第09講根的判別式及其應用

第09講根的判別式及其應用 運用根的判別式，判別方程根的情況會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍掌握韋達定理 模塊一：判別式的值與根的關(guān)系 一元二次方程根的判別式：我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“”表示，記作．一元二次方程， 當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根； 當時，方程有兩個相等的實數(shù)根； 當時，方程沒有實數(shù)根．不解方程，判別下列方程的根的情況：（1）； （2）；（3）； （4）． 【答案】（1）方程有兩不等實根；（2）方程無實數(shù)根；（3）方程有兩相等實根；（4）方程有兩不等實根．【解析】（1），，，，方程有兩不等實根；，，，，方程無實數(shù)根；，，，，方程有兩相等實根；（4），，，，方程有兩不等實根．【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，先將方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值計算，根據(jù)與0的大小關(guān)系確定方程根的情況，注意、異號時則必有兩不等實根．關(guān)于的方程（其中是實數(shù)）一定有實數(shù)根嗎？為什么？【答案】一定有．【解析】∵，，，∴恒成立，可知方程一定有實數(shù)根．【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況．已知關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，求的值及方程的根．【答案】或；時，方程根為；時，方程根為．【解析】化為一般式，即為：，其中，，，則，因為方程有兩相等實數(shù)根，則有，解得：，；時，方程化為，解得方程根為：；時，方程化為，解得方程根為．已知關(guān)于的方程．（1）有兩個不相等的實根，求的取值范圍；（2）有兩個相等的實根，求的值，并求出此時方程的根；（3）有實根，求的最大整數(shù)值．【答案】（1）；（2），此時方程根為；（3）．【解析】，，，， 由此可知：（1）當，即時，方程有兩個不相等的實根；（2）當，即時，方程有兩個相等的實根，此時方程即為 ，解得方程根為：；（3）當，即時，方程有實根，此時最大整數(shù)值為．【總結(jié)】可由方程根的情況確定其值與0的大小關(guān)系，方程有實數(shù)根，即其，可在此基礎上進行分類討論． 模塊二：根的判別式的應用 （1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；（3）解與根有關(guān)的證明題．當為何值時，方程，（1）有兩個不相等的實數(shù)根；（2）有兩個相等的實數(shù)根；（3）沒有實數(shù)根．【答案】（1）且；（2）；（3）．【解析】將方程整理成關(guān)于的一元二次方程的一般形式，即得：，此時，，，，由方程為一元二次方程，可知，故；，由此可知，（1）當，即且時，方程有兩不等實根；（2）當，即時，方程有兩相等實根；（3）當，即時，方程無實根．【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，首先將方程整理成一元二次方程的一般形式，然后確定二次項系數(shù)不能為0的情況，然后確定其值，可由方程根的情況確定其值與0的大小關(guān)系，可在此基礎上進行分類討論．已知關(guān)于的方程總有實數(shù)根，求的取值范圍．【答案】．【解析】（1）當，即時，方程為一元一次方程，方程有實根；當，即時，方程為一元二次方程，其中，，，方程有實根，則必有：，可解得且；綜上所述，的取值范圍為．【總結(jié)】對于形如的方程，首先要根據(jù)題意確定二次項系數(shù)能否為0，在此基礎上進行相關(guān)分類討論和計算．已知，關(guān)于的一元二次方程，（1）若，求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若的整數(shù)，且方程有兩個整數(shù)根，求的值．【答案】（1）略；（2）．【解析】（1）證明：對于一元二次方程而言，其中，，，則，當時，恒成立，由此即可證得方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）由（1）中值，解方程得方程兩根為，，方程有兩整數(shù)根，則必為平方數(shù)，由，可得，為整數(shù)，則為奇數(shù)，這之間的平方數(shù)且為奇數(shù)的僅有49，即，解得：．