與線段DM的長度的比值．（3）如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．思路引領(lǐng)：（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，13t2+23t﹣1），N（t，0），分別求出MN（3）先求出E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），分兩種情況討論：①當(dāng)EG＝EF時，22=(x+2)2+1，可得F（7?2，0）或（?7?2，0）；②當(dāng)解：（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴9a?6a+c=0c=?1解得a=1∴y=13x2+在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，∴G（0，﹣3）；（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，13t2+23t﹣1），N∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM=13t2+23t﹣1﹣（t2+2t﹣3）=?2∴MNDM（3）存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對稱軸為直線x＝﹣1，∵E點(diǎn)與H點(diǎn)關(guān)于對稱軸x＝﹣1對稱，∴E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），①當(dāng)EG＝EF時，∵G（0，﹣3），∴EG＝22，∴22=解得x=7?2或x∴F（7?2，0）或（?②當(dāng)EG＝FG時，22=此時x無實(shí)數(shù)根；綜上所述：F點(diǎn)坐標(biāo)為（7?2，0）或（?總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2022?蘭州）在平面直角坐標(biāo)系中，P（a，b）是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，給出如下定義：k1=ab和k2=ba兩個值中的最大值叫做點(diǎn)（1）求點(diǎn)P（6，2）的“傾斜系數(shù)”k的值；（2）①若點(diǎn)P（a，b）的“傾斜系數(shù)”k＝2，請寫出a和b的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若點(diǎn)P（a，b）的“傾斜系數(shù)”k＝2，且a+b＝3，求OP的長；（3）如圖，邊長為2的正方形ABCD沿直線AC：y＝x運(yùn)動，P（a，b）是正方形ABCD上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P的“傾斜系數(shù)”k＜3，請直接寫出a思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“傾斜系數(shù)”k的定義直接計(jì)算即可；（2）①根據(jù)“傾斜系數(shù)”k的定義分情況得出結(jié)論即可；②根據(jù)“傾斜系數(shù)”k的定義求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出OP的值即可；（3）根據(jù)k的取值，分情況求出a的取值范圍即可．解：（1）由題意知，k=6即點(diǎn)P（6，2）的“傾斜系數(shù)”k的值為3；（2）①∵點(diǎn)P（a，b）的“傾斜系數(shù)”k＝2，∴ab=2或即a＝2b或b＝2a，∴a和b的數(shù)量關(guān)系為a＝2b或b＝2a；②由①知，a＝2b或b＝2a∵a+b＝3，∴a=1b=2或a=2∴OP=1（3）由題意知，滿足條件的P點(diǎn)在直線y=3x和直線y=3①當(dāng)P點(diǎn)與D點(diǎn)重合時，且k=3時，P點(diǎn)在直線y=3x上，如圖：此時a＜b，連接OD，延長DA交x軸于E，此時ba則a+2a解得a=3此時B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3+3，3且k=∴a＞3②當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時，且k=3時，P點(diǎn)在直線y=33x如圖：此時a＞b，連接OB，延長CB交x軸于F，此時ab則aa?2解得a＝3+3此時D（3+1，3且k=3∴a＞3綜上所述，若點(diǎn)P的“傾斜系數(shù)”k＜3，則a＞總結(jié)提升：本題主要考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解“傾斜系數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2022?遵義）新定義：我們把拋物線y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）與拋物線y＝bx2+ax+c稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線y＝2x2+3x+1的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：y＝3x2+2x+1．已知拋物線C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“關(guān)聯(lián)拋物線”為C2．（1）寫出C2的解析式（用含a的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若a＞0，過x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于點(diǎn)M，N．①當(dāng)MN＝6a時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)a﹣4≤x≤a﹣2時，C2的最大值與最小值的差為2a，求a的值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出C2的解析式，再將該解析式化成頂點(diǎn)式，可得出C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則可表達(dá)點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可表達(dá)MN的長，列出方程，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②分情況討論，當(dāng)a﹣4≤﹣2≤a﹣2時，當(dāng)﹣2≤a﹣4≤a﹣2時，當(dāng)a﹣4≤a﹣2≤﹣2時，分別得出C2的最大值和最小值，進(jìn)而列出方程，可求出a的值．解：（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得C2的解析式為：y＝ax2+4ax+4a﹣3，∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，∴C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）；（2）①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∵過點(diǎn)P作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于點(diǎn)M，N，∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，∵M(jìn)N＝6a，∴|3am2﹣3am|＝6a，解得m＝﹣1或m＝2，∴P（﹣1，0）或（2，0）．②∵C2的解析式為：y＝a（x+2）2﹣3，∴當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣3，當(dāng)x＝a﹣4時，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，當(dāng)x＝a﹣2時，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論，Ⅰ、當(dāng)a﹣4≤﹣2≤a﹣2時，0＜a≤2，且當(dāng)0＜a≤1時，函數(shù)的最大值為a（a﹣2）2﹣3；函數(shù)的最小值為﹣3，∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2?2或a＝2+當(dāng)1≤a≤2時，函數(shù)的最大值為a3﹣3；函數(shù)的最小值為﹣3，∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a=2或a=?Ⅱ、當(dāng)﹣2≤a﹣4≤a﹣2時，a≥2，函數(shù)的最大值為a3﹣3，函數(shù)的最小值為a（a﹣2）2﹣3；∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，解得a=3Ⅲ、當(dāng)a﹣4≤a﹣2≤﹣2時，a≤0，不符合題意，舍去；綜上，a的值為2?2或2總結(jié)提升：本題屬于二次函數(shù)背景下新定義類問題，涉及兩點(diǎn)間距離公式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，由“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義得出C2的解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2022?赤峰）閱讀下列材料定義運(yùn)算：min|a，b|，當(dāng)a≥b時，min|a，b|＝b；當(dāng)a＜b時，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任務(wù)（1）①min|（﹣3）0，2|＝1；②min|?14，﹣4|＝﹣4（2）如圖，已知反比例函數(shù)y1=kx和一次函數(shù)y2＝﹣2x+b的圖象交于A、B兩點(diǎn)．當(dāng)﹣2＜x＜0時，min|kx，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)定義運(yùn)算的法則解答即可；（2）根據(jù)反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象的性質(zhì)解答即可．解：（1）由題意可知：①min|（﹣3）0，2|＝1，②min|?14故答案為：1，﹣4．（2）當(dāng)﹣2＜x＜0時，min|kx，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2＝﹣2x∵一次函數(shù)y2＝﹣2x+b，∴b＝﹣3，∴y2＝﹣2x﹣3，當(dāng)x＝﹣2時，y＝1，∴A（﹣2，1）將A點(diǎn)代入y1=kx中，得∴y1=?2總結(jié)提升：本題主要考查了新定義運(yùn)算和反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟練掌握新定義運(yùn)算的法則和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022?