人教版九年級數(shù)學上冊重難點專題提升精講精練專題21圓中的計算與證明經(jīng)典綜合大題專訓(六大題型)(原卷版+解析)

第二十四章圓專題21圓中的計算與證明經(jīng)典綜合大題專訓（六大題型）【題型目錄】題型一圓的對稱性相關的綜合大題題型二確定圓的條件相關的綜合大題題型三圓周角的綜合大題題型四直線與圓的位置關系相關的綜合大題題型五正多邊形與圓相關的綜合大題題型六弧長及扇形面積綜合大題【經(jīng)典例題一圓的對稱性相關的綜合大題】1．（2023秋·九年級課時練習）如圖，在中，C，D是直徑上的兩點，且，交于C、D，點E，G，F(xiàn)，H在上．(1)若，求半徑；(2)求證：；(3)若C，D分別為的中點，則成立嗎？請說明理由．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖1，是的弦，點C在外，連接、分別交于D、E，(1)求證：．(2)如圖2，過圓心O作，交于P、Q兩點，交、于M、N兩點，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接、，，若，，求弦的長．3．（2023·全國·九年級專題練習）【教材呈現(xiàn)】以下是浙教版八年級下冊數(shù)學教材第85頁的部分內(nèi)容．先觀察下圖，直線l1l2，點A，B在直線l2上，點C1，C2，C3，C4在直線l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4這些三角形的面積有怎樣的關系？請說明理由?！净A鞏固】如圖1，正方形內(nèi)接于，直徑，求陰影面積與圓面積的比值；【嘗試應用】如圖2，在半徑為5的中，，，，用含x的代數(shù)式表示；【拓展提高】如圖3，是的直徑，點P是上一點，過點P作弦于點P，點F是上的點，且滿足，連接交于點E，若，，求的半徑．4．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）已知，、是的兩條弦，，過圓心作于點．（1）如圖1，求證：．（2）如圖2：當、、三點在一條直線上時，求的度數(shù)．（3）如圖3，在（2）的條件下，點為劣弧上一點，，，連結、交于點，求和的長．5．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預測）請閱讀下面材料，并完成相應的任務．阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學王子．

阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），．M是的中點，則從點M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．

這個定理有很多證明方法，下面是運用“垂線法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，過點M作射線AB，垂足為點H，連接．∵M是的中點，∴．任務：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊三角形內(nèi)接于，D為上一點，．于點E，，連接，求的周長．【經(jīng)典例題二確定圓的條件相關的綜合大題】6．（2023·陜西·模擬預測）新定義：如圖1（圖2，圖3），在中，把邊繞點A順時針旋轉，把邊繞點A逆時針旋轉，得到，若，我們稱是的“旋補三角形”，的中線叫做的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．【特例感知】(1)①若是等邊三角形（如圖2），，則______________．②若（如圖3），，_____________．【猜想論證】(2)在圖1中，當是任意三角形時，猜想與的數(shù)量關系，并證明你的猜想；（提示：過點作且，連接，則四邊形是平行四邊形）【拓展應用】(3)如圖4，點A，B，C，D都在半徑為5的圓P上，且與不平行，，是的“旋補三角形”，點P是“旋補中心”，求BC的長．7．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）閱讀下列材料：已知實數(shù)m，n滿足，試求的值．解：設，則原方程變?yōu)?，整理得，，所以，因為，所?上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．(1)已知實數(shù)x、y滿足，求值；(2)已知的三邊為a、b、c（c為斜邊），且a、b滿足，外接圓的半徑．8．（2023春·湖北武漢·九年級華中科技大學附屬中學?？茧A段練習）拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，3），點D（m，3）在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接BC、BD，點P在對稱軸左側的拋物線上，若∠PBC＝∠DBC，求點P的坐標；(3)如圖2，點Q為第四象限拋物線上一點，經(jīng)過C、D、Q三點作⊙M，⊙M的弦QF∥y軸，求證：點F在定直線上．9．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知等邊的邊長為8，點P是邊上的一個動點（與點A、B不重合）．（1）如圖1．當時，的面積為；（2）直線l是經(jīng)過點P的一條直線，把沿直線l折疊，點B的對應點是點．①如圖2，當時，若直線，求的長度；②如圖3，當時，在直線l變化過程中．請直接寫出面積的最大值．10．（2023春·八年級單元測試）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD的中點，點F是BC邊上的點，AF=AD+FC，平行四邊形ABCD的面積為S，由A、E、F三點確定的圓的周長為t．（1）若△ABE的面積為30，直接寫出S的值；（2）求證：AE平分∠DAF；（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．【經(jīng)典例題三圓周角的綜合大題】11．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，為所對的圓周角．

知識回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側，．①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長；逆向思考(2)如圖②，P為圓內(nèi)一點，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點C在位于直線上方部分的圓弧上運動．點D在上，滿足的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．12．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖1，⊙的直徑的長為16，為半圓的中點，為劣弧上的一動點，和的延長線交于點，過點作的垂線交的延長線于點．

(1)求證：．(2)以直線為軸，線段的中垂線為軸，建立如圖2的平面直角坐標系，則點的坐標為，設點的坐標為，若，是方程的兩根，求的值．(3)若，求的值．13．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．

(1)更換定理的題設和結論可以得到許多真命題．如圖1，在中，C是劣弧的中點，直線于點E，則．請證明此結論；(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．C是劣弧的中點，直線于點E，則．可以通過延長、相交于點F，再連接證明結論成立．請寫出證明過程；(3)如圖3，，組成的一條折弦．C是優(yōu)弧的中點，直線于點E，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關系？寫出結論，不必證明．14．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：阿基米德折弦定理阿拉伯（973年～1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接和．∵是的中點，∴…

任務：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)填空：如圖（3），已知等邊△ABC內(nèi)接于為圓上一點，，與點，則的周長是．15．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，內(nèi)接于，連接，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點在上，連接，點是上一點，連接，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長交于點，連接，若，，，求的長．【經(jīng)典例題四直線與圓的位置關系相關的綜合大題】16．（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，弦交于點E，且．(1)根據(jù)題干信息，請用尺規(guī)作圖作出點F（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：是的切線；(3)若的半徑為5，，且，求的長17．（2023·山東·九年級專題練習）已知：射線平分，為上一點，交射線于點，，交射線于點，，連接，，．

