材料力學：軸向拉伸和壓縮

軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮的概念內力

截面法

軸力和軸力圖應力

拉（壓）桿內的應力拉（壓）桿的變形虎克定律強度條件

安全系數

許用應力拉（壓）桿內的應變能材料在拉伸和壓縮時的力學性質2§2-1軸向拉伸和壓縮的概念鋼拉桿3桿件的變形是沿軸線方向伸長或縮短。一、軸向拉伸和壓縮變形的受力特征作用于桿上的外力（或外力合力）的作用線與桿的軸線重合。二、變形特征4FFFF三、計算簡圖桿發(fā)生縱向伸長桿發(fā)生縱向縮短軸向拉伸軸向壓縮5吊車受力分析6一、截面法求軸力截面法是求內力的一般方法1.截面法設一等直桿在兩端軸向拉力F

的作用下處于平衡，欲求桿件

橫截面

mm上的內力§2-2內力?截面法?軸力和軸力圖7mmFF在求內力的截面mm處，假想地將桿截為兩部分，取其中一部分為研究對象（如取左邊）。（1）截開mmF8mmFFmmF（2）代替棄去部分對研究對象的作用以截開面上的內力代替。合力記作FNFN9mmFFmmFFN（3）平衡對研究對象列平衡方程FN=F10mmFFmmFFN與桿的軸線重合，即垂直于橫截面并通過其形心。稱為軸力。FN

為桿件任一橫截面

m—m上的內力。11FN則在截開面上的軸力與部分左側上的軸力數值相等而指向相反mmFFmmFFNmFm若取右側為研究對象12FN二.軸力符號的規(guī)定1.若軸力的指向背離截面，則規(guī)定為正號，稱為拉力。2.若軸力的指向指向截面，則規(guī)定為負號，稱為壓力。mmFFmmFFNmFm++13xFN三、軸力圖用平行于桿軸線的坐標表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標表示橫截面上的軸力數值，從而繪出表示軸力與橫截面位置關系的圖線，稱為

軸力圖

。將正的軸力畫在上側，負的畫在下側。14

拉伸內力15例題1

：一等直桿其受力情況如圖所示，作桿的軸力圖。

CABDE40kN55kN25kN20kN解：用集中力的作用面將桿分段。該桿分為：AB，BC，CD，DE

四段。16

求支座力RCABDE40kN55kN25kN20kNCABD300400E40kN55kN25kN20kN17

求AB段內的軸力FN1-R=0(+)20kNCABDE40kN55kN25kNR1RFN1計算符號軸力符號FN1=R=+10kN18

求BC段內的軸力R40kNFN2CABDE40kN55kN25kNR220kN19

CABDE40kN55kN25kN20kNR3FN3求CD、DE段內的軸力20kN25kN20kNFN4420FN1=10kN（拉力）FN2=50kN（拉力）FN3=-5kN（壓力）FN4=20kN（拉力）FN,max=50kN

發(fā)生在BC

段內任一橫截面上10kN5kN50kN++CABDE40kN55kN25kN20kN20kN21注意計算橫截面上的軸力時，應先假設軸力為正值，則軸力的實際符號與其計算符號一致。該法稱為設正法22§2-3應力

拉（壓）桿內的應力取一等直桿，在其側面上畫出許多與軸線平行的縱線和橫向線在兩端施加一對軸向拉力F一、拉（壓）桿橫截面上的應力FF23FFFF橫向線保持為直線且與縱向線垂直。所有的縱向線伸長都相等；24各縱向纖維的伸長相同，所以它們所受的力也相同。FFFF25

平面假設：直桿在軸向拉壓時橫截面仍保持為平面。結論：由平面假設知，在橫截面上作用著均勻分布的正應力F

FN26F

FN27

的符號與正應力FN

的符號相同。當軸力為正號時（拉伸），正應力也為正號，稱為拉應力，當軸力為負號時（壓縮），正應力也為負號，稱為壓應力，式中，FN

為軸力，A

為桿的橫截面面積。28當等直桿受幾個軸向外力作用時，桿內最大的正應力為最大的軸力FN,max

所在的截面稱為危險截面。危險截面上的正應力稱為最大工作應力。29拉伸應力30例題2：一橫截面為正方形的磚柱分上，下兩段，其受力情況，各段長度及橫截面面積如圖所示。已知F=50kN，試求荷載引起的最大工作應力。370240FABCFF300040002131

