特訓(xùn)06期中選填壓軸題（題型歸納）

特訓(xùn)06期中選填壓軸題（題型歸納）一、單選題1．如圖，分別以的直角邊，斜邊為邊向外作等邊和等邊，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，，．則以下結(jié)論：①；②四邊形為平行四邊形；③，其中正確的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】由平行四邊形的判定定理判斷②正確，再由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)判斷①正確，然后由三角形三邊關(guān)系判斷③錯(cuò)誤，即可得出結(jié)論．【解析】解：，，，，是等邊三角形，，，，為的中點(diǎn)，，，，四邊形為平行四邊形，故②正確；四邊形為平行四邊形，，又，，故①正確；和都是等邊三角形，，，，，，故③錯(cuò)誤；其中正確的有2個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、含直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證明四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．2．如圖，分別以的斜邊、直角邊為邊向外作等邊和等邊，為的中點(diǎn)，連接、，與相交于點(diǎn)，若，下列結(jié)論：①；②四邊形為平行四邊形；③；④．其中正確結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】首先證明Rt△ADF≌Rt△BAC，結(jié)合已知得到AE=DF，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到DFAE，由一組對(duì)邊平行且相等可得四邊形ADFE是平行四邊形，故②正確；由∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，可得∠AHE=90°，故①正確；由2AG=AF可知③正確；在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，可證Rt△DBF≌Rt△EFA，故④正確．【解析】解：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°．∵F是AB的中點(diǎn)，∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=AB．∴AD=2AF．∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴BC=AB，∴AF=BF=BC．在Rt△ADF和Rt△BAC中，AD＝BA，AF＝BC，∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL），∴DF=AC，∴AE=DF．∵∠BAC=30°，∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°，∴∠DFA=∠EAB，∴DFAE，∴四邊形ADFE是平行四邊形，故②正確；∴AD=EF，ADEF，設(shè)AC交EF于點(diǎn)H，∴∠DAC=∠AHE．∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，∴∠AHE=90°，∴EF⊥AC．①正確；∵四邊形ADFE是平行四邊形，∴2GF=2GA=AF．∴AD=4AG．故③正確．在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，∴Rt△DBF≌Rt△EFA（HL）．故④正確，綜上，①②③④都正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握上述性質(zhì)、定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，，，將沿AC所在直線翻折180°到其原來(lái)所在的同一平面內(nèi)，若點(diǎn)B的落點(diǎn)記為，恰好，若點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，則的最短距離是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)，可得，，，由和，可得，由平行四邊形和折疊的性質(zhì)可求得，連接，易知是等邊三角形，繼而可得，然后根據(jù)平行四邊形和折疊的性質(zhì)可求得，利用勾股定理可求得，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，最短，然后根據(jù)勾股定理即可求得答案.【解析】解：由折疊的性質(zhì)，可得：，，，∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，∴，∴，如圖，連接，作，∴是等邊三角形，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，在中，，∴，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，最短，在中，，，∴，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短等，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.4．如圖，在平行四邊形ABCD中，分別以AB?AD為邊向外作等邊△ABE?△ADF，延長(zhǎng)CB交AE于點(diǎn)G，點(diǎn)G在點(diǎn)A?E之間，連接CE?CF?EF，則以下四個(gè)結(jié)論：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等邊三角形；④CG⊥AE．一定正確的有（

）個(gè)A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，對(duì)選項(xiàng)一一求證，判定正確選項(xiàng)．【解析】解：在?ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，∵△ABE、△ADF都是等邊三角形，∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，∴DF=BC，CD=BC，∴∠CDF=360°∠ADC60°=300°∠ADC，∠EBC=360°∠ABC60°=300°∠ABC，∴∠CDF=∠EBC，在△CDF和△EBC中，DF=BC，∠CDF=∠EBC，CD=EB，∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正確；在?ABCD中，∠DAB=180°∠ADC，∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°∠ADC+60°+60°=300°∠ADC，∴∠CDF=∠EAF，故②正確；同理可證△CDF≌△EAF，∴EF=CF，∵△CDF≌△EBC，∴CE=CF，∴EC=CF=EF，∴△ECF是等邊三角形，故③正確；當(dāng)CG⊥AE時(shí)，∵△ABE是等邊三角形，∴∠ABG=30°，∴∠ABC=180°30°=150°，∵∠ABC=150°無(wú)法求出，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的結(jié)論有①②③．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC，M是AC中點(diǎn)，CN＝2BN，BM交AN于O，BM交AH于I，若，則下面結(jié)論正確的是（）①∠CAH＝∠ABC；②；③AO＝3NO；④．