專題3.4乘法公式（學(xué)生版）

專題3.4乘法公式1、學(xué)會(huì)利用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算；2、掌握完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用；3、掌握整式的混合運(yùn)算；知識(shí)點(diǎn)01運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. 特別說(shuō)明：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見(jiàn)的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號(hào)變化：如（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如【典型例題】例1．（2022秋·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤绻粋€(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如，，即8，16均為“和諧數(shù)”），在不超過(guò)100的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（

）A．614 B．624 C．634 D．642例2．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，則m=______，n=______．例3．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖①，從邊長(zhǎng)為的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，將陰影部分沿線剪開(kāi)，如圖所示，拼成圖②的長(zhǎng)方形．(1)【探究】①請(qǐng)你分別表示出這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積__________；__________；②比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：____________________（用字母表示）；(2)【應(yīng)用】請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成計(jì)算：．【即學(xué)即練】1．（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．2．（2021春·江蘇泰州·七年級(jí)?？计谥校┤绻粋€(gè)數(shù)等于兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么我們稱這個(gè)數(shù)為“和融數(shù)”，如：因?yàn)?，所以稱20為“和融數(shù)”，下面4個(gè)數(shù)中為“和融數(shù)”的是（

）．A．2018 B．2019 C．2020 D．20213．（2023秋·新疆烏魯木齊·八年級(jí)校考期末）小麗在計(jì)算時(shí)，把3寫成后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算．用類似的方法計(jì)算：___________．4．（2021春·浙江寧波·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：______．5．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）比較左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式______．（用式子表達(dá)）（2）運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算下列各題：①②知識(shí)點(diǎn)02運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.特別說(shuō)明：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：添括號(hào)法則添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).特別說(shuō)明：添括號(hào)與去括號(hào)是互逆的，符號(hào)的變化也是一致的，可以用去括號(hào)法則檢查添括號(hào)是否正確.補(bǔ)充公式；；；.【典型例題】例1．（2023秋·山西朔州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．例2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，則__________．例3．（2023秋·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【即學(xué)即練】1．（重慶市綦江區(qū)20222023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022春·廣西·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·福建寧德·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，，則_______．4．（2022秋·廣西南寧·九年級(jí)三美學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知，求代數(shù)式的值．”可以這樣解：．根據(jù)閱讀材料，解決問(wèn)題：若是關(guān)于的一元一次方程的解，則代數(shù)式的值是_____．5．（2022春·江蘇常州·七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┪覀冎?，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例：如圖①可以得到．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式；(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知，求的值；(3)小明同學(xué)又用張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)為的長(zhǎng)方形紙片拼出了一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，求的值．知識(shí)點(diǎn)03完全平方公式在幾何圖形中應(yīng)用【典型例題】例1．（2022春·浙江寧波·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在一塊邊長(zhǎng)為的正方形花圃中，兩縱兩橫的4條寬度為的人行道把花圃分成9塊，下面是四個(gè)計(jì)算種花土地總面積的代數(shù)式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的有（

）A．（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（4）例2．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，則每個(gè)小長(zhǎng)方形的寬為_(kāi)_____，然后用四個(gè)小長(zhǎng)方形拼成如圖2所示的正方形，則圖中陰影正方形的面積為_(kāi)_____．例3．（2021春·四川成都·七年級(jí)?？计谥校┌褞讉€(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，也可以求出一些圖形的面積．例如，由圖1，可得等式：．(1)如圖2，將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，試用不同的形式表示這個(gè)大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？，請(qǐng)用等式表示出來(lái)．(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知，，求的值．【即學(xué)即練】1．（2021春·浙江溫州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將四個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的小長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法表示這個(gè)大正方形的面積，則可以得出一個(gè)等式為（

）A． B．C． D．2．（2022秋·河南鄭州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，麥麥用9張A類正方形卡片、1張B類正方形卡片和6張C類長(zhǎng)方形卡片，拼成了一個(gè)大正方形，拼成的大正方形的邊長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．3．（2021春·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖（1）是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線剪開(kāi)，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖（2）那樣拼成一個(gè)正方形，中間空余部分的面積是16，若a＝b，則原長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．4．（2022秋·河北保定·九年級(jí)保定市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）4張長(zhǎng)為a、寬為b（）的長(zhǎng)方形紙片，按如圖的方式拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為（）的正方形，圖中空白部分的面積為，陰影部分的面積為．（1）若，，則__________．（2）若，求a與b滿足關(guān)系：_________．5．（2022春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期中）圖（1）是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形．然后按圖（2）的形狀拼成一個(gè)正方形．(1)你認(rèn)為圖（2）中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)是________（用、表示）；(2)請(qǐng)用兩種不同的方法表示出圖（2）中陰影部分的面積：①：________，②：________；(3)觀察圖（2），請(qǐng)寫出、、之間的一個(gè)等量關(guān)系________；(4)根據(jù)（3）中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若，，求的值．知識(shí)點(diǎn)04整式的混合運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算，也是遵循四則運(yùn)算法則的，記得結(jié)果要化簡(jiǎn)；【典型例題】例1．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．例2．（2023秋·安徽宣城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若?，則?___________．例3．（2022秋·廣西南寧·九年級(jí)三美學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【即學(xué)即練】1．（2022秋·河南信陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）小明化簡(jiǎn)的過(guò)程如下：解:…①…②…③…④在化簡(jiǎn)過(guò)程中，他是從第（