(1)如圖1，若，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)如圖2，過點作，交于點；過點作，交于點．求證：．18．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）如圖，內(nèi)接于，且為的直徑，的平分線交于點，過點在左側作交的延長線于點，過點作于點．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，，求線段的長．19．（2023春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學校聯(lián)考階段練習）課本再現(xiàn)（1）在圓周角和圓心角的學習中，我們知道了：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．課本中先從四邊形一條對角線為直徑的特殊情況來論證其正確性，再從對角線是非直徑的一般情形進一步論證其正確性，這種數(shù)學思維方法稱為“由特殊到一般”如圖1，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為直徑，則__________度，__________度．（2）如果的內(nèi)接四邊形的對角線不是的直徑，如圖2、圖3，請選擇一個圖形證明：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．知識運用（3）如圖4，等腰三角形的腰是的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點．點是線段的中點，連接，求證：是的切線．

20．（2023·浙江寧波·校聯(lián)考一模）等腰三角形中，且內(nèi)接于圓O，D、E為邊上兩點（D在F、E之間），分別延長、交圓O于B、C兩點（如圖1），記，．

(1)求的大?。ㄓ忙?，β表示）；(2)連接，交于H（如圖2）．若，且．求證：；(3)在（2）的條件下，取中點M，連接、（如圖3），若，①求證：，；②請直接寫出的值．【經(jīng)典例題五正多邊形與圓的相關的綜合大題】1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，是的直徑，，是的弦，，延長到，連接，．

(1)求證：是的切線；(2)以為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長等于________．2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都為1，點、都在格點上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．(1)在圖①中畫的一個內(nèi)接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫的一個內(nèi)接正六邊形，__________．4．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結果保留π）．5．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）[閱讀與思考]如圖①，在正三角形中，點，是，上的點，且，則，；如圖②，在正方形中，點，是，上的點，且，則，；如圖③，在正五邊形中，點，是，上的點，且，則，；[理解與運用]在正六邊形中，點，是，上的點，且，則，；在正十邊形中，點，是，上的點，且，則，；[歸納與總結]根據(jù)以上規(guī)律，在正邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點，是，上的點，且，與相交于；也會有類似的結論，你的結論是．6．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設等邊的面積為S，通過證明可得，則．【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．【拓展應用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．【經(jīng)典例題六弧長及扇形的面積綜合大題】1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，內(nèi)接于，，，，．(1)度數(shù)．（直接寫出答案）(2)求的長度．(3)是上一點（不與，，重合），連結．①若垂直的某一邊，求的長．②將點A繞點P逆時針旋轉后得到，若恰好落在上，則的長度為．（直接寫出答案）2．（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習）如圖所示，在中，，，在上取點，以為圓心，以為半徑作圓，與相切于點，并分別與，相交于點，（異于點）．(1)求證：平分；(2)若點恰好是的中點，求扇形的面積．3．（2023·江蘇無錫·?？级＃┤鐖D，是半圓的直徑，是半圓上的一點不與，重合，連接，點為弧的中點，過點作，交的延長線于點．

(1)求證：是半圓的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點D在上，以為直徑的與相切于點E，與相交于點F，(1)求CF的長度；(2)求陰影部分的面積．．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學校?？奸_學考試）正方形與扇形有公共頂點O，分別以，所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系．如圖所示．正方形兩個頂點C、D分別在x軸、y軸正半軸上移動．設，，(1)當時，正方形與扇形不重合的面積是______；此時直線對應的函數(shù)關系式是______；(2)當直線與扇形相切時．求直線對應的函數(shù)關系式；(3)當正方形有頂點恰好落在上時，求正方形與扇形不重合的面積．6．（2023·江蘇無錫·九年級專題練習）如圖，在中，，平分交于D點，O是上一點，經(jīng)過B、D兩點的分別交、于點E、F．(1)用尺規(guī)補全圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：與相切：(3)當，時，求劣弧的長．【經(jīng)典例題七圓錐的側面積綜合大題】1．（2023春·江蘇蘇州·九年級星海實驗中學?？茧A段練習）如圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，將扇形EAF圍成圓錐時，AE、恰好重合，已知這種加工材料的頂角．(1)求圖2中圓錐底面圓直徑ED與母線AD長的比值；(2)若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結果保留π）2．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A（0，4），B（-4，4）、C（-6，2），請在網(wǎng)格圖中進行如下操作：（1）若該圓弧所在圓的圓心為D，則D點坐標為_____________；（2）連接AD、CD，則的半徑長為______（結果保留根號），的度數(shù)為___________；（3）若扇形ADC是一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐的底面圓的半徑長．（結果保留根號）3．（2023春·江蘇宿遷·九年級?？奸_學考試）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A、B、C，請在網(wǎng)格圖中進行下列操作：（1）利用網(wǎng)格確定該圓弧所在圓的圓心D點的位置，則D點坐標為；（2）連接AD、CD，則⊙D的半徑為(結果保留根號)，∠ADC的度數(shù)為；（3）若扇形DAC是一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐底面半徑．(結果保留根號)．

4．（2023春·江蘇蘇州·九年級昆山市第二中學?？奸_學考試）如圖，在一個半徑為的圓形紙片中，剪一個圓心角為的扇形．（1）求這個扇形的面積（保留）；（2）用所剪的紙片圍成一個圓錐的側面，求這個圓錐的底面圓的半徑．5．（2023春·九年級單元測試）綜合與實踐問題情境：如圖1，將一個底面半徑為的圓錐側面展開，可得到一個半徑為，圓心角為的扇形.工人在制作圓錐形物品時，通常要先確定扇形圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料.(1)探索嘗試：圖1中，圓錐底面周長與其側面展開圖的弧長________；（填“相等”或“不相等”）若，，則________.(2)解決問題：為操作簡便，工人希望能簡潔求的值，請用含，的式子表示；(3)拓展延伸：圖2是一種紙質(zhì)圓錐形生日帽，，，是中點，現(xiàn)要從點到點再到點之間拉一裝飾彩帶，求彩帶長度的最小值.6．（2023·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考一模）如圖1，等腰三角形中，當頂角的大小確定時，它的對邊（即底邊）與鄰邊（即腰或）的比值也就確定了，我們把這個比值記作，即，當時，如．(1)，，的取值范圍是；(2)如圖2，圓錐的母線長為18，底面直徑，一只螞蟻從點P沿著圓錐的側面爬行到點Q，求螞蟻爬行的最短路徑長．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）

