數(shù)學學案：等差數(shù)列

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學人教B必修5第二章2。2.1等差數(shù)列1．理解等差數(shù)列的概念．2．掌握等差數(shù)列的通項公式和等差中項的概念，深化認識并能運用．3．理解等差數(shù)列的性質(zhì)，并掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用．1．等差數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從______起，每一項與它的前一項的差都等于__________,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的______,通常用字母______表示．定義法判斷或證明數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列的步驟：(1）作差an＋1－an,將差變形；（2)當an＋1－an是一個與n無關(guān)的常數(shù)時，數(shù)列｛an}是等差數(shù)列;當an＋1－an不是常數(shù)，而是與n有關(guān)的代數(shù)式時，數(shù)列｛an}不是等差數(shù)列．【做一做1】如果一個數(shù)列的前3項分別為1，2,3，下列結(jié)論中正確的是（）．A．它一定是等差數(shù)列B．它一定是遞增數(shù)列C．它一定是有窮數(shù)列D．以上結(jié)論都不一定正確2．等差數(shù)列的通項公式如果一個等差數(shù)列{an｝的首項為a1，公差為d，則通項公式為____________．（1）等差數(shù)列通項公式的其他形式．①an＝am＋（n－m)d；②an＝an＋b（a，b是常數(shù)）．（2）等差數(shù)列的判斷方法．①定義法：an－an－1＝d（n≥2）或an＋1－an＝d?數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列;②等差中項法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2）?數(shù)列{an}為等差數(shù)列；③通項公式法：an＝an＋b?數(shù)列｛an｝是以a1＝a＋b為首項，以a為公差的等差數(shù)列．【做一做2－1】已知數(shù)列｛an｝的通項公式為an＝2（n＋1）＋3,則此數(shù)列(）．A．是公差為2的等差數(shù)列B．是公差為3的等差數(shù)列C．是公差為5的等差數(shù)列D．不是等差數(shù)列【做一做2－2】等差數(shù)列1，－1，－3，…，－89的項數(shù)是(）．A．92B．47C．46D．453．等差中項如果三個數(shù)x，A,y組成等差數(shù)列,那么A叫做x和y的________．x,A，y是等差數(shù)列的充要條件是________．（1)a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是：2A＝a＋b.當三個數(shù)成等差數(shù)列時，一般設(shè)為a－d，a,a＋d;四個數(shù)成等差數(shù)列時，一般設(shè)為a－3d，a－d,a＋d，a＋3d。(2）在等差數(shù)列{an｝中，從第2項起，每一項（有窮等差數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項，表示為an＋1＝eq\f(an＋an＋2，2)，等價于an＋an＋2＝2an＋1,an＋1－an＝an＋2－an＋1.【做一做3】在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則∠B等于()．A．30°B．60°C．90°D．120°一、解讀等差數(shù)列的概念剖析：(1)在等差數(shù)列的定義中，要注意兩點,“從第2項起”及“同一個常數(shù)”．因為數(shù)列的第1項沒有前一項,因此強調(diào)從第2項起，如果一個數(shù)列，不從第2項起，而是從第3項或從第4項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列，但可以說從第2項或第3項起是一個等差數(shù)列．(2)一個數(shù)列，從第2項起,每一項與它的前一項的差,盡管等于常數(shù)，這個數(shù)列可不一定是等差數(shù)列，因為這個常數(shù)可以不同，要注意“差是常數(shù)”和“差是同一個常數(shù)"的含義的不同，如數(shù)列2,4,5，9，從第2項起，每一項與它前一項的差都是常數(shù)，但常數(shù)是不相同的,當常數(shù)不同時，就不是等差數(shù)列，因此定義中“同一個常數(shù)”，這個“同一個"十分重要，切記不可丟掉．二、等差數(shù)列的性質(zhì)剖析：若數(shù)列{an｝是公差為d的等差數(shù)列，（1)d＝0時，數(shù)列為常數(shù)列；d＞0時，數(shù)列為遞增數(shù)列；d＜0時，數(shù)列為遞減數(shù)列．(2）d＝eq\f（an－a1，n－1）＝eq\f(am－ak,m－k）(m,n,k∈N＋)．（3)an＝am＋(n－m）d（n，m∈N＋）．