數(shù)學(xué)學(xué)案：不等式的實(shí)際應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B必修5第三章3。4不等式的實(shí)際應(yīng)用1．能把現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式問題，能運(yùn)用不等式的知識(shí)和方法解決常見的實(shí)際問題(如比較大小，確定范圍，求最值等)．2．了解如何建立數(shù)學(xué)模型，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)和客觀實(shí)踐之間的相互關(guān)系，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)意識(shí)和情感態(tài)度．1．例題中的結(jié)論若b＞a＞0，m＞0，則eq\f（a＋m，b＋m)____eq\f(a,b)。另外，若a＞b＞0，m＞0時(shí),則有eq\f（a＋m,b＋m)＜______成立．【做一做】已知a,b是正數(shù)，試比較eq\f(2,\f（1，a）＋\f（1,b)）與eq\r（ab)的大?。?．不等式解決實(shí)際問題的步驟(1）________：用字母表示題中的未知數(shù)．（2）__________:找出題中的不等量關(guān)系,列出關(guān)于未知數(shù)的不等式（組)．（3）______________:運(yùn)用不等式知識(shí)求解不等式，同時(shí)要注意______________________________．（4)答：規(guī)范地寫出答案．在解決實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，首先要學(xué)會(huì)正確地梳理數(shù)據(jù)，從而為尋找數(shù)據(jù)之間的關(guān)系奠定良好的基礎(chǔ)，進(jìn)而建立起相應(yīng)的能反映問題實(shí)質(zhì)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,再利用不等式求解，即解實(shí)際應(yīng)用題的思路為：一、解應(yīng)用題的流程剖析：數(shù)學(xué)問題就是數(shù)學(xué)語言的理解問題,數(shù)學(xué)語言具有簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確的特點(diǎn)，但同時(shí)也具有豐富的內(nèi)涵,而數(shù)學(xué)應(yīng)用題多使用自然語言進(jìn)行敘述，所以，對(duì)文字的理解就顯得非常重要,要正確理解應(yīng)用題的含義主要可以從以下幾個(gè)步驟入手：(1）略讀識(shí)大意．應(yīng)用題實(shí)際上是一篇說明文,一般文字比較多,信息量比較大．這就需要快速瀏覽一遍，理解題目的大意：題目敘述的是什么事，是什么問題（比如不等式問題,是求最值還是要解不等式得出結(jié)論等)．條件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念，可以一邊閱讀一邊寫下主要內(nèi)容,或者列表顯示主要條件和要求的結(jié)論．(2）細(xì)讀抓關(guān)鍵．題目中關(guān)鍵詞語和重要語句往往是重要的信息所在,將其辨析出來是實(shí)現(xiàn)綜合認(rèn)知的出發(fā)點(diǎn)．因此,在略讀以后還要對(duì)題目進(jìn)行逐字逐句地細(xì)讀，弄清具體含義及各量之間的關(guān)系．(3）精讀巧轉(zhuǎn)換．領(lǐng)會(huì)題意的關(guān)鍵是“內(nèi)部轉(zhuǎn)化”，即把一個(gè)抽象的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為一個(gè)具體的內(nèi)容，把符號(hào)轉(zhuǎn)化為文字，把文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為符號(hào)或圖表，總之，大腦要有靈活的轉(zhuǎn)化思維．二、常見的不等式實(shí)際應(yīng)用類型剖析：常見的不等式實(shí)際應(yīng)用問題有以下幾種：(1)作差法解決實(shí)際問題作差法的依據(jù)是a－b＞0?a＞b，其基本步驟是：①理解題意,準(zhǔn)確地將要比較的兩個(gè)對(duì)象用數(shù)學(xué)式子表示出來．②作差，分析差的符號(hào)．③將作差后的結(jié)論轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的結(jié)論．(2)應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問題①均值不等式:a，b∈R＋,eq\f（a＋b,2）≥eq\r(ab)（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí),等號(hào)成立）．當(dāng)ab＝P(定值)，那么當(dāng)a＝b時(shí)，a＋b有最小值2eq\r（P)；當(dāng)a＋b＝S(定值），那么當(dāng)a＝b時(shí)，ab有最大值eq\f(1，4)S2。②注意利用均值不等式必須有前提條件：“一正、二定、三相等”．為了創(chuàng)造利用均值不等式的條件，常用技巧有配湊因子、拆項(xiàng)或平方．