新教材人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊-第一章空間向量與立體幾何課后練習(xí)及章末檢測-含解析

第一章空間向量與立體幾何課后練習(xí)及章末檢測一、1.1.1空間向量及其線性運算 -1-二、1.1.2空間向量的數(shù)量積運算 -7-三、1.2空間向量基本定理 -15-四、1.3.1空間直角坐標系 -21-五、1.3.2空間運算的坐標表示 -27-六、1.4.1第1課時空間向量與平行關(guān)系 -33-七、1.4.1第2課時空間向量與垂直關(guān)系 -41-八、1.4.2用空量研究距離夾角問題 -50-第一章章末測驗 -63-一、1.1.1空間向量及其線性運算一、選擇題1．空間任意四個點A，B，C，D，則eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))等于()A．eq\o(DB,\s\up8(→))B．eq\o(AC,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))D．eq\o(BA,\s\up8(→))D[eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→)).]2．設(shè)有四邊形ABCD，O為空間任意一點，且eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(DO,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．空間四邊形C．等腰梯形 D．矩形A[∵eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(DO,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→)).∴eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(DC,\s\up8(→))且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DC,\s\up8(→))|.∴四邊形ABCD為平行四邊形．]3．已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，下列條件中能確定點M與點A，B，C一定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))B．eq\o(OM,\s\up8(→))＝2eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))C．eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))D．eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))D[由eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))，可得3eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))?eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，即eq\o(AM,\s\up8(→))＝－eq\o(BM,\s\up8(→))－eq\o(CM,\s\up8(→)).所以eq\o(AM,\s\up8(→))與eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(CM,\s\up8(→))在一個平面上，即點M與點A，B，C一定共面．]4．若空間中任意四點O，A，B，P滿足eq\o(OP,\s\up8(→))＝meq\o(OA,\s\up8(→))＋neq\o(OB,\s\up8(→))，其中m＋n＝1，則()A．P∈ABB．P?ABC．點P可能在直線AB上D．以上都不對A[因為m＋n＝1，所以m＝1－n，所以eq\o(OP,\s\up8(→))＝(1－n)eq\o(OA,\s\up8(→))＋neq\o(OB,\s\up8(→))，即eq\o(OP,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝n(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))，即eq\o(AP,\s\up8(→))＝neq\o(AB,\s\up8(→))，所以eq\o(AP,\s\up8(→))與eq\o(AB,\s\up8(→))共線．又eq\o(AP,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))有公共起點A，所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈AB.]5．已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是A1C1的中點，點F是AE的三等分點，且AF＝eq\f(1,2)EF，則eq\o(AF,\s\up8(→))＝()A．eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))B．eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up8(→))D．eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up8(→))D[如圖所示，eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1E,\s\up8(→))，eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up8(→))，eq\o(A1C1,\s\up8(→))＝eq\o(A1B1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→))，eq\o(A1B1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(A1D1,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，所以eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(A1C1,\s\up8(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up8(→))，故選D.]二、填空題6．已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若由eq\o(OM,\s\up8(→))＝－2eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋λeq\o(OC,\s\up8(→))確定的點M與A，B，C共面，則λ＝________.2[由M、A、B、C四點共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若eq\o(A1B1,\s\up8(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up8(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up8(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(D1M,\s\up8(→))，則eq\o(D1M,\s\up8(→))＝________.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c[eq\o(D1M,\s\up8(→))＝eq\o(D1D,\s\up8(→))＋eq\o(DM,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))＝c＋eq\f(1,2)(－eq\o(A1D1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c.]8．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，則eq\o(EF,\s\up8(→))和eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))的關(guān)系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行[設(shè)G是AC的中點，則eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EG,\s\up8(→))＋eq\o(GF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))所以2eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))，從而eq\o(EF,\s\up8(→))∥(eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))．]