【總結(jié)】考查對于一元二次方程根的判別式的應用，為完全平方數(shù)或完全平方式時，方程可直接分解因式，進而求解討論． 模塊三：韋達定理韋達定理：如果是一元二次方程的兩個根,由解方程中的公式法得,，．那么可推得．這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．寫出下列一元二次方程（方程的根為）的兩實數(shù)根的和與兩實數(shù)根的積（1），________；________； （2）， ________；________．【答案】（1）3，1；（2），．【解析】（1），，，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得 ，；（2），，，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，；【總結(jié)】考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，在方程有實數(shù)根的前提下，由一般式確定相應的、、值即可快速得到結(jié)果．已知是方程的一個根，求另一根及值．【答案】方程另一根為，．【解析】根據(jù)韋達定理，可知方程兩根滿足條件，，，令，則可求得，代入可得【總結(jié)】考查韋達定理的應用，本題可根據(jù)一元二次方式根的定義代入求值計算，但是更簡單的，可以通過韋達定理直接快速得到題目結(jié)果．已知是方程的兩個根，分別根據(jù)下列條件求出的值．（1）； （2）．【答案】（1），；（2），．【解析】（1）根據(jù)韋達定理，可得，，可得，；（2）根據(jù)韋達定理，可得，，可得，．【總結(jié)】考查韋達定理的應用，可快速由方程的根得到方程中的相關(guān)字母量．設是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2；（5）4．【解析】根據(jù)韋達定理，可得，，由此：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【總結(jié)】考查韋達定理的應用，只需將所求式子轉(zhuǎn)化為只含有兩根之和和兩根之積的式子即可進行求解計算．一、單選題（2022秋·上海寶山·八年級校考期中）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根； B．有兩個相等的實數(shù)根；C．沒有實數(shù)根； D．不能確定．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的值，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選A．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，關(guān)鍵是掌握，一元二次方程有兩個不相等的根，，一元二次方程沒有根，，一元二次方程有兩個相等的根，（2022秋·上海虹口·八年級校考期中）如果關(guān)于x的二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)能分解因式，那么a的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】D【分析】因二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)能分解因式，所以有實數(shù)根，據(jù)此求解即可．【詳解】∵二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)能分解因式，∴有實數(shù)根，∴，∴且．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的兩根為，那么一元二次方程可整理為．（2022秋·上海虹口·八年級?？计谥校╆P(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是()A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，以及一元二次方程根的判別式得出不等式組，解不等式組即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴且，即，解得且．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．（2023秋·上海靜安·八年級上海市風華初級中學校考期末）下列關(guān)于的方程中，一定有實數(shù)根的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式進行計算即可求解．【詳解】解：A.，∴原方程沒有實數(shù)根，故該選項不符合題意；

