第12章機械振動機械波-物理批注版

[批注磨1]:選修3-4

第12章機械振動機械波

高考地位，高考對本章的考查主要以選擇題和計算題為主，考查以圖象為主，強調(diào)數(shù)形結(jié)合，

難度中等，分值在6?9分左右。

考綱下載，1.簡諧運動（I）

2.簡諧運動的公式和圖象（II）

3.單擺、單擺的周期公式（I）

4.受迫振動和共振（I）

5.機械波（I）

6.橫波和縱波（I）

7.橫波的圖象（II）

8.波速、波長和頻率（周期）的關(guān)系（II）

9.波的干涉和衍射現(xiàn)象（I）

10.多普勒效應(yīng)（I）

實驗一：探究單擺的運動、用單擺測定重力加速度，考綱解讀，1.能夠應(yīng)用簡諧運動的特點、

公式和圖象分析并解決問題。

2.知道單擺、單擺周期公式的應(yīng)用以及單擺的實驗探究。

3.掌握波長、頻率和波速的關(guān)系及相關(guān)計算，并注意計算結(jié)果的多解性。

4.高考中對本專題的考查形式主要有兩種：一是借助振動圖象、波的圖象或兩者結(jié)合，考

查簡諧運動的特點及波速、波長和頻率的關(guān)系；二是通過實驗和計算，考查簡諧運動公式、

規(guī)律的運用。

第1講機械振動

板塊一主干樹立-對點激活

知識點1簡諧運動?

1.簡諧運動的概念

質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動圖象Cx-t圖象）是一條正

弦曲線。

2.平衡位置

物體在振動過程中回復(fù)力為零的位置。

3.回復(fù)力

（1）定義：使物體返回到平衡位置的力。

（2）方向：總是指向平衡位置。

（3）來源：屬于效果力，可以是某一個力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力。

4.描述簡諧運動的物理量

物理量定義意義

由平衡位置指向質(zhì)點所在位置的有向線描述質(zhì)點振動中某時刻的位置相對于

位移

段平衡位置的位移

振幅振動物體離開平衡位置的最大距離描述振動的強弱和能量

周期振動物體完成一次全振動所需時間

描述振動的快慢，兩者互為倒數(shù)：T=

頻率振動物體單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)1

7

描述周期性運動在各個時刻所處的不

相位cot~\~(p

同狀態(tài)

知識點2簡諧運動的公式和圖象II

1.表達式

(1)動力學(xué)表達式：F=—kx,其中“一”表示回復(fù)力與位移的方向相反。

(2)運動學(xué)表達式：x=Asin(.cot+(p),其中A代表振幅，co=2^表示簡諧運動的快

慢，(祝+s)代表簡諧運動的相位，夕叫作初相。

2.簡諧運動的圖象

(1)圖象如圖：

(2)物理意義：表示振動質(zhì)點的位移隨時間的變化規(guī)律。

知識點3單擺、周期公式I

簡諧運動的兩種模型

模型彈簧振子單擺

.__________

一3一:

X

示意圖

--------

X

彈簧振子(水平)

(1)擺線為不可伸縮的輕細

(1)彈簧質(zhì)量可忽略

線

簡諧運動條件(2)無摩擦等阻力

(2)無空氣阻力

(3)在彈簧彈性限度內(nèi)

(3)最大擺角很小

擺球重力沿與擺線垂直方向

回復(fù)力彈簧的彈力提供

的分力

平衡位置彈簧處于原長處最低點

周期與振幅無關(guān)

彈性勢能與動能的相互轉(zhuǎn)化，機重力勢能與動能的相互轉(zhuǎn)化，

能量轉(zhuǎn)化

械能守恒機械能守恒

知識點4受迫振動和共振I

1.自由振動、受迫振動和共振的比較

自由振動受迫振動共振

受到周期性驅(qū)受到周期性驅(qū)