三、解答題9.如圖，在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E，F(xiàn)分別為邊CD和AD的中點，試化簡eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量．[解]∵G是△BCD的重心，BE是CD邊上的中線，∴eq\o(GE,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→)).又eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up8(→))－eq\o(DA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up8(→))＝eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(FE,\s\up8(→))，∴eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\o(GE,\s\up8(→))－eq\o(FE,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))(如圖所示)．10．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為DD1的中點，點N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求證：eq\o(A1N,\s\up8(→))與eq\o(A1B,\s\up8(→))，eq\o(A1M,\s\up8(→))共面．[證明]∵eq\o(A1B,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(A1M,\s\up8(→))＝eq\o(A1D1,\s\up8(→))＋eq\o(D1M,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))，∴eq\o(A1N,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))－eq\o(AA1,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1M,\s\up8(→))，∴eq\o(A1N,\s\up8(→))與eq\o(A1B,\s\up8(→))，eq\o(A1M,\s\up8(→))共面．11．(多選題)若A，B，C，D為空間不同的四點，則下列各式為零向量的是()A．eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(BC,\s\up8(→))＋2eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))B．2eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(BC,\s\up8(→))＋3eq\o(CD,\s\up8(→))＋3eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))C.eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))D.eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))BD[A中，eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(BC,\s\up8(→))＋2eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))；B中，2eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(BC,\s\up8(→))＋3eq\o(CD,\s\up8(→))＋3eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AC,\s\up8(→))＋3eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝0；C中，eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))；D中，eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))表示A→B→C→D→A恰好形成一個回路，結(jié)果必為0.]12．(多選題)有下列命題，其中真命題的有()A．若eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))，則A，B，C，D四點共線B．若eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(AC,\s\up8(→))，則A，B，C三點共線C．若e1，e2為不共線的非零向量，a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝－e1＋eq\f(1,10)e2，則a∥bD．若向量e1，e2，e3是三個不共面的向量，且滿足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，則k1＝k2＝k3＝0BCD[根據(jù)共線向量的定義，若eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))，則AB∥CD或A，B，C，D四點共線，故A錯；因為eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(AC,\s\up8(→))且eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))有公共點A，所以B正確；由于a＝4e1－eq\f(2,5)e2＝－4－e1＋eq\f(1,10)e2＝－4b，所以a∥b，故C正確；易知D也正確．]13．(一題兩空)已知A，B，C三點共線，則對空間任一點O，若eq\o(OA,\s\up8(→))＝2eq\o(OB,\s\up8(→))＋μeq\o(OC,\s\up8(→))，則μ＝________；存在三個不為0的實數(shù)λ，m，n，使λeq\o(OA,\s\up8(→))＋meq\o(OB,\s\up8(→))＋neq\o(OC,\s\up8(→))＝0，那么λ＋m＋n的值為________．－10[由A、B、C三點共線，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λeq\o(OA,\s\up8(→))＋meq\o(OB,\s\up8(→))＋neq\o(OC,\s\up8(→))＝0得eq\o(OA,\s\up8(→))＝－eq\f(m,λ)eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\f(n,λ)eq\o(OC,\s\up8(→))由A，B，C三點共線知－eq\f(m,λ)－eq\f(n,λ)＝1，則λ＋m＋n＝0.]14．設(shè)e1，e2是平面上不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up8(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up8(→))＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，則實數(shù)k為________．－8[因為eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝e1－4e2，eq\o(AB,\s\up8(→))＝2e1＋ke2，又A，B，D三點共線，由共線向量定理得eq\f(1,2)＝eq\f(－4,k)，所以k＝－8.]15.如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是ABCD所在平面外的一點，連接PA，PB，PC，PD.設(shè)點E，F(xiàn)，G，H分別為△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．(1)試用向量方法證明E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)試判斷平面EFGH與平面ABCD的位置關(guān)系，并用向量方法證明你的判斷．