B.，∴原方程沒有實數(shù)根，故該選項不符合題意；

C.，，當時，，∴原方程沒有實數(shù)根，故該選項不符合題意；

D.，，∴原方程有實數(shù)根，故該選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．（2023春·上?！ぐ四昙壠谥校┓匠探M解的情況是（

）A．有兩組不同的實數(shù)解 B．有兩組相同的實數(shù)解C．沒有實數(shù)解 D．不能確定【答案】A【分析】方程②減去方程①得出，整理可得，求出，根據(jù)根的判別式得出方程有兩個不相等的實數(shù)根，從而得出方程組有兩組不相等的實數(shù)解．【詳解】解：方程減去方程，消去得：，整理得：，，，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以方程組也有兩組不相等的實數(shù)解，故選：A．【點睛】本題考查了二次方程組和根的判別式，能得出關(guān)于x的一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．（2022秋·上海·八年級期末）已知為實數(shù)，則關(guān)于的方程的實數(shù)根情況一定是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】C【分析】計算判別式的值，利用配方法得到△＝（m+2）2≥0，然后根據(jù)判別式的意義對各選項進行判斷．【詳解】解：∵a＝1，b＝－(m－2)，c＝－2m，∴，∵，∴，∴方程有兩個實數(shù)根，故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2－4ac有如下關(guān)系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．二、填空題（2022秋·上海青浦·八年級校考期末）如果關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，那么的取值范圍是________．【答案】且【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到且，然后即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得且，解得且．故答案為：且．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．當時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，一元二次方程沒有實數(shù)根．（2022秋·上海寶山·八年級校考期中）關(guān)于x的方程的根的判別式是_____________．【答案】【分析】分別找出該方程的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，即可進行解答．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式的求法以及正確找出方程的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┤絷P(guān)于的方程（）有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式的值是______．【答案】【分析】根據(jù)題意可知一元二次方程根的判別式，得出，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的方程（）有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．三、解答題（2022秋·上海嘉定·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的方程．(1)當為何值時，此方程有實數(shù)根；(2)選擇一個你喜歡的的值，并求解此方程．【答案】(1)當時，方程有實數(shù)根；(2)取，，．【分析】（1）根據(jù)，確定的取值范圍；（2）從上題中求得的范圍中找到一個喜歡的值代入后得到方程，求解即可．【詳解】（1）解：要使方程有實數(shù)根，必須，即，解得，∴當時，方程有實數(shù)根；（2）解：取，方程變?yōu)?，，，，∴，∴，∴，?答案不唯一)【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根(1)求m的取值范圍；(2)請寫出m的最小整數(shù)值，并求出此時方程的根.【答案】(1)且；(2)，．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到且，然后解不等式即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得到m滿足條件的最小負整數(shù)為，則原方程化為，然后利用公式法解方程．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得且，解得且；（2）解：m滿足條件的最小整數(shù)值，則原方程化為，∴，∴，∴，．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．（2022秋·上海虹口·八年級?？计谥校┤鬽為非負整數(shù)，且一元二次方程有兩個實數(shù)根，求m的值和這時方程的根．【答案】；方程的根為，【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及判別式的意義，得出且，解出關(guān)于的不等式組，即可求得的值，然后把的值代入原方程，得出，解出即可得出答案．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴可得：且，即，解得：，∵為非負整數(shù)，∴，當時，一元二次方程為，即，解得：，，∴當時，方程的根，．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義、一元二次方程的判別式、解一元二次方程，解本題的關(guān)鍵在正確求出的值．（2022秋·上海寶山·八年級校聯(lián)考期末）關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，求的值并求出方程的根【答案】，【分析】先由根的判別式求出k的值，再解方程即可得到方程的根．【詳解】解；，由題意得，，解得，∴所求方程為，∴，解得，【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的解法，用根的判別式求出k的值是解題的關(guān)鍵．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┮阎P(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)如果m為非負整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得出，求出取值范圍即可；（2）由且m為非負整數(shù)，得到或0，代入后求出方程的解，即可得出答案．【詳解】（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根．即有兩個不相等的實數(shù)根．∴．解得；（2）∵且m為非負整數(shù)，∴或0．當時，原方程為．解得，，它的根都是整數(shù)，符合題意；當時，原方程為．解得，，∴它的根都是不整數(shù)，不符合題意；．綜上所述，．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式和解一元二次方程，能根據(jù)題意求出的值和的范圍是解此題的關(guān)鍵．下列關(guān)于x的二次三項式中，一定能在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一定能在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解可知必須滿足，分別進行判斷即可；【詳解】的，故A錯誤；的，可能大于0，也可能小于0，故B錯誤；的，故C正確；的，故D錯誤；故選C．【點睛】本題主要考查了能在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式的條件，根據(jù)題意判斷出判別式的符號，認真計算，熟練掌握任何數(shù)的平方都是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．下列方程中，有實數(shù)解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)非負性判斷未知數(shù)的取值，即可判斷方程的解．【詳解】解：A、∵，∴，∴無實數(shù)解，故A錯誤；B、∵，∴，∴，，故B正確；C、∵，，∴且，∴且，∴無解，故C錯誤；D、∵，∴，∴，∴無解，故D錯誤；故選：B．【點睛】此題考查了解一元二次方程，二次根式的性質(zhì)，解一元一次方程，正確掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．等腰三角形的一邊長為2，另兩邊長是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根，則m的值為______.【答案】10【分析】討論：當?shù)走呴L為2時，則腰長為方程的兩個根，利用判別式得到m的值；當腰長為2，則將代入方程求解，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系加以判斷．【詳解】解：當?shù)走呴L為2時，則腰長為方程的兩個根，∴，解得；當腰長為2，則為方程的一個根，∴，解得，方程化為，解得，∵，∴2、2、4不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去，綜上所述，m的值為10．故答案為：10．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系．若關(guān)于x的方程在實數(shù)范圍內(nèi)沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是______．【答案