第二十四章圓專題21圓中的計算與證明經(jīng)典綜合大題專訓（六大題型）【題型目錄】題型一圓的對稱性相關的綜合大題題型二確定圓的條件相關的綜合大題題型三圓周角的綜合大題題型四直線與圓的位置關系相關的綜合大題題型五正多邊形與圓相關的綜合大題題型六弧長及扇形面積綜合大題【經(jīng)典例題一圓的對稱性相關的綜合大題】1．（2023秋·九年級課時練習）如圖，在中，C，D是直徑上的兩點，且，交于C、D，點E，G，F(xiàn)，H在上．(1)若，求半徑；(2)求證：；(3)若C，D分別為的中點，則成立嗎？請說明理由．【答案】(1)5(2)見解析(3)成立，證明見解析【分析】（1）連接，利用勾股定理即可求得；（2）通過證得，得到，即可根據(jù)圓心角、弧、弦的關系得到結論；（3）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，同理，進一步得到，即可根據(jù)圓心角、弧、弦的關系得到．【詳解】（1）如圖1，連接，設半徑為r，∵，∴．∵，∴，在中，，∴，解得，∴半徑為5；（2）如圖1，在（1）基礎上連接，∵，∴．∵，∴在和中，，∴，∴，∴；（3）成立，理由如下：∵C，D分別為的中點，∴，∴∴，同理，∴，∴．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，三角形全等的判斷和性質(zhì)，勾股定理的應用等，作出輔助性構建直角三角形是解題的關鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖1，是的弦，點C在外，連接、分別交于D、E，(1)求證：．(2)如圖2，過圓心O作，交于P、Q兩點，交、于M、N兩點，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接、，，若，，求弦的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)13【分析】(1)連接，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的兩個底角相等的性質(zhì)證明即可．(2)連接，證，得，得，可證明．(3)連接，證，，結合已知，得，等邊，，，作于點G，設，可得，，，，，中勾股得，計算即可．【詳解】（1）如圖，連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴；∵，∴；∴；∴．（2）連接，∵，∴；∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（3）連接，∵，∴；∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴等邊，，，作于點G，則，∵，，設，則，，∴，∴，，，中，根據(jù)勾股定理，得，解得，，

∵，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解法，熟練掌握圓的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解法是解題的關鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習）【教材呈現(xiàn)】以下是浙教版八年級下冊數(shù)學教材第85頁的部分內(nèi)容．先觀察下圖，直線l1l2，點A，B在直線l2上，點C1，C2，C3，C4在直線l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4這些三角形的面積有怎樣的關系？請說明理由。【基礎鞏固】如圖1，正方形內(nèi)接于，直徑，求陰影面積與圓面積的比值；【嘗試應用】如圖2，在半徑為5的中，，，，用含x的代數(shù)式表示；【拓展提高】如圖3，是的直徑，點P是上一點，過點P作弦于點P，點F是上的點，且滿足，連接交于點E，若，，求的半徑．【答案】[教材呈現(xiàn)]：面積相等，理由見解析；[基礎鞏固]：；[嘗試應用]：；[拓展提高]：6【分析】[教材呈現(xiàn)]根據(jù)平行線與三角形的面積公式解答即可；[基礎鞏固]連接，設的半徑為，利用正方形的性質(zhì)得，根據(jù)三角形面積公式得，同理，，可得即可求出陰影面積與圓面積的比；[嘗試應用]連接，過點O作于點H，由可得，得出，即可得，由可得，再由得出，從而可得，利用勾股定理求出，最后求得結果；[拓展提高]連接，先由垂徑定理得出，，從而可得，設，則，由勾股定理求出的長，最后求得結果．【詳解】∵，，，同底等高∴[基礎鞏固]連接∵∴同理，∴∴陰影面積與圓面積的比為；[嘗試應用]連接，過點O作于點H∵∴∴∴∵∴∴∴，∴，，，∴[拓展提高]連接∵為直徑，于點P∴，又∵∴∴，∴，設，則∵∴∴，∵∴∴∴∴∴，在中，，設半徑為r，則解得∴的半徑為6【點睛】此題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形的面積公式，垂徑定理、弧、弦、圓心角的關系及勾股定理等知識點，解決本題的關鍵是熟練掌握兩條平行線之間的距離處處相等．4．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）已知，、是的兩條弦，，過圓心作于點．（1）如圖1，求證：．（2）如圖2：當、、三點在一條直線上時，求的度數(shù)．（3）如圖3，在（2）的條件下，點為劣弧上一點，，，連結、交于點，求和的長．【答案】（1）見詳解；（2）60°；（3）BC的長為14，BE的長為10．【分析】（1）過O作OH⊥AB，證明△BOH≌△COD即可證得∠B=∠C；（2）先證BD垂直平分AC,再證△ABC是正三角形，由正三角形的性質(zhì)可求得∠BAC的度數(shù)；（3）在圖3中過C作CG⊥BE交BE的延長線于G，先求出∠CEG=60°，再求出CG、EG長，最后用勾股定理求出BG長，用BG-EG可得BE長．【詳解】（1）如下圖1在⊙O中：過O作OH⊥AB于H，∵OD⊥AC于D，AB=AC∴OH=OD又∵OB=OC∴RT△OBH≌RT△OCD（HL）∴∠B=∠C．（２）如下圖2在⊙O中：∵OD⊥AC∴OD平分AC又∵B、O、D三點共線∴BD垂直平分AC∴AB=BC又∵AB=AC∴AB=AC=BC∴∠BAC=60°．（3）如下圖3在⊙O中過C作CG⊥BE交BE的延長線于G由（2）的解題過程知D是AC中點、BC=AC∴BC=AC=2CD=2×7=14由（2）的解題過程知∴∠BEC=∴∠CEG=60°在RT△CEG中在RT△CBG中，由勾股定理得∴BE=BG-EG=13-3=10．【點睛】本題綜合考查了與圓有關的基本性質(zhì)．熟悉圓的基本性質(zhì)及等邊三角形的相關知識和特殊角的三角函數(shù)等是解決此題之關鍵．5．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預測）請閱讀下面材料，并完成相應的任務．阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學王子．

阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），．M是的中點，則從點M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．

這個定理有很多證明方法，下面是運用“垂線法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，過點M作射線AB，垂足為點H，連接．∵M是的中點，∴．任務：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊三角形內(nèi)接于，D為上一點，．于點E，，連接，求的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證，推出，．再證，推出，等量代換可得；（2）先利用等邊三角形的性質(zhì)證明，進而證明，，求出，再利用（1）中結論可得，通過等量代換可得．【詳解】（1）證明：如圖，，

∵，，∴．又∵，∴，∴，．∵，，∴．∴．∴．（2）解：如圖，

∵是等邊三角形，∴，．∵．∴．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴點C是的中點．∴由（1）的結論得，，∴的周長是．【點睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等，解題的關鍵是熟練運用等量代換思想．【經(jīng)典例題二確定圓的條件相關的綜合大題】6．（2023·陜西·模擬預測）新定義：如圖1（圖2，圖3），在中，把邊繞點A順時針旋轉，把邊繞點A逆時針旋轉，得到，若，我們稱是的“旋補三角形”，的中線叫做的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．【特例感知】(1)①若是等邊三角形（如圖2），，則______________．②若（如圖3），，_____________．【猜想論證】(2)在圖1中，當是任意三角形時，猜想與的數(shù)量關系，并證明你的猜想；（提示：過點作且，連接，則四邊形是平行四邊形）【拓展應用】(3)如圖4，點A，B，C，D都在半徑為5的圓P上，且與不平行，，是的“旋補三角形”，點P是“旋補中心”，求BC的長．【答案】(1)①2；②3；(2)，證明見解析；(3)8【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出，，結合“旋補三角形”的定義可得出，．利用等腰三角形的三線合一可得出，通過解直角三角形可求出AD的長度；②由“旋補三角形”的定義可得出、、，進而可得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出的長度；（2），過點作且，連接，則四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結合“旋補三角形”的定義可得出、、，進而可證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出，由平行四邊形的對角線互相平分即可證；（3）作、的垂直平分線，交于點P，則點P為四邊形的外接圓圓心，過點P作于點F，由（2）的結論可求出的長度，在中，利用勾股定理可求出的長度，進而可求出的長度．【詳解】（1）解：①∵是等邊三角形，，∴，，∴，．∵為等腰的中線，∴，，∴．在中，，，，∴．②∵，∴．在和中，，∴，∴，∴．故答案為：①2；②3．（2），證明：在圖1中，過點作且，連接，則四邊形是平行四邊形，∵，，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．（3）在圖4中，作、的垂直平分線，交于點P，則點P為四邊形的外接圓圓心，過點P作于點F．∵，，∴為的中位線，∴．在中，，，，∴，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）①利用解含角的直角三角形求出；②牢記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）構造平行四邊形，利用平行四邊形對角線互相平分找出；（3）利用（2）的結論結合勾股定理求出BF的長度．7．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）閱讀下列材料：已知實數(shù)m，n滿足，試求的值．解：設，則原方程變?yōu)?，整理得，，所以，因為，所?上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．(1)已知實數(shù)x、y滿足，求值；(2)已知的三邊為a、b、c（c為斜邊），且a、b滿足，外接圓的半徑．【答案】(1)(2)【分析】（1）設，解一元二次方程得到，根據(jù)，得到，即可得到答案；（2）設，解一元二次方程得到，根據(jù)勾股定理求出c，即可得到答案．【詳解】（1）解：設，則原方程變形為，整理得：，解得，，∵，∴，∴；（2）解：設，則原方程變形為，整理得，解得：或，∵，∴，∴，∴外接圓的半徑．【點睛】本題考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握換元法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．8．（2023春·湖北武漢·九年級華中科技大學附屬中學?？茧A段練習）拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，3），點D（m，3）在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接BC、BD，點P在對稱軸左側的拋物線上，若∠PBC＝∠DBC，求點P的坐標；(3)如圖2，點Q為第四象限拋物線上一點，經(jīng)過C、D、Q三點作⊙M，⊙M的弦QF∥y軸，求證：點F在定直線上．【答案】(1)(2)P（，）(3)證明見解析【分析】（1）把A、C坐標代入可得關于a、c的二元一次方程組，解方程組求出a、c的值即可得答案；（2）如圖，設BP與y軸交于點E，直線解析式為，根據(jù)（1）中解析式可知D、B兩點坐標，可得CD//AB，利用ASA可證明△DCB≌△ECB，可得CE=CD，即可得出點E坐標，利用待定系數(shù)法可得直線BP的解析式，聯(lián)立直線BP與拋物線解析式求出交點坐標即可得答案；（3）如圖，連接MD，MF，設Q（m，-m2+2m+3），F(xiàn)（m，t），根據(jù)CD、QF為⊙M的弦可得圓心M是CD、QF的垂直平分線的交點，即可表示出點M坐標，根據(jù)MD=MF，利用兩點間距離公式可得（）2+（2-1）2=（m-1）2+（）2，整理可得t=2，即可得答案．【詳解】（1）∵A（﹣1，0）、C（0，3）在拋物線y＝ax2+2x+c圖象上，∴，解得：，∴拋物線解析式為：．（2）如圖，設BP與y軸交于點E，直線解析式為，∵點D（m，3）在拋物線上，∴，解得：，（與點C重合，舍去），∴D（2，3），∴CD//AB，CD=2，當y=0時，，解得：，，