[證明](1)分別連接PE，PF，PG，PH并延長，交對邊于點M，N，Q，R，連接MN，NQ，QR，RM，∵E，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R是所在邊的中點，且eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up8(→))，eq\o(PF,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up8(→))，eq\o(PG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up8(→))，eq\o(PH,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PR,\s\up8(→)).由題意知四邊形MNQR是平行四邊形，∴eq\o(MQ,\s\up8(→))＝eq\o(MN,\s\up8(→))＋eq\o(MR,\s\up8(→))＝(eq\o(PN,\s\up8(→))－eq\o(PM,\s\up8(→)))＋(eq\o(PR,\s\up8(→))－eq\o(PM,\s\up8(→)))＝eq\f(3,2)(eq\o(PF,\s\up8(→))－eq\o(PE,\s\up8(→)))＋eq\f(3,2)(eq\o(PH,\s\up8(→))－eq\o(PE,\s\up8(→)))＝eq\f(3,2)(eq\o(EF,\s\up8(→))＋eq\o(EH,\s\up8(→)))．又eq\o(MQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\o(PM,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PG,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(EG,\s\up8(→)).∴eq\o(EG,\s\up8(→))＝eq\o(EF,\s\up8(→))＋eq\o(EH,\s\up8(→))，由共面向量定理知，E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)平行．證明如下：由(1)得eq\o(MQ,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(EG,\s\up8(→))，∴eq\o(MQ,\s\up8(→))∥eq\o(EG,\s\up8(→))，∴eq\o(EG,\s\up8(→))∥平面ABCD.又eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(PN,\s\up8(→))－eq\o(PM,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PF,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(EF,\s\up8(→))，∴eq\o(MN,\s\up8(→))∥eq\o(EF,\s\up8(→)).即EF∥平面ABCD.又∵EG∩EF＝E，∴平面EFGH與平面ABCD平行二、1.1.2空間向量的數(shù)量積運算一、選擇題1．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)⊥(λa－b)，則λ等于()A．eq\f(3,2)B．－eq\f(3,2)C．±eq\f(3,2)D．1A[∵a⊥b，∴a·b＝0，∵3a＋2b⊥λa－b，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝0，即3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝eq\f(3,2).]2．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))的值為()A．a(chǎn)2B．eq\f(1,2)a2C．eq\f(1,4)a2D．eq\f(\r(3),4)a2C[eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))·eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a×a×\f(1,2)＋a×a×\f(1,2)))＝eq\f(1,4)a2.]3．已知長方體ABCD-A1B1C1D1，則下列向量的數(shù)量積一定不為0的是()A．eq\o(AD1,\s\up8(→))·eq\o(B1C,\s\up8(→)) B．eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD1,\s\up8(→)) D．eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))D[對于選項A，當(dāng)四邊形ADD1A1為正方形時，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此時有eq\o(AD1,\s\up8(→))·eq\o(B1C,\s\up8(→))＝0；對于選項B，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，AC⊥BD，易得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此時有eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0；對于選項C，由長方體的性質(zhì)，可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此時必有eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD1,\s\up8(→))＝0；對于選項D，由長方體的性質(zhì)，可得BC⊥平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1為直角三角形，∠BCD1為直角，故BC與BD1不可能垂直，即eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))≠0.故選D.]4．在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量eq\o(BA1,\s\up8(→))與向量eq\o(AC,\s\up8(→))所成的角為()A．60°B．150°C．90°D．120°D[eq\o(BA1,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))，|eq\o(BA1,\s\up8(→))|＝eq\r(2)a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝Aeq\o(B,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝eq\r(2)a.∴eq\o(BA1,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＝－a2.∴cos〈eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(－a2,\r(2)a·\r(2)a)＝－eq\f(1,2).∴〈eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝120°.]5.如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，則AC′的長為()A．eq\r(13) B．eq\r(23)C．eq\r(33) D．eq\r(43)B[∵eq\o(AC′,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC′,\s\up8(→))，∴eq\o(AC′,\s\up8(→))2＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC′,\s\up8(→)))2＝eq\o(AB,\s\up8(→))2＋eq\o(BC,\s\up8(→))2＋eq\o(CC′,\s\up8(→))2＋2(eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CC′,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CC′,\s\up8(→)))＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos60°＋2×3cos60°)＝14＋2×eq\f(9,2)＝23，∴|eq\o(AC′,\s\up8(→))|＝eq\r(23)，即AC′的長為eq\r(23).]