泰州）定義：對于一次函數(shù)y1＝ax+b、y2＝cx+d，我們稱函數(shù)y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）為函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”．（1）若m＝3，n＝1，試判斷函數(shù)y＝5x+2是否為函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”，并說明理由；（2）設(shè)函數(shù)y1＝x﹣p﹣2與y2＝﹣x+3p的圖象相交于點(diǎn)P．①若m+n＞1，點(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象的上方，求p的取值范圍；②若p≠1，函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象經(jīng)過點(diǎn)P．是否存在大小確定的m值，對于不等于1的任意實(shí)數(shù)p，都有“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變？若存在，請求出m的值及此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．思路引領(lǐng)：（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函數(shù)y＝5x+2是函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”；（2）①由y=x?p?2y=?x+3p得P（2p+1，p﹣1），當(dāng)x＝2p+1時，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），根據(jù)點(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而m+n＞1，可得p②由函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）圖象經(jīng)過點(diǎn)P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可得m=34時，“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變，解：（1）函數(shù)y＝5x+2是函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”，理由如下：∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），∴函數(shù)y＝5x+2是函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”；（2）①由y=x?p?2y=?x+3p得x=2p+1∴P（2p+1，p﹣1），∵y1、y2的“組合函數(shù)”為y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），∴x＝2p+1時，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），∵點(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象的上方，∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，∵m+n＞1，∴1﹣m﹣n＜0，∴p﹣1＜0，∴p＜1；②存在m=34時，對于不等于1的任意實(shí)數(shù)p，都有“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變，由①知，P（2p+1，p﹣1），∵函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）圖象經(jīng)過點(diǎn)P，∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，∵p≠1，∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，變形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，∴當(dāng)3﹣4m＝0，即m=34時，12∴x＝3，∴m=34時，“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變，總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及新定義，函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)與一次方程的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是讀懂“組合函數(shù)“的定義．類型二幾何圖形中的新定義問題7．（2022?青島）【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形、例如：如圖①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分別是BC和B'C'邊上的高線，且AD＝A'D'、則△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖①，用S△ABC，S△A'B'C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積，則S△ABC=12BC?AD，S△A'B'C′=12B′C′?∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性質(zhì)應(yīng)用】（1）如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝3：4；（2）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，則S△BEC＝12，S△CDE＝16（3）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，則S△CDE＝amn思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)等高的兩三角形面積的比等于底的比，直接求出答案；（2）同（1）的方法即可求出答案；（3）同（1）的方法即可求出答案．解：（1）∵BD＝3，DC＝4，∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，故答案為：3：4；（2）∵BE：AB＝1：2，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，∵S△ABC＝1，∴S△BEC=1∵CD：BC＝1：3，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，∴S△CDE=13S△BEC故答案為：12，1（3）∵BE：AB＝1：m，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，∵S△ABC＝a，∴S△BEC=1mS△ABC∵CD：BC＝1：n，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，∴S△CDE=1nS△BEC=1故答案為：amn總結(jié)提升：此題主要考查了三角形的面積公式，理解等高的兩三角形的面積比等于底的比是解本題的關(guān)鍵．8．（2022?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（a，b），N．對于點(diǎn)P給出如下定義：將點(diǎn)P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|個單位長度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|個單位長度，得到點(diǎn)P′，點(diǎn)P′關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為Q，稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”．（1）如圖，點(diǎn)M（1，1），點(diǎn)N在線段OM的延長線上．若點(diǎn)P（﹣2，0），點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”．①在圖中畫出點(diǎn)Q；②連接PQ，交線段ON于點(diǎn)T，求證：NT=12（2）⊙O的半徑為1，M是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，且ON＝t（12＜t＜1），若P為⊙O外一點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”，連接PQ．當(dāng)點(diǎn)M在⊙O上運(yùn)動時，直接寫出PQ長的最大值與最小值的差（用含思路引領(lǐng)：（1）①根據(jù)定義，先求出P'的坐標(biāo)，從而得出Q的位置；②連接PP'，利用三角形中位線定理得NT=12（2）連接PO，并延長至S，使OP＝OS，延長SQ到T，使ST＝OM，由題意知，PP1∥OM，PP1＝OM，P1N＝NQ，利用三角形中位線定理得QT的長，從而求出SQ的長，在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，則PQ的最小值為PS﹣QS，PQ的最大值為PS+QS，從而解決問題．解：（1）①由題意知，P'（﹣2+1，0+1），∴P'（﹣1，1），如圖，點(diǎn)Q即為所求；②連接PP'，∵∠P'PO＝∠MOx＝45°，∴PP'∥ON，∵P'N＝QN，∴PT＝QT，∴NT=12∵PP'＝OM，∴NT=12（2）如圖，連接PO，并延長至S，使OP＝OS，延長SQ到T，使ST＝OM，由題意知，PP'∥OM，PP'＝OM，P'N＝NQ，∴TQ＝2MN，∵M(jìn)N＝OM﹣ON＝1﹣t，∴TQ＝2﹣2t，∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，∵PS﹣QS≤PQ≤PS+QS，∴PQ的最小值為PS﹣QS，PQ的最大值為PS+QS，∴PQ長的最大值與最小值的差為（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．總結(jié)提升：本題是圓的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形中位線定理，三角形三邊關(guān)系，平移的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解定義，畫出圖形，利用三角形中位線定理求出QT的長是解題的關(guān)鍵．模塊二2023中考押題預(yù)測9．（2023?