2025屆廣東省東莞市長安中學數學九年級第一學期開學聯考試題【含答案】

學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共5頁2025屆廣東省東莞市長安中學數學九年級第一學期開學聯考試題題號一二三四五總分得分批閱人A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）已知m、n是正整數，若+是整數，則滿足條件的有序數對（m，n）為（）A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是2、（4分）某同學在體育備考訓練期間，參加了七次測試，成績依次為（單位：分）51，53，56，53，56，58，56，這組數據的眾數、中位數分別是（）A．53，53 B．53，56 C．56，53 D．56，563、（4分）如圖，∠AOB是一鋼架，∠AOB＝15°，為使鋼架更加牢固，需在其內部添加一些鋼管EF、FG、GH…添的鋼管長度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管()根．A．2 B．4 C．5 D．無數4、（4分）如圖，A、B是曲線上的點，經過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，若，則S1+S2的值為（）A．3 B．4 C．5 D．65、（4分）分式方程有增根，則的值為A．0和3 B．1 C．1和 D．36、（4分）已知一組數據1，l，，7，3，5，3，1的眾數是1，則這組數據的中位數是()．A．1 B．1．5 C．3 D．57、（4分）如圖，將三個同樣的正方形的一個頂點重合放置，如果°，°時，那么的度數是（

）A．15° B．25° C．30° D．45°8、（4分）如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P為矩形邊上的一個動點，運動路線是A→B→C→D→A，設P點經過的路程為x，以A，P，B為頂點的三角形面積為y，則選項圖象能大致反映y與x的函數關系的是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）如圖，已知，點是等腰斜邊上的一動點，以為一邊向右下方作正方形，當動點由點運動到點時，則動點運動的路徑長為______.10、（4分）若二次根式有意義，則x的取值范圍為__________．11、（4分）若一次函數的函數值隨的增大而增大，則的取值范圍是_____.12、（4分）一組數據：2，﹣1，0，x，1的平均數是0，則x＝_____．13、（4分）甲，乙兩車都從A地出發(fā)，沿相同的道路，以各自的速度勻速駛向B地.甲車先出發(fā)，乙車出發(fā)一段時間后追上甲并反超，乙車到達B地后，立即按原路返回，在途中再次與甲車相遇。著兩車之間的路程為s（千米），與甲車行駛的時間t（小時）之間的圖象如圖所示.乙車從A地出發(fā)到返回A地需________小時.三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的兩個中，點都是格點．（1）將向左平移6個單位長度得到．請畫出；（2）將繞點按逆時針方向旋轉得到，請畫出．15、（8分）某汽車銷售公司經銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降．今年5月份A款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元．（1）今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元？（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進價為7.5萬元，B款汽車每輛進價為6萬元，公司預計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進這兩款汽車共15輛，有幾種進貨方案？（3）如果B款汽車每輛售價為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現金a萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應是多少？此時，哪種方案對公司更有利？16、（8分）如圖，過點A（2，0）的兩條直線l1，l2分別交y軸于B，C，其中點B在原點上方，點C在原點下方，已知AB=（1）求點B的坐標；（2）若△ABC的面積為4，求l217、（10分）（問題情境）如圖，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM．（探究展示）（1）直接寫出AM、AD、MC三條線段的數量關系：；（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（拓展延伸）（3）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖，探究展示（1）、（2）中的結論是否成立，請分別作出判斷，不需要證明．18、（10分）計算：(1)(2)B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）一次函數的圖象與軸的交點坐標是________．20、（4分）根據數量關系：的5倍加上1是正數，可列出不等式：__________．21、（4分）某種藥品原來售價100元，連續(xù)兩次降價后售價為81元，若每次下降的百分率相同，則這個百分率是．22、（4分）已知點A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）都在反比例函數y＝﹣8x的圖象上，則y1_____y2（填“＜”或“＞”23、（4分）實數a、b在數軸上的位置如圖所示，化簡=_____．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）已知：如圖平行四邊形中，，且，過作于，點是的中點，連接交于點，點是的中點，過作交的延長線于.（1）若，求的長.（2）求證：.25、（10分）如圖，一次函數的圖象與反比例函數在第一象限的圖象交于和B兩點，與x軸交于點C．（1）求反比例函數的解析式；（2）若點P在x軸上，且的面積為5，求點P的坐標．26、（12分）銅仁市積極推動某公園建設，通過旅游帶動一方經濟，計劃經過若干年使公園綠化總面積新增450萬平方米.自2016年初開始實施后，實際每年綠化面積是原計劃的1.5倍，這樣可以提前3年完成任務.(1)求實際每年綠化面積是多少萬平方米(2)為加大公園綠化力度，市政府決定從2019年起加快綠化速度，要求不超過2年完成，那么實際平均每年綠化面積至少還要增加多少萬平方米？