受力情況僅受回復(fù)力

動力作用動力作用

由系統(tǒng)本身的

振動周期性質(zhì)決定，即固由驅(qū)動力的周T驅(qū)=1固

和頻率有周期和固有期和頻率決定f驅(qū)=￡固

頻率

無阻尼自由振

由產(chǎn)生驅(qū)動力振動物體獲得

振動能量動物體的機械

的物體提供的能量最大

能不變

機械工作時底

常見例子彈簧振子，單擺共振篩，轉(zhuǎn)速計

座發(fā)生的振動

2.共振曲線

如圖所示的共振曲線，曲線表示受迫振動的振幅A（縱坐標(biāo)）

隨驅(qū)動力頻率f（橫坐標(biāo)）的變化而變化。驅(qū)動力的頻率f跟振動

系統(tǒng)的固有頻率為相差越小，振幅越大；驅(qū)動力的頻率/等于振

動系統(tǒng)的固有頻率%時，振幅最大。

知識點5實驗：探究單擺的運動、用單擺測定重力加速度

1.實驗原理

由單擺的周期公式7=271，可得出g=%，測出單擺的

擺長/和振動周期T,就可求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。

2.實驗器材

單擺、游標(biāo)卡尺、毫米刻度尺、停表。

3.實驗步驟

（1）做單擺

取約1加長的細絲線穿過帶中心孔的小鋼球，并打一個比小孔大一些的結(jié)，然后把線的

另一端用鐵夾固定在鐵架臺上，讓擺球自然下垂，如圖所示。

(2)測擺長

用毫米刻度尺量出擺線長L(精確到毫米)，用游標(biāo)卡尺測出小球直徑D,則單擺的擺

長l=L+yo

(3)測周期

將單擺從平衡位置拉開一個角度(小于10。)，然后釋放小球，記下單擺擺動30?50次

的總時間，算出平均每擺動一次的時間，即為單擺的振動周期。

(4)改變擺長，重做幾次實驗。

(5)數(shù)據(jù)處理

①公式法：

②圖象法：畫112圖象。

,1Z11

g=4Kk,k=;p=喬。

4.注意事項

(1)懸線頂端不能晃動，需用夾子夾住，保證懸點固定。

(2)單擺必須在同一平面內(nèi)振動，且擺角小于10。。

(3)選擇在擺球擺到平衡位置處時開始計時，并數(shù)準(zhǔn)全振動的次數(shù)。

(4)小球自然下垂時，用毫米刻度尺量出懸線長L,用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑，然

后算出擺球的半徑r,則擺長l=L+r。

(5)選用一米左右的細線。

雙基夯實

一、思維辨析

1.簡諧運動是勻變速運動。()

2.振幅等于振子運動軌跡的長度。()

3.簡諧運動的回復(fù)力肯定不是恒力。()

4.彈簧振子每次經(jīng)過平衡位置時，位移為零、動能為零。()

5.單擺無論擺角多大都是簡諧運動。（）

6.物體做受迫振動時，其振動頻率與固有頻率無關(guān)。（）

7.簡諧運動的圖象描述的是振動質(zhì)點的軌跡。（）

答案l.X2.X3.V4.X5.X6.V7.X

二、對點激活

1.［簡諧振動的基本特征］關(guān)于簡諧運動的位移、加速度和速度的關(guān)系，下列說法中正確的是

（b___________________________________________________________1批注-2］:C

（A）位移減小時，加速度減小，速度也減小

（B）位移方向總是與加速度方向相反，與速度方向相同

（C）物體的運動方向指向平衡位置時，速度方向與位移方向相反；背離平衡位置時，速度

方向與位移方向相同

（D）物體向負(fù)方向運動時，加速度方向與速度方向相同；向正方向運動時，加速度方向與

速度方向相反

答案C

解析位移減小時，加速度減小，速度增大，A錯誤；位移方向總是與加速度方向相反，與

速度方向有時相同，有時相反，B、。錯誤，C正確。

2.［振動圖象］一個彈簧振子沿％軸做簡諧運動，取平衡位置。為％軸坐標(biāo)原點。從某時刻

開始計時，經(jīng)過四分之一周期，振子具有沿％軸正方向的最大加速度。能正確反映振子位移

x與時間，關(guān)系的圖象是|（）批注[fj3]:A

答案A

解析振子的最大加速度與振子的回復(fù)力成正比，方向與位移方向相反，具有正向的最大加

速度，就應(yīng)該具有最大的反方向的位移，振子從平衡位置開始計時，向負(fù)方向移動、經(jīng)四分

之一周期、振子具有沿x軸正方向的最大加速度，只有A選項正確，其他艮a。都不符

合題意。

3.［單擺］做簡諧振動的單擺擺長不變，若擺球質(zhì)量增加為原來的4倍，擺球經(jīng)過平衡位置

時速度減小為原來的1/2,則單擺振動|的|（）|批注因4］：C

（A）頻率、振幅都不變（B）頻率、振幅都改變

（C）頻率不變、振幅改變（D）頻率改變、振幅不變

答案C

解析由單擺周期公式T=2小知，周期只與1、g有關(guān)，與m和v無關(guān)，周期不變，頻

率不變。改變質(zhì)量前，設(shè)擺球運動的最低點與最高點的高度差為h,最低點速度為v,則mgh

=^mv2

質(zhì)量改變后,4mgM=：X4mX02

可知h'Wh,振幅改變，故選C。

4.［共振］(多選)如圖所示，A球振動后，通過水平細繩迫使B、C振動，振動達到穩(wěn)定

時，下列說法中正確的是()

6U只有A、C的振動周期相等

(B)C的振幅比B的振幅小

(C)C的振幅比B的振幅大

(D)A.B、C的振動周期相等

答案CD

解析A振動后，水平細繩上驅(qū)動力的周期TA=2CJ￡,迫使B、C做受迫振動，受迫振

動的頻率等于A施加的驅(qū)動力的頻率，所以TA=TB=TC,而Tc固=2'^=TA,TB固=

2CJ§>TA,故C共振，B不共振，C的振幅比B的振幅大，所以。、。正確。

5.［受迫振動和共振的理解］一個單擺在地面上做受迫振

動，其共振曲線(振幅A與驅(qū)動力頻率f的關(guān)系)如圖所

示，貝U()