∴B（3，0），∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，在△DCB和△ECB中，∵，∴△DCB≌△ECB，∴CE=CD=2，∴OE=OC-CE=1，∴E（0，1），∴，解得：，∴直線BP的解析式為，聯(lián)立直線BP與拋物線解析式得：，解得：（舍去），，∴P（，）．（3）如圖，連接MD，MF，設Q（m，-m2+2m+3），F(xiàn)（m，t），∵CD、QF為⊙M的弦，∴圓心M是CD、QF的垂直平分線的交點，∵C（0，3），D（2，3），QF//y軸，∴M（1，），∵MD=MF，∴2+（2-1）2=（m-1）2+（）2，整理得：t=2，∴點F在定直線y=2上．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題及圓的性質(zhì)，綜合性強，熟練掌握相關知識及定理是解題關鍵．9．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知等邊的邊長為8，點P是邊上的一個動點（與點A、B不重合）．（1）如圖1．當時，的面積為；（2）直線l是經(jīng)過點P的一條直線，把沿直線l折疊，點B的對應點是點．①如圖2，當時，若直線，求的長度；②如圖3，當時，在直線l變化過程中．請直接寫出面積的最大值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的邊長為8，計算等邊△ABC的面積，由同高三角形面積的比等于對應底邊的比，可得△PBC的面積；（2）①如圖2中，設直線l交BC于點E．連接BB′交PE于O．證明△PEB是等邊三角形，求出OB即可解決問題；②如圖3中，過點P作PH垂直于AC，當B'、P、H共線時，△ACB′的面積最大，求出PH的長即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，∵等邊△ABC的邊長為8，∴等邊△ABC的面積=，∵PB=3AP，∴△BPC的面積為；故答案為：12；（2）①如圖2中，設直線l交BC于點E．連接BB′交PE于O，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，∴△PEB是等邊三角形，∵PB=5，且B，B′關于PE對稱，∴BB′⊥PE，BB′=2OB，∴∠PBO=30°，∴OP=PB=，OB=，∴BB′=5；②如圖3中，過點P作PH垂直于AC，由題意可得：B'在以P為圓心半徑長為6的圓上運動，當HP的延長線交圓P于點B′時面積最大，在Rt△APH中，∵AB=8，PB=6，∵PA=2，∵∠PAH=60°，∴AH=1，PH=，∴BH=6+，∴S△ACB′的最大值=×8×（6+）=4+24．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對稱變換，勾股定理，含30°的直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．10．（2023春·八年級單元測試）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD的中點，點F是BC邊上的點，AF=AD+FC，平行四邊形ABCD的面積為S，由A、E、F三點確定的圓的周長為t．（1）若△ABE的面積為30，直接寫出S的值；（2）求證：AE平分∠DAF；（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．【答案】（1）平行四邊形ABCD的面積為60；（2）證明見解析；（3）△AEF的外接圓的周長t=π．【詳解】【分析】（1）作EG⊥AB于點G，由S△ABE=×AB×EG=30得AB?EG=60，即可得出答案；（2）延長AE交BC延長線于點H，先證△ADE≌△HCE得AD=HC、AE=HE及AD+FC=HC+FC，結合AF=AD+FC得∠FAE=∠CHE，根據(jù)∠DAE=∠CHE即可得證；（3）先證∠ABF=90°，根據(jù)勾股定理可得出AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，據(jù)此求得FC的長，從而得出AF的長度，再由AE=HE、AF=FH知FE⊥AH，即AF是△AEF的外接圓直徑，從而得出答案．【詳解】（1）如圖，作EG⊥AB于點G，則S△ABE=×AB×EG=30，則AB?EG=60，∴平行四邊形ABCD的面積為60；（2）如圖，延長AE交BC延長線于點H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE，∵E為CD的中點，∴CE=ED，∴△ADE≌△HCE，∴AD=HC、AE=HE，∴AD+FC=HC+FC，由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH，∴∠FAE=∠CHE，又∵∠DAE=∠CHE，∴∠DAE=∠FAE，∴AE平分∠DAF；（3）連接EF，∵AE=BE、AE=HE，∴AE=BE=HE，∴∠BAE=∠ABE，∠HBE=∠BHE，∵∠DAE=∠CHE，∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE，即∠DAB=∠CBA，由四邊形ABCD是平行四邊形得∠DAB+∠CBA=180°，∴∠CBA=90°，∴AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，解得：FC=，∴AF=FC+CH=，∵AE=HE、AF=FH，∴FE⊥AH，∴AF是△AEF的外接圓直徑，∴△AEF的外接圓的周長t=π．【點睛】本題考查圓的綜合問題，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握和靈活運用相關的性質(zhì)與定理是解題的關鍵.【經(jīng)典例題三圓周角的綜合大題】11．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，為所對的圓周角．

知識回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側，．①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長；逆向思考(2)如圖②，P為圓內(nèi)一點，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點C在位于直線上方部分的圓弧上運動．點D在上，滿足的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．【答案】(1)①；②；(2)見解析；(3)見解析【分析】（1）①根據(jù)，結合圓周角定理求的度數(shù)；②構造直角三角形；（2）只要說明點到圓上、和另一點的距離相等即可；（3）根據(jù)，構造一條線段等于，利用三角形全等來說明此線段和相等．【詳解】（1）解：①，，，．②連接，過作，垂足為，

，，是等腰直角三角形，且，，，是等腰直角三角形，，在直角三角形中，，．（2）證明：延長交圓于點，則，

，，，，，，，為該圓的圓心．（3）證明：過作的垂線交的延長線于點，連接，延長交圓于點，連接，，

，，是等腰直角三角形，，，，，是直徑，，，，，，，，必有一個點的位置始終不變，點即為所求．【點睛】本題考查了圓周角定理，還考查了勾股定理和三角形全等的知識，對于（3）構造一條線段等于是關鍵．12．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖1，⊙的直徑的長為16，為半圓的中點，為劣弧上的一動點，和的延長線交于點，過點作的垂線交的延長線于點．

(1)求證：．(2)以直線為軸，線段的中垂線為軸，建立如圖2的平面直角坐標系，則點的坐標為，設點的坐標為，若，是方程的兩根，求的值．(3)若，求的值．【答案】(1)見解析；(2)(3)【分析】（1）若求，連接是顯然的，然后再討論和，而發(fā)現(xiàn)這兩個角都在圓外，而外部也無復雜圖象包含它們，所以常規(guī)作法顯然不好處理．故想到把它們也放在圓中，連接發(fā)現(xiàn)，，則若以為直徑畫圓，其圓必過、兩點，則利用圓周角、對頂角性質(zhì)可證恰與劣弧的圓周角相等，因為為中點，顯然為，則結論易證．（2）綜合題，后問往往要用前問的結論，前問中，本題利用可求出中，與的關系．在利用根與系數(shù)的關系列出方程即可討論，但要注意還有討論兩根存在的前提；（3）連接、，過點作，垂足為，由，，設，利用勾股定理可以求出，然后根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：連接，，以為直徑畫圓．