A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】①證明∠ABC與∠CAH都是∠BAH的余角，便可判斷①的正誤；②設(shè)AN的中點(diǎn)為E，連接EM，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，，證明ME=BN，再證明△OBN≌△OME，得OE=ON，進(jìn)而得AN=4ON，再由等高的三角形的面積比等于底邊之比求得△ABO的面積，便可判斷②的正誤；③由②得OE=ON，AE=EN得AO與ON的關(guān)系，便可判斷③的正誤；④過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BC，與BM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，證明△AMI≌△CMF，得AI=CF，當(dāng)H不是BC的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，便可判斷④的正誤．【解析】解：①∵∠BAC=90°，AH⊥BC，∴∠ABC+∠BAH=∠BAH+∠CAH=90°，∴∠CAH=∠ABC，故①正確；②設(shè)AN的中點(diǎn)為E，連接EM，∵M(jìn)是AC中點(diǎn)，E是AN的中點(diǎn)，∴ME是△ACN的中位線，∴，∵CN=2BN，∴ME=BN，∵，∴∠OBN=∠OME，∵∠BON=∠MOE，∴△OBN≌△OME（AAS），∴ON=OE，∵AE=EN，∴AN=4ON，∴，∵，∴，∴，故②正確；③∵AE=EN，OE=ON，∴AO=3NO，故③正確；④過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BC，與BM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，又∵AH⊥BC，∴∴∠AIM=∠F，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴AM=CM，∵∠AMI=∠CMF，∴△AMI≌△CMF（AAS），∴AI=CF，∵，當(dāng)H不是BC的中點(diǎn)時(shí)，，∴，故④錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的中位線定理，三角形的面積，關(guān)鍵在于構(gòu)造全等三角形．6．如圖，的對(duì)角線、相交于點(diǎn)E，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交于點(diǎn)G，連接、，若的面積為24，則的面積為（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】利用平行四邊形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，可得，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，由于點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以為的中位線，可得，且；利用可得，進(jìn)而得出；利用高相等的三角形的面積比等于它們底的比可得；利用，可得，利用，可得，答案可得．【解析】解：四邊形是平行四邊形，，，是的中位線，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，在和中，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)，三角形的面積，三角形全等的判定與性質(zhì)，利用高相等的三角形的面積比等于它們底的比是解題的關(guān)鍵．7．如圖，正方形中，為上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于，為垂足，交正方形的兩邊于、，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【分析】①過(guò)N作，則，先證明△BSN是等腰直角三角形，得出，再由，證明，得出，證出，即可得出；②，是等腰直角三角形，，即可得出；③假設(shè)成立，證明，得出，可判斷③不一定成立；④過(guò)P作的平行線交于K，證出，，即可得出結(jié)論．【解析】解：①正確；過(guò)N作分別交、于S、T，則，∵四邊形是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)N，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確；由①得：，是等腰直角三角形，，∴，故②正確；∵，，∴，若，則．∵，∴，∴，顯然不一定成立，故③錯(cuò)誤；過(guò)P作的平行線交于K，∴．∵垂直平，∴，∵，∴，∴，作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，則，由①得：，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴，故④正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是需要通過(guò)作輔助線證明三角形全等．8．如圖，在正方形紙片中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，折疊正方形紙片，使落在上，點(diǎn)恰好與上的點(diǎn)重合，展開后，折疊分別交，于，，連接，下列結(jié)論：①②③④四邊形是菱形，正確的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)得出，，再由三角形的內(nèi)角和求出．故①正確；由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)，判斷出四邊形是平行四邊形，再由，得出四邊形是菱形．利用的直角三角形，由勾股定理得出，，得出，故②④正確；由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)，得到，所以，故③錯(cuò)誤．【解析】解：由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)得出，，，故①正確；由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)得出，，，，，，，又，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．在中，，在中，，，故②④正確．由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)知，，，，在和中，，，故③錯(cuò)誤．綜上可知，①②④正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題，菱形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)D形折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等．9．如圖，在一張矩形紙片中，，，點(diǎn)，分別在，邊上，將紙片沿直線折疊，點(diǎn)落在上的一點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，有以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形是菱形；②平分；③線段的取值范圍為；④當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)A重合時(shí)，．以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；②根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角線可得，然后求出只有時(shí)平分，判斷出②錯(cuò)誤；③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)，表示出，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，，求出，然后寫出的取值范圍，判斷出③正確；④過(guò)點(diǎn)F作于M，求出，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確．