64;此單擺的固有周期約為0.5s

(B)此單擺的擺長約為1m

(C)若擺長增大，單擺的固有頻率增大

(D)若擺長增大，共振曲線的峰將向右移動

答案B

解析由共振曲線知此單擺的固有頻率為0.5"z,固有周期為

擺的擺長約為1機；若擺長增大，單擺的固有周期增大，固有頻率減小，則共振曲線的峰將

向左移動。

6.［類單擺問題］如圖所示，圓弧AO是半徑為2m的光滑圓弧/

面的一部分，圓弧與水平面相切于點0,AO弧長為10cm,現(xiàn)將：/

一小球先后從圓弧的點A和點B無初速度地釋放，到達底端0；Cy

的速度分別為vi和以，所經(jīng)歷的時間分別為n和3那么（|）匚0^.［批注吧B

（A）也〈丫2，力<%2（B）也>丫2，（1=（2。BI

（C）V1>V2,ti>t2（D）上述三種都有可能

答案B

解析小球在滑動中機械能守恒，易知V1>V2,小球在圓弧面上的受力類似于單擺的受力，

且AO弧長為10的，遠小于圓弧的半徑，故小球的擺角很小，小球的運動是簡諧運動，而

簡諧運動的周期與振幅無關(guān)，這樣小球從點A運動到點O和從點B運動到點O的時間相

等，ti=t2o

板塊二考點細研?悟法培優(yōu)

考點1簡諧運動的五個特征深化理解

0考點解讀

1.動力學(xué)特征

F=~kx,“一”表示回復(fù)力的方向與位移方向相反，女是比例系數(shù)，不一定是彈簧的勁

度系數(shù)。

2.運動學(xué)特征

簡諧運動的加速度與物體偏離平衡位置的位移成正比而方向相反，為變加速運動，遠離

平衡位置時，％、R。、Ep均增大，。、及均減小，靠近平衡位置時則相反。

3.運動的周期性特征

相隔T或“T的兩個時刻振子處于同一位置且振動狀態(tài)相同。

4.對稱性特征

⑴相隔強（2皆）%為正整數(shù)）的兩個時刻，振子位置關(guān)于平衡位置對稱，位移、

速度、加速度大小相等，方向相反。

（2）如圖所示，振子經(jīng)過關(guān)于平衡位置。對稱的兩點P、P'COP=OP'）時，速度

的大小、動能、勢能相等，相對于平衡位置的位移大小相等。

P10P

（3）振子由尸到。所用時間等于由。到P所用時間，即加0=打產(chǎn)。

（4）振子往復(fù)過程中通過同一段路程（如。尸段）所用時間相等，即EOP=EPO。

5.能量特征

振動的能量包括動能及和勢能穌，簡諧運動過程中，系統(tǒng)動能與勢能相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)

的機械能守恒。

0典例示法b_______

例1（多選）一個質(zhì)點在平衡位置O點附近做機械振動。若

從O點開始計時，經(jīng)過3s質(zhì)點第一次經(jīng)過M點（如圖所示）；0Mb

再繼續(xù)運動，又經(jīng)過2s它第二次經(jīng)過M點；則該質(zhì)點第三次

經(jīng)過M點還需要的時間是（|）［批注因6］:CD

(A)8s(B)4s(C)14s(D)ys

°lli(1)不同時刻經(jīng)過相同位置時，相同的量是什么？不同的量是什么？

提示：相同的量：位移、回復(fù)力、加速度、動能、彈性勢能；

不同的量：速度方向。

(2)什么叫平衡位置？

提示：回復(fù)力為零的位置。

嘗試解答選CD。

設(shè)題圖中。、力兩點為質(zhì)點振動過程的最大位移處，若開始計時時刻，質(zhì)點從。點向右運動，

過程歷時3s,運動過程歷時2s,顯然，1=4s,T=16so質(zhì)點第三次經(jīng)過

M點還需要的時間加3=(T-2)s=(16-2)s=14s,故選項C正確。

若開始計時時刻，質(zhì)點從0點向左運動，0—a—OfM運動過程歷時3s,MfbfM運動過

程歷時2s,顯然，苧+t=4s,7=竽s。質(zhì)點第三次經(jīng)過M點還需要的時間加3'=(T—

2)s=f9-2)s=￥s,故選項D正確。

總結(jié)升華

分析簡諧運動的技巧

(1)分析簡諧運動中各物理量的變化情況時，一定要以位移為橋梁，位移增大時，振

動質(zhì)點的回復(fù)力、加速度、勢能均增大，速度、動能均減??；反之，則產(chǎn)生相反的變化。另

外，各矢量均在其值為零時改變方向。

(2)分析過程中要特別注意簡諧運動的周期性和對稱性。

?變式題組

1.如圖所示，彈簧振子在BC間振動，O為平衡位,

置，BO=OC=5cm,若振子從B到C的運動時間jwWWWWv#~I-----1-------

是］S,則下列說法中正確的I是I()批注［fj7］:

(A)振子從B經(jīng)O到C完成一次全振動

(B)振動周期是1s,振幅是10cm

(C)經(jīng)過兩次全振動，振子通過的路程是20cm

(D)從B開始經(jīng)過3s,振子通過的路程是30cm

答案D

解析振子從OfC僅完成了半次全振動，所以周期T=2X1s=2s,振幅A=B0=5

cm。振子在一次全振動中通過的路程為4A=20cm,所以兩次全振動中通過的路程為40cm,

3s的時間為1.5T,所以振子通過的路程為30cm。

2.(多選)某質(zhì)點做簡諧運動，其位移隨時間變化的關(guān)系式為％=Asin8，則質(zhì)點()

(A)第1s末與第3s末的位移相同

(B)第1s末與第3s末的速度相同

(C)3s末至5s末的位移方向都相同

(D)3s末至5s末的速度方向都相同

答案AD

IT

解析把才=1s和E=3s代入x=Asin不可知兩時刻的位移相同，A選項是正確的。兩個時

刻經(jīng)相同的位置，速度大小相等方向相反，B選項是錯誤的。由位移表達式可知，該質(zhì)點做

27r27r

簡諧振動的周期T=7(D7=~717=8S，從3s末到5s末的位移方向相反，而速度方向相同，C選

4

項錯誤，D選項正確。

考點2簡諧運動的圖象的應(yīng)用拓展延伸

0考點解讀

1.圖象特征

(1)簡諧運動的圖象是一條正弦或余弦曲線，是正弦曲線還是余弦曲線取決于質(zhì)點初

始時刻的位置。

(2)圖象反映的是位移隨時間的變化規(guī)律，隨時間的增加而延伸，圖象不代表質(zhì)點運

動的軌跡。

(3)任一時刻圖線上過該點切線的斜率數(shù)值表示該時刻振子的速度大小，正負(fù)表示速

度的方向，正時沿冗軸正方向，負(fù)時沿％軸負(fù)方向。

2.圖象信息

(1)由圖象可以看出質(zhì)點振動的振幅、周期。

(2)可以確定某時刻質(zhì)點離開平衡位置的位移。

(3)可以確定某時刻質(zhì)點的回復(fù)力、加速度和速度的方向。

①回復(fù)力和加速度的方向：因回復(fù)力總是指向平衡位置，故回復(fù)力和加速度的方向在圖

象上總是指向才軸。

②速度的方向:速度的方向可以通過下一時刻位移的變化來判定，若下一時刻位移增加，

速度方向就是遠離E軸；若下一時刻位移減小，速度方向就是指向，軸。

(4)可以確定某段時間內(nèi)質(zhì)點的位移、回復(fù)力、加速度、速度、動能、勢能等的變化

情況。

■典例示法

【例2】一質(zhì)點做簡諧運動，其位移和時間的關(guān)系如圖所示。

f%/cm

°”i

-2

(1)求，=0.25X10-2用時質(zhì)點的位移;

(2)在『=1.5X10%至卜=2*10%的振動過程中，質(zhì)點的位移、回復(fù)力、速度、動能、勢

能如何變化？

(3)在f=0至h=8.5X10-2s時間內(nèi)，質(zhì)點的路程、位移各多大？

0lI(1)如何確定圖象上某一時刻速度、加速度？

提示：看下一時刻位移增加，速度遠離時間軸，向正方向運動，否則向負(fù)方向運動。加速度

方向永遠指向時間軸，指向平衡位置。

(2)從￡=0至1"=1乂10一2$時間內(nèi)，速度大小如何變？斜率表示什么？

提示：先增大，后減小，圖象上斜率表示速度。

嘗試解答⑴x=fcm(2)位移變大，回復(fù)力變大，速度變小，動能變小，勢能變

大(3)%位移=2cms路=34cm。

(1)由題圖可知A=2cm,T=2X10-2s,振動方程為：x=Asin^<yZ—y)=—Acoscot=—

2TI

2cos2*[。-2/cm=-2cos100加cm

當(dāng)Z=0.25X10-2s時，x=—2cosjcm=~y[2cm。

(2)由題圖可知在1.5X10—2s到2X10-2s的振動過程中，質(zhì)點的位移變大，回復(fù)力變大，

速度變小，動能變小，勢能變大。

17

(3)在，=0到/=8.5X102s時間內(nèi)經(jīng)歷不個周期，質(zhì)點的路程為s=17A=34cm,位移為

2cm。

總結(jié)升華

對振動圖象的理解

(1)確定振動質(zhì)點在任一時刻的位移，如圖所示，對應(yīng)小亥時刻的位移分別為％1=7

cm,必=-5cm。

(2)確定振動的振幅，圖象中最大位移的值就是振幅，如圖所示，振動的振幅是10cm。

(3)確定振動的周期和頻率，振動圖象上一個完整的正弦(或余弦)圖形在時間軸上

拉開的“長度”表示周期。由圖可知，OD、AE.的間隔都等于振動周期，T=0.2s,頻

率f=l/T=5Hz。

(4)確定各質(zhì)點的振動方向，例如圖中的t\時刻，質(zhì)點正遠離平衡位置向正方向運動；

在辦時刻，質(zhì)點正向著平衡位置運動。

(5)比較各時刻質(zhì)點加速度的大小和方向。例如在圖中力時刻質(zhì)點位移％1為正，則加

速度勾為負(fù)，亥時刻質(zhì)點位移12為負(fù)，則加速度為正，又因為田|〉咫|,所以|。1|>|。2|。

國拓展題組

1.[2016?東城區(qū)模擬]如圖甲所示，彈簧振子以點O為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧

運動。取向右為正方向，振子的位移％隨時間方的變化如圖乙所示,下列說法正確的|是()[批注閨8]:A

(A)/=0.8s時，振子的速度方向向左

(B)/=0.2s時，振子在O點右側(cè)6cm處

(C)才=0.4s和才=1.2s時，振子的加速度完全相同

(D)/=0.4s至h=0.8s的時間內(nèi)，振子的速度逐漸減小

答案A

解析由乙圖可知振子的振動位移表達式為％=12sin■了九當(dāng)￡=0.2s時，x=&\[2cm,B選

項是錯誤的。由乙圖可知，斜率表示振子的速度，1=0.8s時，振子的速度與正方向相反，

應(yīng)水平向左，A選項是正確的。在f=0.4s和1=1.2s時，振子的加速度大小相同，方向相

反，C選項是錯誤的。f=0.4s到1=0.8s的時間內(nèi)，斜率變大，振子的速度逐漸增大，D選

項是錯誤的。

2.(多選)甲、乙兩彈簧振子，振動圖象如圖所示，產(chǎn)

則I可知I()上________________________|批注邸]:CD

(A)兩彈簧振子完全相同L/T\乙

(B)兩彈簧振子所受回復(fù)力最大值之比尸甲：Fz

=2：10久叭L5?

(C)振子甲速度為零時，振子乙速度最大-5]..........￡--VtV............

(D)兩振子的振動頻率之比八：九=1：2叫.......................

答案CD

解析由振動圖象可知，T<1=1.08,r甲=2.0s,所以兩個彈簧振子是不相同的，A選項是

錯誤的。由尸/可知，兩振子的振動頻率之比/單：/乙=1：2,D選項是正確的。振動圖象

的斜率為振子的速度，由圖可知，甲振子在/=0.5s,f=L5s時速度為零，而乙振子此時的

速度達到最大，C選項是正確的?；貜?fù)力與位移成正比，與兩彈簧的勁度系數(shù)也成正比，所

以B選項是錯誤的。

考點3用單擺測重力加速度解題技巧

0考點解讀

1.對單擺問題的理解

單擺是一理想化模型，其周期為7=2方(擺角很小)，在振幅較小時與單擺的振幅

A、擺球質(zhì)量很無關(guān)，公式中的g由單擺所在的空間位置決定。

2.等效擺長及等效重力加速度

乙

（1）I—等效擺長：擺動圓弧的圓心到擺球重心的距離。如圖甲所示的雙線擺的擺長

l=r+Lcosao乙圖中小球（可看作質(zhì)點）在半徑為H的光滑圓槽中靠近A點振動，其等效

擺長為l=Ro

（2）g—等效重力加速度：與單擺所處物理環(huán)境有關(guān)。

①在不同星球表面：

②單擺處于超重或失重狀態(tài)下的等效重力加速度分別為g=go+。和g=go—

3.單擺實驗

數(shù)據(jù)處理的兩種方法：

方法一：計算法。

1/4冗2/4冗2/

根據(jù)公式g=胃。將測得的幾次周期T和擺長/代入公式g=胃中算出

重力加速度g的值，再算出g的平均值，即為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣鹊闹怠?/p>

方法二：圖象法。

由單擺的周期公式丁=2八，|可得/=看/,因此以擺長/

為縱軸，以尸為橫軸作出的/-/圖象是一條過原點的直線如圖

所示，求出圖線的斜率k,即可求出g值。g=4it2k,k=~^=

M

/。

0典例示法

【例3】根據(jù)單擺周期公式丁=2々1,可以通過實驗測量當(dāng)?shù)氐闹?/p>

力加速度。如圖甲所示，將細線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小

鋼球，就做成了單擺。

（D用游標(biāo)卡尺測量小鋼球直徑，示數(shù)如圖乙所示，讀數(shù)為—mm。

乙

(2)以下是實驗過程中的一些做法，其中正確的有。

A.擺線要選擇細些的、伸縮性小些的，并且盡可能長一些

B.擺球盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的

C.為了使擺的周期大一些，以方便測量，開始時拉開擺球，使擺線相距平衡位置有較大的

角度

D.拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5。，在釋放擺球的同時開始計時，當(dāng)擺球回到開

始位置時停止計時，此時間間隔Ar即為單擺周期T

E.拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5。，釋放擺球，當(dāng)擺球振動穩(wěn)定后，從平衡位置