，，、兩點必過以為直徑的圓，，．為劣弧的圓周角，且為半圓的中點，∵為半圓的中點，∴，為劣弧的圓周角，．在中，，，．（2）解：，，，，，．，、為方程的兩根，，，，∴，解得或．在第一象限，，舍去，即此時為．，綜上所述：（3）如圖3，連接、，過點作，垂足為，

由（1）可得，，∴，設，則，∵，∴，∴，∴在中，，又∵在中，，∴，∴，∴．【點睛】本題難度較高，考查了圓、三角形、一元二次方程根與系數(shù)關系及用勾股定理解三角形等相關知識，其中（1）輔助線的作法并不易想到，需要特殊留意．總體來說，綜合性極高，學生一定要加強理解．13．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．

(1)更換定理的題設和結論可以得到許多真命題．如圖1，在中，C是劣弧的中點，直線于點E，則．請證明此結論；(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．C是劣弧的中點，直線于點E，則．可以通過延長、相交于點F，再連接證明結論成立．請寫出證明過程；(3)如圖3，，組成的一條折弦．C是優(yōu)弧的中點，直線于點E，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關系？寫出結論，不必證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，證明見解析【分析】（1）連接，，易證為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，可以證得．（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先證，再證為等腰三角形，進一步證得，從而證得結論．（3）根據(jù)，從而證明，得出，然后判斷出，進而求得．【詳解】（1）如圖1，連接，，

∵C是劣弧的中點，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等腰三角形，∵，∴；（2）如圖2，延長、相交于點F，再連接，

∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵C是劣弧的中點，∴，∵，∴∵∴∴∴，，∴，∴，∴（3）．理由如下：連接，，，與相交于點F，

∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，，∴，

∴，，∴，∴，∴．【點睛】此題主要考查了垂徑定理及其推論，全能三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，掌握并熟練運用垂徑定理是解題的關鍵．14．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：阿基米德折弦定理阿拉伯（973年～1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接和．∵是的中點，∴…

任務：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)填空：如圖（3），已知等邊△ABC內(nèi)接于為圓上一點，，與點，則的周長是．【答案】(1)見解析(2)2+2【分析】（1）如圖2，在上截取，連接和，首先證明，進而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（2）如圖3，截取，連接．首先證明，進而得出，以及，進而求出的長即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．∵是的中點，∴．在和中∵，∴，∴，又，，；（2）如圖3，截取連接由題意可得：，在和中∵，∴，∴，∵，∴，則，∵∴＝，∴，∵是等邊三角形，∴，則的周長是2+2．故答案為2+2．

【點睛】本題考查圓綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確作出輔助線構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．15．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，內(nèi)接于，連接，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點在上，連接，點是上一點，連接，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長交于點，連接，若，，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）過點作，如圖所示，由垂徑定理可知：，再由得到，即可得證；（2）延長交于，如圖所示，由（1）知，從而由等腰三角形“三線合一”得到，且，從而得到，即可有，由內(nèi)錯角相等兩直線平行得到，進而，即；（3）連接，延長交于點，證明，利用勾股定理即可解答．【詳解】（1）證明：過點作，如圖所示：

由垂徑定理可知，，在和中，，，，；（2）證明：延長交于，如圖所示：

由（1）知，根據(jù)，從而由等腰三角形“三線合一”得到，且，，，，，，，，，即；（3）解：如圖，連接，延長交于點，

根據(jù)（2）中可得，，，，，，，，在與中，，，，，，，，，，且為直徑，，．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．【經(jīng)典例題四直線與圓的位置關系相關的綜合大題】16．（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，弦交于點E，且．(1)根據(jù)題干信息，請用尺規(guī)作圖作出點F（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：是的切線；(3)若的半徑為5，，且，求的長【答案】(1)作圖見解析部分(2)證明見解析部分(3)【分析】（1）作交的延長線于點F．（2）證明即可；（3）利用勾股定理求出，再利用面積法求出，利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：如圖，點F即為所求；（2）證明：∵都是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是半徑，∴是的切線；（3）解：過點D作于點H．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查作圖﹣復雜作圖、切線的判定、勾股定理等知識點，理解題意、靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵．17．（2023·山東·九年級專題練習）已知：射線平分，為上一點，交射線于點，，交射線于點，，連接，，．

(1)如圖1，若，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)如圖2，過點作，交于點；過點作，交于點．求證：．【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析(2)見解析【分析】（1）如圖，作于點，作于點，利用角平分線定義及性質(zhì)易得，，然后利用可證得，，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)及線段的和差可證得，利用平行線性質(zhì)及等角對等邊可證得，最后利用有一組鄰邊相等的平行四邊形即可證得結論；（2）連接，結合（1）中所求及垂徑定理，利用易證得，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)及已知條件可證得，最后利用平行線分線段成比例即可證得結論．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：如圖，作于點，作于點，

平分，，，在與中，，，，在與中，，，，，即，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）證明：如圖，連接，

，，，，，，，，即，在與中，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查圓與全等三角形的綜合應用，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，平行線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形性質(zhì)，（1）作于點，作于點，（2）中連接分別構造全等三角形是解題的關鍵．18．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）如圖，內(nèi)接于，且為的直徑，的平分線交于點，過點在左側作交的延長線于點，過點作于點．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，，求線段的長．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（）由，，得，所以；（）連接，由，且，，得，由，得，即可證明是的切線；（）由是的直徑，得，所以，，由于點，得，所以，則，由，得，則，所以，由，，得，再證明，得，即可求得．【詳解】（1）∵，，∴，∴，（2）證明：如圖，連接，

∵的平分線交于點，∴，∵，，∴，∵，∴，∵是的半徑，且，∴是的切線．（3）解：∵是的直徑，，，∴，∴，，∵于點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴線段的長是．【點睛】此題考查了圓周角定理、平行線的判定、切線的判定定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點的應用．19．（2023春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學校聯(lián)考階段練習）課本再現(xiàn)（1）在圓周角和圓心角的學習中，我們知道了：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．課本中先從四邊形一條對角線為直徑的特殊情況來論證其正確性，再從對角線是非直徑的一般情形進一步論證其正確性，這種數(shù)學思維方法稱為“由特殊到一般”如圖1，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為直徑，則__________度，__________度．（2）如果的內(nèi)接四邊形的對角線不是的直徑，如圖2、圖3，請選擇一個圖形證明：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．知識運用（3）如圖4，等腰三角形的腰是的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點．點是線段的中點，連接，求證：是的切線．