(3)應(yīng)用一元二次不等式解決實(shí)際問題用一元二次不等式解決實(shí)際問題的操作步驟大致為:①理解題意，搞清量與量之間的關(guān)系；②建立相應(yīng)的不等關(guān)系，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題；③解所列的一元二次不等式得到實(shí)際問題的解．在建立不等關(guān)系時(shí),一定要弄清楚各種方法的適用范圍及未知量的取值范圍，不可盲目使用．題型一一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【例1】某種牌號(hào)的汽車在水泥路面上的剎車距離sm和汽車車速xkm/h有如下關(guān)系：s＝eq\f(1，20）x＋eq\f(1,180)x2.在一次交通事故中，測(cè)得這種車的剎車距離大于39.5m,那么這輛汽車剎車前的車速至少為多少(精確到0.01km/h)?分析：由剎車距離直接代入關(guān)系式就會(huì)得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次不等式，解此不等式即可求出x的范圍，即汽車剎車前的車速范圍．反思：解答不等式應(yīng)用題,首先要認(rèn)真審題，分清題意，建立合理的不等式模型．防止在解答此題時(shí)不考慮實(shí)際意義而忘記舍去x＜－88.94這一情況．題型二利用均值不等式解應(yīng)用題【例2】某種汽車，購車費(fèi)用是10萬元，每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)約為0.9萬元，年維修費(fèi)第一年是0。2萬元,以后逐年遞增0。2萬元．問這種汽車使用多少年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最少？分析:每年的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)等是一個(gè)定數(shù)，關(guān)鍵是每年的維修費(fèi)逐年遞增，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，只需求出x年的總費(fèi)用（包括購車費(fèi))除以x年,即為平均費(fèi)用y.列出函數(shù)關(guān)系式，再求解．反思：應(yīng)用兩個(gè)正數(shù)的均值不等式解決實(shí)際問題的方法步驟是：（1）先理解題意,設(shè)變量．設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)寫出正確答案．題型三易錯(cuò)辨析【例3】甲、乙兩地水路相距skm，一條船由甲地逆流勻速行駛至乙地，水流速度為常量pkm/h,船在靜水中的最大速度為qkm/h(q＞p）．已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用(元）與船在靜水中的速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為k.(1）把全程燃料費(fèi)用y(元）表示為船在靜水中的速度v（km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程燃料費(fèi)用最少，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)是多少？錯(cuò)解：(1）依題意，船由甲地到乙地所用的時(shí)間為eq\f（s,v－p）h,則y＝k·v2·eq\f（s,v－p)＝eq\f(ks·v2,v－p）。故所求函數(shù)為y＝eq\f(ks·v2,v－p)，其定義域?yàn)関∈（p,q]．（2）依題意,k，s,v，p,q均為正數(shù)，且v－p＞0，故有eq\f(ks·v2，v－p)＝ks·eq\f(v2－p2＋p2,v－p)＝ks（v－p＋eq\f（p2，v－p）＋2p）≥ks（2p＋2p）＝4ksp，當(dāng)且僅當(dāng)v－p＝eq\f（p2，v－p)，即v＝2p時(shí)等號(hào)成立．所以當(dāng)船的實(shí)際前進(jìn)速度為pkm/h時(shí)，全程燃料費(fèi)用最少．錯(cuò)因分析：錯(cuò)解中船在靜水中的速度v＝2pkm/h應(yīng)不超過qkm/h,事實(shí)上2p與q的大小關(guān)系并不明確，因此需分2p≤q和2p＞q兩種情況進(jìn)行討論．1某居民小區(qū)收取冬季供暖費(fèi),根據(jù)規(guī)定，住戶可以從以下兩種方案中任選其一:(1）按照使用面積繳納，每平方米4元；（2）按照建筑面積繳納,每平方米3元．李明家的使用面積是60平方米．如果他家選擇第(2）種方案繳納的供暖費(fèi)不多于按第(1)種方案繳納的供暖費(fèi)，那么他家的建筑面積最多不超過()．A．70平方米B．80平方米C．90平方米D．100平方米2一元二次不等式ax2＋2x－1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是()．A．｛a｜a＞1}B．{a｜a＜1且a≠0}C．{a|a＜－1｝D．{a｜a＞－1且a≠0｝3某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品x(百件）的成本為（3x－3）萬元,銷售總收入為（2x2－5)萬元，如果要保證該企業(yè)不虧本,那么至少生產(chǎn)該產(chǎn)品為______(百件)．