(4）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N＋)，則am＋an＝ap＋aq。(5)若eq\f(m＋n，2）＝k，則am＋an＝2ak。(6)若數(shù)列｛an｝是有窮等差數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之和都相等，且等于首末兩項之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…。(7）數(shù)列{λan＋b｝(λ，b是常數(shù)）是公差為λd的等差數(shù)列．（8)下標成等差數(shù)列且公差為m的項ak，ak＋m，ak＋2m,…(k，m∈N＋）組成公差為md的等差數(shù)列．（9)若數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列，則{an±bn｝，{kan＋b}(k,b為非零常數(shù)）也成等差數(shù)列．（10）若｛an}是等差數(shù)列,則a1，a3，a5，…仍成等差數(shù)列．(11)若｛an｝是等差數(shù)列，則a1＋a2＋a3,a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…仍成等差數(shù)列．用性質(zhì)(4)時要注意，序號的和相等,但項數(shù)不同，此結(jié)論不一定正確,如a8＝a2＋a6，a1＋a3＋a4＝a2＋a6，就不一定正確．三、教材中的“?"(1）通項公式為an＝an－b（a，b是常數(shù)）的數(shù)列都是等差數(shù)列嗎?剖析：通項公式為an＝an－b(a，b為常數(shù))的數(shù)列都是等差數(shù)列,其公差為a。（2)怎么證明A＝eq\f(x＋y，2)？剖析：∵x，A，y成等差數(shù)列,∴A－x＝y(tǒng)－A，即2A＝x＋y.∴A＝eq\f（x＋y,2).（3)要確定一個等差數(shù)列的通項公式,需要知道幾個獨立的條件?剖析：因為等差數(shù)列的通項公式中涉及首項a1與公差d,所以要確定一個等差數(shù)列的通項公式，需要知道兩個獨立的條件．題型一等差數(shù)列定義的應用【例1】判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列．（1)an＝3n＋2;（2）an＝n2＋n.分析：利用等差數(shù)列的定義，即判斷an＋1－an（n∈N＋）是否為同一個常數(shù)．反思：利用定義法判斷等差數(shù)列時，關(guān)鍵是看an＋1－an得到的結(jié)果是否是一個與n無關(guān)的常數(shù)，若是，即為等差數(shù)列，若不是,則不是等差數(shù)列．題型二等差數(shù)列的通項公式【例2】（1)求等差數(shù)列10，7，4，…的第20項．(2）－201是不是等差數(shù)列－5,－9，－13，…的項？若是，應是第幾項？分析：通過題目中給出的數(shù)列，可以確定數(shù)列的首項和公差，便可求解．反思：求等差數(shù)列的通項公式、項、項數(shù)的問題是等差數(shù)列最基本的問題,利用已知條件求等差數(shù)列的首項和公差是常用方法,應牢記等差數(shù)列的通項公式．題型三等差數(shù)列性質(zhì)的應用【例3】數(shù)列｛an}為等差數(shù)列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求數(shù)列｛an｝的通項公式．分析：已知數(shù)列中某些項與項之間的關(guān)系，求其通項,可利用a1,d建立方程組來求解．但是,注意到a2，a5，a8及a3，a5，a7的各項序號之間的關(guān)系，也可考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)來求解，此法運算量較?。此?在有關(guān)等差數(shù)列的問題中,若已知的項的序號成等差數(shù)列,則解決問題的過程中,均可考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)．題型四構(gòu)造等差數(shù)列求通項公式【例4】（1）數(shù)列{an｝的各項均為正數(shù),且滿足an＋1＝an＋2eq\r(an）＋1，a1＝1,求an；(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，且滿足an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，求an。分析：利用題中所給關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造等差數(shù)列，利用所構(gòu)造的等差數(shù)列求an.反思：應熟記幾種輔助數(shù)列構(gòu)造方法及其對應數(shù)列的結(jié)構(gòu)形式．構(gòu)造等差數(shù)列的方法一般有：平方法、開平方法、倒數(shù)法等．題型五易錯辨析【例5】已知b是a，c的等差中項，且lg（a＋1），lg（b－1），lg（c－1）成等差數(shù)列，同時a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．錯解：因為b是a,c的等差中項，所以2b＝a＋c。