義烏市校級模擬）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線x＝m，對于任意一個函數(shù)，作該函數(shù)自變量大于m的部分關(guān)于直線x＝m的軸對稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于m的部分共同構(gòu)成一個新的函數(shù)圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線x＝m的“鏡面函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)y＝x+1的圖象，則它關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為y=x+1(x≥0)?x+1(x＜0)，也可以寫成y＝|（1）在圖③中畫出函數(shù)y＝﹣2x+1關(guān)于直線x＝1的“鏡面函數(shù)”的圖象．（2）函數(shù)y＝x2﹣2x+2關(guān)于直線x＝﹣1的“鏡面函數(shù)”與直線y＝﹣x+m有三個公共點(diǎn)，求m的值．（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”圖象與矩形ABCD的邊恰好有4個交點(diǎn)，求n的取值范圍．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“鏡面函數(shù)”的定義畫出函數(shù)y＝﹣2x+1的“鏡面函數(shù)”的圖象即可；（2）分直線y＝﹣x+m過“鏡面函數(shù)”圖象與直線x＝﹣1的交點(diǎn)和與原拋物線相切兩種情況求解即可；（3）先求出y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“鏡面函數(shù)”解析式，再分x＝﹣1以及頂點(diǎn)在y＝﹣2上的情況和x＝3時，列出不等式求解即可．解：（1）如圖，即為函數(shù)函數(shù)y＝﹣2x+1關(guān)于直線x＝1的“鏡面函數(shù)”的圖象，（2）如圖，對于y＝x2﹣2x+2，當(dāng)x＝0時，y＝2，∴函數(shù)y＝x2﹣2x+2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），當(dāng)直線y＝﹣x+m經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，5）時，m＝4；此時y＝x2﹣2x+2關(guān)于直線x＝﹣1的“鏡面函數(shù)”與直線y＝﹣x+m有三個公共點(diǎn)，當(dāng)直線y＝﹣x+m與原拋物線只有一個交點(diǎn)時，則有：﹣x+m＝x2﹣2x+2，整理得，x2﹣x+2﹣m＝0，此時，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＝0，解得，m=7綜上，m的值為4或74（3）函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“鏡面函數(shù)”解析式為y＝x2+2nx+2（n＞0），當(dāng)x＝﹣1時，y＜0，∴1﹣2n+2＜0，解得，n＞3當(dāng)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的頂點(diǎn)在CD上時，8?4n解得n＝2或n＝﹣2（舍），此時，函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”圖象與矩形ABCD的邊有5個交點(diǎn)，不合題意，∴32當(dāng)x＝3時，y＜﹣2，∴9﹣6n+2＜﹣2，解得，n＞13綜上，n的取值范圍為32＜n＜2或總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解并運(yùn)用新定義“鏡面函數(shù)”，能夠?qū)D象的對稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對稱，借助圖象解題是關(guān)鍵．10．（2023?秦皇島一模）定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1，（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與y=a2x2+b2x+c2a2≠0，a2、b2、c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個函致互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．例如：求函數(shù)y＝2x2﹣3x+1的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，由函數(shù)y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝3，c1＝1．根據(jù)a1+a2＝0，b請思考并解決下面問題：（1）寫出函數(shù)y＝x2﹣4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；（2）若函數(shù)y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（m+n）2023的值；（3）已知函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是A1、B1、C1，試求證：經(jīng)過點(diǎn)A1、B1、C1的二次函數(shù)與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義求出另一個函數(shù)的a、b、c的值，從而得出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)定義得出m和n的二元一次方程組，從而得出答案；（3）首先求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)新定義進(jìn)行判定．解：（1）根據(jù)題意得1+a=0b=?4解得a=?1b=?4故解析式為：y＝﹣x2﹣4x﹣3．（2）根據(jù)題意得m?1=?nn?3=0∴m=?2n=3∴（m+n）2023＝（﹣2+3）2023＝12023＝1．（3）根據(jù)題意得A（1，0），B（3，0），C（0，﹣6），∴A1（﹣1，0），B1（﹣3，0），C1（0，6），又y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，且經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)為y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2x2+4x+6，∵a1∴兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．總結(jié)提升：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，涉及了待定系數(shù)法，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)等知識，正確理解題意，熟練運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．11．（2022?濱?？h校級三模）定義：若一個函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)之和為零的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個函數(shù)圖象的“好點(diǎn)”，例如，點(diǎn)（﹣1，1）是函數(shù)y＝x+2的圖象的“好點(diǎn)”．（1）在函數(shù)①y＝﹣x+5，②y=6x，③y＝x2+2x+1的圖象上，存在“好點(diǎn)”的函數(shù)是③（2）設(shè)函數(shù)y=4x(x＜0)與y＝kx﹣1的圖象的“好點(diǎn)”分別為點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A作AC⊥y軸，垂足為C．當(dāng)△ABC（3）若將函數(shù)y＝2x2+4x的圖象在直線y＝m下方的部分沿直線y＝m翻折，翻折后的部分與圖象的其余部分組成了一個新的圖象．當(dāng)該圖象上恰有3個“好點(diǎn)”時，求m的值．思路引領(lǐng)：（1）判斷y＝﹣x與各個函數(shù)圖像是否有公共點(diǎn)即可；（2）先得出y=?4x的“好點(diǎn)”，從而得出AC的長，在y＝﹣x上的點(diǎn)B，使得AB＝AC，從而求得點(diǎn)B坐標(biāo)，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝kx+3求得（3）折疊前的拋物線上有兩個“好點(diǎn)”，所以折疊后的拋物線上有一個“好點(diǎn)”即可，即y＝﹣x與折疊后拋物線只有一個公共點(diǎn)，從而求得折疊后的拋物線解析式，進(jìn)一步求得結(jié)果．解：（1）∵y＝﹣x+5，∴y+x＝5，∴①不是“好點(diǎn)”的函數(shù)，∵y=3x，∴xy＝3＞0∴x+y≠0，∴②不是“好點(diǎn)”的函數(shù)，∵y=x∴x2+3x+1＝0，∴Δ＝32﹣4×1×1＞0，∴方程組有解，∴③是“好點(diǎn)”的函數(shù)，故答案為：③；（2）∵y=?4xx+y=0∴x=?2y=2∴A（﹣2，2），如圖，當(dāng)△ABC為等腰三角形時，AB＝AC＝2或BA＝BC，當(dāng)AB＝AC時，∵y＝﹣x，∴B（x，﹣x），∴（x+2）2+（﹣x﹣2）2＝22，∴x1=2?2，x2當(dāng)x=2?2時，y∴（2?2）k+3=?∴k=3當(dāng)x=?2?2時，y∴（?2?2）k+3∴k=?3當(dāng)AB＝BC時，點(diǎn)B（﹣1，1），∴﹣k﹣1＝1，∴k＝﹣2，綜上所述：k=±32?4（3）設(shè)翻折后的拋物線解析式為y＝﹣2x2﹣4x+k，∵y＝2x2+4x的圖像上有兩個“好點(diǎn)”：（0，0）和（﹣3，3），當(dāng)y＝﹣2x2﹣4x+k上有一個“好點(diǎn)”時，把y＝﹣x代入得，﹣x＝﹣2x2﹣4x+k，化簡整理得，x2+32x?∵Δ=94+∴k=?9∴y＝﹣2x2﹣4x?9由y=2x2y=?9∴y=?9∴m=?1當(dāng)（0，0）在y＝﹣2x2﹣4x+k上時，此時﹣x2﹣2x＝﹣x，x＝0或x＝﹣1，這時也有三個“好點(diǎn)”：（﹣3，3），（0，0），（﹣1﹣1），∴m=?1總結(jié)提升：本題考查了結(jié)合一次函數(shù)，反比例函數(shù)及二次函數(shù)知識，考查了對“好點(diǎn)”的理解，等腰三角形知識，坐標(biāo)系中線段的長，兩個圖像的交點(diǎn)與方程組之間的關(guān)系等知識，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識．12．（2022?