二、填空題6．已知a，b是空間兩個向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，則cos〈a，b〉＝________.eq\f(1,8)[將|a－b|＝eq\r(7)兩邊平方，得(a－b)2＝7.因為|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝eq\f(1,2).又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，故cos〈a，b〉＝eq\f(1,8).]7．已知a，b是異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a，b所成的角是________．60°[eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→))，∴eq\o(CD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))·(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→)))＝|eq\o(CD,\s\up8(→))|2＝1，∴cos〈eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(CD,\s\up8(→))·\o(AB,\s\up8(→)),|\o(CD,\s\up8(→))||\o(AB,\s\up8(→))|)＝eq\f(1,2)，∴異面直線a，b所成角是60°.]8．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，則使向量a＋λb與λa－2b的夾角為鈍角的實數(shù)λ的取值范圍是________．(－1－eq\r(3)，－1＋eq\r(3))[由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋λb·λa－2b<0，,cos〈a＋λb，λa－2b〉≠－1.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋λb·λa－2b<0，,a＋λb·λa－2b≠－|a＋λb||λa－2b|，))得λ2＋2λ－2<0.∴－1－eq\r(3)<λ<－1＋eq\r(3).]三、解答題9.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AP,\s\up8(→))＝c.(1)試用a，b，c表示出向量eq\o(BM,\s\up8(→))；(2)求BM的長．[解](1)∵M是PC的中點，∴eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)[eq\o(AD,\s\up8(→))＋(eq\o(AP,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))]＝eq\f(1,2)[b＋(c－a)]＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.(2)由于AB＝AD＝1，PA＝2，∴|a|＝|b|＝1，|c|＝2，由于AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，∴a·b＝0，a·c＝b·c＝2·1·cos60°＝1，由于eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)，|eq\o(BM,\s\up8(→))|2＝eq\f(1,4)(－a＋b＋c)2＝eq\f(1,4)[a2＋b2＋c2＋2(－a·b－a·c＋b·c)]＝eq\f(1,4)[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝eq\f(3,2).∴|eq\o(BM,\s\up8(→))|＝eq\f(\r(6),2)，∴BM的長為eq\f(\r(6),2).10.如圖，已知直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB′的中點．(1)求證：CE⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．[解](1)證明：設(shè)eq\o(CA,\s\up8(→))＝a，eq\o(CB,\s\up8(→))＝b，eq\o(CC′,\s\up8(→))＝c，根據(jù)題意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0.∴eq\o(CE,\s\up8(→))＝b＋eq\f(1,2)c，eq\o(A′D,\s\up8(→))＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.∴eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(A′D,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)c))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c＋\f(1,2)b－\f(1,2)a))＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0，∴eq\o(CE,\s\up8(→))⊥eq\o(A′D,\s\up8(→))，即CE⊥A′D.(2)∵eq\o(AC′,\s\up8(→))＝－a＋c，∴|eq\o(AC′,\s\up8(→))|＝eq\r(2)|a|，|eq\o(CE,\s\up8(→))|＝eq\f(\r(5),2)|a|，∵eq\o(AC′,\s\up8(→))·eq\o(CE,\s\up8(→))＝(－a＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)c))＝eq\f(1,2)c2＝eq\f(1,2)|a|2，∴cos〈eq\o(AC′,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→))〉＝eq\f(\f(1,2)|a|2,\r(2)×\f(\r(5),2)|a|2)＝eq\f(\r(10),10).∴異面直線CE與AC′所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).11．(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列命題正確的有()A．(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up8(→))2B．eq\o(A1C,\s\up8(→))·(eq\o(A1B1,\s\up8(→))－eq\o(A1A,\s\up8(→)))＝0C．eq\o(AD1,\s\up8(→))與eq\o(A1B,\s\up8(→))的夾角為60°D．正方體的體積為|eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))|AB[如圖，(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))2＝(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→)))2＝eq\o(AC1,\s\up8(→))2＝3eq\o(AB,\s\up8(→))2；eq\o(A1C,\s\up8(→))·(eq\o(A1B1,\s\up8(→))－eq\o(A1A,\s\up8(→)))＝eq\o(A1C,\s\up8(→))·eq\o(AB1,\s\up8(→))＝0；eq\o(AD1,\s\up8(→))與eq\o(A1B,\s\up8(→))的夾角是eq\o(D1C,\s\up8(→))與eq\o(D1A,\s\up8(→))夾角的補角，而eq\o(D1C,\s\up8(→))與eq\o(D1A,\s\up8(→))的夾角為60°，故eq\o(AD1,\s\up8(→))與eq\o(A1B,\s\up8(→))的夾角為120°；正方體的體積為|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AA1,\s\up8(→))||eq\o(AD,\s\up8(→))|.故選AB.]12．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若E是底面正方形A1B1C1D1的中心，則eq\o(AC1,\s\up8(→))與eq\o(CE,\s\up8(→))()A．重合 B．平行但不重合C．垂直 D．