又因為a＋b＋c＝15,所以3b＝15,所以b＝5。設(shè)a，b，c的公差為d,則a＝5－d,c＝5＋d。由題可知2lg（b－1）＝lg(a＋1)＋lg（c－1),所以2lg4＝lg（5－d＋1)＋lg(5＋d－1)．所以16＝25－(d－1）2.所以（d－1）2＝9，即d－1＝3。所以d＝4,所以a,b,c分別為1,5,9.錯因分析:解方程（d－1）2＝9時，d－1應取±3兩個．而錯解只取d－1＝3,漏掉了d－1＝－3的情況．【例6】已知兩個數(shù)列{an}：5,8，11,…與｛bn｝：3,7，11，…，它們的項數(shù)均為100，則它們有多少個彼此具有相同數(shù)值的項?錯解：由已知兩等差數(shù)列的前3項，容易求得它們的通項公式分別為an＝3n＋2，bn＝4n－1(1≤n≤100）．令an＝bn，得3n＋2＝4n－1，即n＝3。所以兩數(shù)列只有1個數(shù)值相同的項，即第3項．錯因分析:本題中所說的數(shù)值相同的項，它們的項的序號并不一定相同．例如23在數(shù)列｛an｝中是第7項，而在數(shù)列{bn}中是第6項，我們也說它是兩個數(shù)列中數(shù)值相同的項，也就是說，在這里我們只看這個數(shù)在兩個數(shù)列中有沒有出現(xiàn)過，而并不關(guān)心它是這兩個數(shù)列中的第幾項．1已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5，則m和n的等差中項是（）．A．2B．3C．6D．92在等差數(shù)列{an｝中，a3＋3a8＋a13＝120，則a3＋a13－a8＝()．A．24B．22C．20D．－83若數(shù)列{an｝的通項公式為an＝6n＋7，則這個數(shù)列________(填“是”或“不是”)等差數(shù)列．4在等差數(shù)列{an｝中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝________。答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．第2項同一個常數(shù)公差d【做一做1】D2．a(chǎn)n＝a1＋(n－1）d【做一做2－1】A已知a1＝7,an－an－1＝2(n≥2),故這是一個以2為公差的等差數(shù)列．【做一做2－2】C由已知，得a1＝1，d＝（－1)－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)×（－2）＝－2n＋3。令－2n＋3＝－89,得n＝46。3．等差中項2A＝x＋y【做一做3】B典型例題·領(lǐng)悟【例1】解:（1）an＋1－an＝3(n＋1）＋2－(3n＋2）＝3(n∈N＋)．由n的任意性知，這個數(shù)列為等差數(shù)列．(2）an＋1－an＝（n＋1）2＋（n＋1)－（n2＋n）＝2n＋2，不是常數(shù)，所以這個數(shù)列不是等差數(shù)列．【例2】解：(1）由a1＝10，d＝7－10＝－3，n＝20，得a20＝10＋(20－1）×(－3）＝－47。（2）由a1＝－5,d＝－9－（－5)＝－4，得數(shù)列的通項公式為an＝－5＋（n－1)×（－4）＝－4n－1.設(shè)－4n－1＝－201成立，解得n＝50。所以－201是這個等差數(shù)列的第50項．【例3】解：∵a2＋a8＝2a5，∴a2＋a5＋a8＝3a5＝9.∴a5＝3.∴a2＋a8＝a3＋a7＝6.①又a3a5a7＝－21，∴a3a7＝－7。②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.∴a3＝－1，d＝2或a3＝7，d＝－2.由通項公式的變形公式an＝a3＋(n－3)d，得an＝2n－7或an＝－2n＋13.【例4】解：（1）由an＋1＝an＋2eq\r（an)＋1，可得an＋1＝(eq\r（an)＋1）2?！遖n＞0，∴eq\r(an＋1）＝eq\r（an）＋1,即eq\r(an＋1）－eq\r(an）＝1.∴{eq\r(an）｝是首項為eq\r(a1）＝1，公差為1的等差數(shù)列．∴eq\r(an）＝1＋(n－1)＝n.∴an＝n2.（2)由an＋1＝eq\f（2an,an＋2），可得eq\f（1，an＋1）＝eq\f（1,an)＋eq\f(1，2），∴｛eq\f（1,an)}是首項為eq\f(1,a1)＝1，公差為eq\f（1,2)的等差數(shù)列．∴eq\f（1,an）＝1＋eq\f(1,2）(n－1)＝eq\f（n＋1，2)。∴an＝eq\f(2,n＋1）?！纠?】正解：因為b是a，c的等差中項，所以2b＝a＋c。又因為a＋b＋c＝15，所以3b＝15。所以b＝5.設(shè)a，b，c的公差為d,則a＝5－d，c＝5＋d.由題可知2lg(b－1)＝lg（a＋1）＋lg（c－1)，所以2lg4＝lg(5－d＋1)＋lg(5＋d－1)．所以16＝25－（d－1)2,即（d－1)2＝9。所以d－1＝±3，即d＝4或d＝－2。所以a,b，c三個數(shù)分別為1,5,9或7，5，3?！纠?】正解：∵an＝3n＋2（n∈N＋），bk＝4k－1(k∈N＋)，兩數(shù)列的共同項可由3n＋2＝4k－1求得．∴n＝eq\f（4,3）k－1，而n∈N＋，k∈N＋，∴設(shè)k＝3r(r∈N＋）,得n＝4r－1.由已知且r∈N＋,可得1≤r≤