第1課二次函數(shù)（教師版）九年級數(shù)學(xué)上冊講義（浙教版）

第1課二次函數(shù)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解二次函數(shù)的概念,掌握二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式2.會建立簡單的二次函數(shù)的模型，并能根據(jù)實際問題確定自變量的取值范圍.3.會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式.知識精講知識精講知識點01二次函數(shù)函數(shù)的概念1.形如（其中是常數(shù)，）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，稱為二次項系數(shù)，為一次項系數(shù)，為常數(shù)項.注意：二次項系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實數(shù)．2.二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項．知識點02根據(jù)實際問題列二次函數(shù)表達式根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，理解題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．知識點03待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式步驟:(1)設(shè)二次函數(shù)的表達式;(2)根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組。(3)解方程組，求出待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)的解析式。

能力拓展考點01二次函數(shù)函數(shù)的概念能力拓展【典例1】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a的值是（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1【思路點撥】根據(jù)二次函數(shù)定義可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．【解析】解：∵函數(shù)y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故選：B．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．【即學(xué)即練1】如果函數(shù)y＝（m﹣2）是二次函數(shù)，則m的值為﹣3．【思路點撥】根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，然后進行計算即可解答．【解析】解：由題意得：m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，∴m＝2或﹣3且m≠2，∴m＝﹣3．故答案為：﹣3．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)定義，解題的關(guān)鍵是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．考點02根據(jù)實際問題列二次函數(shù)表達式【典例2】如圖所示，用長為21米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為便于進出，開了3道寬為1米的門．設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數(shù)表達式為S＝﹣3x2+24x；自變量x的取值范圍為≤x＜6．【思路點撥】根據(jù)題意表示出長方形的長進而得出函數(shù)關(guān)系，進而結(jié)合a的最大值得出x的取值范圍．【解析】解：設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數(shù)表達式為：S＝（21﹣3x+3）x＝﹣3x2+24x；由題意可得：，解得：≤x＜6．故答案為：S＝﹣3x2+24x，≤x＜6．【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，正確表示出長方形的長是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】某商場第1年銷售計算機5000臺，如果每年的銷售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的銷售量為y臺，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為（）A．y＝5000（1+2x） B．y＝5000（1+x）2 C．y＝5000+2x D．y＝5000x2【思路點撥】首先表示出第二年的銷售量為5000（1+x），然后表示出第三年的銷售量為5000（1+x）2，從而確定答案．【解析】解：設(shè)每年的銷售量比上一年增加相同的百分率x，根據(jù)題意得：y＝5000（1+x）2，故選：B．【點睛】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)的關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是分別表示出第二年和第三年的銷售量．考點03待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式【典例3】已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c，當(dāng)x＝1時y＝3；當(dāng)x＝﹣1時，y＝1，求這個二次函數(shù)的解析式．【思路點撥】根據(jù)題意，可得出拋物線過（1，3），（﹣1，1）兩點，將這兩點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值．【解析】解：將點（1，3），（﹣1，1）代入函數(shù)解析式得：，解得；故此函數(shù)的解析式為y＝x2+x+1．【點睛】本題考查的是用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．【即學(xué)即練2】二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3中的x，y滿足如表x…﹣1012…y…0﹣3m﹣3…（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）求m的值．【思路點撥】（1）設(shè)一般式y(tǒng)＝ax2+bx﹣3，再取兩組對應(yīng)值代入得到關(guān)于a、b的方程組，然后解方程組即可；（2）把x＝1代入二次函數(shù)的解析式求解即可．【解析】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx﹣3，把（﹣1，0），（2，﹣3）代入得，解得：，所以解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）把x＝1代入y＝x2﹣2x﹣3，可得y＝1﹣2﹣3＝﹣4，所以m＝﹣4．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組。解方程組，求出待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)的解析式。分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）A．y＝2x﹣3B．y＝（x+1）2﹣x2C．y＝2x（x+1）D．y＝﹣【思路點撥】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．根據(jù)定義進行判斷即可．