無法確定C[eq\o(AC1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(CC1,\s\up8(→))＋eq\o(C1E,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))，于是eq\o(AC1,\s\up8(→))·eq\o(CE,\s\up8(→))＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→)))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(AA1－\f(1,2)\o(AB,\s\up8(→))＋\o(AD,\s\up8(→))))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AA1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AA1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))2＋eq\o(AA1,\s\up8(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＝0－eq\f(1,2)－0＋0－0－eq\f(1,2)＋1－0－0＝0，故eq\o(AC1,\s\up8(→))⊥eq\o(CE,\s\up8(→)).]13．(一題兩空)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中點，則eq\o(B1C,\s\up8(→))·eq\o(A1P,\s\up8(→))＝________，eq\o(B1C,\s\up8(→))與eq\o(A1P,\s\up8(→))所成角的大小為________．160°[法一：連接A1D，則∠PA1D就是eq\o(B1C,\s\up8(→))與eq\o(A1P,\s\up8(→))所成角．連接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝eq\r(2)，即△PA1D為等邊三角形，從而∠PA1D＝60°，即eq\o(B1C,\s\up8(→))與eq\o(A1P,\s\up8(→))所成角的大小為60°.因此eq\o(B1C,\s\up8(→))·eq\o(A1P,\s\up8(→))＝eq\r(2)×eq\r(2)×cos60°＝1.法二：根據(jù)向量的線性運算可得eq\o(B1C,\s\up8(→))·eq\o(A1P,\s\up8(→))＝(eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up8(→))))＝eq\o(AD,\s\up8(→))2＝1.由題意可得PA1＝B1C＝eq\r(2)，則eq\r(2)×eq\r(2)×cos〈eq\o(B1C,\s\up8(→))，eq\o(A1P,\s\up8(→))〉＝1，從而〈eq\o(B1C,\s\up8(→))，eq\o(A1P,\s\up8(→))〉＝60°.]14．已知在正四面體D-ABC中，所有棱長都為1，△ABC的重心為G，則DG的長為________．eq\f(\r(6),3)[如圖，連接AG并延長交BC于點M，連接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝eq\f(2,3)AM，∴eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(DG,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(DM,\s\up8(→))－eq\o(DA,\s\up8(→)))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DB,\s\up8(→))＋\o(DC,\s\up8(→))－\o(DA,\s\up8(→))))＝eq\f(1,3)(eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))，而(eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))2＝eq\o(DA,\s\up8(→))2＋eq\o(DB,\s\up8(→))2＋eq\o(DC,\s\up8(→))2＋2eq\o(DA,\s\up8(→))·eq\o(DB,\s\up8(→))＋2eq\o(DB,\s\up8(→))·eq\o(DC,\s\up8(→))＋2eq\o(DC,\s\up8(→))·eq\o(DA,\s\up8(→))＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴|eq\o(DG,\s\up8(→))|＝eq\f(\r(6),3).]15.如圖，正四面體V-ABC的高VD的中點為O，VC的中點為M.(1)求證：AO，BO，CO兩兩垂直；(2)求〈eq\o(DM,\s\up8(→))，eq\o(AO,\s\up8(→))〉．[解](1)證明：設(shè)eq\o(VA,\s\up8(→))＝a，eq\o(VB,\s\up8(→))＝b，eq\o(VC,\s\up8(→))＝c，正四面體的棱長為1，則eq\o(VD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)，eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)(b＋c－5a)，eq\o(BO,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)(a＋c－5b)，eq\o(CO,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)(a＋b－5c)，所以eq\o(AO,\s\up8(→))·eq\o(BO,\s\up8(→))＝eq\f(1,36)(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝eq\f(1,36)(18a·b－9|a|2)＝eq\f(1,36)(18×1×1×cos60°－9)＝0，所以eq\o(AO,\s\up8(→))⊥eq\o(BO,\s\up8(→))，即AO⊥BO.同理，AO⊥CO，BO⊥CO.所以AO，BO，CO兩兩垂直．(2)eq\o(DM,\s\up8(→))＝eq\o(DV,\s\up8(→))＋eq\o(VM,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b＋c)＋eq\f(1,2)c＝eq\f(1,6)(－2a－2b＋c)，所以|eq\o(DM,\s\up8(→))|＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)－2a－2b＋c))\s\up10(2))＝eq\f(1,2).又|eq\o(AO,\s\up8(→))|＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)b＋c－5a))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，eq\o(DM,\s\up8(→))·eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)(－2a－2b＋c)·eq\f(1,6)(b＋c－5a)＝eq\f(1,4)，所以cos〈eq\o(DM,\s\up8(→))，eq\o(AO,\s\up8(→))〉＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2)×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2).又〈eq\o(DM,\s\up8(→))，eq\o(AO,\s\up8(→))〉∈[0，π]，所以〈eq\o(DM,\s\up8(→))，eq\o(AO,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,4).三、1.2空間向量基本定理一、選擇題1．若向量{a，b，c}是空間的一個基底，則一定可以與向量p＝2a＋b，q＝2a－b構(gòu)成空間的另一個基底的向量是()A．a(chǎn)B．bC．cD．a(chǎn)＋bC[由p＝2a＋b，q＝2a－b得a＝eq\f(1,4)p＋eq\f(1,4)q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能構(gòu)成空間的一個基底，排除A；因為b＝eq\f(1,2)p－eq\f(1,2)q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能構(gòu)成空間的一個基底，排除B；因為a＋b＝eq\f(3,4)p－eq\f(1,4)q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能構(gòu)成空間的一個基底，排除D.]2．