【答案】（1），；（2）見詳解；（3）見詳解【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是以及四邊形內(nèi)角和為進行作答即可；（2）以圖2為例證明，連接，，根據(jù)同弧所對的圓心角是圓周角的2倍以及四邊形內(nèi)角和為進行作答；或者以圖3為例證明，連接，，根據(jù)同弧所對的圓心角是圓周角的2倍以及四邊形內(nèi)角和為進行作答即可；（3）連接，，根據(jù)等邊對等角，即，又，得，，，再結合四邊形是圓內(nèi)接四邊形，得，，進而知道，又因為是線段的中點，即可求證是的切線．【詳解】解：（1）∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，為直徑，∴，那么，故答案為：90，180；（2）證明：以圖2為例證明，連接，，如圖所示：

∵弧弧，∴，，∵∴，∴，在四邊形，，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補；或者以圖3為例證明，連接，，如圖所示：

∵弧弧，∴，，∵,∴，∴，在四邊形，，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補；（3）證明：連接，，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，則，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，則，∴，∵是線段的中點，∴，則，∵是圓的半徑，∴是圓的切線．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形對角互補以及圓的基本性質(zhì)、切線的判定、平行線的判定與性質(zhì)等知識點內(nèi)容，熟練掌握圓的基本性質(zhì)是解題的關鍵．20．（2023·浙江寧波·校聯(lián)考一模）等腰三角形中，且內(nèi)接于圓O，D、E為邊上兩點（D在F、E之間），分別延長、交圓O于B、C兩點（如圖1），記，．

(1)求的大?。ㄓ忙粒卤硎荆?；(2)連接，交于H（如圖2）．若，且．求證：；(3)在（2）的條件下，取中點M，連接、（如圖3），若，①求證：，；②請直接寫出的值．【答案】(1)(2)見解析(3)①見解析；②或【分析】（1）如圖1中，連接．利用圓周角定理求解；（2）證明，，可得結論；（3）①如圖3中，連接，延長交于點I．證明，推出，，再證明，可得結論；②連接，．設，則，，設，利用勾股定理求出m，n之間的關系，可得結論．【詳解】（1）解：如圖1中，連接．

∵，∴，∴，∵，∴；（2）證明：如圖2中，

∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）①證明：如圖3中，連接，延長交于點I．∵，，∴，∵，∴，∴是直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，，∵，∴，在中，，∴即，∴，又，∴，∵，，∴，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，∴，又，∴，；②解：連接，．∵，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，設，則，，設，∴，∴，∵，∴，整理得，∴或，∴或．

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形或全等三角形解決問題，學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．【經(jīng)典例題五正多邊形與圓的相關的綜合大題】21．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，是的直徑，，是的弦，，延長到，連接，．

(1)求證：是的切線；(2)以為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長等于________．【答案】(1)見解析(2)18【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理計算出即可；（2）得出以為邊的圓內(nèi)接正多邊形是圓內(nèi)接正六邊形，再求出的長即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

，，，，，即，又是半徑，是的切線；（2）解：連接，

，以為邊的圓內(nèi)接正多邊形是圓內(nèi)接正六邊形，，以為邊的圓內(nèi)接正六邊形的周長為．【點睛】本題考查切線的判定，圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，掌握切線的判定方法是正確解答的前提．22．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都為1，點、都在格點上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．(1)在圖①中畫的一個內(nèi)接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫的一個內(nèi)接正六邊形，__________．【答案】(1)圖見解析，32(2)圖見解析，【分析】（1）只需要作直徑、，并使得即可；（2）如圖所示，取格點B，C，D，E，F(xiàn)，然后順次連接A、B、C、D、E、F得到正六邊形，再求出求面積．【詳解】（1）解：如圖所示，正四邊形即為所求；，故答案為32；（2）解：如圖所示，正六邊形即為所求；過點O作于H，∵正六邊形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知正多邊形和圓的相關知識是解題的關鍵．23．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數(shù)；(2)當點P為的中點時，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接OD，OC，根據(jù)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，結合圓周角定理可得∠CPD；（2）結合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠COP的度數(shù)，進而得出答案．【詳解】（1）解：連接OD，OC，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∴．（2）解：連接PO，OB，如圖所示：∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵點P為的中點，∴，∴，∴n＝360÷45＝8．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．24．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結果保留π）．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖，連接AE，AD，AC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到結論；（2）如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設⊙O的半徑為r，推出△ODE是等邊三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根據(jù)勾股定理得到OGr，根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）證明：如圖，連接AE，AD，AC，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴EF＝ED＝CD＝BC，∴，∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，∴過頂點A的三條對角線四等分∠BAF；（2）解：如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設⊙O的半徑為r，∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，∴△ODE是等邊三角形，∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，∴∠EOG＝30°，∴EGr，∴OGr，∴正六邊形ABCDEF的面積＝6rrr2，∵⊙O的面積＝πr2，∴．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．25．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）[閱讀與思考]如圖①，在正三角形中，點，是，上的點，且，則，；如圖②，在正方形中，點，是，上的點，且，則，；如圖③，在正五邊形中，點，是，上的點，且，則，；[理解與運用]在正六邊形中，點，是，上的點，且，則，；在正十邊形中，點，是，上的點，且，則，；[歸納與總結]根據(jù)以上規(guī)律，在正邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點，是，上的點，且，與相交于；也會有類似的結論，你的結論是．【答案】；；；；；以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，進而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出，；根據(jù)正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出：；根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出：；根據(jù)以上所求結論即可得正六邊形中，；根據(jù)以上所求結論即可得正十邊形中，；根據(jù)以上所求得出在正n邊形中，類似的結論．【詳解】解：閱讀與思考:∵在正三角形中，點M，N是，上的點，且，∵在和中故答案為：；∵在正方形中，點M，N是，上的點，且在和中答案為：；∵在正五邊形中，點M，N是，上的點，且，則∵在和中，故答案為：；理解與運用：∵正三角形的內(nèi)角度數(shù)為：；正方形的內(nèi)角度數(shù)為：；正五邊形的內(nèi)角度數(shù)為：；∴同理可得：在正六邊形中，點M，N是，上的點，且，則，；故答案為：；同理可得：在正十邊形中，點M，N是，上的點，且，則，；故答案為：；歸納與總結：根據(jù)以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角，所以所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角故答案為：以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角【點睛】此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練利用三角形的外角性質(zhì)是解題關鍵．【經(jīng)典例題六弧長及扇形的面積綜合大題】26．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，內(nèi)接于，，，，．(1)度數(shù)．（直接寫出答案）(2)求的長度．(3)是上一點（不與，，重合），連結．①若垂直的某一邊，求的長．②將點A繞點P逆時針旋轉后得到，若恰好落在上，則的長度為．（直接寫出答案）【答案】(1)(2)(3)①；②4【分析】（1）利用勾股定理求出，在根據(jù)等腰三角形的判定和三角形的內(nèi)角和定理解答即可；（2）連接，，利用圓周角定理求得圓心角的度數(shù)，再利用弧長公式解答即可；（3）①連接，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得，利用全等三角形的判定與勾股定理求得，則可求；②連接，，設與交于點，通過證明，，，四點共圓，利用圓周角定理和垂徑定理得到經(jīng)過圓心，過點作于點，利用垂徑定理和勾股定理求得，連接，利用勾股定理求得圓的半徑，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得，勾股定理求得，則．【詳解】（1）解：在中，，，，，∴，，，，，故答案為：；（2）連接，，如圖，