開始計時，記下擺球做50次全振動所用的時間A3則單擺周期7=告

°lI(1)關(guān)于單擺的擺長及懸點有何要求？

提示：單擺的擺長應(yīng)遠大于擺球的直徑，懸點必須固定。

(2)游標(biāo)卡尺應(yīng)當(dāng)怎樣讀數(shù)？

提示：游標(biāo)卡尺的讀數(shù)L=L°+如，其中￡o為主尺的刻度，左為游標(biāo)尺的精確度，〃為與主

尺對齊的游標(biāo)尺上的刻度數(shù)。

(3)單擺的擺角及計時有何要求？

提示：單擺的擺角應(yīng)不大于10。，要從擺球經(jīng)過最低點時開始計時。

嘗試解答(1)18.5_(2)abe0

(1)游標(biāo)卡尺讀數(shù)：18mm+5X0.1mm=18.5mm;

(2)擺線細一些有助于減小空氣阻力，伸縮性小一些保證擺長不變，盡可能長一些使

周期較大，容易測量，故a正確。擺球質(zhì)量大一些，體積小一些能減小空氣阻力對實驗的影

響，故b正確。根據(jù)T=27r^|可知，周期T與擺幅無關(guān)，且擺角太大時，小球運動不能看

做是簡諧運動，不符合實驗要求，故c錯誤。測量周期時應(yīng)從小球經(jīng)過最低點位置時開始計

時，而且應(yīng)記錄〃次全振動的時間，用T=辭去計算，故d錯誤，e正確。

總結(jié)升華

用單擺測重力加速度的誤差分析

(1)本實驗的系統(tǒng)誤差主要來源于單擺模型本身是否符合要求，即：懸點是否固定，

球、線是否符合要求，振動是圓錐擺還是在同一豎直平面內(nèi)的振動等。

(2)本實驗的偶然誤差主要來自時間的測量，因此，要從擺球通過平衡位置時開始計

時，不能多計或漏計振動次數(shù)。

(3)利用圖象法處理數(shù)據(jù)具有形象、直觀的特點，同時也能減小實驗誤差，利用圖象

解題時要特別注意圖象的斜率及截距的應(yīng)用。

?變式題組

I.某同學(xué)用實驗的方法探究影響單擺周期的因素。

①他組裝單擺時，在擺線上端的懸點處，用一塊開有狹縫的橡皮

夾牢擺線，再用鐵架臺的鐵夾將橡皮夾緊，如圖所示。這樣做的

目的是(填字母代號)。

(A)保證擺動過程中擺長不變

(B)可使周期測量得更加準(zhǔn)確

(C)需要改變擺長時便于調(diào)節(jié)

（D）保證擺球在同一豎直平面內(nèi)擺動

②他組裝好單擺后在擺球自然懸垂的情況下，用毫米刻度尺從懸點量到擺球的最低端的長度

L=0.9990m,再用游標(biāo)卡尺測量擺球直徑，結(jié)果如圖所示，則該擺球的直徑為_______mm,

單擺擺長為m0

12主尺cm

li???I????I?Il?????