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、C【解析】

根據二次根式的性質分析即可得出答案．【詳解】解：∵+是整數，m、n是正整數，∴m=2，n=5或m=8，n=20，當m=2，n=5時，原式=2是整數；當m=8，n=20時，原式=1是整數；即滿足條件的有序數對（m，n）為（2，5）或（8，20），故選：C．本題考查了二次根式的性質和二次根式的運算，估算無理數的大小的應用，題目比較好，有一定的難度．2、D【解析】

根據眾數和中位數的定義求解可得．【詳解】解：將數據重新排列為51，53，53，56，56，56，58，所以這組數據的中位數為56，眾數為56，故選：D．本題主要考查眾數和中位數，求一組數據的眾數的方法：找出頻數最多的那個數據，若幾個數據頻數都是最多且相同，此時眾數就是這多個數據．將一組數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數．如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．3、C【解析】分析：因為每根鋼管的長度相等，可推出圖中的5個三角形都為等腰三角形，再根據外角性質，推出最大的∠0BQ的度數（必須≤90°），就可得出鋼管的根數．詳解：如圖所示，∠AOB=15°，∵OE=FE，∴∠GEF=∠EGF=15°×2=30°，∵EF=GF，所以∠EGF=30°∴∠GFH=15°+30°=45°∵GH=GF∴∠GHF=45°，∠HGQ=45°+15°=60°∵GH=HQ，∠GQH=60°，∠QHB=60°+15°=75°，∵QH=QB∴∠QBH=75°，∠HQB=180-75°-75°=30°，故∠OQB=60°+30°=90°，不能再添加了．故選C．點睛：根據等腰三角形的性質求出各相等的角，然后根據三角形內角和外角的關系解答．4、B【解析】

首先根據反比例函數中k的幾何意義，可知S矩形ACOD=S矩形BEOF=|k|=3，又S陰影=1，則S1=S矩形ACOD-S陰影=2，S2=S矩形BEOF-S陰影=2，從而求出S1+S2的值．【詳解】解：∵A、B是曲線上的點，經過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，

∴S矩形ACOD=S矩形BEOF=3，

又∵S陰影=1，

∴S1=S2=3-1=2，

∴S1+S2=1．

故選：B．主要考查了反比例函數中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．5、D【解析】

等式兩邊同乘以最簡公分母后，化簡為一元一次方程，因為有增根可能為x1=1或x1=﹣1分別打入一元一次方程后求出m，再驗證m取該值時是否有根即可.【詳解】∵分式方程-1=有增根，∴x﹣1=0，x+1=0，∴x1=1，x1=﹣1．兩邊同時乘以（x﹣1）（x+1），原方程可化為x（x+1）﹣（x﹣1）（x+1）=m，整理得，m=x+1，當x=1時，m=1+1=2；當x=﹣1時，m=﹣1+1=0，當m=0，方程無解，∴m=2．故選D．6、B【解析】

數據1，1，x，7，3，2，3，1的眾數是1，說明1出現的次數最多，所以當x=1時，1出現3次，次數最多，是眾數；再把這組數據從小到大排列：1，1，1，1，3，3，2，7，處于中間位置的數是1和3，所以中位數是：（1+3）÷1=1.2．故選B.7、A【解析】

根據∠2=∠BOD+EOC-∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度數從而求解．【詳解】∵∠BOD=90°-∠3=90°-30°=60°，

∠EOC=90°-∠1=90°-45°=45°，

又∵∠2=∠BOD+∠EOC-∠BOE，

∴∠2=60°+45°-90°=15°．

故選：A．此題考查余角和補角，正確理解∠2=∠BOD+EOC-∠BOE這一關系是解題的關鍵．8、B【解析】

根據題意可以分別表示出各段的函數解析式，從而可以根據各段對應的函數圖象判斷選項的正誤即可.【詳解】由題意可得，點P到A→B的過程中，y=0（0≤x≤2），故選項C錯誤，點P到B→C的過程中，y=2（x-2）=x-2（2＜x≤6），故選項A錯誤，點P到C→D的過程中，y=24=4（6＜x≤8），故選項D錯誤，點P到D→A的過程中，y=2(12-x)=12-x(8<x12)，由以上各段函數解析式可知，選項B正確，故選B.本題考查動點問題的函數圖象，明確題意，寫出各段函數對應的函數解析式，明確各段的函數圖象是解題關鍵.二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、【解析】