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M是上底面對角線AC與BD的交點，若eq\o(A1B1,\s\up8(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up8(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up8(→))＝c，則eq\o(B1M,\s\up8(→))可表示為()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cD[由于eq\o(B1M,\s\up8(→))＝eq\o(B1B,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\o(B1B,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，故選D.]3．若向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))的起點M與終點A，B，C互不重合，且點M，A，B，C中無三點共線，滿足下列關(guān)系(O是空間任一點)，則能使向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))成為空間一個基底的關(guān)系是()A．eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))B．eq\o(MA,\s\up8(→))≠eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→))C．eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))D．eq\o(MA,\s\up8(→))＝2eq\o(MB,\s\up8(→))－eq\o(MC,\s\up8(→))C[若eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))為空間一組基向量，則M，A，B，C四點不共面．選項A中，因為eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，所以點M，A，B，C共面；選項B中，eq\o(MA,\s\up8(→))≠eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→))，但可能存在實數(shù)λ，μ使得eq\o(MA,\s\up8(→))＝λeq\o(MB,\s\up8(→))＋μeq\o(MC,\s\up8(→))，所以點M，A，B，C可能共面；選項D中，四點M，A，B，C顯然共面．故選C.]4．空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，點M在OA上，且eq\o(OM,\s\up8(→))＝2eq\o(MA,\s\up8(→))，N為BC中點，則eq\o(MN,\s\up8(→))為()A．eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)c D．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)cB[eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.]5．平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))兩兩的夾角均為60°且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝2，|eq\o(AA1,\s\up8(→))|＝3，則|eq\o(AC1,\s\up8(→))|等于()A．5B．6C．4D．8A[在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中有，eq\o(AC1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))所以有|eq\o(AC1,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))|，于是有|eq\o(AC1,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＋|eq\o(AA1,\s\up8(→))|2＋2|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AD,\s\up8(→))|·cos60°＋2|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AA1,\s\up8(→))|·cos60°＋2|eq\o(AD,\s\up8(→))||eq\o(AA1,\s\up8(→))|·cos60°＝25，所以|eq\o(AC1,\s\up8(→))|＝5.]二、填空題6．在四面體OABC中，eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則eq\o(OE,\s\up8(→))＝________.(用a，b，c表示)eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c[因為在四面體OABC中，eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，所以eq\o(OE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)(b＋c)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.]7．已知{a，b，c}是空間的一個單位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空間的另一個基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示為m＝3a＋5b＋9c，則m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示為________．4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)[由題意知，m＝3a＋5b＋9c，設(shè)m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z(3c)則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3,x－y＝5,3z＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝－1,z＝3.))則m在基底{a＋b，a－b,3c}可表示為m＝4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)．]8．在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，AC與BD交于O，G為BD上一點，BG＝2GD，eq\o(PA,\s\up8(→))＝a，eq\o(PB,\s\up8(→))＝b，eq\o(PC,\s\up8(→))＝c，試用基底{a，b，c}表示向量eq\o(PG,\s\up8(→))＝________.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c[因為BG＝2GD，所以eq\o(BG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up8(→)).又eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(PA,\s\up8(→))－eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))－eq\o(PB,\s\up8(→))＝a＋c－2b，所以eq\o(PG,\s\up8(→))＝eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(BG,\s\up8(→))＝b＋eq\f(2,3)(a＋c－2b)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c.]三、解答題9.如圖所示，正方體OABC-O′A′B′C′，且eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OC,\s\up8(→))＝b，eq\o(OO′,\s\up8(→))＝c.(1)用a，b，c表示向量eq\o(OB′,\s\up8(→))，eq\o(AC′,\s\up8(→))；(2)設(shè)G，H分別是側(cè)面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq\o(GH,\s\up8(→)).