函數(shù)中的構(gòu)造問題(教師版)

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(七)函數(shù)中的構(gòu)造問題函數(shù)中的構(gòu)造問題是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)在解答題中時(shí)有出現(xiàn)。通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，可以解決比較大小、解不等式、恒成立等問題．題型：一、導(dǎo)數(shù)型構(gòu)造函數(shù)（一）利用與構(gòu)造函數(shù)1．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?duì)任意，，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由恒成立，在上單調(diào)遞減，由可得，由單調(diào)性解不等式即可.【詳解】設(shè)，則，對(duì)任意，，恒成立，即在上單調(diào)遞減，由可得，，解得，即解集為.故選：A2.已知函數(shù)在上滿足，且當(dāng)時(shí)，成立，若，，，則的大小關(guān)系是()A．B．C．D．答案：B解析：因?yàn)楹瘮?shù)在上滿足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，令，則是奇函數(shù)，，由題意知，當(dāng)時(shí)，成立，所以在上單調(diào)遞減，又是奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以，又，，，所以.故選B．3．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】觀察，可考慮構(gòu)造函數(shù)，求得的奇偶性，再由時(shí)，的單調(diào)性確定整個(gè)增減性，由與的正負(fù)反推正負(fù)即可求解.解：設(shè)，則，∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.由于是奇函數(shù)，所以，是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.又，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，.即不等式的解集為.故選：B.4．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．B．C．D．【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性即可．【詳解】令，，令得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，，，，，故選：A．5.已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【分析】不等式可化為，故考慮構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合條件判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式可得結(jié)論.【詳解】不等式可化為，設(shè)，則原不等式可化為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，因?yàn)?，所以，所以函?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，所以．故不等式的解集為.故選：B.（二）利用與構(gòu)造函數(shù)1．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由不等式化簡(jiǎn)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，即可求解原不等式.【詳解】不等式等價(jià)于，即，構(gòu)造函數(shù)，所以，因?yàn)闀r(shí)，，所以對(duì)恒成立，所以在單調(diào)遞減，又因?yàn)椋圆坏仁降葍r(jià)于，所以，即的解集為.故選：A.2.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足（是的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為略解：構(gòu)造函數(shù),則，，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，，即，解得,所以不等式的解集為（三）利用與，構(gòu)造函數(shù)1.已知偶函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有成立，則關(guān)于的不等式的解集為()A. B.C. D.答案:A解析:因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域?yàn)椋栽O(shè)，則，即也是偶函數(shù)．當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意，則在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞增．所以，所以解得.思維升華:函數(shù)與，相結(jié)合構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)的幾種常見形式，；，；，；，.二、同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)（一）單調(diào)性同構(gòu).1．若，且，都有，則的最大值為.【答案】1【分析】由已知不等式變形得出，令，可知函數(shù)在上為減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】由題意可知，、均為正數(shù)，因?yàn)?，由，所以，，令，，則，由于，可得時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，，則，即實(shí)數(shù)的最大值為1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)精：適當(dāng)變形不等式，構(gòu)造函數(shù)證明不等式恒成立時(shí)參數(shù)的范圍.2.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為解：由兩邊同時(shí)除以得：，即設(shè)，則在上是增函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立即在上恒成立，設(shè)，而，（二）結(jié)構(gòu)同構(gòu)主要原理：若能夠變形成，然后利用的單調(diào)性，如遞增，轉(zhuǎn)化為，即為同構(gòu)變換.1.若，則()A．B．C．D．答案:B解析:由指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得.令，則在上單調(diào)遞增，又∵，∴，即，∴.2.已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a，b均為大于1的實(shí)數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．解析：由，可得，即，設(shè)，可得，因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，所以，即，所以，?dāng)時(shí)，，可得函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即.故選B.3.已知，若在上存在使得不等式成立，則的最小值為______．答案:解析:∵，∴不等式即為，∵且，∴，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，∴，即，即存在，使，∴，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴.故的最小值為.思維升華:指對(duì)同構(gòu)，經(jīng)常使用的變換形式有兩種，一種是將變成然后構(gòu)造函數(shù)；另一種是將變成然后構(gòu)造函數(shù)．4．若不等式在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A．B．C．D．2【答案】BCD【分析】構(gòu)造函數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，求導(dǎo)，研究單調(diào)性，畫出其圖象，根據(jù)圖象逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】由得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的圖象如下：，，即，，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，根據(jù)圖象可得不恒成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，根據(jù)圖象可得恒成立，B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，根據(jù)圖象可得恒成立，C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，又，因?yàn)椋?，即，所以，即，根?jù)圖象可得恒成立，D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵將條件變形為，通過整體結(jié)構(gòu)相同從而構(gòu)造函數(shù)來解決問題.5.設(shè)函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解，（2）構(gòu)造函數(shù)，由其單調(diào)性列不等式，轉(zhuǎn)化為最值問題求解，解：（1），所以.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在函數(shù)上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，若，若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由，即恒成立，設(shè)，由題意知時(shí)，，故當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，記，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故，又，則，的取值范圍是．