2025屆佛山市重點中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆佛山市重點中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知A（3，2），點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點P的坐標為（）A.（0，0） B.（2，2）C. D.2．已知兩個向量，若，則的值為（）A. B.C.2 D.83．設(shè)雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線C上，若線段的中點在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A B.2C. D.4．若數(shù)列滿足，則的值為（）A.2 B.C. D.5．已知定義在上的函數(shù)滿足下列三個條件：①當時，；②的圖象關(guān)于軸對稱；③，都有.則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.6．設(shè)圓：和圓：交于A，B兩點，則線段AB所在直線的方程為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線的右焦點為F,雙曲線C的右支上有一點P滿是(點O為坐標原點),那么雙曲線C的離心率為()A. B.C. D.8．已知是等比數(shù)列，則（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列9．若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.10．已知公差為的等差數(shù)列滿足，則（）A B.C. D.11．已知點是橢圓上的一點，點，則的最小值為A. B.C. D.12．下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)滿足，且，則的最小值為___________.14．已知數(shù)列滿足，定義使（）為整數(shù)的k叫做“幸福數(shù)”，則區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為_____15．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來1524石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為_______石16．設(shè)函數(shù)，，對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，離心率分別為左右焦點，橢圓上一點滿足，且的面積為1.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作斜率為的直線交橢圓于兩點.過點且平行于的直線交橢圓于點，證明：為定值.18．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最值.19．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，O為底面正方形ABCD對角線的交點，E為PD的中點，且PA=AD.（1）求證：PB∥平面EAC；（2）求直線BD與平面EAC所成角的正弦值.20．（12分）如圖，四邊形是某半圓柱的軸截面（過上下底面圓心連線的截面），線段是該半圓柱的一條母線，點為線的中點（1）證明：；（2）若，且點到平面的距離為1，求線段的長21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，是的中點，，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）橢圓的離心率為，設(shè)為坐標原點，為橢圓的左頂點，動直線過線段的中點，且與橢圓相交于、兩點．已知當直線的傾斜角為時，（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點，且點總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)點P到準線的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，即可根據(jù)點到直線的距離最短求出【詳解】如圖所示：設(shè)點P到準線的距離為，準線方程為，所以，當且僅當點為與拋物線的交點時，取得最小值，此時點P的坐標為故選：B2、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標運算計算即可.【詳解】因為，所以，即，解得.故選：B3、A【解析】根據(jù)是等腰直角三角形，再表示出的長，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】線段的中點在y軸上,設(shè)的中點為M，因為O為的中點，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.4、C【解析】通過列舉得到數(shù)列具有周期性，，所以.詳解】，同理可得：，可得，則.故選:C.5、A【解析】推導(dǎo)出函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合已知條件可得出，，，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在上為減函數(shù)，由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則，故，，又因為，都有，所以，，所以，，，，因為當時，，，當且僅當時，等號成立，且不恒為零，故函數(shù)在上為減函數(shù)，因為，則，故.故選：A.6、A【解析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線的方程.【詳解】設(shè)，因為圓：①和圓：②交于A，B兩點所以由①-②得：,即，故坐標滿足方程，又過AB的直線唯一確定，即直線的方程為.故選：A7、D【解析】分析焦點三角形即可【詳解】如圖,設(shè)左焦點為,因為,所以不妨設(shè),則離心率故選:D8、B【解析】取，可判斷AC選項；利用等比數(shù)列的定義可判斷B選項；取可判斷D選項.【詳解】若，則、無意義，A錯C錯；設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，（常數(shù)），故數(shù)列是等比數(shù)列，B對；取，則，數(shù)列為等比數(shù)列，因為，，，且，所以，數(shù)列不是等比數(shù)列，D錯.故選：B.9、D【解析】對選項A，令即可檢驗；對選項B，令即可檢驗；對選項C，令即可檢驗；對選項D，設(shè)出等差數(shù)列的首項和公比，然后作差即可.