【解析】解：A．不含有x的二次項，所以A不符合題意；B．化簡后y＝2x+1，不含有x的二次項，所以B不符合題意；C．符合題意；D．y＝﹣2x﹣2，不含有x的二次項，所以D選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的一般形式是解決本題的關(guān)鍵．2．某中學(xué)課外興趣活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為40米的籬笆圍成，已知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，圍成的苗圃面積為y平方米，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝x（40﹣x）B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）【思路點撥】先用含x的代數(shù)式表示苗圃園與墻平行的一邊長，再根據(jù)面積＝長×寬列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【解析】解：設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，則苗圃園與墻平行的一邊長為（40﹣2x）米．依題意可得：y＝x（40﹣2x）．故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．3．已知函數(shù)y＝ax2+bx，當(dāng)x＝1時，y＝﹣1；當(dāng)x＝﹣1時，y＝2，則a，b的值分別是（）A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2【思路點撥】把兩組對應(yīng)值分別代入y＝ax2+bx中得到關(guān)于a、b的方程組，然后解方程組即可．【解析】解：根據(jù)題意得，解得．故選：A．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式4．如果二次函數(shù)y＝ax2+bx，當(dāng)x＝1時，y＝2；當(dāng)x＝﹣1時，y＝4，則a，b的值是（）A．a(chǎn)＝3，b＝﹣1 B．a(chǎn)＝3，b＝1 C．a(chǎn)＝﹣3，b＝1 D．a(chǎn)＝﹣3，b＝﹣1【思路點撥】把兩組對應(yīng)值分別代入y＝ax2+bx得到關(guān)于a、b的方程組，然后解方程組即可．【解析】解：根據(jù)題意得，解得．所以拋物線解析式為y＝3x2﹣x．故選：A．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式5．已知二次函數(shù)y＝1﹣5x+3x2，則二次項系數(shù)a＝3，一次項系數(shù)b＝﹣5，常數(shù)項c＝1．【思路點撥】根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得答案．【解析】解：二次函數(shù)y＝1﹣5x+3x2，則二次項系數(shù)a＝3，一次項系數(shù)b＝﹣5，常數(shù)項c＝1，故答案為：3，﹣5，1．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟記二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．6．如果函數(shù)y＝（m﹣1）x2+x（m是常數(shù)）是二次函數(shù)，那么m的取值范圍是m≠1．【思路點撥】依據(jù)二次函數(shù)的二次項系數(shù)不為零求解即可．【解析】解：∵函數(shù)y＝（m﹣1）x2+x（m為常數(shù)）是二次函數(shù)，∴m﹣1≠0，解得：m≠1，故答案為：m≠1．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的特點是解題的關(guān)鍵．7．矩形的周長為12cm，設(shè)其一邊長為xcm，面積為ycm2，則y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍是y＝﹣x2+6x（0＜x＜6）．【思路點撥】根據(jù)矩形的周長及其中一邊長度得出另外一邊長度為米，再由矩形的面積公式可得函數(shù)解析式，根據(jù)長、寬均為正數(shù)可得x的取值范圍．【解析】解：根據(jù)題意知，y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝x?＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x，由得0＜x＜6，所以y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍是y＝﹣x2+6x（0＜x＜6），故答案為：y＝﹣x2+6x（0＜x＜6）．【點睛】本題主要考查根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．8．當(dāng)系數(shù)a，b，c滿足什么條件時，函數(shù)y＝ax2+bx+c是二次函數(shù)？是一次函數(shù)？是正比例函數(shù)？【思路點撥】根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)、正比例函數(shù)定義進行解答即可．【解析】解：函數(shù)y＝ax2+bx+c中a≠0，b和c為任意常數(shù)時是二次函數(shù)，a＝0，b≠0，c為任意常數(shù)時是一次函數(shù)；a＝0，b≠0，c＝0時是正比例函數(shù)．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)、正比例函數(shù)，關(guān)鍵是掌握三種函數(shù)定義．9．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3，當(dāng)x＝2時，y＝3，求這個二次函數(shù)的解析式．【思路點撥】把x＝2，y＝3代入y＝﹣x2+bx+3，可求出b的值，即可求出二次函數(shù)的解析式．【解析】解：把x＝2，y＝3代入y＝﹣x2+bx+3，∴3＝﹣22+2b+3，∴b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是求出b的值．題組B能力提升練10．下列函數(shù)表達式中，一定為二次函數(shù)的是（）A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+【思路點撥】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)進行分析．【解析】解：A、是一次函數(shù)，故此選項錯誤；B、當(dāng)a≠0時，是二次函數(shù)，故此選項錯誤；C、是二次函數(shù)，故此選項正確；D、含有分式，不是二次函數(shù)，故此選項錯誤；故選：C．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)定義，判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件．11．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+1，若當(dāng)x＝1時，y＝0；當(dāng)x＝﹣1時，y＝4，則a、b的值分別為（）A．a(chǎn)＝1，b＝2 B．a(chǎn)＝1，b＝﹣2 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2【思路點撥】把兩組對應(yīng)值分別代入y＝ax2+bx+1得到關(guān)于a、b的方程組，然后解方程組即可得到a和b的值．【解析】解：根據(jù)題意得，解得a＝1，b＝﹣2．故選：B．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式12．一臺機器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2【思路點撥】根據(jù)兩年后機器價值＝機器原價值×（1﹣折舊百分比）2可得函數(shù)解析式．