連接，根據題意先證出，然后得出，所以點運動的路徑長度即為點從到的運動路徑，繼而得出結論【詳解】連接，∵，是等腰直角三角形，∴,∠ABC=90°∵四邊形是正方形∴BD=BF，∠DBF=∠ABC=90°，∴∠ABD=∠CBF,在△DAP與△BAP中∴，∴，點運動的路徑長度即為點從到的運動路徑,為.故答案為：本題主要考查的是等腰直角三角形的性質、等邊三角形的性質、正方形的性質以及全等三角形的性質和判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．10、x≤1【解析】

解：∵二次根式有意義，∴1-x≥0,∴x≤1．故答案為：x≤1．11、k＞2【解析】

試題分析：本題主要考查一次函數的性質，掌握一次函數的性質是解題的關鍵，即在y=kx+b中，當k＞0時y隨x的增大而增大，當k＜0時y隨x的增大而減小.【詳解】根據題意可得：k－2＞0，解得：k＞2.考點：一次函數的性質；一次函數的定義12、-2【解析】

根據平均數的公式可得關于x的方程，解方程即可得.【詳解】由題意得，解得：x=-2，故答案為：-2.本題考查了平均數，熟練掌握平均數的計算公式是解題的關鍵.13、【解析】

根據題意和函數圖象中的數據可以列出相應的方程組，從而可以求得甲、乙兩車的速度和乙到達B地時的時間，再根據函數圖象即可求得乙車從A地出發(fā)到返回A地需的時間．【詳解】解：如圖，設甲車的速度為a千米/小時，乙的速度為b千米/小時，甲乙第一相遇之后在c小時，相距200千米，則，解得：，∴乙車從A地出發(fā)到返回A地需要：（小時）；故答案為：本題考查函數圖象，解三元一次方程組，解答本題的明確題意，利用數形結合的思想解答．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）圖見詳解；（1）圖見詳解．【解析】

（1）將點A、B、C分別向左平移6個單位長度，得出對應點，即可得出△A1B1C1；

（1）將點A、B、C分別繞點O按逆時針方向旋轉180°，得出對應點，即可得出△A1B1C1．【詳解】解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；

（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求．此題主要考查了圖形的平移和旋轉，根據已知得出對應點位置是解題關鍵．15、（1）1萬元（2）共有5種進貨方案（3）購買A款汽車6輛，B款汽車1輛時對公司更有利【解析】分析：（1）求單價，總價明顯，應根據數量來列等量關系．等量關系為：今年的銷售數量=去年的銷售數量．（2）關系式為：公司預計用不多于2萬元且不少于11萬元的資金購進這兩款汽車共15輛．（3）方案獲利相同，說明與所設的未知數無關，讓未知數x的系數為0即可；多進B款汽車對公司更有利，因為A款汽車每輛進價為7.5萬元，B款汽車每輛進價為6萬元，所以要多進B款．詳解：（1）設今年5月份A款汽車每輛售價m萬元．則：，解得：m=1．經檢驗，m=1是原方程的根且符合題意．答：今年5月份A款汽車每輛售價1萬元；（2）設購進A款汽車x輛，則購進B款汽車（15﹣x）輛，根據題意得：11≤7.5x+6（15﹣x）≤2．解得：6≤x≤3．∵x的正整數解為6，7，8，1，3，∴共有5種進貨方案；（3）設總獲利為W萬元，購進A款汽車x輛，則：W=（1﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．當a=0.5時，（2）中所有方案獲利相同．此時，購買A款汽車6輛，B款汽車1輛時對公司更有利．點睛：本題考查了分式方程和一元一次不等式組的綜合應用，找到合適的等量關系及不等關系是解決問題的關鍵．16、（1）（0，3）；（2）y=1【解析】

（1）在Rt△AOB中，由勾股定理得到OB=3，即可得出點B的坐標；（2）由SΔABC=12BC?OA，得到BC=4，進而得到C（0，-1）．設l2的解析式為y=kx+b，把A（2，0），C（0，-1【詳解】（1）在Rt△AOB中，∵OA∴22∴OB=3，∴點B的坐標是（0，3）．（2）∵SΔABC=12∴12BC×2=4∴BC=4，∴C（0，-1）．設l2的解析式為y=kx+b，把A（2，0），C（0，-1）代入得：2k+b=0b=-1∴k=1∴l(xiāng)2的解析式為是y=考點：一次函數的性質．17、（1）證明見解析；（2）成立.證明見解析；（3）(1)成立；(2)不成立【解析】