[解](1)eq\o(OB′,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(BB′,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OO′,\s\up8(→))＝a＋b＋c.eq\o(AC′,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CC′,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(AA′,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OO′,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝b＋c－a.(2)法一：連接OG，OH(圖略)，則eq\o(GH,\s\up8(→))＝eq\o(GO,\s\up8(→))＋eq\o(OH,\s\up8(→))＝－eq\o(OG,\s\up8(→))＋eq\o(OH,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(OB′,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB′,\s\up8(→))＋eq\o(OO′,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,2)(a＋b＋c＋b)＋eq\f(1,2)(a＋b＋c＋c)＝eq\f(1,2)(c－b)．法二：連接O′C(圖略)，則eq\o(GH,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CO′,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OO′,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(c－b)．10.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(MA,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(ND,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(A1D,\s\up8(→))，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(MN,\s\up8(→)).[解]連接AN，則eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(AN,\s\up8(→)).由已知可得四邊形ABCD是平行四邊形，從而可得eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(MA,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b)，又eq\o(A1D,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))＝b－c，故eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DN,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(ND,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(A1D,\s\up8(→))＝b－eq\f(1,3)(b－c)，所以eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(AN,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b)＋b－eq\f(1,3)(b－c)＝eq\f(1,3)(－a＋b＋c)．11．(多選題)已知a，b，c是不共面的三個向量，則下列向量組中，不能構(gòu)成一個基底的一組向量是()A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2aC．a(chǎn),2b，b－c D．c，a＋c，a－cABD[對于A，因為2a＝eq\f(4,3)(a－b)＋eq\f(2,3)(a＋2b)，得2a、a－b、a＋2b三個向量共面，故它們不能構(gòu)成一個基底；對于B，因為2b＝eq\f(4,3)(b－a)＋eq\f(2,3)(b＋2a)，得2b、b－a、b＋2a三個向量共面，故它們不能構(gòu)成一個基底；對于C，因為找不到實數(shù)λ、μ，使a＝λ·2b＋μ(b－c)成立，故a、2b、b－c三個向量不共面，它們能構(gòu)成一個基底；對于D，因為c＝eq\f(1,2)(a＋c)－eq\f(1,2)(a－c)，得c、a＋c、a－c三個向量共面，故它們不能構(gòu)成一個基底，故選ABD.]12．(多選題)給出下列命題，正確命題的有()A．若{a，b，c}可以作為空間的一個基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可以作為空間的一個基底B．已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底C．A，B，M，N是空間四點，若eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))不能構(gòu)成空間的一個基底，則A，B，M，N四點共面D．已知{a，b，c}是空間的一個基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個基底ABCD[根據(jù)基底的概念，知空間中任何三個不共面的向量都可作為空間的一個基底．顯然B正確．C中由eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))不能構(gòu)成空間的一個基底，知eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))共面．又eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))過相同點B，知A，B，M，N四點共面．所以C正確．下面證明AD正確：A假設(shè)d與a，b共面，則存在實數(shù)λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0，∴存在實數(shù)k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，從而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c與a，b共面，與條件矛盾，∴d與a，b不共面．同理可證D也是正確的．于是ABCD四個命題都正確，故選ABCD.]13．(一題兩空)已知空間的一個基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝________，y＝________.1－1[因為m與n共線，所以存在實數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))]14．(一題多空)已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2＝eq\f(1,2).若空間向量b滿足b·e1＝2，b·e2＝eq\f(5,2)，且對于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，則x0＝________，y0＝________，|b|＝________.122eq\r(2)[由題意可令b＝x0e1＋y0e2＋e3，其中|e3|＝1，e3⊥ei，i＝1,2.由b·e1＝2得x0＋eq\f(y0,2)＝2，由b·e2＝eq\f(5,2)得eq\f(x0,2)＋y0＝eq\f(5,2)，解得x0＝1，y0＝2，∴|b|＝eq\r(e1＋2e2＋e32)＝2eq\r(2).]15．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up8(→))，eq\o(EF,\s\up8(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up8(→))＝xa＋yb＋zc，求實數(shù)x，y，z的值．[解](1)如圖，eq\o(D1B,\s\up8(→))＝eq\o(D1D,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→))＝－eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(