【解析】解：①∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，故①正確；②∴∴只有時(shí)，平分，故②錯(cuò)誤；③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)，則，在中，，即，解得，點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，，∴，∴線段的取值范圍為，故③正確；過(guò)點(diǎn)F作于M，則，由勾股定理得，，故④正確；綜上所述，結(jié)論正確的有①③④共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊問(wèn)題與菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理和性質(zhì)定理、勾股定理是解本題的關(guān)鍵．10．如圖，在正方形中，以為邊作等邊三角形，連接，，，則下列結(jié)論：①；②；③和的面積比為；④．其中結(jié)論正確的序號(hào)有（）A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，故①正確；利用證明，可判斷②，由三角形的面積公式可得，，可得和的面積比為，故③正確；由直角三角形的性質(zhì)可得，可得，故④正確，即可求解．【解析】解：∵四邊形是正方形，是等邊三角形，∴，∴，∴，故①正確；∵，∴，故②正確；過(guò)點(diǎn)P作于H，于G，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于N，如圖所示：∵是等邊三角形，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，，∴和的面積比為，故③正確；∵，∴，∴，∵，∴，∴，故④正確，綜上所述：①②③④．故選：D．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與適當(dāng)作輔助線是解答此題的關(guān)鍵．11．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊CD上，且CE=1，連接AE，點(diǎn)F在邊AD上，連接BF，把△ABF沿BF翻折，點(diǎn)A恰好落在AE上的點(diǎn)G處，下列結(jié)論：①AE=BF；②AD=2DF；③=6：④GE=0.2，其中正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明△ABF△DAE，即可判斷①和②，再根據(jù)面積法求出AH長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出FH，即可判斷③，根據(jù)AE和AG的長(zhǎng)度，求出GE的長(zhǎng)，即可判斷④．【解析】解：∵四邊形ABCD為正方形∴AB=AD=CD=4，∠BAD=∠D=90o∵CE=1∴DE=3由折疊的性質(zhì)可知，△ABF△GBF，BF垂直平分AG∴BF⊥AE，AH=GH∴∠BAH+∠ABH=∵∠FAH+∠BAH=∴∠ABH=∠FAH在△ABF和△DAE中∴△ABF△DAE（ASA）∴AF=DE=3，BF=AE故①正確；∵DF=ADAF=43=1∴AD=4DF故②錯(cuò)誤；在Rt△ABF中，BF=，∴∵∴4×3=5AH∴AH=∴AG=2AH=，F(xiàn)H==∴③錯(cuò)誤；∵AE=BF=5∴GE=AE=AG=5=④正確；綜上，正確結(jié)論是①④故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了在正方形背景下的全等和翻折，掌握正方形和翻折的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，翻折總結(jié)：翻折得全等、得軸對(duì)稱．12．如下圖，在菱形中，，，過(guò)菱形的對(duì)稱中心分別作邊，的垂線，交各邊于點(diǎn)，，，，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明是等邊三角形，求出EF，同理可證都是等邊三角形，然后求出EH，GF，F(xiàn)G即可．【解析】解：如圖，連接BD，AC，∵四邊形ABCD是菱形，，∴，，∴，∴，∵，∴，在中，，，∵在和中，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，同法可證，都是等邊三角形，∴，，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．13．如圖，菱形ABCD中∠ABC＝60°，ΔABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM，則下列五個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（

）①△AMB≌△ENB；②若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則AM＋CM的最小值2；③連接AN，則AN⊥BE；④當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時(shí)，菱形ABCD的面積也為．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①根據(jù)菱形的性質(zhì)，運(yùn)用“SAS”證明即可；②根據(jù)菱形性質(zhì)可得A與C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱，可知AM+CM最小為AC長(zhǎng)；③先假設(shè)AN⊥BE，而后逆推即可判斷；④根據(jù)圖形特征得出當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于F，在Rt△EFC中利用勾股定理求解，繼而求得菱形的面積即可判斷④．【解析】解①∵△ABE是等邊三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．∵∠MBN=60°，∴∠MBN∠ABN=∠ABE∠ABN．即∠MBA=∠NBE．又∵M(jìn)B=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS），故①正確；②連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，BD⊥AC，AO=CO．∴點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于直線BD對(duì)稱，∴當(dāng)M點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，AM+CM的值最小為AC的值．∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=2．即AM+CM的值最小為2，故②正確；③假設(shè)AN⊥BE，且AE=AB，∴AN是BE的垂直平分線，∴EN=BN=BM=MA，∴M點(diǎn)與O點(diǎn)重合，∵條件沒(méi)有確定M點(diǎn)與O點(diǎn)重合，故③錯(cuò)誤；④如圖，連接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN，∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等邊三角形，∴BM=MN，∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短，∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)．