（1）從平行線和中點這兩個條件出發(fā)，延長AE、BC交于點N，如圖1（1），易證△ADE≌△NCE，從而有AD=CN，只需證明AM=NM即可．（2）作FA⊥AE交CB的延長線于點F，易證AM=FM，只需證明FB=DE即可；要證FB=DE，只需證明它們所在的兩個三角形全等即可．（3）在圖2（1）中，仿照（1）中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立；在圖2（2）中，采用反證法，并仿照（2）中的證明思路即可證到AM=DE+BM不成立．【詳解】解：（1）證明：延長AE、BC交于點N，如圖1（1），∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠ENC．∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．∴∠ENC=∠MAE．∴MA=MN．∴△ADE≌△NCE（AAS）∴AD=NC．∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．（2）AM=DE+BM成立．證明：過點A作AF⊥AE，交CB的延長線于點F，如圖1（2）所示．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．∴△ABF≌△ADE（ASA）．∴BF=DE，∠F=∠AED．∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE．∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM．∴∠F=∠FAM．∴AM=FM．∴AM=FB+BM=DE+BM．（3）①結論AM=AD+MC仍然成立．證明：延長AE、BC交于點P，如圖2（1），∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠EPC．∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．∴∠EPC=∠MAE．∴MA=MP．∴△ADE≌△PCE（AAS）．∴AD=PC．∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．②結論AM=DE+BM不成立．證明：假設AM=DE+BM成立．過點A作AQ⊥AE，交CB的延長線于點Q，如圖2（2）所示．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．∵AQ⊥AE，∴∠QAE=90°．∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．∴∠Q=90°﹣∠QAB=90°﹣∠DAE=∠AED．∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE．∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠QAB∴∠Q=∠QAM．∴AM=QM．∴AM=QB+BM．∵AM=DE+BM，∴QB=DE．∴△ABQ≌△ADE（AAS）∴AB=AD．與條件“AB≠AD“矛盾，故假設不成立．∴AM=DE+BM不成立．本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形和矩形的性質，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的判定，平行線的性質，角平分線的定義等，考查了基本的模型構造：平行和中點構造全等三角形.有較強的綜合性.18、（1）；（2）－－.【解析】【分析】（1）根據同分母分式加減法的法則進行計算即可得；（2）利用多項式乘多項式的法則進行展開，然后再合并同類二次根式即可得.【詳解】（1）＝＝；（2）原式＝－＋－＝－－.【點睛】本題考查了分式的加減法、二次根式的混合運算，熟練掌握同分母分式加減法法則、二次根式混合運算的運算法則是解題的關鍵.一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、(0，-3)．【解析】

令x=0，求出y的值即可得出結論．【詳解】解:當x=0時，y=-3∴一次函數的圖象與y軸的交點坐標是(0,-3)．故答案為：(0，-3)．本題考查的是一次函數圖形上點的特征，熟知一次函數圖象與坐標軸交點的算法是解答此題的關鍵．20、【解析】

問題中的“正數”是關鍵詞語,將它轉化為數學符號即可.【詳解】題中“x的5倍加上1”表示為:“正數”就是的5倍加上1是正數，可列出不等式：故答案為：.用不等式表示不等關系是研究不等式的基礎,在表示時,一定要抓住關鍵詞語,弄清不等關系,把文字語言和不等關系轉化為用數學符號表示的不等式.21、10%．【解析】

設平均每次降價的百分率為，那么第一次降價后的售價是原來的，那么第二次降價后的售價是原來的，根據題意列方程解答即可.【詳解】設平均每次降價的百分率為，根據題意列方程得，，解得，（不符合題意，舍去），答：這個百分率是.故答案為.本題考查一元二次方程的應用，要掌握求平均變化率的方法.若設變化前的量為，變化后的量為，平均變化率為，則經過兩次變化后的數量關系為.22、＞．【解析】

依據k＝﹣8＜0，可得此函數在每個象限內，y隨x的增大而增大，根據反比例函數的性質可以判斷y1與y2的大小關系．【詳解】∵y＝﹣8x∴此函數在每個象限內，y隨x的增大而增大，∵A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）都在反比例函數y＝﹣8x的圖象上，﹣2＞﹣3∴y1＞y2，故答案為＞．題考查了反比例函數的圖像與性質，反比例函數y=kx(k是常數，k≠0)的圖像是雙曲線，當k＞0，反比例函數圖象的兩個分支在第一、三象限,在每一象限內，y隨x的增大而減小；當k＜0，反比例函數圖象的兩個分支在第二、四象限,在每一