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2025屆上海市寶山區(qū)上海交大附中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合,且,則的值可能為()A B.C.0 D.12.已知函數(shù)(,,)的圖象如圖所示,則()A.B.對(duì)于任意,,且,都有C.,都有D.,使得3.已知,,若對(duì)任意,或,則的取值范圍是A. B.C. D.4.冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),則()A. B.C. D.5.給定函數(shù)①;②;③;④,其中在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)的序號(hào)是()A.①② B.②③C.③④ D.①④6.已知為等差數(shù)列,為的前項(xiàng)和,且,,則公差A(yù). B.C. D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?,?duì)任意實(shí)數(shù)都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.已知是定義在上的偶函數(shù),那么的最大值是()A.0 B.C. D.19.已知的定義域?yàn)?,則函數(shù)的定義域?yàn)锳. B.C. D.10.已知,,則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn),若點(diǎn)也在函數(shù)的圖像上,則__________12.計(jì)算:__________.13.若,則________.14.求值:____.15.給出下列命題:①存在實(shí)數(shù),使;②函數(shù)是偶函數(shù);③若是第一象限角,且,則;④是函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程以上命題是真命題的是_______(填寫序號(hào))16.在對(duì)某工廠甲乙兩車間某零件尺寸的調(diào)查中,采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣,如果不知道樣本數(shù)據(jù),只知道抽取了甲車間10個(gè)零件,其尺寸的平均數(shù)和方差分別為12和4.5,抽取了乙車間30個(gè)零件,其平均數(shù)和方差分別為16和3.5,則該工廠這種零件的方差估計(jì)值為___________.(精確到0.1)三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程18.如圖,ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100米的正方形地皮,其中ATS是一座半徑為90米的扇形小山,P是弧TS上一點(diǎn),其余部分都是平地.現(xiàn)有一開發(fā)商想在平地上建造一個(gè)兩邊分別落在BC與CD上的長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR,求長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR面積的最大值.19.定義在(-1,1)上的奇函數(shù)為減函數(shù),且,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小值;(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間21.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)(1)用定義法證明為增函數(shù);(2)對(duì)任意,都有恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】化簡(jiǎn)集合得范圍,結(jié)合判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】集合,四個(gè)選項(xiàng)中,只有,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】根據(jù)給定函數(shù)圖象求出函數(shù)的解析式,再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】觀察函數(shù)的圖象得:,令的周期為,則,即,,由,且得:,于是有,對(duì)于A,,A不正確;對(duì)于B,取且,滿足,,且,而,,此時(shí),B不正確;對(duì)于C,,,,即,都有,C正確;對(duì)于D,由得:,解得:,令,解得與矛盾,D不正確.故選:C3、C【解析】先判斷函數(shù)g(x)的取值范圍,然后根據(jù)或成立求得m的取值范圍.【詳解】∵g(x)=﹣2,當(dāng)x<時(shí),恒成立,當(dāng)x≥時(shí),g(x)≥0,又∵?x∈R,f(x)<0或g(x)<0,∴f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x≥時(shí)恒成立,即m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x≥時(shí)恒成立,則二次函數(shù)y=m(x﹣2m)(x+m+3)圖象開口只能向下,且與x軸交點(diǎn)都在(,0)的左側(cè),∴,即,解得<m<0,∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是:(,0)故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)條件確定f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x≥時(shí)恒成立是解決本題的關(guān)鍵,綜合性較強(qiáng),難度較大4、C【解析】將點(diǎn)代入中,求解的值可得,再求即可.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn),所以有:,即.所以,故,故選:C.5、B【解析】根據(jù)指對(duì)冪函數(shù)性質(zhì)依次判斷即可得答案.【詳解】解:對(duì)于①,在上單調(diào)遞增;對(duì)于②,在上單調(diào)遞減;對(duì)于③,時(shí),在上單調(diào)遞減;對(duì)于④,在上單調(diào)遞增;故在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)的序號(hào)是②③故選:B6、A【解析】分析:先根據(jù)已知化簡(jiǎn)即得公差d.詳解:由題得4+4+d+4+2d=6,所以d=.故答案為A.點(diǎn)睛:本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和和等差數(shù)列的通項(xiàng),意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平.7、D【解析】根據(jù)關(guān)于對(duì)稱,討論與的關(guān)系,結(jié)合其區(qū)間單調(diào)性及對(duì)應(yīng)值域求的范圍.