過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，∴∠EBF=180°﹣120°=60°，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，∴BF=，EF=，在Rt△EFC中，∵，∴，解得x=2，，∴菱形的面積為，故④不正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱求最值以及勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．14．如圖，菱形中，與交于點(diǎn)O，，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，使得，連接，分別交、于點(diǎn)F、G，連接，，則下列結(jié)論：①；②；③四邊形與四邊形的面積相等；④由點(diǎn)、、、構(gòu)成的四邊形是菱形．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)及，并結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，最后利用平行線的性質(zhì)可得，故結(jié)論①正確；由菱形的性質(zhì)可得，再證明，得到，最后利用中位線定理可得，故結(jié)論②正確；根據(jù)可得，再根據(jù)可得，所以四邊形與四邊形面積相等，故結(jié)論③正確；先證明四邊形是平行四邊形，再證明是等邊三角形，得到，最后利用菱形的判定可證明四邊形是菱形，故結(jié)論④正確．【解析】解：∵四邊形是菱形，∴，，，，，∴，∴，∴，∴，故結(jié)論①正確；∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴是的中位線，∴，故結(jié)論②正確；∵，，∴，，∴四邊形與四邊形面積相等，故結(jié)論③正確；∵，∴，又∵，即，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是菱形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴四邊形是菱形，故結(jié)論④正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，菱形ABCD中，，AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接BE，分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連接OG，則下列結(jié)論：①；②；③由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形；④，其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】①由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，證出OG是△ABD的中位線，得出OG=AB，①正確；③先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出△ABD、△BCD是等邊三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四邊形ABDE是菱形，③正確；②連接FD，由等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得F到△ABD三邊的距離相等，則S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四邊形ODGF，則S四邊形ODGF=S△ABF，②錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．④∵連接CG，由O、G分別是AC，AD的中點(diǎn)，得到，則S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△BOG，得到S△ACD＝4S△BOG，故④正確；【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ABD的中位線，∴OG＝AB，故①正確；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等邊三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴平行四邊形ABDE是菱形，故③正確；∵連接CG，∵O、G分別是AC，AD的中點(diǎn)，∴，∴S△ACD＝4S△AOG，∵，∴S△AOG＝S△BOG，∴S△ACD＝4S△BOG，故④正確；連接FD，如圖：∵△ABD是等邊三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，∴F到△ABD三邊的距離相等，∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四邊形ODGF，∴S四邊形ODGF＝S△ABF，故②錯(cuò)誤；正確的是①③④，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及三角形面積等知識(shí)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，，點(diǎn)E在邊AD上，，點(diǎn)F在邊BC上，將四邊形CDEF沿EF所在的直線翻折，點(diǎn)D恰好落在點(diǎn)O處，點(diǎn)C落在點(diǎn)處．下列結(jié)論中，正確的有（

）①；②過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)P，是等腰直角三角形；③AB的長(zhǎng)為A．3個(gè) B．2個(gè) C．0個(gè) D．1個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)矩形對(duì)角線相等且互相平分，可知是等腰三角形，再由，求出進(jìn)而求出，根據(jù)翻折的性質(zhì)及三角形外角可得，再根據(jù)，可判斷是等腰直角三角形．根據(jù)是等腰直角三角形，且，求出的長(zhǎng)，再進(jìn)一步求出的長(zhǎng)．【解析】解：①四邊形是矩形，，，，，，四邊形沿所在的直線翻折，點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處，，，是的外角，，①錯(cuò)誤，不符合題意；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：，，由①得，，，是等腰直角三角形．故②正確，符合題意；③在中，設(shè)，則由②得，是等腰直角三角形，即，解得，，過(guò)點(diǎn)作，如圖所示：，，，，，，四邊形是矩形，，，故③錯(cuò)誤，不符合題意；正確的結(jié)論只有②．即一個(gè)正確的結(jié)論，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)與翻折的性質(zhì)，熟練運(yùn)用矩形的性質(zhì)與判定和翻折中不變的量是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，BF⊥AC交CD于點(diǎn)F，DE⊥AC交AB于點(diǎn)E，垂足分別為M、N，連接EM、FN．則下列四個(gè)結(jié)論：①；②EM//FN；③；④當(dāng)時(shí)，四邊形DEBF是菱形；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DE⊥AC，根據(jù)垂直的定義得到∠DNA=∠BMC=90°，由全等三角形的性質(zhì)得到DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正確；證△ADE≌△CBF（ASA），得出AE=FC，DE=BF，故③正確；證四邊形NEMF是平行四邊形，得出EM//FN，故②正確；證四邊形DEBF是平行四邊形，證出∠ODN=∠ABD，則DE=BE，得出四邊形DEBF是菱形；故④正確；即可得出結(jié)論．