解：先作軸力圖370240FABCFF300040002150kN150kN(b)32370240FABCFF300040002150kN150kN(b)

max

在柱的下段，其值為

1.1MPa，是壓應力。33例題4：圖示為一變截面圓桿ABCD。已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN。d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。試求：(1)作軸力圖(2)桿的最大正應力

maxF1F2F3ABCD34F1F2F3ABCDR解：求支座力R=-50kNF1F2F3ABCD將桿分為AB，BC，CD

三段35F1F2F3ABCDR11(1)分別求出各段的軸力。F1FN1-FN1+F1=0FN1=20kN（+）36F1F2F3ABCDR11(1)分別求出各段的軸力。1111-FN2+F1-F2=0FN2=-15kN（-）F2F1FN237F1F2F3ABCDR11(1)分別求出各段的軸力。1111111111FN3–R=0FN3=R=-50kN（-）RFN338F1F2F3ABCDR111111111111(2)作軸力圖。FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15kN+-20kN50kN39F1F2F3ABCDR111111111111(3)求桿的最大正應力

max

。AB段：DC段：BC段：

max=176.8MPa,發(fā)生在AB段。FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）40FFkk

求與橫截面成

角的任一斜截面k—k上的應力二、拉（壓）桿斜截面上的應力41假想地用一平面沿斜截面k—k將桿截為二，取左段為研究對象。Fkkxn

FFkk

p

為斜截面k—k上的全應力

為斜截面k—k的外法線n與軸線的夾角42Fkkxn

FFkk

符號的規(guī)定自x

轉向n：逆時針時

為正號順時針時

為負號43A

為斜截面的面積A

為橫截面的面積故有Fkkxn

FFkk

為橫截面上的應力44沿截面法線方向的正應力

沿截面切線方向的切應力

將總應力p

分解為兩個分量：Fkk

Fkkxn

45Fkk

Fkkxn

符號的規(guī)定：正應力拉伸為正壓縮為負切應力：對研究對象任一點取矩。順時針為正逆時針為負46Fkk

Fkkxn

拉壓桿最大正應力發(fā)生在橫截面上。且在此截面上切應力為零。(1)當

=0

時，

max=

47Fkk

Fkkxn

=45時，(2)數值上最大的切應力發(fā)生在與軸線成

450

的斜截面上=-45時，48ld§2-4拉壓桿的變形?

胡克定律一、變形與線應變d1FFl149ldd1FFl1桿件的縱向伸長為縱向線應變?yōu)樯扉L時縱向線應變?yōu)檎?，縮短時縱向線應變?yōu)樨摗?0桿件在縱向變形的同時，將有橫向變形。桿件的橫向線應變?yōu)樯扉L時橫向線應變?yōu)樨?，縮短時橫向線應變?yōu)檎dd1FFl151ldd1FFl1二、泊松比當桿件受拉伸沿縱向伸長時，橫向則縮短；當桿件受壓縮沿縱向縮短時，橫向則伸長。52ldd1FFl1橫向線應變與縱向線應變之間的關系

稱為泊松比或橫向變形因數53三、胡克定律實驗表明工程上大多數材料都有一個彈性階段，在此范圍內軸向拉，壓桿件的伸長或縮短量

l

，與軸力FN

和桿長l成正比，與橫截面面積A

成反比。式中E稱為彈性模量，EA稱為抗拉（壓）剛度。上式稱胡克定律54上式改寫為55虎克定律：在線彈性范圍，正應力與線應變成正比。或稱單軸應力狀態(tài)下的胡克定律56例題5：圖所示桿系由兩根鋼桿1和2組成。已知桿端鉸接，兩桿與鉛垂線均成

=300的角度，長度均為l=2m，直徑均為d

=25mm，鋼的彈性模量為E

=210GPa。設在點處懸掛一重物P=100kN，試求A點的位移

A。ABC12

57PAxy解：列平衡方程，求桿的軸力ABC12

58兩桿的變形為（伸長）變形的幾何條件相容是，變形后，兩桿仍應鉸結在一起。。ABC12

A12BC

59ABC12

A12BC

畫變形圖求位移60以兩桿伸長后的長度

BA1

和

CA2為半徑作圓弧相交于A

，即為A

點的新位置。AA

就是A

點的位移。A12BC

A112ACB61A12BC

A112ACB因變形很小，故可過A1，A2

分別做兩桿的垂線，相交于A

可認為62A12BC

A112ACB所以63例題7：結構如圖所示。桿1和桿2的材料，截面面積均相同，A=100mm2，E=200GPa。當P=9kN時測得桿1的軸向線應變

1=20010-6，試求此時結構C端的豎直位移

C。ABCP=9kN1.732m1.732m12300剛桿64ABCP=9kN1.732m1.732m12300解：(1)求FN1，FN265ABCP=9kN1.732m1.732m12300PFN1FN2ABC畫受力圖，列平衡方程求得FN2=16kN66ABC12300(2)求

C點的豎直位移畫變形圖B1C167例題9（4）：圖示為一變截面圓桿ABCD。已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN。l1=l3=300mm，l2=400mm。d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。試求：B截面的位移及AD桿的變形F1F2F3ABCD68F1F2F3ABCD111111111111作軸力圖FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15kN+-20kN50kN69F1F2F3ABCD111111111111FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）求B截面的位移及AD桿的變形AB段：BC段：CD段：70F1F2F3ABCD求B截面的位移及AD桿的變形71（單位J)Ve=W