婺城區(qū)模擬）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意一個函數(shù)，作該函數(shù)y軸右側(cè)部分關(guān)于y軸的軸對稱圖形，與原函數(shù)y軸的交點(diǎn)及y軸右側(cè)部分共同構(gòu)成一個新函數(shù)的圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)的“新生函數(shù)“例如：圖①是函數(shù)y＝x+l的圖象，則它的“新生函數(shù)“的圖象如圖②所示，且它的“新生函數(shù)“的解析式為y=x+1(x≥0)?x+1(x＜0)，也可以寫成y＝|（1）在圖③中畫出函數(shù)y＝﹣2x+l的“新生函數(shù)“的圖象．（2）函數(shù)y＝x2﹣2x+2的“新生函數(shù)“與直線y＝﹣x+m有三個公共點(diǎn)，求m的值．（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數(shù)“圖象與矩形ABCD的邊恰好有4個交點(diǎn)，求n的取值范圍．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)定義畫出函數(shù)圖象即可；（2）畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線y＝﹣x+m經(jīng)過（0，2）時，有3個公共點(diǎn)；函數(shù)y＝x2﹣2x+2（x＞0）與直線y＝﹣x+m有一個交點(diǎn)時，即m=74時有3個公共點(diǎn)；根據(jù)臨界情況可知，m＝2或m=74時，函數(shù)y＝x2﹣2x+2的“新生函數(shù)“與直線y＝﹣（3）畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可知，當(dāng)y＝x2+2nx+2經(jīng)個點(diǎn)A時，n=32，此時有3個交點(diǎn)；當(dāng)y＝x2﹣2nx+2的頂點(diǎn)在CD上時，n＝2，此時有5個交點(diǎn)；根據(jù)臨界情況可得32＜n＜2時，函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數(shù)“圖象與矩形ABCD的邊有4個交點(diǎn)；當(dāng)y＝x2﹣2nx+2經(jīng)過點(diǎn)C時，n=136，此時有5個交點(diǎn)，根據(jù)臨界情況可得n＞136時，函數(shù)y＝x解：（1）如圖：（2）如圖：y＝x2﹣2x+2與y軸的交點(diǎn)為（0，2），當(dāng)直線y＝﹣x+m經(jīng)過（0，2）時，m＝2，此時函數(shù)y＝x2﹣2x+2的“新生函數(shù)“與直線y＝﹣x+m有3個公共點(diǎn)；當(dāng)x2﹣2x+2＝﹣x+m時，x2﹣x+2﹣m＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根時，Δ＝1﹣8+4m＝0，解得m=7此時函數(shù)y＝x2﹣2x+2的“新生函數(shù)“與直線y＝﹣x+m有3個公共點(diǎn)；∴m=74或m＝2時，函數(shù)y＝x2﹣2x+2的“新生函數(shù)“與直線y＝﹣x+（3）如圖3，當(dāng)y＝x2+2nx+2經(jīng)個點(diǎn)A時，1﹣2n+2＝0，解得n=3當(dāng)n=32時，函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數(shù)“圖象與矩形當(dāng)y＝x2﹣2nx+2的頂點(diǎn)在CD上時，8?4n解得n＝2或n＝﹣2（舍），當(dāng)n＝2時，函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數(shù)“圖象與矩形ABCD的邊有5個交點(diǎn)；∴32＜n＜2時，函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數(shù)“圖象與矩形如圖4，當(dāng)y＝x2﹣2nx+2經(jīng)過點(diǎn)C時，9﹣6n+2＝﹣2，解得n=13當(dāng)n=136時，函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數(shù)“圖象與矩形∴n＞136時，函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數(shù)“圖象與矩形綜上所述：32＜n＜2或n＞136時，函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)定義，能夠畫出正確的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象能能夠找到臨界情況是解題的關(guān)鍵．13．（2022?寧南縣模擬）新定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若一條直線與二次函數(shù)圖象拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)，且拋物線位于這條直線同側(cè)，則稱該直線與此拋物線相切，公共點(diǎn)為切點(diǎn)．現(xiàn)有一次函數(shù)y＝﹣4x﹣1與二次函數(shù)y＝x2+mx圖象相切于第二象限的點(diǎn)A．（1）求二次函數(shù)的解析式及切點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）當(dāng)0＜x＜3時，求二次函數(shù)函數(shù)值的取值范圍；（3）記二次函數(shù)圖象與x軸正半軸交于點(diǎn)B，問在拋物線上是否存在點(diǎn)C（異于A）使∠OBC＝∠OBA，若有則求出C坐標(biāo)，若無則說明理由．思路引領(lǐng)：（1）聯(lián)立一次函數(shù)y＝﹣4x﹣1與二次函數(shù)y＝x2+mx表達(dá)式并整理得：x2+（m+4）x+1＝0，由Δ＝0，即可求解；（2）由拋物線的表達(dá)式知，其頂點(diǎn)為（1，﹣1），當(dāng)x＝0時，y＝0，當(dāng)x＝3時，y＝x2﹣2x＝3，進(jìn)而求解；（3）求出直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x+2，而∠OBC＝∠OBA，則直線BC的表達(dá)式中的k值為1，進(jìn)而求解．解：（1）聯(lián)立一次函數(shù)y＝﹣4x﹣1與二次函數(shù)y＝x2+mx表達(dá)式并整理得：x2+（m+4）x+1＝0，∵稱該直線與此拋物線相切于點(diǎn)A，則Δ＝（m+4）2﹣4＝0，解得：m＝﹣2或﹣6，當(dāng)m＝﹣2時，由y=?4x?1y=x2當(dāng)m＝﹣6時，由y=?4x?1y=x2故點(diǎn)A（﹣1，3），二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2﹣2x；（2）由拋物線的表達(dá)式知，其頂點(diǎn)為（1，﹣1），當(dāng)x＝0時，y＝0，當(dāng)x＝3時，y＝x2﹣2x＝3，故函數(shù)值的取值范圍是：﹣1≤y＜3；（3）設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y＝kx+b，則3=?k+bb=2，解得k=?1即直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x+2，∵∠OBC＝∠OBA，則直線BC的表達(dá)式中的k值為1，故直線BC的表達(dá)式為：y＝x﹣2，則y=x2?2xy=x?2，則x2﹣2解得：x＝2（舍去）或1，故點(diǎn)C（1，﹣1）．總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，理解“切點(diǎn)”的定義，并利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是本題的關(guān)鍵．14．（2022?天寧區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（t，0）與（t+6，0）．對于坐標(biāo)平面內(nèi)的一動點(diǎn)P，給出如下定義：若∠APB＝45°，則稱點(diǎn)P為線段AB的“等角點(diǎn)”．（1）當(dāng)t＝1時，①若點(diǎn)P為線段AB在第一象限的“等角點(diǎn)”，且在直線x＝4上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，32+3）②若點(diǎn)P為線段AB的“等角點(diǎn)”，并且在y軸上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3±2）；（2）已知直線y＝﹣0.5x+4上總存在線段AB的“等角點(diǎn)”，則t的范圍是﹣310?1≤t≤310?思路引領(lǐng)：（1）①根據(jù)P在直線x＝4上畫圖1，作△APB的外接圓C，連接AC，BC，可知AB＝6，OC的半徑為32，最后計(jì)算PD的長可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；②同理根據(jù)作輔助線，計(jì)算OP和OP1的長，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，注意不要丟解；（2）當(dāng)△ABP的外接圓與直線y＝﹣0.5x+4相切時，直線上開始存在線段AB的“等角點(diǎn)”，再根據(jù)圓與切線的關(guān)系求出t的臨界值，即可求t的取值范圍．解：（1）①如圖1，作△APB的外接圓，設(shè)圓心為C，連接AC，BC，∵點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0）與（7，0），∴AB＝7﹣1＝6，∵∠APB＝45°，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝32，∴PC＝32，∵點(diǎn)P在直線x＝4上，∴AD＝4﹣1＝3，∴AD＝BD，∵CD⊥AB，∴CD＝AD＝3，∴P（4，32+故答案為：（4，32+②如圖2所示，同理作△APB的外接圓，設(shè)圓心為C，過C作CD⊥x軸于D，作CE⊥OP于E，連接PC，P1C，在y軸上存在∠APB＝∠AP1B＝45°，則①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝32，由勾股定理得：PE=(3∴PO＝3+2同理得：OP1＝3?2∴P（0，3±2），綜上分析，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3±2）．故答案為：（0，3±2）；（2）作△APB的外接圓C，∵A（t，0），B（6+t，0），∴AB＝6，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴C（t+3，3），∴AC＝32，設(shè)直線y=?12x+4與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為M、∴M（8，0），N（0，4），∴MN＝45，∴cos∠NMO=2過C點(diǎn)作DF⊥x軸于直線MN交于點(diǎn)E，∴E（t+3，?12t∴CE＝|?12t+52?