山西太原師范學院附中2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

山西太原師范學院附中2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設aR，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．總體有編號為01，02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取3個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第3個個體的編號為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.02C.63 D.143．雙曲線的左、右焦點分別為、，P為雙曲線C的右支上一點．以O為圓心a為半徑的圓與相切于點M，且，則該雙曲線的漸近線為（）A. B.C. D.4．某考點配備的信號檢測設備的監(jiān)測范圍是半徑為100米的圓形區(qū)域，一名工作人員持手機以每分鐘50米的速度從設備正東方向米的處出發(fā)，沿處西北方向走向位于設備正北方向的處，則這名工作人員被持續(xù)監(jiān)測的時長為（）A.1分鐘 B.分鐘C.2分鐘 D.分鐘5．函數(shù)在的最大值是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，則函數(shù)在點處的切線方程為（）A. B.C. D.7．設函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.8．若在1和16中間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等比數(shù)列，則公比為（）A. B.2C. D.49．已知點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則點的坐標為（）A. B.C. D.10．已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11．已知點在橢圓上，與關于原點對稱，，交軸于點，為坐標原點，，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，，若對任意的，，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若向量與向量平行，則實數(shù)______14．已知空間向量，，若，則______.15．如圖，某建筑物的高度，一架無人機上的儀器觀測到建筑物頂部的仰角為，地面某處的俯角為，且，則此無人機距離地面的高度為________16．設正方形的邊長是，在該正方形區(qū)域內(nèi)隨機取一個點，則此點到點的距離大于的概率是_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知橢圓）過點A（0，），且與雙曲線有相同的焦點（1）求橢圓C的方程；（2）設M，N是橢圓C上異于A的兩點，且滿足，試判斷直線MN是否過定點，并說明理由19．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，證明：.20．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足，，求面積的最大值21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）設為的導數(shù)，若方程的兩根為，且，當時，不等式對任意的恒成立，求正實數(shù)的最小值.22．（10分）已知動圓過點且動圓內(nèi)切于定圓：記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若、是曲線上兩點，點滿足求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】運用兩直線平行的充要條件得出l1與l2平行時a的值，而后運用充分必要條件的知識來解決即可解：∵當a=1時，直線l1：x+2y﹣1=0與直線l2：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是﹣，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當兩條直線平行時，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件故選A考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關系2、D【解析】由隨機數(shù)表法抽樣原理即可求出答案.【詳解】根據(jù)題意，依次讀出的數(shù)據(jù)為65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三個個體編號為14.故選：D.3、A【解析】連接、，利用中位線定理和雙曲線定義構建參數(shù)關系，即求得漸近線方程.【詳解】如圖，連接、，∵M是的中點，∴是的中位線，∴，且，根據(jù)雙曲線的定義，得，∴，∵與以原點為圓心a為半徑的圓相切，∴，可得，中，，即得，，解得，即，得.由此得雙曲線的漸近線方程為.故選：A.【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應用和漸近線的求法，屬于中檔題.4、C【解析】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，求得直線和圓的方程，利用點到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的長，進而求得持續(xù)監(jiān)測的時長.【詳解】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，可得，圓記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結(jié)束，因為到的距離為米，所以米，故監(jiān)測時長為分鐘故選：C.5、C【解析】利用函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】解：因為函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以.故選：C6、C【解析】依據(jù)導數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點處的切線方程即可解決.【詳解】則，又則函數(shù)在點處的切線方程為，即故選：C7、A【解析】根據(jù)導數(shù)得出在的單調(diào)性，進而由單調(diào)性得出大小關系.【詳解】因為，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以，而，所以.因為，且，所以.即.故選：A8、A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項得：，從而可求出.【詳解】解：成等比數(shù)列，∴根據(jù)等比數(shù)列的通項得：，，故選：A.9、D【解析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.