，，在中，，，，的長度；（3）①是上一點（不與，，重合），垂直的某一邊，點只能在上，連接，如圖，

由（1）知：，，為等腰直角三角形，．在和中，，，，．；②由題意知：點在上，連接，，設與交于點，如圖，

，，．，，，，，，，四點共圓，，平分，為等腰直角三角形，垂直平分，經(jīng)過圓心，過點作于點，則，，，，，，連接，，，．．，，，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了圓的有關性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的有關計算，充分利用圓周角定理添加恰當?shù)妮o助線是解題的關鍵．27．（2023春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）如圖所示，在中，，，在上取點，以為圓心，以為半徑作圓，與相切于點，并分別與，相交于點，（異于點）．(1)求證：平分；(2)若點恰好是的中點，求扇形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，以此可得，在平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行得，進而得到，由可得，因此，以此即可證明；（2）連接、、，易得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)的，因此為等邊三角形，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，于是可證明為等邊三角形，再利用扇形的面積公式計算即可．【詳解】（1）連接，如圖，

與相切于點，，，，，，，，，平分；（2）連接、、，如圖，

，是的中點，，在中，，，為等邊三角形，，，，，為等邊三角形，，．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、扇形的面積公式，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題關鍵．28．（2023·江蘇無錫·?？级＃┤鐖D，是半圓的直徑，是半圓上的一點不與，重合，連接，點為弧的中點，過點作，交的延長線于點．

(1)求證：是半圓的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得，，再根據(jù)，可證，由此即可求證；（2）如圖所示，連接，在中根據(jù)余弦的計算方法可得，和都是等邊三角形，四邊形是菱形，可求出，的面積，再根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）證明：點為弧的中點，∴，，，，，，，，交的延長線于點，，，是的半徑，且，是半圓的切線．（2）解：如圖所示，連接，

，，，，，，，，和都是等邊三角形，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，陰影部分的面積是．【點睛】本題主要考查圓與幾何圖形的綜合，掌握切線的證明方法，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，求不規(guī)則圖形的面積的方法是解題的關鍵．29．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點D在上，以為直徑的與相切于點E，與相交于點F，(1)求CF的長度；(2)求陰影部分的面積．【答案】(1)1(2)【分析】（1）過O作于G，連接，求出的半徑以及的長，再證明是等邊三角形，即可解答；（2）證明，得到陰影部分的面積等于扇形的面積，即可解答．【詳解】（1）解：∵與相切于點E，，，，，，如圖，過O作于G，連接，則，，，，，，是等邊三角形，，，；（2）解：，，，，，為等邊三角形，，在與中，，，∴陰影部分的面積=扇形的面積．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計算，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．30．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學校?？奸_學考試）正方形與扇形有公共頂點O，分別以，所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系．如圖所示．正方形兩個頂點C、D分別在x軸、y軸正半軸上移動．設，，(1)當時，正方形與扇形不重合的面積是______；此時直線對應的函數(shù)關系式是______；(2)當直線與扇形相切時．求直線對應的函數(shù)關系式；(3)當正方形有頂點恰好落在上時，求正方形與扇形不重合的面積．【答案】(1)，(2)(3)或者【分析】（1）利用扇形面積減去正方形的面積即可得不重合的面積，利用待定系數(shù)法即可求出直線對應的函數(shù)關系式；（2）連接，交于點F，先證明直線與扇形相切，切點為正方形對角線交點F，由，可得正方形的邊長，即有，，問題得解；（3）分點E在扇形上和點C、D在扇形上兩種情況討論即可作答．【詳解】（1）當時，即正方形的邊長為：，則正方形的對角線長為：，∴正方形在扇形內(nèi)部，∴正方形與扇形不重合的面積是：，即：，∵，∴，，設直線對應的函數(shù)關系式是，∴，解得：，直線對應的函數(shù)關系式是，（2）連接，交于點F，如圖，∵正方形中，有，又∵直線與扇形相切，∴可知直線與扇形相切的切點為對角線交點F，∵，∴，∴利用勾股定理，可得正方形的邊長，∴，，同（1），利用待定系數(shù)法可得：直線對應的函數(shù)關系式；（3）分兩種情況討論：當點E在扇形上時，連接，如圖，此時可知正方形對角線的長度與扇形所在圓的半徑相等，，∴利用勾股定理，可得正方形的邊長，∴正方形在扇形內(nèi)部，∴正方形與扇形不重合的面積是：，即：；當點C、D在扇形上時，如圖，即有正方形的邊長，∴正方形在扇形外部，∴正方形與扇形不重合的面積是：，即：；綜上：正方形與扇形不重合的面積為：或者．【點睛】本題考查了圖形與坐標，一次函數(shù)，正方形的性質(zhì)，扇形的面積計算，圓切線的性質(zhì)，注意分類討論的思想，是解答本題的關鍵．【經(jīng)典例題七圓錐的