當(dāng)CP⊥MN時，CP＝32，∵∠PCE+∠PEC＝90°，∠CEP+∠NMO＝90°，∴∠PCE＝∠NMO，∴25解得t＝310?1或t＝﹣310∴﹣310?1≤t≤310?1時，直線y＝﹣0.5x+4上總存在線段總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圓周角與圓心角的性質(zhì)，切線與圓的性質(zhì)，直角三角函數(shù)值的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2022?零陵區(qū)模擬）九年級數(shù)學(xué)興趣小組在課外學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)y＝2x2﹣3x+1的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．小組同學(xué)是這樣思考的，由函數(shù)y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據(jù)a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請參照小組同學(xué)的方法解決下面問題：（1）函數(shù)y＝x2﹣4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”是y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）若函數(shù)y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（m+n）2022的值；（3）已知函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，試求證：經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．思路引領(lǐng)：（1）由二次函數(shù)的解析式可得出a1，b1，c1的值，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義可求出a2，b2，c2的值，此問得解；（2）由函數(shù)y＝5x2+（m+1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可求出m，n的值，將其代入（m+n）2021即可求出結(jié)論；（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，結(jié)合對稱的性質(zhì)可求出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)，由點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式可求出過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式，由兩函數(shù)的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可證出經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．（1）解：由函數(shù)y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，∴y＝﹣x2﹣4x﹣3，故答案為：y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）解：根據(jù)題意得：m?1=?nn?3=0，解得m=?2∴（m+n）2022＝（3﹣2）2022＝1；（3）證明：化簡y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），∴A、B、C三點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），∴經(jīng)過A1、B1、C1三點(diǎn)的函數(shù)解析式為y＝﹣2x2+4x+6，∴y＝﹣2x2+4x+6與原函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）是旋轉(zhuǎn)函數(shù)．總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、對稱的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義求出a2，b2，c2的值；（2）利用“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義求出m，n的值；（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式．16．（2022?甘井子區(qū)校級模擬）定義：將函數(shù)C1的圖象繞點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180o，得到新的函數(shù)C2的圖象，我們稱函數(shù)C2是函數(shù)C1關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)．例如：當(dāng)m＝1時，函數(shù)y＝（x﹣3）2+9關(guān)于點(diǎn)P（1，0）的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣（x+1）2﹣9．（1）當(dāng)m＝0時，①一次函數(shù)y＝﹣x+7關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣x﹣7．②點(diǎn)A（5，﹣6）在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值．（2）函數(shù)y＝（x﹣2）2+6關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，則m＝6．（3）當(dāng)m﹣1≤x≤m+2時，函數(shù)y＝x2﹣6mx+4m2關(guān)于點(diǎn)P（m，0）的相關(guān)函數(shù)的最大值為8，求m的值．思路引領(lǐng)：（1）①由相關(guān)函數(shù)的定義，將y＝﹣x+7旋轉(zhuǎn)變換可得相關(guān)函數(shù)為y＝﹣x﹣7；②先求出二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)，然后求出相關(guān)函數(shù)，再把點(diǎn)A代入，即可得到答案；（2）兩函數(shù)頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P中心對稱，可用中點(diǎn)坐標(biāo)公式獲得點(diǎn)P坐標(biāo)，從而獲得m的值；（3）先確定相關(guān)函數(shù)，然后根據(jù)m的取值范圍，對m進(jìn)行分類討論，以對稱軸在給定區(qū)間的左側(cè)，中部，右側(cè)，三種情況分類討論，獲得對應(yīng)的m的值．解：（1）①根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義，y＝﹣x+7關(guān)于點(diǎn)P（0，0）旋轉(zhuǎn)變換可得相關(guān)函數(shù)為y＝﹣x﹣7，故答案為：y＝﹣x﹣7；②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴y＝ax2﹣2ax+a關(guān)于點(diǎn)P（0，0）的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣a（x+1）2，∵點(diǎn)A（5，﹣6）在二次函數(shù)y＝﹣a（x+1）2的圖象上，∴﹣6＝﹣a（5+1）2，解得：a=1（2）y＝（x﹣2）2+6的頂點(diǎn)為（2，6），y＝﹣（x﹣10）2﹣66的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（10，﹣6）；∵兩個二次函數(shù)的頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P（m，0）成中心對稱，∴m=2+10故答案為：6；（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，∴y＝x2﹣6mx+4m2關(guān)于點(diǎn)P（m，0）的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣（x+m）2+5m2．①當(dāng)﹣m≤m﹣1，即m≥12時，當(dāng)x＝m﹣1時，∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，解得m1＝﹣2?13（不符合題意，舍去），m2＝﹣2+②當(dāng)m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜12時，當(dāng)x＝﹣m時，∴5m2＝8，解得：m＝±210③當(dāng)﹣m＞m+2，即m＜﹣1時，當(dāng)x＝m+2，y有最大值為8，∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，解得：m＝4﹣27或，m＝4+27（不符合題意，舍去），綜上，m的值為﹣2+13或4﹣27總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)問題以及中心對稱，以及相關(guān)函數(shù)的定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中心對稱圖形的性質(zhì)，（3）是本題的難點(diǎn)，需要分三類進(jìn)行討論，研究函數(shù)的變化軌跡，是很好的一道壓軸問題．17．（2022?廬陽區(qū)校級三模）定義：對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值；當(dāng)x＜0時，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥0時，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為關(guān)聯(lián)函數(shù)．例如：一次函數(shù)y＝x﹣1，它的關(guān)聯(lián)函數(shù)為y=?x+1(x＜0)x?1(x≥0)．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x（1）當(dāng)?shù)诙笙撄c(diǎn)B（m，32）在這個函數(shù)的關(guān)聯(lián)函數(shù)的圖象上時，求m（2）當(dāng)﹣3≤x≤﹣1時求函數(shù)y＝﹣x2+4x?1思路引領(lǐng)：（1）由題干定義可得二次函數(shù)的關(guān)聯(lián)函數(shù)解析式，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入對應(yīng)解析式，并由m＜0求解．（2）由（1）可得二次函數(shù)在x＜0時的關(guān)聯(lián)函數(shù)解析式，分別將x＝﹣1，x＝﹣3代入解析式求解．