1mt

③下列振動圖象真實地描述了對擺長約為1m的單擺進行周期測量的四種操作過程，圖中

橫坐標(biāo)原點表示計時開始，A、B、C均為30次全振動的圖象，已知sin5。=0.087,sinl5°=

0.26,這四種操作過程合乎實驗要求且誤差最小的是（填字母代號）。

答案①AC②12.00.9930③A

解析①在“探究影響單擺周期的因素”實驗中，應(yīng)使單擺在擺動過程中擺長不變，而且擺

長便于調(diào)節(jié)，故選項A、C正確，選項B、D錯誤。

②擺球的直徑d=12mm+0X0.1mm=12.0mm

擺長7=1-^=0.9990m-0.00600.9930m。

③單擺振動的擺角9W5。，當(dāng)夕=5。時單擺振動的振幅A=/sin5o=0.087m=8.7cm,且為了

計時準(zhǔn)確，應(yīng)在擺球擺至平衡位置時開始計時，故選項A正確，選項B、C、D錯誤。

2.某同學(xué)在“用單擺測定重力加速度”的實驗中進行了如下的操作：

（1）用游標(biāo)尺上有10個小格的游標(biāo)卡尺測量擺球的直徑如下圖甲所示，可讀出擺球的直徑

為cm。把擺球用細線懸掛在鐵架臺上，測量擺線長，通過計算得到擺長心

（2）用秒表測量單擺的周期，當(dāng)單擺擺動穩(wěn)定且到達最低點時開始計時并記為〃=1,單擺

每經(jīng)過最低點記一次數(shù)，當(dāng)數(shù)到〃=60時秒表的示數(shù)如圖乙所示，該單擺的周期是T=

s（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）。

（3）測量出多組周期人擺長￡的數(shù)值后，畫出圖線如圖丙，此圖線斜率的物理意義

是（）

I4冗2o

（A）g（B）-（C）—（D）A

5gg4力

（4）在（3）中，描點時若誤將擺線長當(dāng)作擺長，那么畫出的直線將不通過原點，由圖線斜

率得到的重力加速度與原來相比，其大?。ǎ?/p>

（A）偏大（B）偏?。–）不變（D）都有可能

（5）該小組的另一同學(xué)沒有使用游標(biāo)卡尺也測出了重力加速度，他采用的方法是：先測出

一擺線較長的單擺的振動周期口,然后把擺線縮短適當(dāng)?shù)拈L度AL,再測出其振動周期T2O

用該同學(xué)測出的物理量表示重力加速度g=。

4712AL

答案（1）2.06cm（2）2.28s（3）C（4）C（5）g=

'_-一

解析⑴擺球的直徑為d=20mm+6Xf^mm=20.6mm=2.06cm。

（2）秒表的讀數(shù)為/=60s+7.4s=67.4s,根據(jù)題意t=-耳—T=5T,所以周期T=前Q2.28

（3）根據(jù)單擺周期公式7=2小可得于=亨=左（常數(shù)），所以選項C正確。

（4）因為著手=晨（常數(shù)），所以等=甘=公若誤將擺線長當(dāng)作擺長，畫出的直線將

乃一84九2

不通過原點，但圖線的斜率仍然滿足亍所以由圖線的斜率得到的重力加速度

L\—L2g

不變。

/八M如八4■匕47c247r2AL4JC2A￡

（5）根據(jù)（4）的分析，-^=—,所以g=A'=7_8。

板塊三高考模擬?隨堂集訓(xùn)

1.[2015?山東高考]（多選）如圖，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊，

物塊沿豎直方向做簡諧運動。以豎直向上為正方向，物塊簡諧運動的表達式

為y=0.1sin（2.5加）m。1=0時亥!J,一小球從距物塊&高處自由落下；片

0.6s時，小球恰好與物塊處于同一高度。取重力加速度的大小g=10m/s2。

以下判斷正確的是（）

(A)h=l.Jm

(B)簡諧運動的周期是0.8s

(C)0.6s內(nèi)物塊運動的路程是0.2m

(D)方=0.4s時，物塊與小球運動方向相反

答案AB

2JT3

解析由小物塊的運動方程可知，萬?=2.5兀，T=0.8s,故B正確。0.6s內(nèi)物塊運動了4個周

期，故路程應(yīng)為0.3m,C錯。/=0.4s時物塊運動了半個周期，正向下運動，與小球運動方

向相同，故D錯。/=0.6s時，物塊的位移丁=-0.1m,小球下落距離"=%於=1.8m,由

題圖可知，h=H+y=\nm,故A正確。

2.［2014.浙江高考］一位游客在千島湖邊欲乘坐游船，當(dāng)日風(fēng)浪較大，游船上下浮動?？砂?/p>

游船浮動簡化成豎直方向的簡諧運動，振幅為20cm,周期為3.0s。當(dāng)船上升到最高點時，

甲板剛好與碼頭地面平齊。地面與甲板的高度差不超過10cm時，游客能舒服地登船。在一

個周期內(nèi)，游客能舒服登船的時間是()

(A)0.5s(B)0.75s(C)1.0s(D)1.5s

答案C

2T

解析解法一：由題意知，游客舒服登船時間f=5x：X2=LOs。

jrS2冗2

解法二：設(shè)振動圖象表達式為y=Asincot,由題意可知在產(chǎn)不或口￡2=彳兀，其中口=萬?=］兀

rad/s,解得九=0.25s或才2=1.25s,則游客舒服登船時間4=＞一/戶4.0s。

3.［2014.安徽高考］在科學(xué)研究中，科學(xué)家常將未知現(xiàn)象同已知現(xiàn)象進行比較，找出其共同

點,進一步推測未知現(xiàn)象的特性和規(guī)律。法國物理學(xué)家?guī)靵鲈谘芯慨惙N電荷的吸引力問題時,

曾將扭秤的振動周期與電荷間距離的關(guān)系類比單擺的振動周期與擺球到地心距離的關(guān)系。已

知單擺擺長為/,引力常量為G,地球質(zhì)量為擺球到地心的距離為心則單擺振動周期T

批注[fjlO]:

4.［2013?江蘇高考］如圖所示的裝置，彈簧振子的固有頻率是4Hz。

現(xiàn)勻速轉(zhuǎn)動把手，給彈簧振子以周期性的驅(qū)動力，測得彈簧振子振動

達到穩(wěn)定時的頻率為1Hz,則把手轉(zhuǎn)動的頻率為()