根據能量守恒，積蓄在彈性體內的應變能

在數值上等于外力所做作的功，即：§2-5拉（壓）桿內的應變能應變能：伴隨彈性變形增減而改變的能量。一、應變能72lF

lo

lFF

l73（單位J/m3)應變能密度：單位體積的應變能。記作

。二、應變能密度74例題10：圖所示桿系由兩根鋼桿1和2組成。已知桿端鉸接，兩桿與鉛垂線均成

=300的角度，長度均為l=2m，直徑均為d=25mm，鋼的彈性模量為E=210GPa。設在點處懸掛一重物P=100kN，試求A點的位移

A。（用應變能求）ABC12

75ABC12

因為節(jié)點A的位移與荷載P的方向相同，外力作功為由彈性體的功能原理，外力作功在數值上等于結構的應變能76ABC12

結構的應變能等于節(jié)點A的位移等于77ABC12

已知：78ABC12

79§2-6材料在拉壓時的力學性質力學性質-----材料在外力作用下，在強度與變形方面表現出來的性能。一、低碳鋼拉伸試驗1.試驗方法d80d先在試樣中間等直部分上劃兩條橫線這一段桿稱為標距l(xiāng)。l=10d或l=5dl標距設備主要有兩類，一類稱為萬能試驗機。另一類設備是用來測試變形的變形儀。81Fo

l2.低碳鋼拉伸時的力學性質（1）拉伸圖（F—

l

圖）82試樣的變形完全是彈性的。此階段內的直線段材料滿足胡克定律。階段1：彈性階段Fo

l183Fo

l1階段11：屈服階段試樣的荷載基本不變而試樣卻不斷伸長。屈服階段出現的變形是不可恢復的塑性變形。試樣外表面有大約與軸線成450方向的條紋，稱為滑移線。284Fo

l123階段111：強化階段在強化階段試樣的變形主要是塑性變形。在此階段可以較明顯地看到整個試樣的橫向尺寸在縮小。85Fo

l1234階段1V：局部變形階段

試樣在某一段內的橫截面面積顯箸地收縮，出現頸縮

現象。一直到試樣被拉斷。86Fo

l1234卸載定律：若到強化階段的某一點停止加載，并逐漸卸載，在卸載過程中，荷載與試樣伸長量之間遵循直線關系的規(guī)律稱為材料的卸載定律。Cab87Fo

l1234Cab

le

是試樣的彈性變形

lp

是試樣的塑性變形88Fo

l1234Ca冷作硬化：在常溫下把材料預拉到強化階段然后卸載，當再次加載時，試樣在線彈性范圍內所能承受的最大荷載將增大。b89Fo

l1234Cab冷作時效：若試樣預拉到強化階段然后卸載，經過一段時間后再受拉，則彈性范圍內所能承受的最大荷載還有所提高。90oA

點是應力與應變成正比的最高限。1243A

（2）應力應變曲線

P

——比例極限91o1243AB

eB

點是彈性階段的最高點。

e——彈性極限D

SD點為屈服低限

S

——屈服極限92o1243AB

eD

S

b

——強度極限G

點是強化階段的最高點G93

試樣拉斷后，彈性變形消失，塑性變形保留，試樣的長度由l

變?yōu)閘1，橫截面積原為A，斷口處的最小橫截面積為A1。斷面收縮率：延伸率：

和

均較高的材料，稱作塑性材料。94材料分兩大類脆性材料塑性材料延伸率和截面收縮率的數值越大，是否表明材料的塑性越好？95塑性材料的抗拉、壓性能相同！96脆性材料抗壓，不抗拉！拉伸強度極限

——壓縮強度極限

——97

低碳鋼拉伸實驗98

低碳鋼壓縮實驗99

鑄鐵拉伸實驗100

鑄鐵壓縮實驗101低碳鋼的拉伸灰鑄鐵的拉伸拉伸與壓縮時材料的力學性質？102例題11：一根材料為Q235鋼的拉伸試樣，其直徑d=10mm，工作段長度l=100mm。當試驗機上的荷載讀數達到F=10kN時，量得工作段的伸長為

l=0.0607mm，直徑的縮小為

d=0.0017mm。試求此時試樣橫截面上的正應力，并求材料的彈性模量E和泊松比。已知Q235鋼的比例極限

P=200MPa。解：可以用胡克定律計算E和

1031041.混凝土2.木材3.玻璃鋼P36—P38105二、許用應力[

]材料的兩個強度指標

s

和

b

稱作極限應力，并用

u表示。

n

是一個大于1的因數，稱作安全因數?！?-7強度條件?

安全因數?

許用應力一、極限應力塑性材料：

u=S脆性材料：

u=b106通常將對應于塑性應變εp=0.2%時的應力定為規(guī)定非比例延伸強度