【詳解】因為點是點在坐標平面內(nèi)的射影，所以的豎坐標為0，橫、縱坐標與A點的橫、縱坐標相同，所以點的坐標為.故選：D10、A【解析】根據(jù)平面向量垂直的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標表示公式、充分性、必要性的定義進行求解判斷即可.詳解】當時，有，顯然由，但是由不一定能推出，故選：A11、B【解析】由，得到，結(jié)合，得到，進而求得，得出，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】設，則，由，可得，所以，因為，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因為，所以，即又由，所以，解得.故選：B.12、B【解析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為對任意的，，利用導數(shù)求得的最大值，再分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)求其最大值，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題可知：對任意的，，都有恒成立，故可得對任意的，；又，則，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，則當時，,.對任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故，則只需.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】先求出的坐標，進而根據(jù)空間向量平行的坐標運算求得答案.【詳解】由題意，，因為，所以存在實數(shù)使得.故答案為：2.14、2【解析】依據(jù)向量垂直充要條件列方程，解之即可解決.【詳解】空間向量，，由，可知，即，解之得故答案為：215、200【解析】在Rt△ABC中求得AC的值，△ACQ中由正弦定理求得AQ的值，在Rt△APQ中求得PQ的值【詳解】根據(jù)題意，可得Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，∴AC200；△ACQ中，∠AQC＝45°+15°＝60°，∠QAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠QCA＝180°﹣∠AQC﹣∠QAC＝45°，由正弦定理，得，解得AQ200，在Rt△APQ中，PQ＝AQsin45°＝200200m故答案為200【點睛】本題考查了解三角形的應用問題，考查正弦定理，三角形內(nèi)角和問題，考查轉(zhuǎn)化化歸能力，是基礎題16、【解析】先求出正方形的面積，然后求出動點到點的距離所表示的平面區(qū)域的面積,最后根據(jù)幾何概型計算公式求出概率.【詳解】正方形的面積為，如下圖所示：陰影部分的面積為:，在正方形內(nèi)，陰影外面部分的面積為，則在該正方形區(qū)域內(nèi)隨機取一個點，則此點到點的距離大于的概率是.【點睛】本題考查了幾何概型的計算公式，正確求出陰影部分的面積是解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求得，分、兩種情況討論，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）利用參變量分離法可得出對任意的恒成立，構造函數(shù)，其中，利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為，.因為，由，可得.①當時，由可得，由可得.此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；②當時，由可得，由可得，此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】解：當且時，由，可得，令，其中，.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，則，.18、（1）（2）直線過定點；理由見解析【解析】（1）根據(jù)題意可求得，進而求得橢圓方程；（2）考慮直線斜率是否存在，設直線方程并聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關系式，然后利用，將根與系數(shù)的關系式代入化簡得到，結(jié)合直線方程,化簡可得結(jié)論.【小問1詳解】依題意，，所以，故橢圓方程為：【小問2詳解】當直線MN的斜率不存在時，設M（），N（，），則，,此時M，N重合，不符合題意；當直線MN的斜率存在時，設MN的方程為：，M（，），N（），與橢圓方程聯(lián)立可得：，即，∴，即，∴，∴，∴，當時，,直線MN：，即，令，則，∴直線過定點【點睛】本題考查了橢圓方程的求法以及直線和橢圓相交時過定點的問題，解答時要注意解題思路的順暢，解答的難點在于運算量較大且復雜，需要十分細心.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及題干條件，可求得，代入公式，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消求和法，即可求得，即可得證.【詳解】解：（1）設數(shù)列的公差為，在中，令，得，即，故①.由得，所以②.由①②解得，.所以數(shù)列的通項公式為：.（2）由（1）可得，所以，故，所以.因為，所以.【點睛】數(shù)列求和的常見方法：（1）倒序相加法：如果一個數(shù)列的前n項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和可以用倒序相加法；（2）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前n項和可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數(shù)列的前n項和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.20、（1）（2）【解析】（1）由三角恒等變換公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解（2）由余弦定理與面積公式，結(jié)合基本不等式求解【小問1詳解】由己知可得，由，解得：，故的單調(diào)遞減區(qū)間是【小問2詳解】，，故，得，由余弦定理得：，得，當且僅當時等號成立，故，面積最大值為21、（1）（2）1【解析】（1）先求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求得切線方程；（2）將已知方程結(jié)合其兩根，進行變式，求得，利用該式再將不等式變形，然后將不等式的恒成立問題變?yōu)楹瘮?shù)的最值問題求解.【小問1詳解】由題意可得，所以切點為，則切線方程為：.【小問2詳解】由題意有：，則，因為分別是方程的兩個根，即.兩式相減，則，則不等式，可變?yōu)?，兩邊同時除以得，，令，則在上恒成立.整理可得，在上恒成立，令，則，①當，即時，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，則在上恒成立；②當，即時，當時