【詳解】若，則可得：，故選項A錯誤；若，則可得：，故選項B錯誤；若，則可得：，故選項C錯誤；不妨設(shè)的首項為，公差為，則有：則有：，故選項D正確故選：D10、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和，即可得到答案.【詳解】∵數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，∴，∴.故選：C11、D【解析】設(shè)，則，.所以當時，的最小值為.故選D.12、C【解析】焦點在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點：1．雙曲線的標準方程；2．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】化簡得出，由化簡后根據(jù)均值不等式建立不等式，求解二次不等式即可得解.【詳解】，由得：，（當且僅當時取等號），所以的最小值為6.故答案為：614、2036【解析】先用換底公式化簡之后，將表示出來，找出滿足條件的“幸福數(shù)”，然后求和即可.【詳解】當時，，所以，若滿足正整數(shù)，則，即，所以在內(nèi)的所有“幸福數(shù)”的和為：,故答案為：2036.15、168石【解析】由題意，得這批米內(nèi)夾谷約為石考點：用樣本估計總體16、【解析】首先求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，然后分離參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求最值即可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】∵在上恒成立，∴當時，取最大值1，∵對任意的，都有成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，則，，∵在上恒成立，∴在上為減函數(shù)，∵當時，，故當時，取最大值1，故，故答案為【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，難度中檔三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）方法一：根據(jù)離心率以及，可得出，將條件轉(zhuǎn)化為點在以為直徑的圓上，即為圓與橢圓的交點，將的面積用表示，求出，進而求出橢圓的標準方程；方法二：根據(jù)橢圓的定義，，再根據(jù)勾股定理和直角三角形的面積公式，即可解得，又由離心率求出，則可求出橢圓的標準方程；（2）設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達定理表示出，再將直線的方程代入橢圓方程，求出，則為定值.【小問1詳解】方法一：由離心率，得：，所以橢圓上一點，滿足，所以點為圓：與橢圓的交點，聯(lián)立方程組解得所以，解得：，所以橢圓的標準方程為：.方法二：由橢圓定義；，因為，所以，得到：，即，又，得所以橢圓C的標準方程為：；【小問2詳解】設(shè)直線AB的方程為：.得設(shè)過點且平行于的直線方程：.18、（1）（2）最小值為0，最大值為4【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程.（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最值.【小問1詳解】，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用線面平行的判斷定理，證明線線平行，即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.【小問1詳解】連結(jié)EO，由題意可得O為BD的中點，又E是PD的中點，∴PB∥EO，又∵EO平面EAC，PB平面EAC，∴PB∥平面EAC；【小問2詳解】如圖，以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)AD=2，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，∴=(-2，2，0)，=(0，1，1)，=(2，2，0)，設(shè)平面EAC的法向量為=(x，y，z)，則，即，即，令y=1得x=-1，z=-1，∴平面EAC的一個法向量為=(-1，1，-1)，∴設(shè)直線BD與平面EAC所成的角為θ，則sinθ=∴直線BD與平面EAC所成的角的正弦值.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）先證明，，利用判定定理證明平面，從而得到；（2）設(shè)，利用等體積法，由由，解出a.【詳解】（1）證明：由題意可知平面，平面∴∵所對為半圓直徑∴∴和是平面內(nèi)兩條相交直線∴平面平面∴（2）設(shè)，因為，且所以，設(shè)，在等腰直角三角形中，取BC的中點E,連結(jié)AE,則，取BC1的中點為P，連結(jié)DP，∵，∴，又為的中點，∴,∴，即的高為∴，∵，且∴平面，∵平面，且即到平面的距離為1，而由，即解得：，即.【點睛】立體幾何解答題(1)第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；(2)第二問是計算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離）.如果求體積，常用的方法有：(1)直接法；(2)等體積法；(3)補形法；(4)向量法.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，分別求出向量和，證明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，則直線與平面所成角的正弦值即為.【小問1詳解】證明：∵，，∴△≌△,∴,設(shè)，在△中，由余弦定理得，即，則,即，，連接交于點，分別以，為軸、軸，過作軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，，的中點，則，，∵，∴.【小問2詳解】由（1）可知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，即，則，記直線與平面所成角為，.22、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解析】（1）分析可知，，直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可求得的值，即可得出橢圓的標準方程；（2）設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出點、，由已知得出，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因為，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點，則點，當直線的傾斜角為時，直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：易知點，若直線與軸重合，則、