4用兩種金屬材料做一個(gè)矩形框架，按要求長（較長的邊)和寬應(yīng)選用的金屬材料價(jià)格每1m分別為3元和5元，且長和寬必須是整數(shù)，現(xiàn)預(yù)算花費(fèi)不超過100元，則做成矩形框架圍成的最大面積是______．5某商場(chǎng)預(yù)計(jì)全年分批購入每臺(tái)價(jià)值為2000元的電視機(jī)共3600臺(tái)，每批都購入x臺(tái)（x∈N＋)，且每批均需運(yùn)費(fèi)400元，貯存購入的電視機(jī)全年所付保管費(fèi)與每批購入電視機(jī)的總價(jià)值（不含運(yùn)費(fèi))成正比,若每批購入400臺(tái),則全年需用去運(yùn)輸和保管費(fèi)用總計(jì)43600元,現(xiàn)在全年只有24000元資金可以用于支付這筆費(fèi)用．請(qǐng)問:能否恰當(dāng)安排每批進(jìn)貨的數(shù)量，使資金夠用？求出結(jié)論，并說明理由．答案:基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1．＞eq\f(a,b)【做一做】解:∵a＞0，b＞0,∴eq\f(1，a）＋eq\f（1，b)≥2eq\r（\f(1,ab））＞0.∴eq\f（2，\f(1,a)＋\f（1,b))≤eq\f(2，2\r(\f（1，ab）))＝eq\r(ab）.即eq\f（2，\f(1，a)＋\f(1,b）)≤eq\r(ab）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立）．2．（1）設(shè)未知數(shù)(2）列不等式(組)（3）解不等式（組)未知數(shù)在實(shí)際問題中的取值范圍典型例題·領(lǐng)悟【例1】解:設(shè)這輛汽車剎車前的車速至少為xkm/h。根據(jù)題意,有eq\f(1,20）x＋eq\f(1，180)x2＞39。5.移項(xiàng)整理,得x2＋9x－7110＞0.顯然Δ＞0，方程x2＋9x－7110＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,即x1≈－88.94，x2≈79.94.然后，畫出二次函數(shù)y＝x2＋9x－7110的圖象．由圖象得不等式的解集為｛x|x＜－88.94或x＞79.94｝．在這個(gè)實(shí)際問題中,x＞0，所以這輛汽車剎車前的車速至少為79.94km/h?！纠?】解：設(shè)汽車使用的年數(shù)為x。由于“年維修費(fèi)第一年是0。2萬元，以后逐年遞增0。2萬元”，可知汽車每年維修費(fèi)構(gòu)成以0。2萬元為首項(xiàng),0。2萬元為公差的等差數(shù)列．因此，汽車使用x年總的維修費(fèi)用為eq\f（0。2＋0。2x,2)x萬元．設(shè)汽車的年平均費(fèi)用為y萬元，則有y＝eq\f(10＋0。9x＋\f（0.2＋0。2x，2）x，x)＝eq\f(10＋x＋0.1x2，x)＝1＋eq\f（10，x)＋eq\f(x,10）≥1＋2eq\r（\f（10,x）·\f(x，10)）＝3。當(dāng)且僅當(dāng)eq\f（10,x）＝eq\f(x，10)，即x＝10時(shí)，等號(hào)成立，即y取最小值．答:汽車使用10年時(shí)年平均費(fèi)用最少．【例3】正解：（1）同錯(cuò)解(1)．（2)解題過程同錯(cuò)解(2)．若2p≤q，則當(dāng)v＝2p時(shí)，y取最小值，這時(shí)船的實(shí)際前進(jìn)速度為pkm/h。若2p＞q，當(dāng)v∈（p，q]時(shí),eq\f(ks·v2，v－p)－eq\f(ks·q2,q－p）＝ks·eq\f(（q－v）(pq＋pv－qv），（v－p)（q－p)）?！遶－p＞0,q－p＞0，q－v≥0,pq＋pv－qv≥pv＋pv－qv＝(2p－q)v＞0，∴eq\f（ks·v2,v－p)≥eq\f(ks·q2，q－p)。當(dāng)且僅當(dāng)v＝q時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)v＝q時(shí)，y取得最小值．此時(shí)船的實(shí)際前進(jìn)速度為(q－p)km/h.隨堂練習(xí)·鞏固1．B根據(jù)使用面積應(yīng)該繳納的費(fèi)用為60×4＝240元，設(shè)建筑面積為x平方米，則根據(jù)他所選擇的方案,知3x－240≤0，所以x≤80，即建筑面積不超過80平方米．2．D一元二次不等式有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，其判別式Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1，且二次項(xiàng)系數(shù)不能為0,即a≠0。所以a的取值范圍是{a|a＞－1且a≠0}．3．2要不虧本只需收入不小于成本,即2x2－5－(3x－3)≥0，即2x2－3x－2≥0,解得x≤－eq\f(1，2)或x≥2,而產(chǎn)品件數(shù)不能是負(fù)數(shù)，所以x的最小值為2.4．40m2設(shè)長為xm,寬為ym，則根據(jù)條件知6x＋10y≤100,即3x＋5y≤50，且x≥y，再根據(jù)x，y都是整數(shù)的條件求xy的最大值,而xy＝eq\f（1,15)·3x·5y≤eq\f(1,15)（eq\f(3x＋5y,2))2，并且檢驗(yàn)，知當(dāng)x＝8