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，∴∠DAN=∠BCM，∵BF⊥AC，DE//BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA=∠BMC=90°，在△DNA和△BMC中，，∴△DNA≌△BMC（AAS），∴DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正確；在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=FC，DE=BF，故③正確；∴DEDN=BFBM，即NE=MF，∵DE//BF，∴四邊形NEMF是平行四邊形，∴EM//FN，故②正確；∵AB=CD，AE=CF，∴BE=DF，∵BE//DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∵AO=AD，∴AO=AD=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠ADO=∠DAN=60°，∴∠ABD=90°∠ADO=30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN=∠ODN=30°，∴∠ODN=∠ABD，∴DE=BE，∴四邊形DEBF是菱形；故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，且，將矩形沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，連接BP交EF于點(diǎn)Q，下列結(jié)論：①；②≌；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）．A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，，的面積的面積，再逐個(gè)判斷即可．【解析】解：∵，∴，，∵將矩形沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，∴，即，∵四邊形ABCD是矩形，∴，，∴，∴，∵將矩形沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，∴，，，∴，∴①正確；∵將矩形沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，∴，∴．在和中，，∴≌，∴②正確；∵，，∴，，∴，，∴，∴，∴③正確；∵，，，∴，∴的面積為，∵將矩形沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，∴的面積為，∴，∴④正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合性運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在正方形中，為對(duì)角線，為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，與、分別交于點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，連接，，，，下列結(jié)論中結(jié)論正確的有（

）①；②；③；④若，則，其中結(jié)論正確的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)正方形，為對(duì)角線，，可知四邊形是矩形，由此可證、、、是等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，，可知是等腰直角三角形，由此即可求解．【解析】解：結(jié)論①，∵正方形中，為對(duì)角線，，∴，，∴，四邊形是矩形，、是等腰直角三角形，∴，∴，故結(jié)論①正確；結(jié)論②，由結(jié)論①正確可知，是等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，∴，且、是等腰直角三角形，∴，，，∴，且，∴，∴，∵，故結(jié)論②正確；結(jié)論③，∵、、、是等腰直角三角形，，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，故結(jié)論③正確；結(jié)論④若，則，由結(jié)論②正確，可知；由結(jié)論③正確可知，，且、、、是等腰直角三角形，∴，即是等腰直角三角形，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，則，，，∴，，∴，故結(jié)論④正確；綜上所示，正確的有①②③④，故選：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形與三角形的綜合，主要考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在正方形ABCD的對(duì)角線AC上取一點(diǎn)E，使得，連接BE并延長(zhǎng)BE到F，使，BF與CD相交于點(diǎn)H，若，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．則其中正確的結(jié)論有（

）A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)可得到，根據(jù)可計(jì)算出OE，從而計(jì)算出AE，根據(jù)可計(jì)算出的值，證明是等邊三角形，進(jìn)一步證明得到,從而推算出．【解析】解：∵，∴，∴，故①正確；如下圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)O,∵,∴，∵，∴，∵∴，∴,∴，∴，∴②正確；∵，，∴，故③錯(cuò)誤；如下圖所示，連接DF，∵，∴，∴，∴,∵，∴是等邊三角形，∴，∴,∴,∵,∴，∴，∵，，∴,∴,故④正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正方形、全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)．二、填空題21．如圖,中，，，在的同側(cè)作正、正和正，則四邊形面積的最大值是______________．【答案】【分析】先延長(zhǎng)交于點(diǎn)，得出，再判定四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出：四邊形的面積，最后根據(jù)，判斷的最大值即可．【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵在正和正中，∴，∵，∴，∴，∴平分，又∵，∴，∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，同理可得：，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形的面積，又∵，在中，由勾股定理得：，∴，∴，即四邊形面積的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造平行四邊形的高線是解答本題的關(guān)鍵．22．如圖，在中，，，將沿射線平移，得到，再將沿射線翻折，得到，連接、，則的最小值為