解：（1）由題意得二次函數(shù)y＝﹣x2+4x?12的關(guān)聯(lián)函數(shù)為y當(dāng)m≥0時，將（m，32）代入y＝﹣x2+4x?12得32=?m解得m＝2+2或m＝2?當(dāng)m＜0時，將（m，32）代入y＝x2﹣4x+12得32=m解得m＝2?5或m＝2+∵點(diǎn)B在第二象限，∴m＜0，∴m＝2?5（2）當(dāng)x＜0時，y＝﹣x2+4x?12的關(guān)聯(lián)函數(shù)為y＝x2﹣4x∵y＝x2﹣4x+12=（x﹣2）∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝2，∴x＜0時，y隨x增大而減小，將x＝﹣3代入y＝x2﹣4x+12得y＝9+12將x＝﹣1代入x2﹣4x+12得y＝1+4∴當(dāng)﹣3≤x≤﹣1時求函數(shù)y＝﹣x2+4x?1總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的新定義問題，解題關(guān)鍵是理解題意，通過分類討論求解．18．（2022?江都區(qū)二模）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個函數(shù)圖象的“梅嶺點(diǎn)”．（1）若點(diǎn)P（3，p）是一次函數(shù)y＝mx+6的圖象上的“梅嶺點(diǎn)”，則m＝﹣1；若點(diǎn)P（m，m）是函數(shù)y=3x?2的圖象上的“梅嶺點(diǎn)”，則m＝（2）若點(diǎn)P（p，﹣2）是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上唯一的“梅嶺點(diǎn)”，求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（3）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象過點(diǎn)（0，2），且圖象上存在兩個不同的“梅嶺點(diǎn)”A（x1，x1），B（x2，x2），且滿足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，請直接寫出k的取值范圍．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“梅嶺點(diǎn)”的定義，P（3．p）的橫縱坐標(biāo)相等，即p＝3m+6＝3；P（m，m）的橫縱坐標(biāo)相等，即m=3（2）由題意得：拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x的唯一交點(diǎn)為P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c＝x的根為：x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可寫為（x+2）2＝0，對比兩個方程的系數(shù)，即可求出b，c，進(jìn)而得出答案：y＝x2+5x+4；（3）先由“梅嶺點(diǎn)”的定義證明x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=1?ba，x1?x2=2a，進(jìn)而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，再由﹣1＜x圍，即可求出k的取值范圍．解：（1）∵點(diǎn)P（3，p）是一次函數(shù)y＝mx+6的圖象上的梅嶺點(diǎn)，∴p＝3m+6＝3，解得：m＝﹣1，∵點(diǎn)P（m，m）是函數(shù)y=3∴m=3整理得：m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝3，m2＝﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)，m1＝3，m2＝﹣1都是m=3∴m＝3或﹣1；故答案為：﹣1；3或﹣1；（2）點(diǎn)P（p，﹣2）是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上唯一的“梅嶺點(diǎn)”，即拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x的唯一交點(diǎn)為P（﹣2，﹣2），∴方程x2+bx+c＝x的根為：x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可寫為（x+2）2＝0，∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．∴b﹣1＝4，c＝4，∴b＝5，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+5x+4；（3）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象過點(diǎn)（0，2），∴c＝2，∴y＝ax2+bx+2，∵y＝ax2+bx+2圖象上存在兩個不同的“梅嶺點(diǎn)”A（x1，x1），B（x2，x2），∴x1＝ax12+bx1+2，x2＝ax22+bx2+2，∴ax12+（b﹣1）x1+2＝0，ax22+（b﹣1）x2+2＝0，∴x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴x1+x2=1?ba，x1?x2∵|x1﹣x2|＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（1?ba）2﹣4×∴b2﹣2b+1﹣8a＝4a2，∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，∵|x1﹣x2|＝2，∴x1﹣x2＝﹣2或x2﹣x1＝2，∵﹣1＜x1＜1，∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3∴﹣3＜x1?x2＜3，∴﹣3＜2∵a＞0，∴a＞2∴﹣4（a+1）2+7＜﹣4×（23+1）2+7∴k＜?37總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，不等式性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系，理解應(yīng)用新定義“梅嶺點(diǎn)”是解題的關(guān)鍵．19．（2022?海淀區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，對于線段AB，給出如下定義：若將線段AB沿著某條直線l對稱可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分別為A，B的對應(yīng)點(diǎn)），則稱線段AB是⊙O的以直線l為對稱軸的對稱的“反射線段”，直線l稱為“反射軸”．（1）如圖1，線段CD、EF、GH中是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”有CD、EF；（2）已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．①如圖2，若線段AB是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”，畫出圖形，反射軸l與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，12）②若將“反射線段”AB沿直線y＝x的方向向上平移一段距離S，其反射軸l與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)yM的取值范圍為12≤yM≤13（3）已知點(diǎn)M、N是在以（2，0）為圓心，半徑為13的圓上的兩個動點(diǎn)，且滿足MN=2，若MN是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”，當(dāng)M點(diǎn)在圓上運(yùn)動一周時，反射軸l與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是y＞1或y＜﹣1思路引領(lǐng)：（1）在圓中找出對應(yīng)的弦，其中GH大于圓的直徑，故否定；（2）①畫出AB的反射弦，找出對應(yīng)點(diǎn)的垂直平分線；②以AB為斜邊作等腰直角三角形AO′B，連接OO′，交⊙O于A′，作BB′∥AA′，交⊙O于B′，則A′B′是AB的反射弦，對稱軸是OO′的中垂線l，然后根據(jù)垂直平分線上點(diǎn)到線段兩端距離相等，求得S=136時的值，從而確定（3）根據(jù)（2）的方法找到MN所在的圓心O3，當(dāng)M點(diǎn)在圓上運(yùn)動一周時，如圖，取OO3的中點(diǎn)A1，OT的中點(diǎn)S，即OO3的中點(diǎn)A1在以S為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動，進(jìn)而即可求得反射軸l與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y的取值范圍．解：（1）∵E′F′是EF關(guān)于直線CC′的對稱的弦，∴EF是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”，∵C′E′是CD關(guān)于直線x＝1的對稱的弦，∴線段CD是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”，∵GH=5，⊙O的直徑C′E′＝2，EF＞C′E∴線段GH不是⊙O的以直線l為對稱軸的“反射線段”，故答案是：CD、EF；（2）①如圖2，AB關(guān)于直線l的對稱弦是A′B′，直線l與y軸交點(diǎn)M（0，12故答案為：（0，12②如圖3，以AB為斜邊作等腰直角三角形AO′B，連接OO′，交⊙O于A′，作BB′∥AA′，交⊙O于B′，則A′B′是AB的反射弦，對稱軸是OO′的中垂線l，∵A（22S，2+22S），B（1+2∴O′（22S，1+2設(shè)l交y軸于C（0，a），由CO＝CO′得，（22S）2+（1+22S﹣a）2＝當(dāng)a=136時，S1=?22（舍去），∴0≤S≤5（3）如圖，根據(jù)（2）的方法找到MN所在的圓心O3，設(shè)T（2，0），則TM=13∵M(jìn)N=2，△O3MN∴O3L=22∴TL=T∴TO3＝22，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動一周時，如圖，取OO3的中點(diǎn)A1，OT的中點(diǎn)S，∴SA1是△OO3T的中位線，∴SA1=12O3T=2，SA1∥即OO3的中點(diǎn)A1．在以S為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動，∴若MN是⊙O的以直線l為對稱軸的反射線段，則l為⊙S的切線．設(shè)⊙S與y軸交于點(diǎn)C，D，∵OS=12OT＝1，SC＝SA1＝SD∴OC＝1，OD＝1，∴反射軸l與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y的取值范圍為y＞1或y＜﹣1．