【解析】解：根據(jù)題意知y＝100（1﹣x）2，故選：D．【點睛】本題主要考查根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．13．n個球隊參加籃球比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽的場次數(shù)m與球隊數(shù)n（n≥2）之間的函數(shù)關(guān)系是m＝n2﹣n．【思路點撥】n個球隊都要與除自己之外的（n﹣1）球隊個打一場，因此要打n（n﹣1）場，然而有重復(fù)一半的場次，故比賽場次為n（n﹣1），得出關(guān)系式．【解析】解：m＝n（n﹣1）＝n2﹣n，故答案為：m＝n2﹣n．【點睛】考查函數(shù)關(guān)系式的求法，在具體的情景中，蘊含數(shù)量之間的關(guān)系，理解和發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．14．一個二次函數(shù)y＝（k﹣1）+2x﹣1．（1）求k值．（2）求當(dāng)x＝0.5時y的值？【思路點撥】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可；（2）根據(jù)（1）中k的值，可得函數(shù)解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值．【解析】解：（1）由題意得：k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，解得：k＝2；（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，當(dāng)x＝0.5時，y＝．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)以及求函數(shù)值，關(guān)鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，要抓住二次項系數(shù)不為0和自變量指數(shù)為2這個關(guān)鍵條件．15．y與x2成正比例，并且當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣3．求：（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x＝4時，y的值；（3）當(dāng)時，x的值．【思路點撥】（1）設(shè)y＝kx2，把當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣3代入求得k的值，則y與x的函數(shù)關(guān)系式即可求得；（2）把x＝4代入即可求得y的值；（3）把y＝﹣代入解析式即可求得x的值．【解析】解：（1）設(shè)y＝kx2，則根據(jù)題意得：k＝﹣3，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣3x2；（2）把x＝4代入得：y＝﹣3×16＝﹣48；（3）當(dāng)y＝﹣時，﹣3x2＝﹣，解得：x＝±．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，是一個基礎(chǔ)題．題組C培優(yōu)拔尖練16．下列具有二次函數(shù)關(guān)系的是（）A．正方形的周長y與邊長xB．速度一定時，路程s與時間t C．正方形的面積y與邊長xD．三角形的高一定時，面積y與底邊長x【思路點撥】根據(jù)題意，列出函數(shù)解析式就可以判定．【解析】解：A、y＝4x，是一次函數(shù)，錯誤；B、s＝vt，v一定，是一次函數(shù)，錯誤；C、y＝x2，是二次函數(shù)，正確；D、y＝hx，h一定，是一次函數(shù)，錯誤．故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義，掌握其定義是解決此題關(guān)鍵．17．若函數(shù)y＝mx+4是二次函數(shù)，則m的值為（）A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1【思路點撥】利用二次函數(shù)定義可得m2+m+2＝2，且m≠0，再解即可．【解析】解：由題意得：m2+m+2＝2，且m≠0，解得：m＝﹣1，故選：C．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．18．若y與x2成正比例，且當(dāng)x＝2時，y＝4，則當(dāng)x＝﹣3時，y的值為（）A．4 B．9 C．12 D．﹣5【思路點撥】根據(jù)題意設(shè)y＝kx2（k≠0），將x＝2，y＝4代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)k的方程，借助于方程即可求得k的值，求得解析式，然后代入x＝﹣3求得即可．【解析】解：∵y與x2成正比例，∴設(shè)y＝kx2（k≠0）．∵當(dāng)x＝2時，y＝4，∴4＝4k，解得，k＝1，∴該函數(shù)解析式為：y＝x2，把x＝﹣3代入得，y＝9，故選：B．【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，正確設(shè)出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．19．一個二次函數(shù)，當(dāng)x＝0時，y＝﹣5；當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣4；當(dāng)x＝﹣2時，y＝5，則這個二次函數(shù)的關(guān)系式是（）A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5【思路點撥】設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由當(dāng)x＝0時，y＝﹣5；當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣4；當(dāng)x＝﹣2時，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程組，解方程組確定a，b，c的值即可．【解析】解：設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），∵當(dāng)x＝0時，y＝﹣5；當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣4；當(dāng)x＝﹣2時，y＝5，∴c＝﹣5①，a﹣b+c＝﹣4②，4a﹣2b+c＝5③，解由①②③組成的方程組得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：y＝4x2+3x﹣5．故選：A．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式．設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），通過解方程組確定a，b，c的值．20．如圖，在靠墻（墻長為20m）的地方圍建一個矩形的養(yǎng)雞場，另三邊用竹籬笆圍成，如果竹籬笆總長為50m，設(shè)雞場垂直于墻的一邊長x（m），求雞場的面積y（m2）與x（m）的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量的取值范圍．【思路點撥】直接利用矩形的長乘以寬得出其y與x之間的函數(shù)關(guān)系即可．【解析】解：由題意可得：y＝x（50﹣2x），∵墻長為20m，∴50﹣2x≤20，解得：x≥15，故自變量的取值范圍是：15≤x＜25．【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)解析式，正確得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．21．在y＝a