____________【答案】45【分析】連接，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)成點(diǎn)T，連接、、．首先證明B、A、T共線，求出，證明四邊形EGCD是平行四邊形，推出，進(jìn)而得到，根據(jù)，即可解決問(wèn)題．【解析】解：如圖，連接、，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)成點(diǎn)T，連接、、．∵，，將沿射線平移，得到，再將沿射線翻折，得到，∴，，，∵，∴，∵D、T關(guān)于對(duì)稱，∴，，∴，∵，∴B、A、T共線，∴，∵，，∴四邊形EGCD是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，則的最小值為45．故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．23．在中，，D為形內(nèi)一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，連接，若分別是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為_______．【答案】2【分析】如圖，連接，取的中點(diǎn)F，連接，先證明，得，根據(jù)三角形的中位線定理可得，，由平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得，所以是等邊三角形，可得結(jié)論．【解析】解：如圖，連接，取的中點(diǎn)F，連接，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，同理得，，，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是證明△FMN是等邊三角形．24．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分別是邊BC和對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝DF，則AE＋AF的最小值為_________．【答案】【分析】的下方作，在上截取，使得，連接，．證明，推出，，根據(jù)求解即可．【解析】解：如圖，的下方作，在上截取，使得，連接，．∵四邊形是菱形，，∴，，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，當(dāng)E點(diǎn)在AT上時(shí)取等號(hào)，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．25．在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，點(diǎn)E為射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，若△CEF為直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為______．【答案】或8或或???????【分析】先利用勾股定理計(jì)算出AC=10，當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，有幾種情況：①當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖1所示．根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AFE=∠D=90°，設(shè)DE=x，則EF=x，CE=6x，然后在Rt△CEF中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x即可．②當(dāng)點(diǎn)F落在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示．此時(shí)四邊形ADEF為正方形，得出DE=AD=8．③當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)，如圖3所示，易知AF=AD=8，BF=，設(shè)DE=EF=x，CE=6x，然后在Rt△CEF中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x即可；④當(dāng)點(diǎn)F落在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，設(shè)DE=EF=x，CE=x6，BF=，然后在Rt△CEF中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x即可．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，CD=AB=6，∴AC==10，當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，有下列幾種情況：①當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，F(xiàn)落在AC上，如圖1所示．由折疊的性質(zhì)得：EF=DE，AF=AD=8，CF=2，設(shè)DE=x，則EF=x，∴CE=6x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：∵EF2+CF2=CE2，∴x2+22=（6x）2，解得，∴；②當(dāng)點(diǎn)F落在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示．此時(shí)四邊形ADEF為正方形，∴DE=AD=8．③當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)，如圖3：易知AF=AD=8，BF=，設(shè)DE=EF=x，CE=6x，在Rt△EFC中，x2=（6x）2+（8）2，∴，∴；④當(dāng)點(diǎn)F落在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，設(shè)DE=EF=x，CE=x6，則BF=，在Rt△CEF中，解得．綜上所述，DE的長(zhǎng)為或8或或．故答案為：或8或或【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握折疊和矩形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．26．如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，連接OP，將OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OQ，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連接EQ，DQ，若，則的面積為_________．【答案】【分析】先求出，，如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，以AC所在的直線為y軸，以BD所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于F，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H，求出直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），利用乙先三垂直模型證明△OHQ≌△OFP推出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，m），則點(diǎn)Q在直線上，設(shè)直線與x軸交于M，與y軸交于T，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥OD于N，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，），推出∠EDB=60°，求出，證明△AOD≌△MOT，推出∠OMT=∠EDB=60°，得到，則．