總結(jié)提升：本題考查了圓的綜合應(yīng)用，掌握中心對稱與軸對稱，切線的性質(zhì)，三角形中位線定理，余弦的定義是解題的關(guān)鍵．20．（2022?亭湖區(qū)校級三模）定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是BD，AD上的點(diǎn)．求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形．（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點(diǎn)上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形ABEF，使AB是鄰余線，E，F(xiàn)在格點(diǎn)上．（3）如圖3，在（1）的條件下，取EF中點(diǎn)M，連接DM并延長交AB于點(diǎn)Q，延長EF交AC于點(diǎn)N．若N為AC的中點(diǎn)，DE＝4BE，QB＝6，求鄰余線AB的長．思路引領(lǐng)：（1）由等腰三角形的“三線合一“性質(zhì)可得AD⊥BC，則可得∠DAB與∠DBA互余，即∠FAB與∠EBA互余，從而可得答案；（2）畫出圖形即可．（3）先由等腰三角形的“三線合一“性質(zhì)可得BD＝CD、DM＝ME，再判定△DBQ∽△ECN，從而列出比例式，將已知線段的長代入即可得解．解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB與∠EBA互余，∴四邊形ABEF是鄰余四邊形；（2）如圖所示（答案不唯一），四邊形AFEB為所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴BD＝CD，∵DE＝4BE，∴BD＝CD＝5BE，∴CE＝CD+DE＝9BE，∵∠EDF＝90°，點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴QBNC∵QB＝6，∴NC=54∵AN＝CN，∴AC＝2CN=108∴AB＝AC=108總結(jié)提升：本題考查了四邊形的新定義，綜合考查了等腰三角形的“三線合一“性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，讀懂定義并明確相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．21．（2022?尋烏縣二模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．例如：如圖①，∠B＝∠C，則四邊形ABCD為“等鄰角四邊形”．（1）定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形得是②④．①平行四邊形②矩形③菱形④等腰梯形（2）深入探究：①已知四邊形ABCD為“等鄰角四邊形”，且∠A＝120°，∠B＝100°，則∠D＝70°．②如圖②，在五邊形ABCDE中，ED∥BC，對角線BD平分∠ABC，求證：四邊形ABDE為等鄰角四邊形．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在等鄰角四邊形ABCD中，∠B＝∠C，點(diǎn)P為邊BC上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分別為M，N．在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，PM+PN的值是否會發(fā)生變化？請說明理由．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“等鄰角四邊形”的定義判斷即可；（2）①由∠A＝130°，∠B＝120°知：不可能還有內(nèi)角與∠A、∠B相等（否則內(nèi)角和大于360°），則∠C＝∠D，即得∠D＝55°；②由ED∥BC得∠EDB＝∠DBC，根據(jù)對角線BD平分∠ABC，得∠ABD＝∠DBC，故∠ABD＝∠EDB，即證得四邊形ABDE為等鄰角四邊形；（3）過C作CH⊥AB于H，過P作PG⊥CH于G，由PM⊥AB，CH⊥AB，PG⊥CH，得四邊形PMHG是矩形，得PM＝HG，可證明△PGC≌△CNP，得CG＝PN，即有PM+PN＝HG+CG＝CH，從而說明在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，PM+PN的值總等于C到AB的距離，不會變化．（1）解：根據(jù)“等鄰角四邊形”的定義可知矩形，等腰梯形是“等鄰角四邊形”．故答案為：②④；（2）①解：∵∠A＝120°，∠B＝100°，根據(jù)“等鄰角四邊形”定義可知：∠C＝∠D，∴∠D＝（360°﹣120°﹣100°）÷2＝70°，故答案為：70；②證明：∵ED∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵對角線BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴四邊形ABDE為等鄰角四邊形；（3）解：在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，PM+PN的值不會發(fā)生變化，理由如下：過C作CH⊥AB于H，過P作PG⊥CH于G，如圖：∵PM⊥AB，CH⊥AB，PG⊥CH，∴∠PMH＝∠MHG＝∠HGP＝90°，∴四邊形PMHG是矩形，∴PM＝HG，MH∥PG，即AB∥PG，∴∠B＝∠GPC，∵∠B＝∠NCP，∴∠GPC＝∠NCP，∵PN⊥CD，∴∠PGC＝∠CNP＝90°，在△PGC和△CNP中，∠PGC=∠CNP∠GPC=∠NCP∴△PGC≌△CNP（AAS），∴CG＝PN，∴PM+PN＝HG+CG＝CH，即在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，PM+PN的值總等于C到AB的距離，是定值．總結(jié)提升：本題是四邊形綜合題，考查多邊形綜合應(yīng)用，涉及新定義、多邊形內(nèi)角和、三角形全等的判定及性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．22．（2022?東勝區(qū)二模）【概念理解】定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形如圖①．我們學(xué)習(xí)過的四邊形中是垂美四邊形的是菱形、正方形；（寫出一種即可）【性質(zhì)探究】利用圖①，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD的平方和與BC，AD的平方和之間的數(shù)量關(guān)系是AD2+BC2＝AB2+CD2；【性質(zhì)應(yīng)用】（1）如圖②，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，連接AE，CD，若AE⊥CD，則AB的長為271；（2）如圖③，等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADE中，∠BEC＝∠AED＝90°，AC與BD交于O點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)F，AC與DE交于點(diǎn)G．若BE＝6，AE＝8，AB＝12，求CD的長；【拓展應(yīng)用】如圖④，在?ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別是AD、AB、CD的中點(diǎn)，EF⊥CF，AD＝6，AB＝8，求BG的長．思路引領(lǐng)：【概念理解】根據(jù)菱形和正方形的對角線互相垂直、垂美四邊形的概念判斷即可；【性質(zhì)探究】根據(jù)垂美四邊形的概念、勾股定理計(jì)算，得到答案；【性質(zhì)應(yīng)用】（1）根據(jù)垂美四邊形的概念計(jì)算，得到答案；（2）先△BED≌△CEA（SAS），得∠BDE＝∠CAE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠AOD＝∠AEG＝90°，最后根據(jù)垂美四邊形的定義可得結(jié)論；【拓展應(yīng)用】如圖④，連接AG，BD，交于點(diǎn)O，證明△BED≌△CEA（SAS），可得∠BDE＝∠CAE，然后證明AC⊥BD于點(diǎn)O，可得四邊形ABCD是垂美四邊形，最后根據(jù)垂美四邊形的定義可得結(jié)論．解：【概念理解】∵學(xué)習(xí)過的四邊形有平行四邊形，矩形，菱形，正方形，而兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形，正方形，∴菱形、正方形一定是垂美四邊形，故答案為：菱形、正方形；【性質(zhì)探究】垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD的平方和與BC，AD的平方和之間的數(shù)量關(guān)系是：AD2+BC2＝AB2+CD2，證明如下：如圖①，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案為：AD2+BC2＝AB2+CD2；【性質(zhì)應(yīng)用】（1）如圖②，連接DE，∵AE⊥CD，∴四邊形ADEC是垂美四邊形，∴AD2+EC2＝AC2+ED2，∵BC＝6，AC＝8，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴EC=12BC＝3，AB＝2AD，DE=∴AD2+32＝82+42，∴AD=71∴AB＝2AD＝271，故答案為：271；（2）如圖③，∵△BCE和△AED是等腰直角三角形，∵∠BEC＝∠AED＝90°，∴∠BEC+∠CED＝∠CED+∠AED，即∠BED＝∠CEA，∵BE＝EC，AE＝ED，∴△BED≌△CEA（SAS），∴∠BDE＝∠CAE，∵∠AGE＝∠DGO，∴∠AOD＝∠AEG＝90°，∴AC⊥BD于點(diǎn)O，∴四邊形ABCD是垂美四邊形，∴AD2+BC2＝AB2+CD2，∵BE＝6，AE＝8，∴BC＝62，AD＝82，∵AB＝12，∴（82）2+（62）2＝122+CD2，∴CD＝214；【拓展應(yīng)用】如圖④，連接AG，BD，交于點(diǎn)O，在?ABCD中，∵AD＝6，AB＝8，∴BC＝6，CD＝8，∵點(diǎn)E、F、G分別是AD、AB、CD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，DG=12CD＝4，AF=∴CG∥AF，CG＝AF，∴四邊形AFCG是平行四邊形，∴AG∥CF，∵EF⊥CF，∴BD⊥AG，∴四邊形ABGD是垂美四邊形，∴AD2+BG2＝AB2+GD2，∴62+BG2＝82+42，∴BG＝211．總結(jié)提升：本題是四邊形綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．23．（2022?修水縣一模）定義：有一組對角互補(bǔ)的四邊形叫做“對補(bǔ)四邊形”．例如：在四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，則四邊形ABCD是“對補(bǔ)四邊形”．概念理解．（1）如圖1，已知四邊形ABCD是“對補(bǔ)四邊形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，則∠D的度數(shù)為90°；②若∠B＝90°，且AB＝3，AD＝2，則CD2﹣CB2＝5．