【詳解】由題設(shè),,易知:關(guān)于對(duì)稱,又恒成立,當(dāng)時(shí),,則,可得;當(dāng)時(shí),,則,可得;當(dāng),即時(shí),,則,即,可得;當(dāng),即時(shí),,則,即,可得;綜上,.故選:D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:利用分段函數(shù)的性質(zhì),討論其對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系,結(jié)合對(duì)應(yīng)值域及求參數(shù)范圍.8、C【解析】∵f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上偶函數(shù),∴a-1+2a=0,∴a=.又f(-x)=f(x),∴b=0,∴,所以.故選C.9、B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋屎瘮?shù)有意義只需即可,解得,選B考點(diǎn):1、函數(shù)的定義域的概念;2、復(fù)合函數(shù)求定義域10、A【解析】說(shuō)明由可得得到,通過(guò)特例說(shuō)明無(wú)法從得到,從而得到是的充分不必要條件.【詳解】由,可得,由,即,,解得或.于是,由能推出,反之不成立.所以是充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷,屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、1【解析】首先確定點(diǎn)A的坐標(biāo),然后求解函數(shù)的解析式,最后求解的值即可.【詳解】令可得,此時(shí),據(jù)此可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)在函數(shù)的圖像上,故,解得:,函數(shù)的解析式為,則.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,指數(shù)運(yùn)算法則,對(duì)數(shù)運(yùn)算法則等知識(shí),意在考學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12、【解析】直接利用二倍角公式計(jì)算得到答案.【詳解】.故答案為:.13、【解析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,化簡(jiǎn)得到原式,代入即可求解.【詳解】因?yàn)?,由故答案為?4、【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及正弦的兩角和公式即可得解【詳解】解:因?yàn)?,故答案為?5、②④【解析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解:①因?yàn)椋什淮嬖趯?shí)數(shù),使得成立,錯(cuò)誤;②函數(shù),由于是偶函數(shù),故是偶函數(shù),正確;③若,均為第一象限角,顯然,故錯(cuò)誤;④當(dāng)時(shí),,由于是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,故是函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程,正確.故正確的命題是:②④故答案為:②④16、8【解析】設(shè)甲車間數(shù)據(jù)依次為,乙車間數(shù)據(jù)依次,根據(jù)兩個(gè)車間的平均數(shù)和方差分別求出所有數(shù)據(jù)之和以及所有數(shù)據(jù)平方和即可得解.【詳解】設(shè)甲車間數(shù)據(jù)依次為,乙車間數(shù)據(jù)依次,,,所以,,,所以這40個(gè)數(shù)據(jù)平均數(shù),方差=6.75≈6.8.所以可以判定該工廠這種零點(diǎn)的方差估計(jì)值為6.8故答案為:6.8三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為(2)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為;對(duì)稱軸方程為【解析】(1)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解;(2)利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求解;【小問(wèn)1詳解】解:由.令,解得,令,解得,故函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;【小問(wèn)2詳解】令,解得,可得函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為,令,解得,可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為18、14050?9000(m2)【解析】設(shè),然后表示出,進(jìn)而表示出矩形PQCR的面積,再根據(jù)三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)化簡(jiǎn)求值,解決問(wèn)題.詳解】解:如圖,連接AP,設(shè),延長(zhǎng)RP交AB于M,則,,∴,.∴矩形PQCR的面積為設(shè),則,∴,∴當(dāng)時(shí),.,故長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR面積的最大值是.19、【解析】結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)以及單調(diào)性,去掉外層函數(shù),變成一元二次不等式進(jìn)行求解.【詳解】由題即根據(jù)奇函數(shù)定義可知原不等式為又因?yàn)閱握{(diào)遞減函數(shù),故,解得或又因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)楣?,解?所以綜上得的范圍為.20、(1)(2)【解析】(1)利用三角函數(shù)恒等變換對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),根據(jù)正弦型三角函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)的最小值即可;(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,整體代換求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【小問(wèn)1詳解】解析:(1),∴當(dāng)時(shí)取得最小值【小問(wèn)2詳解】(2)由(1)得,,令,得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為21、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)
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