【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AC⊥BD，，∴，∴，如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，以AC所在的直線為y軸，以BD所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于F，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），設(shè)直線AB的解析式為，∴，∴，∴直線AB的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OP=OQ，∠POQ=90°，∴∠HOQ+∠POH=90°，又∵∠FOP+∠POH=90°，∴∠HOQ=∠FOP，又∵∠OHQ=∠OFP=90°，∴△OHQ≌△OFP（AAS），∴OH=OF，QH=PF，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，m），∴點(diǎn)Q在直線上，設(shè)直線與x軸交于M，與y軸交于T，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥OD于N，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，）∴，∵四邊形ABCD是菱形，∴，AD=AB=2，∴，∠ADB=∠CBD=30°，∴∠OAD=60°，又∵DE⊥BE，∴∠ADE=30°，∴，∠EDB=60°，∴，BE=3，∴，∵，∴△AOD≌△MOT（SAS），∴∠OMT=∠OAD=60°，∴∠OMT=∠EDB=60°，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，平行線的性質(zhì)與判定，正確得出點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．27．如圖，在正方形中，E、F是射線上一動(dòng)點(diǎn)，且，射線、分別交、延長(zhǎng)線于G、H，連接；在下列結(jié)論中①；②，③；④；⑤若，則；⑥其中一定正確的是__________．（把正確的序號(hào)寫在橫線上）【答案】①③④⑥【分析】由正方形的性質(zhì)，易證△AEB≌△CEB，從而可判斷①的正確性；假設(shè)結(jié)論正確，可推出AE⊥BD，顯然AE是不可能總垂直BD的，故可得②不正確；如圖1，在BC上取BM=DH，連接AM，則可證△ABM≌△ADH，根據(jù)全等的性質(zhì)及已知條件，可得△AMG≌△AHG，從而可得③正確；由△AMG≌△AHG，從而，而△AGM與△BCD等高，故可得⑥正確；如圖1，延長(zhǎng)AM到N，使MN=HF，連接BN、EN，則可證△ABN≌△ADF，△ANE≌△AFE，故有BN=DF，EN=EF，且易得∠EBN=90°，在Rt△EBN中，由勾股定理即可判斷④正確；如圖2，延長(zhǎng)CD到P，使DP=BG，連接AP，則易證△ADP≌△ABG，可得AP=AG，且易得∠PAF=∠EAF=45°，從而可證得△APH≌△AGH，易得GH=BG+DH，若設(shè)CH=a，CG=b，由勾股定理有：，另一方面，可得GH=BG+DH=5ab，因此可得，則，故可判斷⑤錯(cuò)誤．【解析】∵四邊形ABCD為正方形∴AB=AD=BC=CD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∠ABE=∠CBE=∠ADB=45°

在△AEB和△CEB中∴△AEB≌△CEB(SAS)∴AE=CE故①正確若，則∠HGC=∠EAF=45°，∠GHC=∠F∵∠HCG=90°∴∠GHC=45°∴∠GHC=∠F=45°∴∠AEF=90°∴AE⊥BD但只有當(dāng)E點(diǎn)是線段BD的中點(diǎn)時(shí)，才有AE⊥BD，其它位置是不垂直的故②不正確如圖1，在BC上取BM=DH，連接AM∵AB=AD，∠ABC=∠ADH=90°，BM=DH∴△ABM≌△ADH(SAS)∴AM=AH，∠BAM=∠DAH∵∠BAM+∠MAD=∠DAB=90°∴∠MAH=∠DAH+∠MAD=∠BAM+∠MAD=90°∵∴∵AG=AG∴△AMG≌△AHG(SAS)∴GM=GH∴BG=GM+BM=GH+DH故③正確∵△AMG≌△AHG∴∵△AGM與△BCD的高分別為AB、CD，且AB=CD∴∵GM=GH，BC=AB∴故⑥正確如圖1，延長(zhǎng)AM到N，使MN=HF，連接BN、EN，則AM+MN=AH+HF，即AN=AF∵∠BAM=∠DAH，AB=AD∴△ABN≌△ADF(SAS)∴BN=DF，∠ABN=∠ADF∵∠ADF=180°∠ADB=180°45°=135°∴∠ABN=135°∴∠EBN=∠ABN∠ABD=135°45°=90°同理可得：△ANE≌△AFE∴EN=EF在Rt△EBN中，由勾股定理得：∴故④正確當(dāng)AB=3CH時(shí)，此時(shí)點(diǎn)H在邊CD上設(shè)CH=a，CG=b，則AB=CD=BC=3a，DH=ABCH=2a，BG=BCCG=3ab

如圖2，延長(zhǎng)CD到P，使DP=BG，連接AP∵AB=AD，∠ABC=∠ADP=90°，BG=DP

∴△ABG≌△ADP(SAS)∴AG=AP，∠BAG=∠DAP∴∠GAP=∠GAD+∠DAP=∠GAD+∠BAG=∠DAB=90°∵∠EAF=45°∴∠PAF=∠EAF=45°∵AH=AH∴△APH≌△AGH(SAS)∴PH=GH∵PH=DP+DH∴GH=BG+DH=3ab+2a=5ab在Rt△GHC中，由勾股定理有：∴整理得：∴CD=3a=故⑤錯(cuò)誤故答案為：①③④⑥【點(diǎn)睛】本題是正方形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，涉及到截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法，綜合性強(qiáng)，難度較大，是一道經(jīng)典的好題，實(shí)際上是所謂的“半角”問(wèn)題，也是平時(shí)和中考常考的壓軸題型．28．如圖，在正方形中，E在上，N為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在上，交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)H，若，下列說(shuō)法正確的有___________．①；②；③；④當(dāng)，時(shí)，【答案】①②④【分析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和為即可判斷①；由全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)可判斷②；由平行線的性質(zhì)和折疊對(duì)③中的結(jié)論進(jìn)行反推，得到不一定成立的結(jié)論，即可判斷③；作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形，利用勾股定理即可判定④．【解析】解：∵四邊形是正方形，∴，由翻折可知：，∴，∵，∴，由翻折得：，∴，∴，故①正確；過(guò)C點(diǎn)作于M，∵，∴，∵，∴，∴，過(guò)E點(diǎn)作，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴，由翻折知，又∵，∴，∴，∴，∴，故②正確；∵與平行，∴，∴，由折疊知，，∵，且與不一定相等，∴與不一定相等，∴與不一定相等，∴不一定等于，故③不正確；連接交于點(diǎn)，由折疊知，，∵，，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，由折疊得，∴，設(shè)，∴中，，∴，∴，，∴，∴，∴，故④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、圖形的折疊、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造矩形或等腰直角三角形，本題綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的要求較高．29．如圖，在矩形中，，E、F分別是邊、上一點(diǎn)，，將沿翻折得，連接，當(dāng)_____時(shí)，是以為腰的等腰三角形．【答案】或【分析】設(shè)，則，由翻折得：．當(dāng)′時(shí)，作，由，EF平分可證得，則，所以，，分，和兩種情況進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵四邊形是矩形，∴，設(shè)，則，由翻折得：，作于點(diǎn)，如圖，∵，∴，∴，∵沿翻折得，∴，∴，∵，∴，∴，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，①時(shí)，則：，即，解得，∴；②時(shí)，在中，，即：，解得：；∴；綜上，當(dāng)或時(shí)，是以為腰的等腰三角形；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形中的折疊問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意列方程是解答本題的關(guān)鍵．