拓展延伸．（2）如圖2，已知四邊形ABCD是“對補(bǔ)四邊形”．當(dāng)AB＝CB，且∠EBF=12∠ABC時，試猜想AE，CF，思路引領(lǐng)：（1）①設(shè)∠C＝n°，則∠A＝3n°，∠B＝2n°，由四邊形ABCD是“對補(bǔ)四邊形”得3n+n＝180，則n＝45，即可求得∠B＝2n°＝90°，則∠D＝180°﹣∠B＝90°；②由∠B＝90°，得∠D＝90°，根據(jù)勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2，CB2＝AC2﹣AB2，則CD2﹣CB2＝AB2﹣AD2＝32﹣22＝5．（2）延長DF到點(diǎn)G，使AE＝CG，根據(jù)“同角的補(bǔ)角相等”證明∠A＝∠BCG，即可證明△ABE≌△CBG，得BE＝BG，∠ABE＝∠CBG，則∠EBF＝∠GBF=12∠ABC，即可證明△EBF≌△GBF，得EF＝GF，則AE+CF＝CG+CF＝GF＝解：（1）①設(shè)∠C＝n°，∵∠A：∠B：∠C＝3：2：1，∴∠A＝3n°，∠B＝2n°，∵四邊形ABCD是“對補(bǔ)四邊形”，∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，∴3n+n＝180，解得n＝45，∴∠B＝2n°＝90°，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°，故答案為：90°．②如圖1，連接AC，∵∠B＝90°，∴∠D＝90°，∴CD2＝AC2﹣AD2，CB2＝AC2﹣AB2，∴CD2﹣CB2＝AC2﹣AD2﹣（AC2﹣AB2）＝AB2﹣AD2，∵AB＝3，AD＝2，∴CD2﹣CB2＝32﹣22＝5，故答案為：5．（2）AE+CF＝BF，證明：如圖2，延長DF到點(diǎn)G，使AE＝CG，則∠BCG+∠BCD＝180°，∵四邊形ABCD是“對補(bǔ)四邊形”，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠BCG，∵AB＝CB，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG，∵∠EBF=12∠∴∠GBF＝∠CBF+∠CBG＝∠CBF+∠ABE=12∠∴∠EBF＝∠GBF，∵BF＝BF，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF＝GF，∵AE+CF＝CG+CF＝GF，∴AE+CF＝EF．總結(jié)提升：此題重點(diǎn)考查四邊形的內(nèi)角和等于360°、勾股定理的應(yīng)用、同角的補(bǔ)角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、新定義問題的求解等知識與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（2022?鹽城一模）對于平面內(nèi)的兩點(diǎn)K、L，作出如下定義：若點(diǎn)Q是點(diǎn)L繞點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)所得到的點(diǎn)，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)A（4，0），在點(diǎn)Q1（0，4），Q2（2，23），Q3（﹣2，23），Q4（22，﹣22）中，是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是Q2，Q（2）已知點(diǎn)B（5，0），點(diǎn)C在直線y＝2x+b上，若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．（3）點(diǎn)D是x軸上的動點(diǎn)，D（t，0），E（t﹣3，0），點(diǎn)F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個動點(diǎn)，且滿足n≥0．若直線y＝2x+6上存在點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，請直接寫出t的取值范圍．思路引領(lǐng)：（1）如圖中，滿足條件的點(diǎn)在半圓上（不包括點(diǎn)A以及y軸上的點(diǎn)），點(diǎn)Q2，Q4滿足條件．（2）如圖中，以O(shè)為圓心，3為半徑作半圓，交y軸于P（0，3），P′（0，﹣3）當(dāng)直線y＝2x+b與半圓有交點(diǎn)（不包括P，B）時，滿足條件．（3）根據(jù)題意，點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)在半圓E上，設(shè)點(diǎn)P在半圓S上，點(diǎn)Q在半圓T上（將半圓D繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)），如圖3（1），半圓掃過的區(qū)域?yàn)閳D3（1）中陰影部分，求出圖3（2），圖3（3）中，t的值，可得結(jié)論．解：（1）如圖，∵A（4，0），Q1（0，4），∴OA＝OQ1＝4，∠AOQ1＝90°，∴點(diǎn)Q1不是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；∵Q2（2，23），作Q2F⊥x軸于點(diǎn)F∴OQ2=OF2∵tan∠Q2OF=2∴∠Q2OF＝60°，∴點(diǎn)Q2是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；∵Q3（﹣2，23），作Q3G⊥x軸于點(diǎn)G則tan∠Q3OG=Q∴∠Q3OG＝60°，∴OQ3=OGcos∠Q∵∠AOQ3＝180°﹣60°＝120°，∴Q3不是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；∵Q4（22，﹣22），作Q4H⊥x軸于點(diǎn)H則tan∠Q4OH=Q∴∠Q4OH＝45°，∵OQ4=OHcos∠Q∴Q4是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；綜上所述，在點(diǎn)Q1，Q2，Q3，Q4中，是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是Q2，Q4，故答案為：Q2，Q4．（2）在y軸上取點(diǎn)P（0，5），當(dāng)直線y＝2x+b經(jīng)過點(diǎn)P時，可得b＝5，當(dāng)直線y＝2x+b經(jīng)過點(diǎn)B時，則2×5+b＝0，解得：b＝﹣10，∴當(dāng)﹣10＜b＜5時，OB繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)銳角時，點(diǎn)C一定可以落在某條直線y＝2x+b上，過點(diǎn)O作OG⊥直線y＝2x+b，垂足G在第四象限時，如圖，則OT＝﹣b，OS=?12∴ST=OS當(dāng)OG＝5時，b取得最小值，∵5×（?52b）＝﹣b×（?∴b＝﹣55，∴﹣55≤b（3）根據(jù)題意，點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)在半圓E上，設(shè)點(diǎn)P在半圓S上，點(diǎn)Q在半圓T上（將半圓D繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)），如圖3（1），半圓掃過的區(qū)域?yàn)閳D3（1）中陰影部分，如圖3（2）中，陰影部分與直線y＝2x+6相切于點(diǎn)G，tan∠EMG＝2，SG＝3，過點(diǎn)G作GI⊥x軸于點(diǎn)I，過點(diǎn)S作SJ⊥GI于點(diǎn)J，∴∠SGJ＝∠EMG，∴tan∠SGJ＝tan∠EMG＝2，∴GJ=355，∴GI＝GJ+JI＝3+3∴MI=12GI∴OE＝IE+MI﹣OM=352?32，即x解得t=3如圖3（3）中，陰影部分與HK相切于點(diǎn)G，tan∠OMK＝tan∠EMH＝2，EH＝6，則MH＝3，EM＝35，∴xE＝t﹣3＝﹣3﹣35，解得t＝﹣35，觀察圖象可知，﹣35≤t＜3+總結(jié)提升：本題屬于圓綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會尋找特殊點(diǎn)，特殊位置解決問題，屬于壓軸題．25．（2022?壽陽縣模擬）所謂“新定義”試題指給出一個從未接觸過的新規(guī)定，源于中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容但又是學(xué)生沒有遇到過的新信息，它可以是新的概念、新的運(yùn)算、新的符號、新的圖形、新的定理或新的操作規(guī)則與程序等．在解決它們的過程中又可產(chǎn)生了許多新方法、新觀念，增強(qiáng)了學(xué)生創(chuàng)新意識．主要包括以下類型：①概念的“新定義”；②運(yùn)算的“新定義”；③新規(guī)則的“新定義”；④實(shí)驗(yàn)操作的“新定義”；⑤幾何圖形的新定義．如果我們新定義一種四邊形：有兩個內(nèi)角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形．（1）如圖1，在半對角四邊形ABCD中，∠B=12∠D，∠C=12∠A，請你利用所學(xué)知識求出∠（2）如圖2，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，若邊AB上存在一點(diǎn)D，使得BD＝BO．∠OBA的平分線交OA于點(diǎn)E，連接DE并延長交AC于點(diǎn)F，若∠AFE＝2∠EAF．請你判斷四邊形DBCF是不是半對角四邊形？并說明理由．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及新定義進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）證明△BED≌△BEO（SAS），可得∠BCF=12∠BDE，連接OC，設(shè)∠EAF＝α．則∠AFE＝2∠EAF＝2α，根據(jù)三角形內(nèi)角和以及等邊對等角可得∠ABC=12∠AOC（1）解：在半對角四邊形ABCD中，∠B=12∠D，∠C=1∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+3∠C＝360°．∴∠B+∠C＝120°．即∠B與∠C的度數(shù)之和120°．（2）證明：在△BED和△BEO中，BD=BO∠EBD=∠EBO∴△BED≌△BEO（SAS）．∴∠BDE＝∠BOE．又∵∠BCF=12∠∴∠BCF=12∠如圖2，連接OC，設(shè)∠EAF＝α，則∠AFE＝2∠EAF＝2α．∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α．∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，則∠AOC＝∠EFC，又∵∠ABC=12∠∴∠ABC=12∠AOC=1∴四邊形DBCF是半對角四邊形．總結(jié)提升：本題考查了幾何圖形的新定義，四邊形內(nèi)角和，圓內(nèi)接三角形，圓的性質(zhì)，三角形內(nèi)