(A)1Hz(B)3Hz(C)4Hz(D)5Hz

答案A

解析因把手每轉(zhuǎn)動一周，驅(qū)動力完成一次周期性變化，即把手轉(zhuǎn)動

頻率即為驅(qū)動力的頻率。彈簧振子做受迫振動，而受迫振動的頻率等

于驅(qū)動力的頻率，與振動系統(tǒng)的固有頻率無關(guān)，故A正確。

5.[2015?長春高三質(zhì)監(jiān)]（多選）如圖1所示的彈簧振子（以。點為平衡位置在8、。間振

動）,取水平向右的方向為振子離開平衡位置的位移的正方向，得到如圖2所示的振動曲線，

由曲線所給的信息可知，下列說法正確的|是|（）]批注—11]:ABE

（A）[=0時，振子處在5位置

（B）振子運動的周期為4s

（C）1=4s時振子對平衡位置的位移為10cm

（D）1=2.5s時振子對平衡位置的位移為5cm

（E）如果振子的質(zhì)量為0.5kg,彈簧的勁度系數(shù)20N/cm,則振子的最大加速度大小為400

m/s2

答案ABE

解析由題意和圖2可知/=0時，振子的位置在3點，A選項是正確的。T=4s,B選項是

正確的。在￡=4s時振子對平衡位置的位移為一10cm。由圖2可知，%=—10?co奇，把尸

2.5s代入得：x=5y[2cm,D選項是錯誤的。最大回復(fù)力尸=乂，由牛頓第二定律知，最大

pkA

加速度。=而=方=400m/s2,E選項是正確的。

6.[2015?西城區(qū)模擬]一彈簧振子的位移y隨時間才變化的關(guān)系式為y=0.1sin（2.5加），位移

y的單位為m,時間E的單位為s。則（）

（A）彈簧振子的振幅為0.2m

（B）彈簧振子的周期為1.25s

（C）在才=0.2s時，振子的運動速度為零

（D）在任意0.2s時間內(nèi)，振子的位移均為0.1m

答案C

解析根據(jù)彈簧振子的位移y隨時間，變化的關(guān)系式為y=0.1sin（2.5加），彈簧振子的振幅

2死

為0.1m,選項A錯誤。由2.5兀=亍可得彈簧振子的周期為T=0.8s,選項B錯誤。在/=

0.2s時，振子的位移最大，運動速度為零，選項C正確。在任意0.2s時間，位移可能大于

0.1m,小于0.1m,也可能等于0.1m,選項D錯誤。

7.[2015?天津高考]某同學(xué)利用單擺測量重力加速度。

（1）為了使測量誤差盡量小，下列說法正確的是o

A.組裝單擺須選用密度和直徑都較小的擺球

B.組裝單擺須選用輕且不易伸長的細線

C.實驗時須使擺球在同一豎直面內(nèi)擺動

D.擺長一定的情況下，擺的振幅盡量大

（2）如圖所示，在物理支架的豎直立柱上固定有擺長約1m的

單擺。實驗時，由于僅有量程為20cm、精度為1mm的鋼板刻

度尺，于是他先使擺球自然下垂，在豎直立柱上與擺球最下端處

于同一水平面的位置做一標(biāo)記點，測出單擺的周期T1；然后保

持懸點位置不變，設(shè)法將擺長縮短一些，再次使擺球自然下垂，

用同樣方法在豎直立柱上做另一標(biāo)記點，并測出單擺的周期?2；

最后用鋼板刻度尺量出豎直立柱上的兩標(biāo)記點之間的距離

用上述測量結(jié)果，寫出重力加速度的表達式上用。

批注因12]:(1)BC

答案（1）BC⑵等筆4兀2-￡

T\—Ti⑵聲

解析（1）為了減小實驗誤差，應(yīng)選用密度大，體積小的擺球，

A項錯誤；擺線應(yīng)選用不易伸縮的輕線，B項正確；實驗時擺球應(yīng)在同一豎直面內(nèi)擺動，而

不能做成圓錐擺，C項正確；擺長一定的情況下，擺角不能超過10度，因此擺的振幅不能

過大，D項錯誤。（2）由單擺周期公式得T2=2n解得

8.[2015?北京高考]用單擺測定重力加速度的實驗裝置如圖1所示。

（1）組裝單擺時，應(yīng)在下列器材中選用（選填選項前的字

母）。

（A）長度為1m左右的細線

（B）長度為30cm左右的細線

（C）直徑為L8cm的塑料球

（D）直徑為L8cm的鐵球

（2）測出懸點O到小球球心的距離（擺長）L及單擺完成n次全振圖1

動所用的時間看,則重力加速度g=（用￡、小，表示）。

（3）下表是某同學(xué)記錄的3組實驗數(shù)據(jù)，并做了部分計算處理。

組次123

擺長L/cm80.0090.00100.00

50次全振動時間t/s90.095.5100.5

振動周期77s1.801.91

重力加速度g/（m-s-2）9.749.73

請計算出第3組實驗中的T=s,g=m/s2o

（4）用多組實驗數(shù)據(jù)作出圖象，也可以求出重力加速度g。已

知三位同學(xué)作出的圖線的示意圖如圖2中的a、b、c所示，其

中a和b平行，b和c都過原點，圖線b對應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓?/p>

加速度的值。則相對于圖線b,下列分析正確的是（選填選

項前的字母）。

（A）出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將懸點到小球下端的距離記為擺長

L

（B）出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將49次全振動記為50次

（C）圖線c對應(yīng)的g值小于圖線b對應(yīng)的g值

(5)某同學(xué)在家里測重力加速度。他找到細線和鐵鎖，制成一

個單擺，如圖3所示。由于家里只有一根量程為30cm的刻度I??

尺。于是他在細線上的A點做了一個標(biāo)記，使得懸點。到A點斤

間的細線長度小于刻度尺量程。保持該標(biāo)記以下的細線長度不

變，通過改變O、A間細線長度以改變擺長。實驗中，當(dāng)O、A

間細線的長度分別為小時，測得相應(yīng)