30．如圖，在矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，將沿折疊后，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，，則______．【答案】####2.625【分析】連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)證明，設(shè)，則，，再根據(jù)勾股定理可得，解得，即；由，易知，則，在中，根據(jù)勾股定理可得，解得，即可獲得答案．【解析】解：如下圖，連接，∵四邊形為矩形，，，∴，，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，，，，∴，∴在和中，，∴，∴，設(shè)，則，，∴在中，可有，即，解得，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確作出所需輔助線是解題關(guān)鍵．31．如圖，四邊形是長(zhǎng)方形紙片，，對(duì)折長(zhǎng)方形紙片．使與重合，折痕為．展平后再過(guò)點(diǎn)B折疊長(zhǎng)方形紙片，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)N，折痕為，再次展平，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G．有如下結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，H是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．其中正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①③④【分析】①連接，易得是等邊三角形，得到，進(jìn)而得到，推出，從而得到；②根據(jù)所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，求出；③由①即可得到是等邊三角形；④點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小為的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，此時(shí)最小，進(jìn)行求解即可．【解析】解：①連接，∵對(duì)折長(zhǎng)方形紙片．使與重合，折痕為，∴，∵過(guò)點(diǎn)B折疊長(zhǎng)方形紙片，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)N，折痕為，∴，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；故①正確；②∵，，∴；故②錯(cuò)誤；③∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形；故③正確；④由題意，得：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小為的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，此時(shí)最小，∵為等邊三角形，∴，∴，∴的值最小為；故④正確；綜上：正確的是①③④；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的折疊問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，含的直角三角形，利用軸對(duì)稱解決線段和最小問(wèn)題．本題的綜合性較強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．32．如圖，以的兩邊，為邊向形外作正方形，，則稱這兩個(gè)正方形為外展雙葉正方形．有以下5個(gè)結(jié)論：①面積與面積相等．②過(guò)點(diǎn)作邊的垂線交于點(diǎn)，則．③為邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，則且．④連接、相交于點(diǎn)，則且．⑤連結(jié)，為的中點(diǎn)，則且．其中正確的結(jié)論是_________（填序號(hào)）．【答案】①②③④⑤【分析】①作，作，證明，推出，由三角形面積公式即可判斷；②作出圖2的輔助線，證明/，推出，得到，再證明，即可判斷；③作出圖3的輔助線，證明，再證明，即可判斷；④作出圖4的輔助線，證明，推出，再證明，即可判斷；⑤作出圖5的輔助線，證明和，推出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可判斷．【解析】解：①如圖1，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)H作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，，∴，又∵，∴（同角的補(bǔ)角相等），在和中，，∴，∴，又∵，，且，∴面積與面積相等，故①正確；②如圖2，過(guò)點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)D，設(shè)垂足為K，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)F作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，則，∵，∴，∴（同角的余角相等），在和中，，∴，∴，同理可證，∴，在和中，，∴，∴，故②正確；③如圖3，延長(zhǎng)至L，使，連接，則，∵O為邊的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，由②得，∴，∵，∴在和中，，∴，∴，∵，∴，∴∴∵∴，故③正確；④如圖4，連接相交于，設(shè)交于點(diǎn)W，∵∴，即在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正確；⑤如圖5，延長(zhǎng)至I，使，連接并延長(zhǎng)交于J，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，，∵S是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，又∵，∴，又∵，∴，∵，且，∴，即，故⑤正確；綜上所述，正確的有①②③④⑤，故答案為：①②③④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．33．如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△MBC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE與AB交于點(diǎn)G，EF與AC交于點(diǎn)H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．給出如下結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④4FH=BD：其中正確結(jié)論的是________．【答案】①③④【分析】根據(jù)30°的直角三角形性質(zhì)及等邊三角形性質(zhì)可得出△ABC≌△EFA，△DBF≌△EFA，再由中位線的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷，從而得到答案．【解析】解：在等邊三角形△ACE中：∠EAC=60°，AE=AC，∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，∵在中：，∵F為AB的