）步開(kāi)始出錯(cuò)的？A．① B．② C．③ D．④2．（2022春·甘肅蘭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）為了求的值，可令，則，因此，所以．仿照以上推理計(jì)算出的值是（

）A． B． C． D．3．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為、，且滿足，，圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．4．（2022春·浙江紹興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則代數(shù)式______．5．（2023秋·廣東湛江·八年級(jí)?？计谀┮阎恼归_(kāi)式中不含x項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是．(1)求m、n的值：(2)當(dāng)m、n取第（1）小題的值時(shí)，先化簡(jiǎn)，再求值：．題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（2022秋·江西南昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┮阎峭耆椒绞?，則常數(shù)可以?。?/p>

）A．1 B．1 C． D．23．（2023秋·河北唐山·八年級(jí)?？计谀┤簦瑒t（

）A． B．14 C．7 D．4．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）為了運(yùn)用平方差公式計(jì)算，下列變形正確的是（）A． B．C． D．5．（2023秋·江西宜春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知多項(xiàng)式是完全平方式，則_________．6．（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，，則＝_____．7．（2021秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）請(qǐng)你觀察圖形，不再添加輔助線，依據(jù)圖形面積之間的關(guān)系，便可得到一個(gè)非常熟悉的公式，寫出這個(gè)公式______．8．（2023秋·河北保定·八年級(jí)?？计谀┈F(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的長(zhǎng)方形紙片（邊長(zhǎng)如圖）．（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為_(kāi)____________；（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片9塊，還需取丙紙片___塊．9．（2021秋·四川資陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．10．（2022秋·上?！て吣昙?jí)上海市建平中學(xué)西校?？计谥校┯贸朔ü胶?jiǎn)便計(jì)算：題組B能力提升練1．（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B．1 C．11 D．40272．（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知，，則的值為（

）A．5 B．25 C．37 D．63．（2023秋·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，把余下的部分剪成一個(gè)長(zhǎng)方形，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形（陰影部分、從左圖到右圖）的面積，驗(yàn)證的公式為（

）A． B．C． D．4．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，，在下列判斷結(jié)果正確是（

）．A． B． C． D．無(wú)法判斷5．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┮阎瑒t___________．6．（2022秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為a、b，如果，則陰影部分的面積為_(kāi)___．7．（2023秋·四川內(nèi)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們經(jīng)常利用完全平方公式以及變形公式進(jìn)行代數(shù)式變形．已知關(guān)于a的代數(shù)式，請(qǐng)結(jié)合你所學(xué)知識(shí)，判斷下列說(shuō)法：①當(dāng)時(shí)，；②無(wú)論a取任何實(shí)數(shù)，不等式恒成立；③若，則；正確的有______．8．（2022秋·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》（1261年）一書中，用圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，我們稱這個(gè)三角形為“楊輝三角”．這個(gè)三角形給出了的展開(kāi)式（按的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．根據(jù)上面的規(guī)律，請(qǐng)寫出的第三項(xiàng)：___________．9．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)；(2)．10．（2023秋·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問(wèn)題：(1)根據(jù)圖中條件，用兩種方法表示陰影圖形的面積的和（只需表示，不必化簡(jiǎn)）①________________②________________；(2)由（1）你能得到怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)用式子表示：________________(3)如果圖中的滿足.求：①的值②的值題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末），為實(shí)數(shù)，整式的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·廣東湛江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）現(xiàn)有甲，乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長(zhǎng)如圖）（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為_(kāi)_____．（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片9塊，還需取丙紙片______塊．A．和6 B．和5 C．和4 D．和33．（2023秋·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若，，，……，是2022個(gè)由1和組成的數(shù)，且滿足，則的值為（

）A．2122 B．2422 C．3844 D．42444．（2022秋·重慶江津·九年級(jí)?？计谥校┰O(shè)a，b是有理數(shù)，定義運(yùn)算，例如：，，．下列結(jié)論：①；②；③m，n為有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，則；④x，y為有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，則；⑤設(shè)，，則．其中所有正確的結(jié)論有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)5．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：，則__________．6．（2021秋·浙江·九年級(jí)自主招生）若是完全平方式，與的乘積中不含x的一次項(xiàng)，則的值為_(kāi)_________．7．（2022秋·天津?yàn)I海新·八年級(jí)?？计谀┮阎?，則______．8．（2022春·福建三明·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，則A－2022的末位數(shù)字是________．9．（2